Bài thao giảng cấp tỉnh: Hệ trục tọa độ trong không gian

Câu 2: Em hãy nêu định nghĩa hệ trục toạ độ trong mặt phẳng?Trả lời: i   j o Ox là trục hoành Oy là trục tung Điểm O là gốc toạ độ y x Kiểm tra bài cũ: Hệ trục toạ độ gồm hai trục và

NhiÖt liÖt chµo mõng quý thÇy c« vµ c¸c em häc sinh

vÒ dù giê thao gi¶ng h«m nay.

Thùc hiÖn:Gv NguyÔn V¨n Phong.

Tr êng THPT Hµ B¨c.

Kiểm tra bài cũ:

Câu 1: Em hãy nêu định nghĩa trục toạ độ?

Câu 2: Em hãy nêu định nghĩa hệ trục toạ độ trong mặt phẳng?

Trả lời:

i



Câu1: Trục toạ độ là một đ ờng thẳng trên đó đã xác định

một điểm O gọi là điểm gốc và một véc tơ đơn vị

Ký hiệu: ( ; )O i

i



x’ O

Ta lấy điểm I sao cho OI                             i

( ; ),O i

Tia OI còn đ ợc ký hiệu là Ox,tia đối của Ox là Ox’ Khi đó trục còn gọi là trục x Ox’ hay trục Ox

Câu 2: Em hãy nêu định nghĩa hệ trục toạ độ trong mặt phẳng?

Trả lời:

i





j

o

Ox là trục hoành

Oy là trục tung

Điểm O là gốc

toạ độ

y

x

Kiểm tra bài cũ:

Hệ trục toạ độ gồm hai trục và vuông góc với nhau Điểm gốc O của hai trục gọi là gốc toạ độ Trục gọi là

trục hoành, kí hiệu là Ox Trục gọi là trục tung, kí hiệu là Oy.

Các vectơ là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và

Hệ trục toạ độ còn đ ợc kí hiệu là Oxy

(O i j; , )

r r

( )O i;

r

( )O j; r

,

i j

r r

( )O i;

r

( )O j; r

1

i = =j

r r

(O i j; , )

r r

Chú ý: Mặt phẳng trên đó đã

cho một hệ trục toạ độ Oxy đ ợc

gọi là mặt phẳng Oxy

ChươngưIII

Ph ơng pháp toạ độ trong không gian

Hệ toạ độ trong không gian

Ph ơng trình mặt phẳng

Ph ơng trình đ ờng thẳng

Trụ sở liên hợp quốc tại New York

1 Hệ toạ độ trong không gian

I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.

x Ox’Ox là trục hoành

Điểm O là gốc toạ độ

y’OxOy là trục tung

z’OxOz là trục cao

y

i



j r

k r

O

x

z

x’

z’

y’

1) Hệ toạ độ :

+) Điểm O đ ợc gọi là gốc toạ độ

+) Trục x’Ox đ ợc gọi là trục hoành

+) Trục y’Oy đ ợc gọi là trục tung

+) Trục z’Oz đ ợc gọi là trục cao

i = j = k = i j = j k = k i =

i  r j k r

+) , , là ba véc tơ đơn vị đôi một

vuông góc, ta có:

+) Các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx)

+) Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn

đ ợc gọi là không gian Oxyz

Ký hiệu: Oxyz

Định nghĩa (SGK)

1 Hệ toạ độ trong không gian

I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.

1) Hệ toạ độ

E

M

O

y

x

z

i j k

tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng , , đã cho trên các các trục Ox; Oy; Oz

j



k

i

OM

Lời giải

Biểu diễn theo và ?OMuuur OEuuur ONuuur

Biểu diễn theo và ?uuur

OE OKuuur OHuuur

Biểu diễn:

theo ? theo ? theo ?

r i

+ ) OKuuur + ) OHuuur r

j

+ ) ONuuur r

k

Biểu diễn theouuur

OM r r r

i, j,k?

Ta có OM                              OE ON               

OE OH OK                                           

OK                        x i OH                y j ON        z k

Gọi K, H, N lần l ợt là hình chiếu của M

lên các trục Ox, Oy, Oz

x i y j z k

   

Vậy

K x

H y

N z

2) Toạ độ của một điểm.

y

x

I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.

OM                             x i                y j                z k

ĐN: Bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn

gọi là toạ độ của điểm M đối với hệ trục toạ độ Oxyz

Viết M(x;y;z) hoặc M= (x;y;z)

Nhận xét: x; y; z là toạ độ t ơng ứng của các

điểm K; H; N Trên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz

Trong không gian Oxyz cho

điểm M và 3 vectơ

không đồng phẳng Có bao

nhiêu bộ 3 số (x; y; z) thoả

mãn:OM                             x i.                y j.                z k ?

, ,

i j k

  

Với bộ 3 số (x; y; z) có bao nhiêu điểm M thoả

mãn OM                             x i                y j                z k ?

O z

i j

k

M

E

H

K

N

x

y z

2) Toạ độ của một điểm.

I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.

a Cho OM )                               2 5 i                   j k ON                          ,                              2 k j 

Xác định toạ độ của các điểm M, N?

) điểm M(-2; 0; 0), N(0; -2; 1), P(-3; 2; 1) Hãy biểu thị OM, ON và OP theo các vectơ đơn vị?

b Cho

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz

Giải:

Vậy N(0;-1;2)

a) M(2;5;-1);

ON                     k           j            i            j            k

)                              2 ,                                            2                ,                              3                2 

Đ.án: Trong không gian cho 3 vectơ a, b, c không đồng phẳng Khi đó với mọi vectơ x ta đều đ ợc bộ 3 số m, n, p sao cho

x =ma+nb+pc Ngoài ra bộ 3 số m, n, p là duy nhất.

  



I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.

Em hãy nêu định lý về biểu diễn một vectơ theo

3 vectơ không đồng phẳng?

3 Toạ độ của véc tơ

1 2 3

Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho vectơ a, khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ 3 số (a ; a ;a ) sao cho a= a i + a j + a k Ta gọi bộ 3 số (a ; a ;a ) là toạ độ của vectơ a đối với

hệ toạ độ Oxyz



Viết a= (a ; a ;a ) hoặc a(a ; a ;a ) 

I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.

Nhận xét:

)Trong hệ toạ độ Oxyz, toạ độ của điểm M là toạ độ của vectơ OM

Ta có: M= (x;y;z) OM = (x;y;z)







) i (1;0;0), j (0;1;0), k (0;0;1)

) 0 (0;0;0).

3 Toạ độ của véc tơ

I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.

A O

A’

B’

C’

D

D’

M

c

x

z

y

Hoạt động 2: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật

ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O, có theo thứ tự cùng h ớng với và có AB = a, AD =b, AA’ = c Hãy tính toạ độ các vectơ với M là trung điểm của C’D’

Giải:

, , '

AB AD AA

  

AB AC AC AM

   i j k, ,

  

) AB a i AD b j AA, , ' c k AB a;0;0

                                                                                                       

) AC AB AD ai b j AC a b; ;0

     

 

) AC' AB AD AA' ai b j c k AC' a b c; ;

                                                                                                                        

) AM AD' D M' AD AA' D M'

                                                                                         

1

; ; 2

Ta có:

, , '

AB AD AA

  

AB AC AC AM

   i j k, ,

  

Hoạt động 2: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật

ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O, có theo thứ tự cùng h ớng với và có AB = a, AD =b, AA’ = c Hãy tính toạ độ các vectơ với M là trung điểm của C’D’

, , '

AB AD AA

  

AB AC AC AM

     i j k, ,

, , '

AB AD AA

  

AB AC AC AM

     i j k, ,

, , '

AB AD AA

  

AB AC AC AM

     i j k, ,

AD AA AB b j c k a i

                                                                                         

1 Hệ toạ độ trong không gian

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho

Kiến thức cũ

1 2 1 2

a (a ; a ), b (b ;b )  

1 1 2 2

5) Với b  0, a cùng ph ơng b      k  : a  kb ,a  kb

1 1 2 2

2) a b (a    b ; a  b )

1 2

3) k.a (ka ; ka ), k  

1 1

2 2

a b 4) a b

a b





  





 

1 1 2 2

1) a b (a    b ; a  b )

A A B B

B A B A

6) Trong mặt phẳng với hệ Oxy cho A(x ; y ), B(x ; y ) thì

AB = OB -OA = (x -x ; y -y ).

                                          

Ta có:

A B A B



1 Hệ toạ độ trong không gian

II- Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

1 1 2 2 3 3.

2) Với b  0, a cùng ph ơng b    k : a  kb , a  kb , a  kb



1 1 2 2 3 3

2) a b (a    b ; a  b ;a  b ).

1 2 3

3) ka (ka ; ka ;ka ), k   

1 1

2 2

3 3

a b 1) a b a b









 

1 1 2 2 3 3

1) a b (a    b ; a  b ;a  b ).

A A A B B B

B A B A B A

3)Trong k/g với hệ Oxyz cho A(x ; y ;z ), B(x ; y ;z ) thì

) AB = OB -OA = (x -x ; y -y ;z -z ).

                                          

1 2 3 1 2 3

a (a ; a ;a ), b (b ;b ;b )  

Định lý : Trong không gian Oxyz cho hai

vectơ

Ta có:

Hệ quả:

+) Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là : xA xB yA y zB A zB

1 Hệ toạ độ trong không gian

1 2 3 1 2 3

1 2 3

( ; ; ) ( ; ; )

a a i a j a k

1) Định nghĩa hệ toạ độ

2)Toạ độ của một điểm.

OM                             x i                y j                z k

Bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn

gọi là toạ độ của điểm M đối với hệ

trục toạ độ Oxyz Viết M(x;y;z) hoặc

M = (x;y;z)

I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.

3) Toạ độ của véc tơ

II- Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

1 1 2 2 3 3.

2) Với b 0, a cùng ph ơng b k sao cho a kb , a kb , a kb

   



1 1 2 2 3 3

2) a b  (a  b ; a  b ;a  b ).

3) ka  (ka ; ka ;ka ), k  









1) a b  (a  b ; a  b ;a  b ).

B A B A B A

3)Cho A(x ; y ;z ), B(x ; y ;z )

AB = (x -x ; y -y ;z -z ).

Toạ độ trung điểm M của AB:

x + x y + y z z M( ; ; ).







a (a ; a ;a ), b (b ;b ;b ) 

Định lý : Trong không gian Oxyz cho hai vectơ

Ta có:

Hệ quả:

1 Hệ toạ độ trong không gian

Câu hỏi thảo luận Cho A(1;2; 3),B( 1;3; 4),C(5;0; 1).   

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz

Nhóm 1, 2: a) Tìm toạ độ của các véc tơ: 1

AB, AC, v 3AB AC.

2

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

CMR :Ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Nhóm 3, 4: b)Xác định toạ độ trung điểm của đoạn thẳng BC

Đáp án: a) AB ( 2;1; 1), AC (4; 2;2)                                

3AB ( 6;3; 3), AC (2; 1;1), v 3AB AC ( 8;4; 4).

Hai véc tơ cùng ph ơng vì AB,AC  

AC  2.AB

b) Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng BC là: 3 5

M(2; ; )

2  2

Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng

1 Hệ toạ độ trong không gian

Công việc về nhà:

Làm bài tập 1, 2, 3 SGK trang 68 Nghiên cứu phần III, IV SGK

Ôn tập lý thuyết

Hệ trục tọa độ nh ta đã học còn đ ợc gọi là hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc, đó là tên của nhà toán học phát minh ra nó

Một vài nét về nhà toán học Đêcac

Đêcac (Descartes) sinh ngày 31/03/1596 tại

Pháp và mất ngày 11/02/1650 tại Thuỵ Điển

Đêcac đã có rất nhiều đóng góp cho toán học

Ông đã sáng lập ra môn hình học giải tích Cơ sở

của môn này là ph ơng pháp toạ độ do ông phát

minh Nó cho phép nghiên cứu hình học bằng

ngôn ngữ và ph ơng pháp của đại số

Các ph ơng pháp toán học của ông đã có ảnh h ởng sâu

sắc đến sự phát triển của toán học và cơ học sau này

Một vài nét về nhà toán học Đêcac

17 năm sau ngày mất ,ông đ ợc đ a về Pháp và chôn

cất tại nhà thờ mà sau này trở thành điện

Păngtêông(Panthéon), nơi yên nghỉ của các danh

nhân n ớc Pháp

Tên của Đêcác đ ợc đặt tên cho một miệng núi

lửa trên phần trông thấy của mặt trăng

XIN CHÂN THÀNH CÁM ƠN CÁC THẦY CÔ GIÁO VÀ CÁC EM HỌC SINH

Xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy (c«) vµ c¸c em häc sinh

Xin chµo vµ hÑn gÆp l¹i !