CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU 1.Phương pháp 1: Trường hợp bằng nhau thứ nhất cạnh-cạnh- cạnh (c.c.c) a.Định lí : Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TIÊN DU
TRƯỜNG THCS HIÊN VÂN
Chuyên đề:
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU
* BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ GIỎI
(2)CHUYÊN ĐỀ :
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU
I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ
1 Định nghĩa hai tam giác nhau
Hai tam giác hai tam giác có cạnh tương ứng nhau, góc tương ứng
∆ ABC ∆ A’B’C’ có:
AB = A ' B '; AC = A ' C '; BC = B ' C ' ^
A= ^A'; ^B= B ^' ; ^C = ^C'
¿
{¿ ¿ ¿
¿
<=> ∆ ABC = ∆ A’B’C’
2 Ba trường hợp hai tam giác (trình bày phần phương pháp) 3.Các trường hợp tam giác vng (trình bày phần phương pháp)
4 Tam giác cân
a Định nghĩa: ∆ ABC cân A AB = AC
b Tính chất:
* ∆ ABC cân A => AB = AC * ∆ ABC cân A => B= ^C^ c Dấu hiệu nhận biết:
* ∆ ABC có AB = AC => ∆ ABC cân A * ∆ ABC có B= ^C^ => ∆ ABC cân A
(3)
II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU 1.Phương pháp 1: Trường hợp thứ cạnh-cạnh- cạnh (c.c.c) a.Định lí : Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác
∆ ABC vµ ∆ A’B’C’ cã: AB = A’B’
AC = A’C’ BC = B’C’
(4)Ví dụ 1:( Bài 65-Trang 89-Sách Bồi dưỡng Toán 7- tập 1)
Cho ∆ABC (AB<AC) Trên cạnh AB lấy điểm D, cạnh AC lấy điểm E cho BD = CE Các đường trung trực BC DE cắt O Chứng minh ∆ BOD =∆ COE
Giải:
Xét ∆ BOD ∆ COE có: BD = CE (giả thiết)
OB = OC (vì O nằm trung trưc BC) OD = OE (vì O nằm trung trưc DE) Vậy ∆ BOD = ∆ COE (c.c.c)
b.Hệ quả
Nếu cạnh huyền mơt cạnh góc vuông tam giác vuông cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng
∆ ABC ∆A’B’C’:
B= ^C^ = 900
BC =B’C’ AC = A’C’
∆ABC = ∆ A’B’C’(cạnh huyền-cạnh góc vng)
Ví dụ 2: (Bài 318 Trang 159 sách 405 tập toán 7)
Cho tam giác ABC cân A Vẽ AH BC H Chứng minh rằng:∆AHB = ∆AHC
Giải
Xét :∆AHB ( = 900) ∆AHC ( = 900) có:
(5)AH cạnh chung
∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền - cạnh góc vng)
c) Một số tập áp dụng
Bài 1: (Bài 63 Tr 88 - sách Bồi dưỡng Toán Tập 1)
Cho ∆ ABC , B> ^C^ Trên cạnh AC xác định điểm O cho OB = OC tia đối
tia OB xác định điểm A’ cho OA’ = OA Chứng minh: ∆ ABC = ∆ A’BC
Giải
Xét ∆ OAB ∆ OA’C có : OB = OC (giả thiết)
^O1= ^O2 (đối đỉnh) OA = OA’ (giả thiết) Suy : ∆ OAB = ∆ OA’C (c.g.c)
=> AB = AC’ (hai cạnh tương ứng) Xét ∆ ABC ∆ A’CB có :
BC cạnh chung
AB = A’C (chứng minh trên)
Vì O điểm nằm điểm A , C A’ , B Nên BA’ = CA
Vậy ∆ ABC = ∆ A’CB (c.c.c)
Bài 2:(Bài 64 Tr 88 - Sách Bồi dưỡng Toán Tập 1)
Cho tam giác ABC có góc nhọn đường cao AH Dựng điểm D cho AB đường trung trực đoạn HD dựng điểm E cho AC đường trung trực đoạn thẳng HE Nối DE cắt AB I cắt AC K Chứng minh rằng:
a, AD = AE b, ∆AID=∆AIH
Giải
(6)b, Xét ∆ AID ∆ AIH có : AI cạnh chung
AD = AH (chứng minh trên)
ID = IH (vì I nằm đường trung trực đoạn DH) Vậy ∆ AID = ∆ AIH (c.c.c)
Bài 3:(Bài 86 Tr 97 - Sách phương pháp suy luận phân tích để giải tốn hình học THCS)
Cho tam giác ABC Kẻ BH AC (H thuộc AC) CK AB (K thuộc AB) Chứng minh BH = CK tam giác ABC tam giác cân
Giải
Hai tam giác vuông BCK CBH có: Cạnh huyền BC chung BH = CK ( giả thiết)
Nên ∆ BCK = ∆ CBH (cạnh huyền-cạnh góc vng) => B= ^C^ (hai góc tương ứng) Vậy tam giác ABC tam giác cân
Bài 4:(Bài 87 Tr 97 - Sách phương pháp suy luận phân tích để giải tốn hình học THCS)
Cho tam giác ABC Từ trung điểm M cạnh BC kẻ MH AC ( H thuộc AC) MK AB (K thuộc AB).Chứng minh tam giác ABC tam giác cân MH=MK.
Giải
Hai tam giác vuông MBK MCH có: K= ^H^ = 900
MB = MC (gt) MK = MH (gt)
Nên ∆ MBK = ∆ MCH (cạnh huyền-cạnh góc vng) => B= ^C^
Vậy tam giác ABC tam giác cân
2 Phương pháp2 : Trường hợp thứ hai cạnh-góc- cạnh (c.g.c)
a.Định lí: Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác
(7)
AB A'B'
' ' ˆ ˆ
B B' BC B'C
ABC A B C c g c
*Chú ý: Người ta chứng minh rằng:
Nếu hai tam giác nhọn có hai cặp cạnh đơi cặp góc khơng xen giữa tương ứng hai tam giác nhau.( ví dụ 5)
Ví dụ 3:(Bài 39 Tr 47 - sách phương pháp suy luận phân tích để giải tốn hình học THCS).
Cho hai tam giác ABC A’B’C’ với hai trung điểm M M’ cạnh BC B’C’ Chứng minh nếu:
BC = B’C’ ; AM = A’M’ = hai tam giác
Giải
MC =BC
2 (gt )
M ' C '=B' C '
2 (gt )
BC=B ' C ' (gt )
¿}¿}¿
¿ ¿ => MC = M’C’
Xét ∆ AMC ∆ A’M’C’ có: AM = A’M’ (gt) = (gt)
MC = M’C’ (cmt)
Nên ∆ AMC = ∆ A’M’C’ (c.g.c) => C= ^C^ ' (hai góc tương ứng) AC = A’C’ (hai cạnh tương ứng) Xét ∆ ABC ∆ A’B’C’ có:
BC = B’C’ (gt) C= ^C^ ' (cmt)
AC = A’C’ (cmt)
(8)Ví dụ 4:(Bài 42 Tr 50 - sách phương pháp suy luận phân tích để giải tốn hình học THCS).
Cho hai tam giác ABC A’B’C’ với hai trung điểm D D’ cạnh BC B’C’ Chứng minh nếu:
AD = A’D’ ; AC = A’C’ = hai tam giác
Giải
Xét ∆ ACD ∆ A’C’D’ có: AC = A’C’ (gt)
AD = A’D’ (gt) = (gt)
=> ∆ ACD = ∆ A’C’D’ (c.g.c)
=> C= ^C^
'
(hai góc tương ứng) CD = C’D’ (hai cạnh tương ứng) Từ đó: BC = ( 2CD = C’D’) = B’C’ Xét ∆ ABC ∆ A’B’C’ có:
AC = A’C’ (gt) C= ^C^ ' (cmt) BC = B’C’ (cmt) => ∆ ABC = ∆ A’B’C’ (c.g.c)
Ví dụ 5:(Bài 88 Tr 98 - Sách phương pháp suy luận phân tích để giải tốn hình học THCS)
Chứng minh hai cạnh góc khơng xen tam giác hai cạnh góc khơng xen tương ứng tam giác hai tam giác
Giải
(9)Cạnh huyền AB = A’B’(gt) ^B= ^B' (gt)
∆AHB = ∆A’H’B’(cạnh huyền - góc nhọn)
^A1= ^A1
'
(hai góc tương ứng) (1) AH = A’H’ ( hai cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông AHC A’H’C’ có: Cạnh huyền AC = A’C’(gt)
AH = A’H’ ( cmt)
∆ AHC = ∆ A’H’C’( cạnh huyền- cạnh góc vng)
^A2= ^A2
'
(2) Từ (1) (2) => ^A= ^A' Xét ∆ ABC ∆A’B’C’ có: ^B= ^B' (gt) AB = A’B’ (gt) ^A= ^A' (cmt) =>∆ ABC ∆A’B’C’ (g.c.g)
b.Hệ quả
Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng
∆ ABC = ∆ A’B’C’ có: AB = A’B’ ^A= ^A
'
=1v AC = A’C’
=> ∆ ABC = ∆ A’B’C’ (c.g.c)
Ví dụ 6:(Bài 52 Tr 60 - sách phương pháp suy luận phân tích để giải tốn hình học THCS).
Cho hai đoạn thẳng AD BC nhau, nửa mặt phẳng bờ AB vng góc với AB Gọi O giao điểm AC với BD Chứng minh: OA = OB =OC = OD
Hướng dẫn
AD ⊥ AB ( gt ) BC ⊥ AB ( gt ) ¿}¿
(10)Mà AD = BC (gt) nên ∆AOD = ∆BOC (g.c.g)
=> AC BD cắt trung điểm O đoạn
OA=OC = AC
2
OB=OD =BD
2
¿}¿
¿ ¿ (1)
∆ABC ∆BAD có : AB cạnh chung ^A= ^B = 1v AD = BC (gt)
∆ABC = ∆BAD (c.g.c) AC = BD (2)
Từ (1) (2) suy :OA = OB =OC = OD
*Chú ý: Từ toán ta suy kết quan trọng là:
Trong tam giác vng, đoạn thẳng nối đỉnh góc vng với trung điểm cạnh huyền
bằng nửa cạnh huyền
Chẳng hạn: OA = OB = OD = \f(1,2 BD ; OB = OA = OC = \f(1,2 AC
c) Một số tập áp dụng
Bài 1:(Bài 49 Tr 58 - sách phương pháp suy luận phân tích để giải tốn hình học THCS).
Cho tam giác ABC trung điểm M cạnh AB Trên tia đối MC lấy điểm D cho MD = MC Chứng minh ∆ABC = ∆ BAD
Giải
Xét ∆ AMC ∆ BMD có: AM = MB (gt)
M^ 1= ^M2 (đối đỉnh) MC = MD (gt)
∆ AMC = ∆ BMD (c.g.c) AC = BD (hai cạnh tương ứng)
^A1= ^B1 (hai góc tương ứng) Xét ∆ABC ∆ BAD có:
(11)AB cạnh chung => ∆ABC = ∆ BAD (c.g.c)
Bài
: (Bài 68 Tr 91 - sách Bồi dưỡng Toán Tập 1).
Cho góc xOy Lấy điểm A tia Ox, lấy điểm B tia Oy, cho OA = OB.Trên tia phân giác góc xOy lấy điểm C
a) Chứng minh : ∆ AOC = ∆ BOC b) Chứng minh : ∆ OAM = ∆ OBM
Giải
a) Xét ∆AOC ∆ BOC có: OA = OB (gt)
^O1= ^O2 (gt) OC cạnh chung
∆ AOC = ∆ BOC (c.g.c) b) Xét ∆AOM ∆ BOM có: OA = OB (gt)
^O1= ^O2 (gt) OM cạnh chung => ∆ OAM = ∆ OBM (c.g.c)
Bài 3:( Bài 304 Trang 146 sách 405 tập toán 7)
Cho tam giác ABC có ^A < 900 Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ tia Ax vuông
góc với AB, tia Ax lấy điểm D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ tia Ay vuông góc với AC, tia Ay lấy điểm E cho AE = AC Gọi M trung điểm cạnh BC
Chứng minh rằng: AM = \f(1,2 DE
(12)Trên tia đối tia MA lấy điểm N cho MN = MA Xét ∆MAB ∆ MNC có:
MA = MN (gt) = (đối đỉnh)
MB = MC (M trung điểm cạnh BC) ∆MAB = ∆ MNC (c.g.c)
= (hai góc tương ứng) (1) AB = CN (hai cạnh tương ứng) Mà hai góc so le (2) Từ (1) (2) => AB // CN
Có + = 1800 ( hai góc phía) (3)
Mà + = 1800 (4)
Từ (3) (4) => = Xét ∆CAN ∆ AED có: CA = AE (gt) = ( cmt)
CN = AD ( = AB)
Do :∆CAN = ∆ AED (c.g.c) AN = DE
Mà AM = \f(1,2 AN Do đó: AM = \f(1,2 DE
3 Phương pháp3 : Trường hợp thứ ba góc- cạnh- góc (g.c.g)
(13)Xét ∆ ABC ∆A’B’C’có: ^B= ^B
'
BC = B’C’ C= ^C^
'
=> ∆ ABC=∆A’B’C’(g.c.g)
Ví dụ 7:(Bài 59 Tr 66 - sách phương pháp suy luận phân tích để giải tốn hình học THCS).
Cho hai tam giác ABC A’B’C’ với tia phân giác ^A ^A' cắt BC D, cắt B’C’
tại D’ Chứng minh nếu:
AB = A’B’ , ^A= ^A' AD = A’D’ hai tam giác
Giải
Vì ^A= ^A' (gt) nên ^A1 (=
^A 2 =
^A'
2 ) = ^A1
'
Xét ∆ABD ∆A’B’D’ có: AB = A’B’ (gt)
^A1= ^A1
'
(cmt)
AD = A’D’ (gt)
∆ABD = ∆A’B’D’ (c.g.c) ^B= ^B
'
(hai góc tưong ứng) Xét ∆ABC ∆A’B’C’ có:
^A= ^A' (gt) AB = A’B’ (gt) ^B= ^B' (cmt)
∆ABC ∆A’B’C’(g.c.g)
Ví dụ 8:(Bài 61 Tr 68 - sách phương pháp suy luận phân tích để giải tốn hình học THCS). Cho hai tam giác AHB A’H’B’ vuông H H’, với AH = A’H’
^B= ^B'
(14)Giải
Vì ^B= ^B' (gt) nên ^A= ^A' (góc phụ ^B ^B' ) Xét ∆AHB ∆A’H’B’ có:
AH = A’H’ (gt)
H= ^H^ ' = 900 (gt)
^A1= ^A1
'
(cmt) => ∆AHB = ∆A’H’B’ (g.c.g) => AB = A’B’ (hai cạnh tương ứng) BH = B’H’ (hai cạnh tương ứng) Theo giả thiết HC = H’C’ nên: BH + HC = B’H’ +H’C’ Hay BC = B’C’
Xét ∆ABC ∆A’B’C’ có: AB = A’B’ (cmt) BC = B’C’ (cmt) ^B= ^B' (gt)
∆ABC ∆A’B’C’(c.g.c)
b.Hệ quả
*Hệ 1:Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vng cạnh huyền một
góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng
Xét ∆ ABC ∆ DEF có: ^A= ^D = 900
BC = EF
^B= ^E ∆ABC = ∆ DEF (cạnh huyền-góc nhọn)
E
D F
C A
B
*Hệ 2:Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vuông
(15)Xét ∆ ABC ∆A’B’C’ có: ^A= ^A
'
= 900
AC = A’C’ C= ^C^
'
∆ABC = ∆ A’B’C’(g.c.g)
Ví dụ 9:( Bài 319 Trang 159 sách 405 tập toán 7)
Cho hình bên, có Oz tia phân giác góc xOy, MA Ox, MB Oy, MC = MD Chứng minh : a) MA = MB
b) =
Giải
a) Xét ∆AOM ( = 900) ∆ BOM ( = 900) có:
OM cạnh chung = (Oz tia phân giác)
Do :∆AOM = ∆ BOM (cạnh huyền - góc nhọn) MA = MB (hai cạnh tương ứng)
b) Xét ∆AMC ( = 900) ∆ BMD ( = 900) có:
MC = MD (gt) MA = MB (câu a)
Do :∆AMC = ∆ BMD (cạnh huyền - cạnh góc vng)
=> = (hai góc tương ứng)
c) Một số tập áp dụng
Bài 1:(Bài 60 Tr 67 - sách phương pháp suy luận phân tích để giải tốn hình học THCS).
Cho hai tam giác ABC A’B’C’ với tia phân giác ^A ^A' cắt BC D, cắt B’C’
tại D’ Chứng minh nếu:
AD = A’D’ , ^A= ^A' C= ^C^ ' hai tam giác
(16)Vì ^A= ^A' (gt) nên ^A2 (=
^A 2 =
^A'
2 ) = ^A2
'
∆ACD ∆A’C’D’ có hai cặp góc ( ^A2= ^A2
'
C= ^C^ ' )
Nên : D= ^D^
'
( định lý tổng ba góc cuả tam giác) Xét ∆ACD ∆A’C’D’ có:
D= ^D^
'
(cmt) AD = A’D’ (gt)
^A2= ^A2
'
(cmt)
∆ACD ∆A’C’D’ (g.c.g) AC = A’C’ (hai cạnh tương ứng) Xét ∆ABC ∆A’B’C’ có:
AC = A’C’ (cmt) ^A= ^A' (gt)
C= ^C^
'
(gt) Do ∆ABC = ∆A’B’C’(g.c.g)
Bài 2:(Bài 82 Tr97 - sách Bồi dưỡng Toán Tập 1)
Cho tam giác ABC có AB = AC Lấy điểm D cạnh AB, điểm E cạnh AC cho AD = AE Gọi K giao điểm BE CD Chứng minh rằng:
a) BE = CD b) ∆ KBD = ∆ KCE
Hướng dẫn:
a) ∆ABE = ∆ACD (c.g.c) => BE = CD (hai cạnh tương ứng) b) ∆ABE = ∆ACD (câu a) =>
^
B1= ^C1
(hai góc tương ứng) Và ^E1= ^D1 (hai góc tương ứng) Do : ^E2= ^D2
Mặt khác : AB =AC AD = AE Trừ vế với vế ta có: AB - AD = AC - AE => BD = CE ∆ KBD = ∆ KCE (g.c.g)
(17)Cho tam giác ABC cân A ( ^A < 900) Vẽ BH BC ( H thuộc AC), CK AB ( K thuộc AB)
Chứng minh AH = AK
Giải
Xét ∆ABC cân A => AB = AC Xét ∆HAB ∆KAC có: = = 900
AB = AC (cmt) góc chung
=> ∆HAB = ∆KAC (cạnh huyền - góc nhọn) => AH = AK(hai cạnh tương ứng)
Bài 4:( Bài 93a Trang 70 - sách Phân loại số phương pháp giải tốn hình học THCS).
Cho hai tam giác cân ABC (AB = AC) A’B’C’ (A’B’ =A’C’) Dựng AH A’H’ theo thứ tự vng góc với BC B’C’ Chứng minh ∆ ABC = ∆A’B’C’ ^A= ^A' AH = A’H’
Giải
Trong tam giác cân, đường cao xuất phát từ đỉnh cịn đuờng phân giác
Ta có :
^
A1= ^A2= ^A 2 (1)
^A1'
= ^A2' = ^A
'
2 (2)
^A= ^A' (3)
Từ (1), (2) (3)=> ^A1= ^A1
'
Do ta có : ∆HAB = ∆H’A’B’ (g.c.g) AB = A’B’ (hai cạnh tương ứng) Và HB = H’B’ (hai cạnh tương ứng) BC = B’C’
Hai tam giác cân ABC A’B’C’ có cạnh bên (AB = A’B’) cạnh đáy (BC = B’C’) nên
∆ ABC = ∆A’B’C’ (c.c.c)
(18)4) Phương pháp 4: Sử dụng tính chất bắc cầu để chứng minh hai tam giác nhau.
Nếu ∆ ABC = ∆DEF; ∆ DEF = ∆HIK ∆ ABC= ∆HIK
5) Phương pháp 5: Kẻ thêm hình phụ để chứng minh hai tam giác nhau.
Ví dụ 11: Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC, từ M kẻ đường thẳng vng
góc với tia phân giác góc BAC N cắt tia AB E cắt tia AC F Chứng minh rằng:
a) AE = AF b) BE = CF
c) AE = \f(AB+AC,2
Lời giải:
a) Xét ∆ANE ∆ANF có: = = 900
AN cạnh chung = (gt)
∆ANE = ∆ANF (g.c.g) AE = AF ( hai cạnh tương ứng)
b) Từ C kẻ tia Cx // AB, cắt tia EF K Xét ∆BME ∆CMK có:
= (đối đỉnh) BM = MC (gt) = (sole )
∆BME = ∆CMK (g.c.g)
BE = CK (hai cạnh tương ứng) (1)
Vì AE = AF nên tam giác AEF cân A => ^E= ^F1
Mà ^F1= ^F2 (đối đỉnh) ^E= ^K (sole trong)
=> ^F2= ^K => ∆ CFK cân C => CK = CF (2)
Từ (1) (2) => BE = CF (đpcm)
c) Ta có : AE = AB + BE AF = AC - FC
AE + AF = AB + BE +AC - FC = AB + AC Mà AE = AF => 2.AE = AB + AC
AE = \f(AB+AC,2
Ví dụ 12: Cho tam giác ABC vuông A với \f(AB,AC = \f(3,4 BC = 15cm Tia phân
giác góc C cắt AB D Kẻ DE BC (E thuộc BC) a) Chứng minh: AC = CE
b) Tính độ dài AB, AC
c) Trên tia AB lấy điểm F cho AF = AC Kẻ tia Fx FA cắt tia DE M Tính góc DCM
(19)a) Chứng minh ∆ACD = ∆ECD (cạnh huyền- góc nhọn) AC = CE (hai cạnh tương ứng)
b) \f(AB,AC = \f(3,4 (gt) \f(AB,3 = \f(AC,4 \f(AB2,9= \f(AC2,16= \f(AB2+AC2,9+16 = \f(BC2,25 = \f(152,25=
AB2 = 9.9= 81=> AB = cm
AC2 = 9.16 = 144 => AC = 12 cm.
c) Kẻ Cy Fx cắt K Ta thấy AC = AF = FK = CK = CE Và = 900
Chứng minh ∆CEM= ∆CKM (cạnh huyền- cạnh góc vng) => = ( hai góc tương ứng)
Mà = + = \f(1,2 = \f(1,2 900 = 450 III.CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG TỔNG HỢP
Chúng ta thường vận dụng phương pháp chứng minh để :
- Chứng minh: hai tam giác nhau, hai đoạn thẳng nhau, hai góc nhau; hai
đường thẳng vng góc ; hai đường thẳng song song; ba điểm thẳng hàng ; ba đường thẳng đồng quy …
- Tính : độ dài đoạn thẳng ; tính số đo góc ; tính chu vi ; diện tích ; … - So sánh : độ dài đoạn thẳng ; so sánh góc ; …
Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M điểm nằm tam giác cho MB = MC ; N
là trung điểm BC Chứng minh : a) AM tia phân giác góc BAC b) Ba điểm A, M, N thẳng hàng ;
c) MN đường trung trực đoạn thẳng BC
Hướng dẫn:
a) Xét ∆AMB ∆ AMC có : AB = AC (gt) ; AM chung ; MB = MC (gt) Do : ∆ AMB = ∆ AMC (c.c c) => = (hai góc tương ứng)
Vậy AM phân giác góc BAC (đpcm)
(20)AN chung ; NB = NC (gt)
Do : ∆ANB = ∆ ANC (c – c – c)
=> = ( hai góc tương ứng)
Hay AN phân giác góc BAC
Vì AM, AN phân giác góc BAC nên hai tia AM AN trùng
Vậy ba điểm A, M, N thẳng hàng
c) Theo câu b) ∆ANB = ∆ANC (c – c – c) => = (hai góc tương ứng)
Mà + = = 1800
= = 900 => AN BC hay MN BC.
Mặt khác NB = NC (gt) nên MN đường trung trực BC
Bài Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm AC, AB Trên tia đối tia
MB MC lấy tương ứng hai điểm D E cho MB = MD NC = NE Chứng minh : a) AD = AE ;
b) Ba điểm A, E, D thẳng hàng
Hướng dẫn:
a) Xét ∆ MAD ∆ MCB có : MB = MD (gt)
= ( hai góc đối đỉnh) MA = MC (gt)
Do ∆ MAD = ∆ MCB (c – g – c), suy AD = BC (1) Chứng minh tương tự ta có AE = BC (2)
Từ (1) (2) suy AD = AE
b) Vì ∆ MAD = ∆ MCB (chứng minh trên) nên = Hai góc vị trí so le nên AD // BC
Chứng minh tương tự ta có AE // BC
Qua điểm A có hai đường thẳng AD AE song song với BC Theo tiên đề Ơcơlit hai đường thẳng trùng Hay ba điểm A, E , D thẳng hàng
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông B AC = 2AB Kẻ phân giác AE (E thuộc BC).
(21)b) Tính góc A C tam giác ABC
Hướng dẫn:
a) Gọi D trung điểm AC Nối ED
Vì AC = 2AB (gt) AC = 2AD (vì D trung điểm AC) nên AB = AD = CD
∆ABC vuông B nên = 900 Xét ∆AEB ∆ AED có :
AE chung ^A1=A2
1 (vì AE phân giác góc BAC) AB = AD (chứng minh trên)
Do : ∆ AEB = ∆AED (c – g – c)
=> = = 900
Vì hai góc kề bù nên = = 900. Xét ∆ EDA ∆ EDC có :
DE chung = (chứng minh trên)
AD = DC (vì D trung điểm AC)
Do : ∆ EDA = ∆ EDC (c – g – c) => EA = EC (hai cạnh tương ứng)
b, Vì ∆EDA = ∆EDC (chứng minh trên) nên ^A2= ^C Suy =
∆ABC có : + + = 1800
hay : 900 + + = 1800
=> = 300;
= = 600
Vậy = 300 ; = 600
Bài Cho góc nhọn xOy Trên tia Ox, Oy lấy tương ứng hai điểm A B cho OA = OB Vẽ
đường trịn tâm A tâm B có bán kính cho chúng cắt hai điểm M, N nằm góc xOy Chứng minh :
a) ∆ OMA = ∆OMB ∆ONA = ∆ONB ; b) Ba điểm O, M, N thẳng hàng ;
c) ∆ AMN = ∆ BMN ;
(22)Hướng dẫn:
a) ∆OMA = ∆OMB (c.c.c) ∆ONA = ∆ONB ( c.c.c)
b) Theo câu a): ∆OMA = ∆OMB (c.c.c) nên = , : OM tia phân giác hay OM tia phân giác
∆ONA = ∆ONB ( c.c.c) nên = (hai góc tương ứng) Do ON tia phân giác (2)
Từ (1) (2) => ba điểm O , M , N thẳng hàng
c) ∆AMN = ∆BMN (c.c.c), suy = ,do MN tia phân giác góc
Bài Cho ∆ ABC cân A Trên tia đối tia BC CB lấy thứ tự hai điểm D E cho BD
= CE Gọi M trung điểm BC Chứng minh : a) ∆ ADE cân ;
b) AM tia phân giác góc DAE ;
c) BH = CK, với H K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ B, C đến AD AE d) Ba đường thẳng AM, BH CK cắt điểm
Hướng dẫn:
a) ∆ABC cân A (gt) nên AB = AC =
=> = Xét ∆ ABD ∆ ACE có : AB = AC (gt) = (cmt) BD = CE (gt) => ∆ ABD = ∆ ACE (c.g.c) => AD = AE (hai cạnh tương ứng)
Vậy ∆ ADE cân A
b, ∆ AMD = ∆ AME (c.c.c) => =
Vậy AM tia phân giác góc DAE c,∆ ADE cân A (theo câu a), nên =
∆ BHD = ∆ CKE (cạnh huyền- góc nhọn ), : BH = CK
a) Gọi giao điểm BH CK O , ta có :
(23)= nên AO tia phân giác góc KAH hay AO tia phân giác góc DAE Mặt khác theo câu b AM tia phân giác góc DAE, AO AM Từ suy ba đường thẳng AM, BH, CK cắt O
Bài Cho ∆ ABC cân A Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD
= CE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB AC M N Chứng minh :
a) DM = EN ;
b) Đường thẳng BC cắt MN trung điểm I MN ;
c) Đường thẳng vng góc với MN I qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC
Hướng dẫn:
a) ∆MDB = ∆NEC (cạnh góc vng- góc nhọn kề) => DM = EN b) ∆MDI = ∆NEI (cạnh góc vng- góc nhọn kề) => IM = IN Điều chứng tỏ BC cắt MN điểm I trung điểm MN c) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC , ta có: ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền - cạnh góc vng) nên =
Gọi O giao điểm AH với đường thẳng vng góc với MN kẻ từ I ∆ OAB = ∆ OAC (c.g.c) nên = (1)
∆ OIM = ∆ OIN ( hai cạnh góc vng nhau) => OM = ON, từ đó: ∆ OBM = ∆ OCN (c.c.c), = (2)
Từ (1) (2) suy ra: = = 900
do đó: OC AC Vậy điểm O cố định
Bài Cho ∆ ABC có ^A =1200, phân giác AD Kẻ DE DF tương ứng vng góc với
AB AC Trên đoạn thẳng BE FC đặt EK = FI a) Chứng minh ∆DEF ;
b)Chứng minh ∆DIK cân ;
c)Từ C kẻ đường thẳng song song với AD, cắt BA M Chứng minh ∆AMC ; d)Tính độ dài AD biết CM = m CF = n
(24)a) ∆ AED = ∆ AFD (cạnh huyền góc nhọn ), nên DE = DF Mặt khác dễ dàng chứng minh = 600 Vì ∆DEF
b) ∆ EDK = ∆ FDI (hai cạnh góc vng nhau) nên DK = DI Do ∆DIK cân D
c) AD tia phân giác góc BAC nên = = \f(1,2 = 600.
Do AD // MC (gt)
=> = = 600 (hai góc đồng vị), = = 600 (hai góc sole trong).
Tam giác AMC có hai góc 600 nên tam giác đều.
d) Ta có : AF = AC - FC = CM - FC= m - n Tam giác vng AFD có = 300 nên AD = AF,
từ suy AD = 2( m - n)
Bài 8: Cho Δ ABC vuông cân A, M trung điểm BC, điểm E nằm M C Kẻ BH, CK
vng góc với AE (H K thuộc đường thẳng AE) Chứng minh rằng: a) BH = AK
b) Δ MBH = Δ MAK
c) Δ MHK tam giác vuông cân CHướng dẫn a) Δ HAB = Δ KCA (CH – GN)
⇒ BH = AK
b) Δ MHB = Δ MKA (c.g.c) c) Δ MHB = Δ MKA (c.g.c)
⇒ MH = MK ⇒ MHK cân (1)
Có Δ MHA = Δ MKC (c.c.c) => ∠ AMH = ∠CMK từ
⇒ = 900 (2)
Từ (1) (2) ⇒ Δ MHK vuông cân M
B
i : Cho tam giác ABC vuông cân A, M trung điểm BC Lấy điểm D thuộc cạnh BC
H I thứ tự hình chiếu B C xuống đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI N Chứng minh rằng:
a) BH = AI
b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi.
c) Đường thẳng DN vuông góc với AC d) IM phân gióc góc HIC
Hướng dẫn:
a AIC = BHA (ch- gn) BH = AI b BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2
H
I
M B
A C
D
(25)c AM, CI đường cao cắt N N trực tâm DN ¿ AC d BHM = AIM (cgc) HM = MI BMH = IMA mà : IMA + BMI = 900 BMH + BMI = 900
HIM vuông cân M MHI = IHM = 450