Câu 20.. Cho tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D.. Đường trung trực của đoạn thẳng AB B. Đường trung trực của đoạn thẳng BC C. Đườn[r]
(1)CHỦ ĐỀ 1: TỨ GIÁC
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
I / ĐỊNH NGHĨA
Tứ Giác Tứ giác tạo đoạn thẳng
Hình Thang Hình Thang tứ giác có cạnh đối song song
Hình Thang vng Hình thang vng hình thang có góc vng
Hình Thang Cân Hình thang cân hình thang có góc kề đáy
Hình Bình hành Hình bình hành tứ giác có cặp cạnh đối song song
Hình chữ nhật Hình chữ nhật tứ giác có góc vng
Hình Thoi Hình thoi tứ giác có cạnh
Hình Vng Hình vng tứ giác có cạnh góc vng
II/ TÍNH CHẤT
Tứ Giác Tổng góc tứ giác 360 độ
Hình Thang
2 góc kề cạnh bên bù
Hình Thang Cân
* cạnh bên * đường chéo
* 1trục đối xứng đối qua trung điểm cạnh đáy
Hình Bình hành
* Các cặp cạnh đối * Các cặp góc đối * đường chéo cắt trung điểm đường
* giao điểm đường chéo tâm đối xứng
Hình chữ nhật
* Các cặp cạnh đối * góc vng
* đường chéo cắt trung điểm đường * giao điểm đường chéo tâm đối xứng
(2)Hình Thoi
* cạnh
* Các cặp góc đối
* đường chéo cắt trung điểm đường , vng góc đường phân giác góc
* giao điểm đường chéo tâm đối xứng * trục đối xứng đường chéo
Hình Vng
* cạnh nhau, góc vng
* đường chéo cắt trung điểm đường , nhau, vng góc tia phân giác góc * giao điểm đường chéo tâm đối xứng
* Có trục đối xứng III/ DẤU HIỆU NHẬN BIẾT
Hình Thang Tứ giác có cạnh đối song song
Hình Thang Cân * Hình thang có góc kề đáy , tổng góc đối bù * Hình thang có đường chéo
Hình Bình hành * Các cặp cạnh đối song song
* Các cặp cạnh đối * Các cặp góc đối
* Hai cạnh đối song song * đường chéo cắt trung điểm đường
Hình chữ nhật * Tứ giác có góc vng
* Hình thang cân có góc vng * Hình bình hành có góc vng * Hình bình hành có đường chéo
Hình Thoi * Tứ giác có cạnh
* HBH có cạnh kề * HBH có đường chéo vng góc * HBH có đường chéo đường phân giác góc
Hình Vng * HCN có cạnh kề
(3)* HCN có đ/c phân giác góc * Hình thoi có góc vng
* Hình thoi có đường chéo
B.HỆ THỐNG BÀI TẬP.
I.NHẬN BIẾT.
Câu 1: Khẳng định sau :
A Tổng góc tứ giác 1800. B Tổng góc tứ giác 2700. C Tổng góc tứ giác 3600.
Đápán: C
Câu 2: Cho tứgiác ABCD cóAˆ =700; Bˆ= 1050;Dˆ = 1100 SốđocủagócCˆlà: A, 750 B 850 C 700 D 650
Đápán: A
Câu3: hình hình tứ giác lồi
c) D C
B A
Đáp án : hình a)
Câu4 Cho tứ giác ABCD, có A + B = 1400 Tổng C + D = A 2200 B 2000 C 1600 D 1500 Đáp án A
Câu 5: Hình thang tứ giác có A Hai đường chéo B Hai góc đối bằn C Hai cạnh đối song song D Hai cạnh đối
b) C
D B
A
d) D C
B A
a) D B
(4)Đáp án: C
Câu 6: Hình thang vng hình thang có A Hai đường chéo
B Hai cạnh bên C Một góc vng
D Hai góc Đáp án: C
Câu Hình thang :
A Tứ giác có cạnh đối song song
B Tứ giác có hai cạnh đối song song
C Tứ giác có hai cạnh đối
D Tứ giác có hai góc kề cạnh
Đáp án: B
Câu Hình thang cân là:
A Tứ giác có hai góc kề cạnh
B Hình thang có hai cạnh bên
C Hình thang có hai góc kề đáy
D Hình thang có góc 900
Đáp án: C
Câu 9:Nêu định nghĩa hình thang cân Hình thang cân hình thang có : A : Hai góc kề đáy B: Hai cạnh bên
C: Hai đường chéo
D: Hai cạnh đáy song song Đáp án:A
Câu 10:Trong câu sau câu , câu sai:
A: Hình thang có hai đường chéo hình thang cân B: Hình thang có hai cạnh bên hình thang cân C: Trong hình thang cân, hai cạnh bên
(5)Câu sai B
Câu 11:Muốn chứng minh tứ giác hình thang cân ta có cách chứng minh ? Đáp án:Có hai cách chứng minh
Chứng minh hình thang có hai góc đáy Chứng minh hình thang có hai đường chéo Câu12: Tứ giác có cạnh đối song song là:
A Hình thang cân C Hình chữ nhật B Hình bình hành D Hình vng
Đáp án: B
Câu 13: Trong phát biểu sau, phát biểu đúng: A Hình bình hành tứ giác có hai cạnh đối song song B Tứ giác có cạnh đối hình bình hành C Hình thang có hai cạnh bên song song hình bình hành
D Trong hình bình hành hai đường chéo cắt trung điểm đường
Đáp án: B,C
Câu 14: Trong hình bình hành:
A Hai góc kề đáy B Các góc đối
C Hai đường chéo
D Hai cạnh đối song song với không E Các cạnh đối
Đáp án: B, E
Câu 15: Dấu hiệu sau khơng phải dấu hiệu nhận nhận biết hình chữ nhật ? A Tứ giác có ba góc vng
B Hình bình hành có góc vng
C Hình bình hành có hai đường chéo D Hình bình hành có hai đường chéo vng góc
Đáp án: D
Câu 16: Trong hình sau hình tứ giác có bốn góc vng ? A Hình thang
B Hình thang cân C Hình bình hành D Hình chữ nhật
Đáp án: D
(6)A Có hai cạnh vừa song song vừa B Có bốn góc vng
C Có bốn cạnh D Có bốn cạnh bốn góc vuông Đáp án: B
Câu 18 Câu đúng?
A/ Hình thang có góc vng hình chữ nhật B/ Tứ giác có hai góc vng hình chữ nhật C/ Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật D/ Cả A, B , C
Đáp án: C
Câu 19 Các câu sau hay sai
a) Hình chữ nhật tứ giác có tất góc b) Tứ giác có hai đường chéo hình chữ nhật
c) Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình chữ nhật
Đáp án: a c
Câu 20: Chọn khẳng định đúng:
A Khoảng cách hai đường thẳng song song độ dài đoạn thẳng nối điểm tùy ý đường thẳng đến điểm tùy ý đường thẳng
B Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm tùy ý đường thẳng đến đường thẳng
Đáp án: B
Câu 21: Xét tam giác ABC có cạnh BC cố định, đường cao AH=h : Điểm A chuyển động đường nào?
A Đường trung trực đoạn thẳng BC B Đường tròn tâm A bán kính h
C Đường thẳng song song với BC cách BC khoảng h D Hai đường thẳng song song với BC cách BC khoảng h
Đáp án: D
Câu 22: Khoanh tròn vào chữ đứng trước khẳng định đúng:
A Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách điểm tùy ý đường thẳng đến điểm tùy ý đường thẳng
B Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm tùy ý đường thẳng đến đường thẳng
C Các điểm cách đường thẳng b khoảng h nằm đường thẳng song song với b cách b khoảng h
(7)Đáp án: B; D
Câu 23: Trong hình vẽ sau trường hợp h khoảng cách hai đường thẳng song song a b
H.1 H.2 H.3
Đáp án: H.3
Câu 24: Hình thoi tứ giác:
A Có hai đường chéo nhau. B Có hai đường chéo vng góc.
C Có hai đường chéo vng góc.
D Có hai đường chéo vng góc cắt trung điểm đường.
Đáp án: D
Câu 25: Hình thoi tứ giác:
A Có hai cạnh đối nhau. B Có cạnh đối nhau. C Có cạnh liên tiếp nhau. D Cả đáp án đúng.
Đáp án: C
Câu 26:Hình thoi tứ giác có:
A Bốn góc B Hai cạnh đối
C Ba góc vng D có bốn cạnh
Đáp án: D
Câu 27:Khẳng định sau sai:
A Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi
(8)C Hình thang có hai đường chéo hình thoi
Đáp án: C
Câu 28: Điền từ còn thiếu vào “………… ”
Hình vng tứ giác có ……… ………
Đáp án: Bốn góc vng bốn cạnh
Câu 29: Chọn câu trả lời đúng:
A: Hình chữ nhật có hai đường chéo hình vng
B: Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng
C: Hình bình hành có góc vng hình vng
D: Hình thoi có góc vng hình vng
Đáp án: B D
Câu 30: Chọn câu trả lời đúng: Trong hình vng hai đường chéo…………
A: Bằng B: Vuông góc với trung điểm đường
C: Là phân giác góc D: Tất đáp án
Đáp án: D
Câu 31: Điền từ còn thiếu vào “………… ”
Hình chữ nhật có đường chéo phân giác …………
A: Hình thoi B: Hình vng C: Hình bình hành D: Hình thang
Đáp án: B
II THÔNG HIỂU.
Câu 1: Tứgiác MNPQ cócácgócthỏamãnđiềukiện: M N P Qˆ : ˆ ˆ: : ˆ = 1:1: 2:2
Khiđó:
A Mˆ Nˆ 60 ;0 P Qˆ ˆ 1200 B.Mˆ Pˆ 60 ;0 N Qˆ ˆ 1200
C
0 ˆ
ˆ ˆ 120 ; ˆ 60
(9)Đápán: A
Câu 2: Tứgiác ABCD cóA B C Dˆ: : :ˆ ˆ ˆ= 1: 3:4:4 Ta có :
A ˆA 400 B.Bˆ=1200 C.Cˆ= 1000 D.Dˆ = 1200
Đápán: D
Câu 3:Tứgiác ABCD cóA B Cˆ ˆ ˆvàDˆ =1200 TínhcácgócA B Cˆ; ;ˆ ˆ
Đápán: A B Cˆ ˆ ˆ = 800
Câu4: Chọn câu câu sau:
A.Tứ giác ABCD có góc nhọn B.Tứ giác ABCD có góc tù C.Tứ giác ABCD có góc vng góc tù D.Tứ giác ABCD có góc vuông Đáp án: D
Câu5 Cho tứ giác ABCD có góc A góc B vng AB = cm; BC = cm; AD = cm
Tính DC
A.4cm B.5 cm
C.2cm D.Cả A, B, C sai
Đáp án: D
Câu6:
Số đo góc tứ giác ABCD theo tỷ lệ:
A: B: C: D = 4: 3: 2: Số đo góc theo thứ tự là:
A.1200 ; 900 ; 600 ; 300 B.1400 ; 1050 ; 700 ; 350 C.1440 ; 1080 ; 720 ; 360 D.Cả A, B, C sai. Đáp án C
Câu 7: Hình thang có nhiều số góc tù A B C D Đáp án: B
Câu 8: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) Biết góc A 750 số đo góc D A 1050 B 1000 C 1800 D 950
Đáp án: A
(10)Câu 10 Hình thang ABCD(AB // CD) , biết góc A = 600, góc B = 1300, hai góc còn lại có số đo là:
A góc D = 400, góc C = 500 C góc D = 500 , góc C = 1200
B góc D = 1200 , góc C = 500 D góc D =400 , góc C = 500
Đáp án : B
Câu 11 Hình thang vng biết góc 500, góc còn lại có số đo là:
A 500, 1300, 900 C 500, 1000,900
B 500, 900, 900 D 900, 1300, 900
Đáp án: D
Câu 12.Hai đoạn thẳng ABCD cắt O, biết OA=OC, OB=OD Tứ giác ACBD hình ?
A Hình thang C Hình thang vng
B, Hình thang cân D Tứ giác
Đáp án: B
Câu 13.Hai đoạn thẳng AB CD cắt O, biết OA=OC, OB=OD Tứ giác ACBD hình ?
A Hình thang B Hình thang vng C Tứ giác
Đáp án: B
Câu 14: Hình thang cân ABCD ( AB // CD) , có góc ^A = 700 Khẳng định đây
A: C^ = 1100B: B^ = 1100 C: C^ = 700D: ^D = 700 Đáp án: A
Câu 15: Tính góc hình thang cân , biết góc 600 Đáp án:Xét hình thang cân ABCD có góc ^D = 600
Theo định nghĩa giả thiêt, ta có A B
^
D = C^ = 600
Theo định nghĩa tổng góc tứ giác:
(11)^
A + B^ + C^ + ^D = 3600 => ^A = B^ =( 3600 – 600) :2 = 1200 Câu 16: Biết ít góc hình thang cân tính góc còn lại?
Đáp án:Biết góc hình thang cân tính góc còn lại Câu17: Hình bình hành ABCD có Bˆ = 650, BC = 5cm:
A Â = 650, AB = 5cm.
B 650
ˆ
D , AD = 5cm.
C 650
ˆ
D , AB = 5cm.
D Đáp án khác
Đáp án: B
Thẩm định: Phải có câu dẫn: Hãy chọn đáp án
Câu 18: Cho tứ giác ABCD Có AB//CD AB = CD Aˆ = 1100 Tứ giác ABCD hình gì ? Vì sao? Tính ˆD = ? ; C = ?ˆ
Đáp số: Tứ giác ABCD hình bình hành ˆD = 70 ; C = 1100 ˆ
Câu 19: Khẳng định sau đúng: A Hình bình hành hình thang cân
B Hình bình hành khơng phải hình thang cân C Hình bình hành có tâm đối xứng
D Hình thang có hai cạnh bên hình bình hành
Đáp số: B,C
Câu 20 Tính độ dài đường chéo d hình chữ nhật, biết độ dài cạnh A = 3cm b = 4cm
Đáp án: d =
Câu 21: Tính x hình vẽ
Đáp án: x= 15
0 110
A B
(12)Câu 22 Cho tam giác ABC vng A có AM trung tuyến Biết AB=6cm; AC=8cm Tính độ dài đoạn BC, AM
Đáp án: BC= 10(cm) ; AM= 5(cm)
Câu 23: Tính đường chéo d hình chữ nhật,biết độ dài cạnh a = 5cm, b = 7cm (làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ )
Đáp án: Theo định lý pitago : d2 = a2 + b2 = 52 + 72 = 74
Suy : d = √74 = 8,6( cm )
Câu 24: Tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng có cạnh góc vng 8cm 12cm (làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai )
Đáp án: Cạnh huyền tam giác vuông : 82 + 142 = 208= √208 =14,42 Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền : 14,42 : = 7,21(cm)
Câu 25: Cho ABC A 90
có AB = 9cm, AC = 12cm Tia phân giác góc A cắt cạnh BC D Tính độ dài đoạn thẳng BD CD
Đáp án:
12
9 E
D C
B
A
Áp dụng định lý Pi – ta – go tam giác vng ABC ta tính BC=15cm
Vì AD đường phân giác góc A nên
BD AB
(13)Suy
BD BD 3 45
BD BC 15 cm
CD BD 4 3 BC 7 7 7
Tính
60
CD cm
7
(hình vẽ thừa đoạn DE)
Câu 26: Xét tam giác ABC cân A có BC cố định Điểm A chuyển động đường nào?
A Đường trung trực đoạn thẳng AB B Đường trung trực đoạn thẳng BC C Đường trung trực đoạn thẳng AC D Cả A, B, C
Đáp án: B
Câu 27: Xét hình chữ nhật ABCD có cạnh AD cố định Giao điểm hai đường chéo chuyển động :
A Đường trung trực đoạn thẳng AB B Đường trung trực đoạn thẳng AD C Đường trung trực đoạn thẳng BC D Đường trung trực đoạn thẳng BD
Đáp án: B
Câu 28: Cho góc xOy cố định, điểm A di chuyển tia Ox, điểm B di chuyển tia Oy cho OA=OB Kẻ đường vng góc với Ox A, Kẻ đường vng góc với Oy B Giao điểm I hai đường vng góc
A thuộc tia phân giác Ot góc xOy
B thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB C thuộc đường trung trực đoạn thẳng OA D thuộc đường trung trực đoạn thẳng OB Đáp án: A
Câu 29:Biết khoảng cách hai đường thẳng song song a b 2cm M điểm nằm đường thẳng b Hỏi M cách đường thẳng a cm ? Hãy chọn đáp án sau:
A 1cm ; B 2cm ; C 3cm ; D Một đáp án khác Đáp án: B 2cm
Câu 30: Ghép ý (1), (2), (3) với ý (4), (5), (6) để khẳng định đúng: (1) Tập hợp điểm cách
đường thẳng a cố định 3cm
(4) đường tròn tâm A bán kính 3cm
(2) Khoảng cách hai đường thẳng song song a b
(5) hai đường thẳng song song với a cách a khoảng 3cm
(3) Tập hợp điểm cách điểm A cố định 3cm
(14)thẳng b Đáp án: (1) – (5); (2) – (6); (3) – (4)
Câu 31: Hình thoi có độ dài cạnh 4cm chu vi bằng?
A 16cm B 8cm C 44cm D Cả A, B, C sai
Đáp án: A
Câu 32: Hai đường chéo hình thoi 8cm 10cm Cạnh hình thoi giá trị nào?
A 6cm B 41 cm C. 64 cm D 9cm
Đáp án: B
Câu 33: Cho hình thoi A B C D' ' ' ' đối xứng với hình thoi ABCD qua đường thẳng d Biết chu vi hình thoi ABCD 20cm cạnh A B' '
hình thoi A B C D' ' ' ' là:
A 20 cm B 10cm C 5cm D A, B, C sai Đáp án: C
Câu 34:Hình thoi có độ dài cạnh 4cm chu vi bằng:
A 16cm B 8cm
C 44cm D 4cm
Đáp án:A
Câu 35:Hai đường chéo hình thoi 8cm 6cm cạnh hình thoi là:
A 4cm B 5cm
C 6cm D.8cm
Đáp án:B
Câu 36:Hình thoi có chu vi 16cm cạnh là:
A 2cm B 4cm
C 8cm D 16cm
Đáp án:B
Câu 37 : Các câu sau hay sai?
(15)b) Hình vng tứ giác có bốn cạnh c) Hình vng hình thoi có bốn góc vng c) Hình vng hình thoi có góc vng
d) Hình chữ nhật có đường chéo vng góc với hình vng Đáp án:
a), c), d) đúng; b) sai
Câu 38: Hình vng có tâm đối xứng hay khơng? Hãy rõ tâm đối xứng hình vng
Đáp án: hình vng có tâm đối xứng giao điểm hai đường chéo
Câu : hình vng có đường chéo 4cm cạnh bằng:
A)1cm B)4cm C) √8 cm D) 32 cm
Đáp án: C
Câu : Hình vng có cạnh 3cm Đường chéo hình vng bằng:
A)6cm B)5cm C) √18 cm D) 4cm Đáp án: C
Câu
41 : Tìm hình vng hình sau:
S
T R
U O
P
Q N
M
I G
H F
E O
A
B
D C
Đáp án:
(Hình:1); (Hình:3); (Hình:4)
Câu 42: Cho hình vẽ: Hỏi tứ giác AEDF hình gì?
(Hình:2) (Hình:3) (Hình:4)
(16)Đáp án: AEDF hình vng
j
45 45
F
E D
C B
A
Câu 43: Cho hình vẽ: Trong tứ giác MNPQ hình vng Hỏi tứ giác EFGH hình gì?
Đáp án: AEDF hình vng
G
F E
H
Q P
N M
Câu 44: Cho tam giác ABC vuông cân; H, G thuộc BC cho BH=HG=GC ( Hình vẽ)
Hỏi: Tứ giác EFGH hình gì?
Đáp án:
Tứ giác EFGH hình
vng E F
G
H C
B
A
(17)(A)
(B) (C)
(D)
Đáp án: Hình A, C, D
Câu 46: Cho tam giác ABC vuông cân A M; N; P trung điểm AB; BC; CA Chứng minh tứ giác AMNP hình vng
Đáp án:Vẽ hình ghi GT,KL
Chứng minh: PN // AM, PN = AM
Chứng minh: AP // MN, AP = MN
MàAB = AC => AM = AP
Tứ giác APNM hình thoi
Hình thoi APNM có A= 900
=> APNM hình vng
N P
M C
B A
III VẬN DỤNG.
Câu 1: Tứgiác ABCD cóCˆ = 500 ,Dˆ = 600 , A Bˆ ˆ: = 3:
a)Tínhcácgóc A B
b) Gọi Ilàgiaođiểmcủahaitiaphângiácgóc C vàgóc D TínhsốđogócDIC
Đápán: a) ˆA 1500Bˆ =1000
b)DIC = 1250
(18)a) Chứng minh MP làđườngtrungtrựccủa NQ b) TínhN Qˆ , ˆbiếtrằngMˆ = 1100 , P ˆ 600
Đápán :a) MN = MQ (gt) M đườngtrungtrựccủa NQ (1)
PN = PQ(gt) Pđườngtrungtrựccủa NQ (2)
Từ (1) (2) MP làđườngtrungtrựccủa NQ.
N
P H ¬ M
Q
b)Gọi H làgiaođiểmcủa PM NQ PH làphângiácgóc NPQ
PHNQ NPH =
NPQ
=
0 60
2 = 300
Xétvuông NHP: PNH NPH = 900 PNH = 900 - NPH
= 900 – 300 = 600
Chứng minh tươngtự ta có: MNH = 350
PNM = PNH+ MNH = 600 + 350 =950 hay Nˆ =950
Xéttứgiác MNPQ có: Mˆ N P Qˆ ˆ ˆ = 3600 1100 + 950 + 600 + Qˆ =3600
2650 + Qˆ = 3600 Qˆ = 3600 - 2650 = 950
(19)Câu 3:Cho tứgiác ABCD cóA D Bˆ ˆ ˆ, 130 ;0 Cˆ 500
a) TínhA Dˆ ˆ,
b)Chứng minh rằngDC2 +AB2 +2 AD2=AC2 + BD2
A B
D C Đápán: a) Ta có: A B C Dˆ ˆ ˆ ˆ = 3600màA Dˆ ˆ(gt) suyraA Aˆ ˆ +1300 + 500 =3600
2 ˆA +1800 = 3600
2 ˆA = 3600 – 1800 = 1800 A Dˆˆ 900 b)ABDvngtại A, theođịnhlýPytago ta có BD2 = AB2 + AD2 ADC
vuôngtại D, theođịnhlýPytago ta cóAC2 = DC2 +AD2
Do :AC2 + BD2 = DC2 + AD2 + AB2 + AD2
VậyDC2 + AB2 + 2AD2= AC2 + BD2
Câu 4:Tìm x hình 5, hình :
(20)Hình :
Câu
Góc kề bù với góc tứ giác gọi góc ngồi tứ giác
a) Tính góc ngồi tứ giác hình 7a
b) Tính tổng góc ngồi tứ giác hình 7b (tại đỉnh tứ giác chọn góc ngồi) :
c) Có nhận xét tổng góc ngồi tứ giác ?
(21)Câu
Ta gọi tứ giác ABCD hình có AB – AD, CB = CD hình “cái diều”
Được điều chỉnh lại:Ta gọi tứ giác ABCD hình có AB = AD
a) Chứng minh AC đường trung trực BD
(22)Câu 7: Cho tứ giác ABCD có AB = BC AC tia phân giác góc A a) chứng minh ABCD hình thang
b) Cho biết - = 200, = 500 Tính Đáp án:
a) - Cm Tam giác ABC cân B => =
Lại có : = nên = mà hai góc vị trí so le nên BC // AD
b) Tính = (1800 - 200 ) : = 800 => = 400
Mà = 1800 - 500 = 1300 => = 1300 - 400 - 500 = 900
Câu 8: Tứ giác ABCD có AB // CD, Â = 900, = 800 a) Tính góc B góc D
b) CMR: AC2 - BD2 =DC2 - AB2. Đáp án:
a) = 1000 , = 900
b) Tam giác ADC vuông D nên : AC2 = AD2 + DC2 (1) Tam giác ABD vuông A nên: BD2 = AB2 + AD2 ( 2) Từ (1) (2) suy AC2 - BD2 =DC2 - AB2.
Câu 9: Hình Thang ABCD ( AB // CD) - = 200, = Tính góc hình Thang. Đáp án:
= (1800 + 200) : = 1000 => = 800 = (1800 : ) = 1200 => = 600
A
C B
D
B A
(23)Câu 10 Hình thang ABCD có góc A = góc D = 900, AB = 11 cm, AD = 12 cm, BC = 13 cm
a,Tính độ dài cạnh đáy CD b,Tính độ dài AC
Đáp án:
Kẻ BHCD
a, Ta tính CH = cm, CD = 16 cm
b, Áp dụng định lí Pitago tính AC = 20 cm
Câu 11 Tam giác ABC vng cân A, phía ngồi tam giác ABC vẽ tam giác BCD vuông cân B Tứ giác ABCD hình gì?
Đáp án:
Tam giác ABC vng cân A nên góc ACB = 450. Tam giác BCD vng cân B nên góc BCD = 450 Do góc C = 900 => AB // CD
Lại có góc A = 900 nên tứ giác ABCD hình thang vng.
Câu 12: Cho hình thang cân ABCD ( AB//CD, AB < CD) Kẻ đường cao AE, BF hình thang
(24)Đáp án: A B a) Xét ∆ ADE ∆ BCF có: AD = BC (gt)
^
D = C^ (gt)
D E F C
∆ ADE = ∆ BCF¿ ¿ cạnh huyền – góc nhọn)
DE = CF
b) ABFE hình thang cân
Mà DE = CF DE// BF( vng góc với CD) Theo nhận xét hình thang => AB = EF = 12cm Câu 13: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD)
a) Chứng minh: ^ACD = BDC^
b) Gọi E giao điểm AC BD Chứng minh EA = EB
Đáp án:a) ∆ ACD ∆ BDC có: AD = BC ( gt)
D = C (gt) DC chung
∆ ACD = ∆ BDC ( c – g –c)
^ACD = BDC^ ( hai góc tương ứng) (1)
A B
D C
b) ^ABD = BDC^ ( hai góc so le trong) ^
BAC = ^ACD ( hai góc so le trong)
Từ (1) => ^ABD = BAC^
Theo định nghĩa tam giác cân => ∆ AEBcân t iạ E => EA =EB
Câu 14: Hình thang cân ABCD ( AB// CD) , có góc C = 600, BD tia phân giác góc D
(25)a)Tính cạnh hình thang, biết chu vi hình thang 20 cm b) Tính diện tích tam giác BDC
Đáp án:a)Ta có: ^D = C^ = 600 Nên ^ADB = CDB^ = 600 : = 300 Suy ra: ^DBC = 900
Tam giác CBD vuông B có CDB^ = 300 A B
Nên BC =
1
2 DC hay 2AD = DC
∆ ADB cân A nên AD = AB
Từ suy chu vi hình thang 5AD D C
Vậy AD = AB = BC = 4cm, CD = 8cm
b)Vì tam giác BCD vuông B Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆ BDC : BD2 = DC2 – BC2 hay DB2 = 82 - 42 = 48
BD = √ 3 cm
Diện tích tam giác BDC là: 124 √ 3 = 8 √ 3 cm2
Diện tích tam giác BCD là: 12 4 √ 3 = √ 3 cm2
Câu 15: Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB lấy điểm E, cạnh CD lấy điểm F cho AE = CF
Chứng minh rằng: a DE = BF
b Tứ giác: AECF hình bình hành c Tứ giác: BEDF hình bình hành
Đáp số: a Chứng minh AEDCFB( c – g – c ) => DE = BF ( cạnh tương ứng)
b.Chứng minh ; AE // CF AE = CF
=> AECF hình bình hành c EB // DF EB = DF
=> BDEF hình bình hành
Câu 16: Cho hình bình hành ABCD có Â = 1200 Đường phân giác góc D qua trung điểm M cạnh AB
a Chứng minh rằng: AB = 2AD
b Vẽ AH CD Chứng minh DM = 2AH.
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
A
B
C D
E
F
A M B
120
(26)c Chứng minh DAAC
Đáp số:
a Chứng minh: ADMˆ AMD => AMD cân, => AD = AM = ½ ABˆ hay AB = 2AD
b Gọi N trung điểm CD K giao điểm DM AN
ADN Dó DK AN AH = DK ( đường cao tam giác đều bằng nhau)
DM = 2DK = 2AH
b Chứng minh NACˆ (1800 ANCˆ ) :2 30 => DACˆ DANˆ NACˆ 900 hay DAAC
Câu 17: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB Kẻ CE vng góc với AB Gọi M trung điểm AD Nối EM, kẻ MF vng góc với CE F, MF cắt BC N a, Tứ giác MNCD hình gì?
b Tam giác EMC tam giác gì?
Đáp án:
a)MN // CD MD // NC => MNCD hình bình hành b)MF đường trung trực CE => MC = ME
MCE tam giác cân
Câu 18 Cho tam giác ABC cân A có M trung điểm BC N trung điểm AC Trên MN lấy I cho N lad trung điểm MI
A, So sánh MI với AB AC
B, Chứng minh tứ giác AICM hình chữ nhật
Đáp án:
a.Ta có MI = 2MN(gt)
AB = 2MN (tính chất đường trung bình)
MI = AB
Mà AB=AC MI = AC.
b Tứ giác AICM có hai đường chéo AC MI cắt M (1)
Mặt khác NA = NC(gt) NM = NI(gt) (2)
A B
C E
M
F N
(27) Tứ giác AICM hình bình hành.(3)
Lại có AC=MI(cmt) (4)
Từ (3) và(4) Tứ giác AICM hình chữ nhật.
Câu 19 Cho tam giác ABC vng A có đường trung tuyến AD Kẻ DH//AC DK//AB( H AB; K AC) Chứng minh:
a H trung điểm AB, K trung điểm AC b Tứ giác AHDK hình chữ nhật
Đáp án:
a.Ta có DB=DC DH//AC nên DH qua trung điểm cạnh AB mà H thuộc AB nên H trung điểm AB
Tương tự ta có K trung điểm AC b.Ta có DH//AK
DK//AH
Tứ giác AHDK hình bình hành(Tứ giác có các
cạnh đối song song) (1) Mặt khác A 900(gt) (2)
Từ (1),(2) Tứ giác AHDK hình chữ nhật
( Hình bình hành có góc vng)
Câu 20.Cho hình chữ nhật ABCD điểm E đường chéo AC Trên tia đối EB lấy điểm F cho EF=BE Gọi M, N hình chiếu F hai đường thẳng AD, DC Chứng minh:
a.DF //AC, MN//BD
b.Ba điểm E,M,N thẳng hàng
Đáp án:
Â.Ta có OE đường trung bình BDF
OE//DF suy AC//DF OAD FDM (1)
Dễ dàng có OAD cân OAD ODA (2)
Tượng tự FDM NMD(3)(Do DNFM hình chữ
nhật)
Từ (1),(2),(3) suy NMD ODA vị trí đồng vị
nên MN//BD
b.Gọi I giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật DNFM
I trung điểm DF
IE đường trung bình tam giác BDF IE//BD.
(28)F E A B C M N D M,N,E thẳng hàng
Câu 21: Cho ABC vuông A M trung điểm BC Kẻ MH ¿ AC; MK ¿ AB
Chứng minh: AKMH hình chữ nhật Từ suy ra: AM = HK Đáp án:
Tứ giác AMDN có: ∠ A =∠H =∠ K =900 nên hình chữ nhật Suy ra: AM = HK (tính chất đường chéo hcn)
Câu 22
Cho vuông A, D trung điểm BC Gọi M điểm đối xứng với D qua AB, E giao điểm DM AB Gọi N điểm đối xứng với D qua AC, F giao điểm DN AC
a) Tứ giác AEDF hình gì? Vì sao? Đáp án:
AEDF hình chữ nhật
vì Â = 900, ABDM E nên Ê = 900, tương tự ACDN F nên F 900
Câu 23: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BM CN cắt I Gọi H trung điểm IB, Klà trung điểm IC
a) chứng minh tứ giác MNHK hình bình hành
b) Tam giác ABC có điều kiện tứ giác MNHK hình chữ nhật? ĐÁP ÁN
a) HI = IM ( = BI)
KI = IN (= CI)
Nên MNHK hbh b) hbh MNHK hình chữ nhật ⇔ HM = KN
⇔ IM = IN IB = IC, lại có NIB = MIC
⇔ INB = IMC (c.g.c)
⇔ BN = CN
(29)⇔ AB = AC
⇔ ABC cân A
Câu 24: Cho đoạn BC cố định, điểm A chuyển động đường thẳng d song song với BC cách BC 3cm, Trọng tâm G tam giác ABC chuyển động đường nào?
Đáp án:
G chuyển động đường thẳng m song song với BC cách BC 1cm
Bài khó so với phần vận dụng, nên cho vào phần định lý Talet
Câu 25: Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển cạnh BC Kẻ MD song song với AC, ME song song với AB ( DAB, EAC), Trung điểm I DE chuyển động đường
nào?
Đáp án:
ADME hình bình hành nên trung điểm I DE cũng trung điểm AM Gọi P, Q theo thứ tự trung điểm AB, AC
IP // BC, IQ // BC nên P, I, Q thẳng hàng
Do I chuyển động đoạn thẳng PQ (trừ P Q)
Câu 26: cho tam giác ABC cân A Các điểm D, E theo thứ tự chuyển động cạnh AB, AC cho AD = CE Trung điểm I DE chuyển động đường nào?
(30)Kẻ EK // AB Ta cóEKC^ =B^ =C^ nên tam giác EKC cân E, suy
EK = EC = AD Tứ giác ADKE có AD// EK, AD=EK nên hình bình hành, I trung điểm AK I chuyển động đường trung bình PQ tam giác ABC
Câu 27: Cho đoạn thẳng AB Kẻ tia Ax bất kì, lấy điểm C, D, E Ax cho AC = CD = DE Qua C D kẻ đường thẳng song song với EB cắt AB M N Chứng minh:
a) AM = MN; b) AM = 1/3AB Đáp án:
a) Vẽ hình 0,25đ
Xét tam giác AND, có CA=CD, CM//DN 0,25đ
=> AM = MN 0,25đ
b) Xét hình thang BMCE, có CD=DE, DN//CM//BE
=> MN = NB
0,25đ
=> AM=MN=NB => AM = 1/3AB 0,25đ
Câu 28: Cho điểm A nằm ngồi đường thẳng d có khoảng cách đến d 2cm Lấy điểm B thuộc đường thẳng d Gọi C điểm đối xứng với A qua điểm B
a) Chứng minh C cách d khoảng 2cm;
b) Khi điểm B di chuyển đường thẳng d điểm C di chuyển đường ? Đáp án:
a) Vẽ hình 0,25đ
Gọi H K chân đường vng góc hạ từ A C xuống đường thẳng d => AH=2cm
0,25đ
Chứng minh ABH = CBK => CK = AH = 2cm
0,25đ
b) Vì CK = 2cm => C di chuyển đường thẳng b // d cách d khoảng 2cm (b nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d không chứa A)
0,5đ
(31)a) Tính khoảng cách từ điểm C đến tia Ox;
b) Khi điểm B di chuyển tia Ox điểm C di chuyển đường ?
a) Vẽ hình 0,25đ
Gọi H chân đường vng góc hạ từ C xuống tia Ox => CH//OA
0,25đ
Chứng minh CH đường trung bình AOB
=> CH =1/2 OA => CH = 1,5cm
0,25đ
b) Vì CH = 1,5cm => C di chuyển đường thẳng song song với Ox cách Ox khoảng 1,5cm
0,25đ
Giới hạn: Khi B trùng với O C trùng với D (D trung điểm OA)
Vậy điểm B di chuyển tia Ox điểm C di chuyển tia Dz song song với tia Ox cách tia Ox khoảng 1,5cm
Câu 30: Chứng minh
a) Hai đường chéo hình thoi hai trục đối xứng hình.
b) Giao điểm hai đường chéo hình thoi tâm đối xứng hình.
Đáp án:
a) Gọi O giao hai đường chéo AC BD hình thoi ABCD Nên AC
BD, B,D đối xứng với chính qua BD, AB đối xứng với CB, AD đối xứng với CD qua BD.Suy BD trục đối xứng hình thoi ABCD
CMTT ta có AC cũng trục đối xứng hình
b) Hình bình hành nhận giao điểm đường chéo làm tâm đối xứng, hình thoi hình bình hành
Câu 31: Từ đỉnh B hình thoi ABCD kẻ đường thẳng vng góc BK BM xuống đường thẳng AD DC Chứng minh BD tia phân giác góc KBM
Đáp án:
O
A C
B
(32)Đáp án:
ABK = CBM (c/h-g/n) => ^
ABK =^CBM
= (T/C hình thoi)
Suy ra: Tia BD nằm góc KBM nên BD pg góc
KBM
Câu 32: Tứ giác ABCD có Gọi E, F, M, N theo thứ tự
trung điểm AB, CD, BD, CD Tính:
a) ^EFD
b) ^EFC
Đáp án:
a) Vì E,N trung điểm AB,AC nên EN đường tb tam giác ABC EN//BC,EN= 12 BC
CMTT:ME//AD;ME= AD
^
CBD
^
ABD
^
ABD−^ABK =^CBD−^CBM
^KBD=^MBD
^
C=400 ; ^D=800
;AD=BC
(33)FN//AD;FN= 12 AD
MF//BC;MF= 12 BC
Mà AD=BC nên ME=EN=NF=FM Suy MENF hình thoi
=>FE phân giác góc MFN
=>
=>
=>
Câu 33: Cho hình thoi ABCD, gọi O giao điểm hai đường chéo Vẽ đường thẳng qua B song song với AC, vẽ đường thẳng qua C song song với BD, hai đường thẳng cắt K
a) Chứng minh AB=OK.
b) Tứ giác ABKO hình gì? Vì sao?
Đáp án:
K
D O C ^
EFN =1
2^MFN
^
NFC=^ADC=800
^MFD=^BCD=400
^MFN=1800−(^NFC−^MFD)=600
^
EFN =1
260
=300
^
EFC=^NFC +^EFN =1100; ^EFD=700
(34)a) Ta có BK//OC (gt); BO//CK(gt)
⇒ OBKC hình bình hành mà BOC^ =900 (vì ABCD hình thoi) ⇒ OBKC hình chữ nhật ⇒ BC=OK (1)
vì ABCD hình thoi ⇒ AB=BC (2)
Từ (1), (2) ⇒ OK=AB ⇒ Đ pcm
b) Ta có OBKC hình chữ nhật (c.m.câu a) ⇒ BK=OC
vì O giao điểm hai đường chéo hình thoi ABCD nên OA=OC
⇒ BK=OA mà OK=AB (c.m.câu a) ⇒ tứ giác ABKO hình bình hành
Câu 34: Cho hình bình hành ABCD có BC=2AB ^A =600 Gọi E, F theo thứ tự trung điểm BC, AD
a) Chứng minh tứ giác ECDF hình thoi. b) Chứng minh tam giác AED tam giác vuông
Đáp án:
a) Vì E trung điểm BC(gt) ⇒ EC=1/2BC (1) Vì F trung điểm AD(gt) ⇒ FD=1/2AD (2)
Mà tứ giác ABCD hình bình hành (gt) ⇒ BC=AD (3)
Từ (1),(2),(3) ⇒ EC=FD
Ta lại có BC//AD(cạnh đối hình bình hành)
Mà E ∈ BC; F ∈ AD ⇒ EB//FD tứ giác ECDF hình bình hành (4)
Mặt khác BC=2AB=2CD ⇒ CD=1/2BC =EC (5)
C E
B
A F D
(35)Từ (4),(5) ⇒ ECDF hình thoi ⇒ Đpcm
b) Vì ECDF hình thoi (c.m.câu a)
⇒ EF=FD AF=FD=1/2AD ⇒ AF=FD=EF=1/2AD
⇒∆ AED vuông E ⇒ Đpcm
Câu 35:Cho tam giác ABC, phân giác AD Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB E, qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC F
a) Chứng minh :EF tia phân giác góc AED b) Nếu cho AE= 5cm; AD=8cm Tính EF?
Đáp án:
Ta có DF//AE(gt), DE//AF(gt) nên tứ giác AEDF hbh
Hbh AEDF có AD phân giác góc EAF nên tứ giác AEDF hình thoi
Do EF phân giác góc AED
EF vng góc với AD O (T/c đường chéo hình thoi)
Xét tam giác vng AOE có OA2
+OE2=AE2 (đl Pi-ta-go )
⇒ OE= AE2 AO2 =
√52−42 =
√25−16 = √9 =3 EF = 2OE=2.3=6cm
Câu 36: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD Gọi P, Q theo thứ tự trung điểm AB, CD Gọi H giao điểm AQ DP, gọi K giao điểm CP BQ Chứng minh PHQK hình vng
Đáp án:
A
E O
F
(36)
K H
Q P
A B
D C
Có: APQD BCQP hình vng, suy PHQK hình chữ nhật mặt khác HP = HQ hình chữ nhật PHQK có hai cạnh kề nên hình vng
Câu 37: Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh BC Qua M dựng đường thẳng song song với AB cắt AC D, qua M dựng đường thẳng song song với AC cắt AB E
a) Tứ giác ADME hình gì? Vì ?
b) Tìm điều kiện tam giác ABC vị trí điểm M để tứ giác ADME hình vng
Đáp án :
D E
A
B C
M
a) AD// ME AE//DM nên ADME hình bình hành
b) Để ADME hình vng thì: {ADME làhìnhchữ nh tADMElà hìnhthoiậ
Khi {M giao mể c aủ tia phân giác góc A v i^A=90 ° ớ BC
Vậy với tam giác ABC vuông A M giao điểm tia phân giác góc A với BC tứ giác ADME hình vng
Câu : Cho hình vng ABCD Các điểm E, F cạnh BC, CD cho
^
EAF = 45o Trên tia đối tia DC lấy M cho DM = BE Chứng minh rằng:
a) ∆ ABE = ∆ ADM, ^MAF = 45o
(37)Đáp án:
45
B
C A
D
E
M
F
a) ∆ ABE = ∆ ADM (c.g.c)
¿> ^BAE=^DAM ¿> ^MAE = 90o
Do đó: ^MAF = 45o
b) ∆ AEF = ∆ AMF (c.g.c) ¿>¿ EF = MF EF = MD+DF =BE+DF
Chu vi(CEF) = CE +EF+CF= CE+BE+DF+CF
= BC + CD = 12chu vi( ABCD)
Câu 39: Cho hình vuông ABCD M thuộc đường chéo AC Vẽ ME vuông góc AD E, MF vng góc CD F Gọi N giao điểm ME BC Chứng minh rằng:
a) MEDF hình chữ nhật, MFCN hình vng b) ∆ ABE = ∆ DAF , BE AF
Đáp án:
K
B
C A
D
M
F E
N
a) Tứ giác MEDF có ^MED =90o, ^MFD =90o, ^EDF =90o nên hình chữ nhật
(38)b) ∆ ABE = ∆ DAF (c.g.c) Gọi K giao điểm AF BE
^
EAK + ^AEK = ^ABE + ^AEK = 90o
¿>∆ KEA vuông t iạ K
Câu 40: Cho tam giác ABC vuông A ( AC>AB) Trên tia đối AB lấy điểm M, tia đối AC lấy điểm N cho BM = CN (= a) Gọi D,E,P,Q trung điểm BC, MN, MC, BN Hỏi tứ giác DPEQ hình gì?
Q
P E
D
N
M
C B
A
A: Hình chữ nhật B: Hình thoi C: Hình vng D: Đáp án khác
Đáp án: C: Hình vuông
Câu 41: Cho tam giác ABC vuông A TrênBC lấy điểm M, từ M kẻ MH // AC ( H thuộc AB)
MK // AB ( K thuộc AC)
a) Tứ giác AHMK hình gì?
(39)Đáp án: a)Ta có MH // AC MH // AB suy Tứ giác AHMK hình bình hành (1)
Lại có A= 900 (2)
Từ (1) (2) => Tứ giác AHMK hình chữ nhật
b) Tứ giác AHMK hình vng => AM phân giác A => Khi AM
phân giác A hay M chân đường
phân giác A Tứ giác AHMK
hình vng
K
H M
C B
A
Câu 42: Cho tứ giác ABCD có C + D = 1800 AD = BC Gọi M,N,I,K thứ tự trung điểm AB, AC, CD, BD
Chứng minh rằng: Tứ giác MNIK hình vng
Đáp án:
Ta có AM = MB (gt) AN = NC (gt) => MN đường trung bình tam giác ABC =>
MN // =
1
2 BC.
Tương tự ta có KI // =
1
2 BC Và MK =
2 AD =
1
2 BC
Nên suy Tứ giác MNIK hình thoi (1)
Mặt khác Vì C + D = 1800=> AD ¿ BC mà MN // BC MK // AD từ suy MN ¿ MK
(2)
Từ (1) (2) => Tứ giác MNIK hình vng
(40)A B
C D
x
x E
F G
Câu 43: Cho hình vẽ có AB = 70cm ; BC = 40cm Diện tích đa giác AEGFCD 2400 cm2 Tìm x.
Ta có SABCD = 40.70 = 2800(cm2)
SEBFG = x2
SABCD = SEBFG + SAEGFCD
SEBFG = SABCD – SAEGFCD x2 = 2800 – 2400 = 400 x = 20 (cm)
Câu 44 Cho tam giác ABC cân A Các phân giác góc B C cắt AB AC M N Chứng minh: BMNC hình thang
Đáp án:
Chứng minh MCB = NBC ( g.c.g)
suy MB = NC, lại chứng minh MA = NA => AMN cân A Cm góc AMN = góc ABC => MN // BC
suy : BMNC hình thang
IV VẬN DỤNG CAO.
Câu 1:Tứ giác ABCD có AC tia phân giác góc A, BC = CD, AB < AD
a) Lấydiểm E trêncạnh ADsaocho AE = AB Chứng minh rằngABCAEC b) Chứng minh rằngBˆDˆ =1800 C
(41)A E D
Đápán: a) ABCAEC( c - g – c) nên ˆBAEC (1)A
b) ABCAECsuyra BC= CE mà BC = CD nên CE = CD
SuyraDˆ CED(2)
Ta lạicó AEC CED 1800
nêntừ (1) (2) suyraBˆDˆ =1800
Câu 2:Tứgiác ABCD cóCˆ Dˆ =900 Chứng minh rằng: AC2 + BD2 = AB2 + CD2 Đápán: Gọi O làgiaođiểmcủa AD BC ta cóCˆDˆ =900nênO ˆ 900
ÁpdụngđịnhlýPy –ta –go, ta có AC2 = OA2 + OC2 ; BD2 = OB2 +OD2
Nên AC2 + BD2 = ( OA2 + OB2) + ( OC2 + OD2 ) = AB2 + CD2
O B
A
D C
Câu 3:Cho tứgiác ABCDcóA Bˆ ˆ 500
Cáctiaphângiáccủacácgóc C D cắtnhautại O
vàgóc COD = 1150..Tínhcácgóc Avà B.
Đápán: Ta tínhđượcCˆ Dˆ 1300
, đóAˆBˆ2300 ta lạicóA Bˆ ˆ 500 TừđóA ˆ 1400 ,
0
ˆ 90
B
B
A
O
(42)Câu
Chứng minh tứ giác tổng đường chéo lớn cạnh đối
Gọi tứ giác ABCD
Giao điểm đường chéo AC DB O Có OA+OD>AD (BĐTTG)
CMTT có OB+OC>BC => AD+BC<DB+AC
Câu Cho tứ giác ABCD, AB + BD ≤AC + CD Chứng minh AB < AC Đáp án
Vẽ tứ giác, tổng hai đường chéo lớn tổng hai cạnh đối nên AB + CD < AC + BD (1)
AB + BD ≤ AC + CD (2)
Cộng vế với vế (1) và(2) suy : 2AB + CD + BD <2AC + BD +CD → AB < AC
Câu Đố em tìm thấy vị trí “kho báu” hình 11, biết “kho báu” nằm giao điểm đường chéo tứ giác ABCD, đỉnh tứ giác có toạ độ sau : A(3 ; 2), B(2 ; 7), C(6; 8), D(8 ; 5)
(43)Vẽ tứ giác ABCD đường chéo AC, BC cắt H(5 ; 6) Đó chính vị trí “kho báu”
Câu 7: Cho tam giác vuông cân A BC = 2cm Vẽ tam giác ACE vuông cân E ( E, B khác phía AC)
a) CMR tứ giác AECB hình thang vng b) Tính góc cạnh tứ giác AECB Đáp án:
a) AE // BC, E = 900 nên AECB hình thang vng
b) Ta có = = 900 = 450 = 1350
Đặt AB = AC = x, ta có 2x2 = 4=> x2 = => x = 2 Đặt AE = EC = y , ta có 2y2 = x2 = nên y2 = 1, y = 1. AB = cm, AE = EC = 1cm
Câu 8: Hình thang ABCD ( AB//CD) có AB = 2cm, CD = 5cm CMR AD + BC > cm Đáp án:
kẻ BE// AD AD = BE, DE = AB =2cm => EC = 3cm
Xet tam giác BEC: BE + BC > EC = 3cm => AD + BC > 3cm
Câu 9: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có tia phân giác góc A D gặp I thuộc cạnh BC chứng minh AD nửa tổng hai đáy
Đáp án:
A
C y
x E
y x B
A B
E
(44)Ta có : A1 + D1 = 900 Gọi E giao điểm AI DC. Tam giác ADE cân ( đường p/g DI đường cao) Nên AI = IE, AD = DE
AIB = EIC ( c.g.c) nên AB = EC Do AD = DC + CE = DC + AB ( ĐPCM)
Câu 10 Hình thang ABCD ( AB // CD ) có E trung điểm BC, góc AED = 900 Chứng minh DE tia phân giác góc D
Đáp án:
Gọi K giao điểm AE DC, chứng minh tam giác ABE = tam giác KCE (g.c.g)
=> AE = EK tam giác ADK cân, góc CDE = góc EDA
hay DE tia phân giác góc D
Đáp án:
Gọi K giao điểm AE DC, chứng minh tam giác ABE = tam giác KCE (g.c.g)
2
2
D
C
E D
(45) AE = EK
DE đường trung tuyến tam giác ADK
Mà DE ┴ AK
DE đồng thời đường cao tam giác ADK
tam giác ADK cân D
DE đồng thời tia phân giác góc D
Câu 11.Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có tia phân giác góc A D gặp I thuộc cạnh BC chứng minh AD tổng hai đáy
Đáp án:
Ta có : A1 + D1 = 900 Gọi E giao điểm AI DC.
Tam giác ADE cân ( đường p/g DI đường cao)
Nên AI = IE, AD = DE
AIB = EIC ( c.g.c) nên AB = EC
Do AD = DC + CE = DC + AB
Câu12.Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có CD = AD + BC Chứng minh giao điểm đường phân giác góc A góc B nằm CD
(46)Gọi M giao điểm tia phân giác góc A với CD Ta chứng minh MB phân giác góc B
Ta có góc AMD = góc MAD ( = góc MAB)
do tam giác DAM cân => DA = DM
Kết hợp với giả thiết CD = AD + BC Suy CM = BC => tam giác BCM cân
nên góc DMA = góc MBC
Lại có góc BMC = góc MBA ( so le trong) nên góc CBM = góc MBA
Vậy BM tia phân giác góc B
Đáp án:
Gọi M giao điểm tia phân giác góc A với CD Ta chứng minh MB phân giác góc B
Ta có góc AMD = góc MAD ( = góc MAB)
do tam giác DAM cân => DA = DM
Kết hợp với giả thiết CD = AD + BC Suy CM = BC => tam giác BCM cân
(47)Lại có góc BMC = góc MBA ( so le trong) nên góc CBM = góc MBA
Vậy BM tia phân giác góc B
Câu 13: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD) Chứng minh AB + CD < AC
Đáp án: Gọi O giao điểm AC BD ∆ OAB có AB < AO+ OB
∆ OCD có CD< OD + OC Do : AB + CD < AO + OC + OD+ OB
AB + CD < AC + BD A B
Mặt khác: AC = BD( ABCD hình thangcân)
Vậy: AB + CD < AC
D C
Câu 14: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) có C^ < ^D .
Chứng minh rằng: AC > BD Đáp án:
Vẽ tia Cx nằm nửa mặt phẳng bờ CD Có chứa A cho: ^DCx = ^ADC , Cx
cắt AB E
Suy :AEDC hình thang cân Suy ra: AC = ED, ^DAE = CEA^
Mà: ^DBE > ^DAE CEA^ > ^DEB
nên ^DBE > ^DEB => ED > BD hay AC >BD x
A B E
D C
Câu 15: Tính chiều cao hình thang cân ABCD, biết cạnh bên AD = 5cm, cạnh đáy AB =6 cm, CD = 14 cm
Đáp án:Kẻ AH CD, BK CD AH// BK nên hình thang ABKH có cạnh bên sog song
(48)Áp dụng nhận xét hình thang có cạnh bên song song vào hình thang ABKH, ta
AH = BK, AB = HK = 6cm
Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác ADH vuông H
AD2 = DH2 + AH2 hay 52 = 42 + AH2 A B
AH2 = 32 suy AH = 3cm ( AH > 0)
D H K C
Câu 16: Cho hình bình hành ABCD Qua đỉnh A kẻ đường thẳng song song với đường chéo BD cắt tia CB CD E F Chứng minh đường thẳng AC, DE BF đồng quy
Đáp án:
Chứng minh: A trung điểm EF B trung điểm EC D trung điểm CF Tam giác CEF cân C
Tam giác CBD cân C,
ˆ ˆ
CFA = CDB( Đồng vị).
A thuộc EF
=> AC, DE BF đồng quy
Câu 17: Cho tam giác ABC M điểm nằm tam giác Gọi E, F, G, I, K, T thứ tự trung điểm đoạn thẳng AB, BC, CA, MA, MB, MC
Chứng minh đoạn thẳng ET, FI, GK đồng quy
A
B
C D
E
F
A
B
C
.
M
E
T
I
F
(49)Đáp số: ET, IF đường chéo hình bình hành EITG (1) ET, KG đường chéo hình bình hành EKTG (2) Từ (1 ) , (2) => ET, FI, GK đồng quy
Thẩm định: Thay đáp số =Đáp án phải giả chi tiết Và cần vẽ lại hình Ở điều (1) phải hình bình hành EITF
Câu 18: Cho hình bình hành ABCD đường thẳng d nằm ngồi hình bình hành Gọi A’, B’, C’, D’ hình chiếu điểm A, B, C ,D lên đường thẳng d Chứng minh AA’ + CC’ = BB’ + DD’
Đáp số: Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Hạ OO’ vng góc với d O trung điểm AC
OO’ đường trung bình cuả hình thang AA’C’C => OO’ = (AA’ + C’C):2 Tương tự, OO’ đường trung bình hình thang BB’D’D nên
OO’ = ( BB’ + D’D):2
=> AA’ + CC’ = BB’ + DD’
Thẩm định: Thay đáp số =Đáp án phải giả chi tiết
Câu 19 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD, CE Gọi H,K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ tưg B,C đến DE Chứng minh EH=DK
Đáp án:
Gọi M trung điểm BC, I trung điểm DE Vì BEC vng E, EM đường trung tuyến nên
2
BC EM
Tương tự, BDC vuông D, DM
đường trung tuyến nên
BC DM
EM=DM DO MDE cân M. MI vng góc DE
Hình thang BHKC có BM=MC, MI//BH//CK nên IH=IK
A
B
C D
d
A’
D’ C’ B’
o
(50)Do IH-IK=IK-ID, tức EH = DK
Câu 20.Cho tam giác ABC cân A(AB>AC) Từ điểm đáy BC hạ MPAB; MQAC Chứng Minh MP+MQ không phụ thuộc vào vị trí M BC.
Đáp án
Trên tia đối tai MQ lấy E cho MP=ME Hạ BFAC
Ta có BMP QMC (cùng phụ với hai góc đáy tam giác cân ABC)
Mà BME QMC ( đối đỉnh)
BMP BME
Do BPM = BEM(c.g.c) có: BM cạnh chung
BMPBME
PM=EM(cmt)
BEM BPM 900nên BEQF hình chữ nhật. Do EQ = BF hay MP+MQ= EM+MO = EQ MP+MQ=BF
Mà BF đường cao vẽ từ B tam giác ABC nên MP+MQ không đổi
Câu 21 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, đường trung tuyến AM a.Chứng minh HAB MAC 900
b.Gọi D,E theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ H đến AB,AC Chứng minh AM vng góc DE
(51)a.Ta có A1 C (cùng phụ với HAC )
AM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ABC AM=MC
A2 C
A2A1
b.Gọi O giao điểm AH DE, I giao điểm AM DE, AHDE hình chữ nhật OA=OE
E1OAE (1)
Ta lại có AHC vuông C OAE 900 (2) Theo câu a ta có C A (3)
Từ (1),(2),(3) suy E1A2 900
Suy AIE 900, tức AMDE
Câu 22: Cho tam giác ABC vuông A, có AD đường trung tuyến ứng với cạnh BC ( D
¿ BC) Biết : AB = cm, AC = cm
a) Tính AD ?
b) Kẽ DM ¿ AB, DN ¿ AC Chứng minh tứ giác AMDN hình chữ nhật.
Đáp án:
a) Tính AD
(52)BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 36 + 64
BC2 = 100
⇒ BC = 10 cm
Vì AD đường trung tuyến ứng với cạnh BC
⇒ AD =
1
2 BC =
2 10 = cm.
b) chứng minh: AMDN hình chữ nhật Xét tứ giác AMDN
M ^A D=900 ( Vì Δ ABC vuông A) A ^M N =900 ( Vì DM ¿ AB)
A ^N D=900 (DN ¿ AC)
Vây AMDN hình chữ nhật Câu 23:
Cho Δ ABC Gọi D, M, E theo thứ tự trung điểm AB, BC, CA a) Chứng minh tứ giác ADME hình bình hành
b) Tam giác ABC có điều kiện tứ giác ADME hình chữ nhật ?
c) Khi M di chuyển cạnh BC trung điểm J AM di chuyển đường ? Đáp án:
a) DM đường trung bình ABC
DM // AC
ME đường trung bình ACB
ME // AB
ADME hình bình hành
b) Nếu ABC có A = 900 tứ giác ADME hình chữ nhật
c) Khi M di chuyển cạnh BC trung điểm J di chuyển đường trung bình tam giác ABC
Câu 24: Cho tam giác ABC vuông A M,N,P trung điểm AB, AC, BC a, Chứng minh : Tứ giác BMNP hình bình hành
J
B
A
C M
(53)b, Chứng minh : Tứ giác AMPN hình chữ nhật
c, Vẽ Q đối xứng với P qua N, R đối xứng với P qua M Chứng minh R,A,Q thẳng hàng Đáp án: O 4 3 2 1 A B C R Q M P N
a) Ta có M trung điểm AB N trung điểm AC
=>
1
MN BC MN BP
MN BP MN BC
=>MBNP hình bình hành
b) Ta có MP đường trung bình tam giác ABC => MP//AC => MPAB Ta có PN đường trung bình tam giác ABC => PN//AB => PN AC
AMPN hình chữ nhật (có góc vng)
c)Ta có
R 90 PM M M
R đối xứng với P qua AB=>A1 A2 (1)
Ta có 900
NP NQ N
Q đối xứng với P qua AC=>A3 A4 (2)
Ta có RAQ A 1A 2A3A 2A 22A3 2BAC 2.900 1800
Vậy R,A,Q thẳng hàng
Câu 25: Cho đoạn thẳng AB, Điểm M chuyển động đoạn thẳng Vẽ phía AB tam giác AMC, BMD Trung điểm I CD chuyển động đường nào?
(54)Gọi O giao điểm AC, BD tam giác OAB cố định OCMD hình bình hành nên I trung điểm OM
I chuyển động đường trung bình PQ
Câu 26: Cho đoạn thẳng AB, Điểm M chuyển động đoạn thẳng Vẽ phía AB tam giác AMC vuông cân C, BMD vuông cân D Trung điểm I CD chuyển động đường nào?
Đáp án:
Gọi O giao điểm AC, BD tam giác OAB cố định OCMD hình bình hành nên I trung điểm OM
I chuyển động đường trung bình PQ tam giác OAB
Câu 27: Cho góc vuông xOy cố định, điểm A cố định thuộc tia Ox, điểm B di chuyển tia Oy Vẽ tam giác ABC vuông cân A (C O nằm khác phía AB) Điểm C chuyển động đường nào?
(55)Hạ CH vuông góc với Ox Xét OAB HCA có AB=CA
OAB^ = ACH^ ( phụ với HAC^ )
OAB = HCA (cạnh huyền- góc nhọn) CH=OA
Vậy, B di chuyển tia Oy C thuộc tia Mz cách tia Ox khoảng OA
Câu 28: Cho góc vng xOy, điểm A tia Oy Điểm B di chuyển tia Ox Gọi C điểm đối xứng với A qua B Điểm C di chuyển đường ?
Đáp án:
Kẻ CH vng góc với Ox H 0,25đ
AOB = CHB (ch-gn) => CH = AO
0,25đ
Đặt OA = h => CH = h
=> C di chuyển đường thẳng song song với Ox cách Ox khoảng h
0,25đ
Giới hạn: Khi B trùng với O C trùng với K (K đối xứng với A qua O)
Vậy điểm B di chuyển tia Ox điểm C di chuyển tia Km song song với Ox cách Ox khoảng h
0,25đ
Câu 29: Cho tam giác ABC, đường cao AH = 2cm, M điểm cạnh BC Gọi I trung điểm AM
a) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng BC;
b) Khi M di chuyển cạnh AB điểm I di chuyển đường ? Đáp án:
a) Kẻ IK vng góc với BC K => IK đường trung bình AMH
0,25đ
(56)b) Vì IK = 1cm => I di chuyển đường thẳng song song với BC cách BC khoảng 1cm
0,25đ
Giới hạn: Khi M trùng B I trùng P (P trung
Điểm AB Khi M trùng C I trùng Q (Q trung điểm AC) => Khi M di chuyển cạnh BC I di chuyển đoạn thẳng PQ đường trung bình ABC
0,25đ
Câu 30: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển đoạn thẳng Vẽ phía AB tam giác AMD, BME Trung điểm I DE di chuyển đường ? Đáp án:
Gọi C giao điểm AD BE => ABC cố định
0,25đ
Chứng minh CDME hình bình hành 0,25đ
Chứng minh I trung điểm CM 0,25đ
Chứng minh I di chuyển đoạn thẳng PQ (P, Q theo thứ tự trung điểm AC BC)
0,25đ
Câu 31: Chứng minh trung điểm cạnh hình thoi đỉnh hình chữ nhật
Đáp án: +) Do M,N trung điểm cạnh AB,BC =>MN đường tb tam giác
ABC =>MN//AC ;MN= 12 AC
Tương tự PQ đường tb tam giác ADC=>PQ//AC ;PQ= 12
¿>¿ MNPQ hình bình hành
(57)Do ABCD hình thoi nên AC┴BD
=>MN MQ
=> MNPQ hình chữ nhật
Câu 32: Cho tam giác ABC Điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC cho
BD = CE Gọi I, K, M, N theo thứ tự trung điểm BE, CD, BC, DE
a) Tứ giác MINK hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh IK vng góc với tia phân giác At góc A Đáp án:
a)K,N trung điểm CD,DE =>KN
đường trung bình ∆CDE
=>KN//EC;KN=1/2 EC
CMTT ta có:
MK//BD;MK=1/2 BD
NI//BD;NI=1/2BD
MI//EC;MI=1/2 EC
Mà BD=CE nên MI=NI=KM=KN =>MINK hình thoi
b)Gọi G,H theo thứ tự giao điểm MN với AC,AB
Ta có:
MG//At=>IK ┴ At
Câu 33: Cho hình thoi ABCD cóA Đường thẳng MN cắt cạnh AB BC theo600 thứ tự M N Biết MB + NB độ dài cạnh hình thoi Chứng minh tam giác MND
A
H
I
N E
D
C G
K
M B
^
(58)Đáp án:
+) MB+BN=AB MB+AM=AB =>AM = BN
+) DMADNB c g c( ) DM DN ADM BDN &
+) ADM MDB MDB BDN 600 dpcm
Câu 34: Cho hình thoi ABCD, lấy đường chéo AC làm cạnh dựng hình bình hành ACEF, cạnh thứ hai CE có độ dài cạnh hình thoi Chứng minh B trực tâm tam giác DEF
Đáp án: (Hình vẽ khơng có ký hiệu điểm rõ ràng)
Lấy điểm K đối xứng với E qua điểm C ⇒ CE= CK
Vì ACEF hình bình hành ⇒ CE =AF ; CE// AF ⇒ CK=AF ; CK//AF
^DBN =1
2^ABC =60
0; AD=BD
F E
B
A O C
(59)⇒ AFCK hình bình hành ⇒ O trung điểm AC cũng trung điểm FK (1);
Do ABCD hình thoi ⇒ O trung điểm AC (2)
Từ (1),(2) ⇒ FBKD hình bình hành ⇒ BK//DF(3)
Mặt khác ta có BC=CK=CE ⇒ Tam giác KBE vuông B ⇒ KB ⊥ BE (4)
Từ (3); (4) ⇒ BE ⊥ DF, ta lại có BD ⊥ AC (t/c hình thoi)mà AC// EF (vì ACEF la hbh) ⇒ BD ⊥ EF ⇒ B giao điểm hai đường cao ∆≝⇒ B trực tâm ∆≝⇒ Đpcm
Câu 35: Cho tam giác ABC đều, H trực tâm, đường cao AD, M điểm cạnh BC Gọi E, F hình chiếu M AB AC, gọi I trung điểm AM; ID cắt EF K Chứng minh rằngba điểm M, K, H thẳng hàng (Hình vẽ khơng có ký hiệu điểm rõ ràng)
Đáp án:
Ta có ∆ MEA vng E có EI đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ⇒
EI=IA=IM= 12 AM ⇒∆ AIE cân I ⇒ ^EIM =2 ^EAM (t/c góc ngồi tam
giác)
C/m tương tự ta có ^MID = 2 ^MAD ; ID=
2 AM
Do EI=ID = 12 AM ⇒∆ EID cân I (1)
K H I
E
A
F
M D C
B
(60)Ta lại có
^
EID = ^EIM + ^MID =2 ^EAM +2 ^MAD =2( ^EAM + ^MAD )=2 ^EAD
=2.300=600 (2) Từ (1), (2) ⇒∆ EID ⇒ IE=ID=ED (3)
C/m tương tự ta có ∆ IDF ⇒ ID=IF=FD (4)
Từ (3),(4) ⇒ EI=IF=FD=DE ⇒ tứ giác EIFD hình hình thoi
⇒ K trung điểm EF ID
Gọi N trung điểm AH mà ∆ ABC H trực tâm ⇒ AN=NH=HD; ta có I trung điểm AM(gt); N trung điểm AH (cách dựng) ⇒ IN đường trung bình ∆ AHM⇒ IN//MH(5)
Mặt khác lại có H trung điểm ND; K trung điểm ID (c.m.t)
⇒ HK đường trung bình ∆ DNI⇒ KH//IN (6)
Từ (5),(6) ⇒ M, H, K thẳng hàng ⇒ Đ pcm
Câu 36:Cho tam giác ABC có AB<AC, cạnh AB AC lấy hai điểm E D cho BE=CD Gọi Q N trung điểm EC BD,AK phân giác góc BAC.Chứng minh AK vng góc với NQ
Đáp án: (Hình vẽ khơng có ký hiệu điểm rõ ràng)
S A
T
E P
D
Q
C B
N
(61)Gọi P,M trung điểm ED BC Ta có NP đường trung bình ∆ EDB⇒ NP//=1/2EB (1)
Tương tự ta có QM//=1/2EB ⇒ NP//=QM ⇒ MNPQ hình bình hành(2)
Ta lại có PQ đường TB ∆ EDC⇒ PQ //=1/2CD EB=CD (gt)
⇒ PQ=1/2EB (3)
từ (1), (3) ⇒ NP=PQ (4) từ (2),(4) ⇒ MNPQ hình thoi ⇒ PM ⊥ NQ, giả sử MP cắt AC AB T S ta có NP//BE (t/c đường TB) ⇒ NP//AB
⇒ ^AST = ^NPM (đồng vị) (5)
Lại có NM// DC (t/c đường TB) ⇒ NM//AC ⇒ ^ATS = ^NMP (đồng vị) (6), Mặt
khác NP= NM ( NPQM hình thoi) ⇒∆ PNM cân N
⇒ ^NPM = ^NMP (7); từ (5),(6),(7) ⇒ ^AST = ^AIS (8) ⇒∆ AST cân A mà ^
BAC = ^AST + ^ATS (t/c góc ngồi tam giác) (9) từ (8),(9) ⇒ ^BAC = 2 ^AST
Do BAK^ = ^KAC (t/c tia phân giác) ⇒ 2 KAC^ =2 ^ATS⇒ ^KAC = ^ATS , hai
góc vị trí so le ⇒ AK//MS hay AK//PM lại có PM ⊥ NQ (vì t/c hai đường chéo hình thoi) ⇒ NQ ⊥ AK ⇒ Đ pcm
Câu 37: Cho hình vuông ABCD điểm M,N,P,Q thuộc đường thẳng AB, BC, CD, DA cho MP NQ Chứng minh: NQ = MP
Đáp án:
A B
D
C K
H P
N M
(62)Để chứng minh MP = NQ ta vẽ thêm MH DC NK AD (H ∈ DC, K ∈ AD), Sau tìm cách chứng minh ∆ KNQ = ∆ HMP
từ suy ra: NQ = MP
Câu 38: Cho hình vng ABCD, phía hình vng dựng tam giác ABE cân E có góc đáy 15o chứng minh tam giác CDE đều.
Đáp án:
E
C
B D
A
I
Dựng ∆ IEB đều, I nằm ∆ CEB
Suy ^IBC = 15o ¿>¿ ∆ EBA = ∆ IBC (c.g.c) nên ^EAB=^ICB = 15o ¿>¿ ∆ IBC cân đỉnh I ¿>¿ BIC=150 °^
∆ EIC = ∆ BIC (c.g.c) ¿>EC=BC , ^ECI=^ICB nên ^ECB=30 °
Do ∆ CDE cân có: ^DCE=90 °−^ECB = 60o Vậy ∆ CDE
Câu 39: Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E tùy ý Tia phân giác góc CDE cắt BC K Chứng minh AE + CK = DE
Đáp án:
K B
C A
D
(63)Trên tia đối tia AB dựng điểm F cho AF = CK Ta chứng minh
∆ AFD = ∆ CKD (c.g.c) từ chứng minh ∆ EDF cân đỉnh E
¿>EF=DE=¿AE+AF=DE=¿AE+CK=DE
Câu 40: Cho hình vng ABCD M,N trung điểm cạnh AB, BC Gọi I giao điểm CM DN
Chứng minh rằng: AI = AD
Đáp án: Gọi P trung điểm DC, AP cắt DN H
Ta có PC = DC
Mặt khác AM =
2 AB ( Vì M trung điểm AB), AM = PC mà AM // PC (vì AB//DC) nên AMCP hình bình hành, suy ra: AP // MC
Δ DIC có: HP // IC DP = PC => DH = HI
Xét Δ BMC Δ CND
có : MB = NC (MB =
2 AB =
2 BC= NC )
MBC = NCD(= 900)
BC = DC
=> Δ BMC = Δ CND (c.g.c)
=>C1= D mà C1 + C 2= 900
=>D 1+ C 2=900=> Δ IDC vuông I
Lại có AP // MC, MC ¿ DN => AP ¿ DN => Δ ADI cân A ( Vì có
j
1 2
1
I
H
P
N M
D C
(64)AH vừa đường cao vừa trung tuyến), nên AI = AD (đpcm)
Câu 41: Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc CD Tia phân giác góc ABE cắt AD K
https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Cho hình bình hành ABCD Qua đỉnh A kẻ đường thẳng song song với đường