Các chuyênĐề ôn tập hè - Toán8 Năm học 2004 - 2005 Buổi 1 Chuyênđề I : Phân thức đại số A Kiến thức cơ bản 1, Phân thức đại số, tính chất cơ bản của phân thức đại số : * Định nghĩa : Phân thức đại số là biểu thức có dạng B A , trong đó A và B là các đa thức và B 0. ( A đợc gọi là tử thức ; B đợc gọi là mẫu thức). Mỗi đa thức cũng đợc coi nh một phân thức với mẫu thức bằng 1. * Hai phân thức bằng nhau : Hai phân thức B A = D C nếu A. D = B . C * Tính chất cơ bản của phân thức : B A = M.B M.A ( M là một đa thức khác 0) ; B A = N:B N:A ( N là một nhân tử chung khác 0) áp dụng tính chất : - rút gọn phân thức - Qui tắc đổi dấu : B A = B A hoặc - B A = B A = B A - Qui đồng mẫu thức của nhiều phân thức : Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung, tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức. Nhân cả tử thức và mẫu thức với nhân tử phụ của nó. 2, Phép cộng, trừ, nhân và chia các phân thức đại số 3, Biến đổi các biểu thức hữu tỉ thành phân thức đại số : Thực hiện các qui tắc tính cộng, trừ, nhân, chia các phân thức thì mọi biểu thức hữu tỉ đều đa đợc về dạng một phân thức đại số - Khi giải toán liên quan đến giá trị của một biểu thức phân ta phải đặt điều kiện : Biến chỉ đợc nhận các giá trị sao cho giá trị tơng ứng của mẫu thức khác 0 B Mộtsố bàI luyện tập Bài 1 : Cho biểu thức x10x2 x550 x 5x 10x2 x2x 2 2 + + + + + a) Tìm điều kiện của biến x để giá trị của biểu thức đợc xác định. b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1 . c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng - 2 1 . d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng -3. Bài 2 Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức đợc xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến: a) x 2x2 x 1x2x x 1 x 2 ++ b) 1x x4 1x 2x2 1x 1 1x x 2 + + + c) x6 x x6x 6x2 : x6x 6x 36x x 222 + + + Bài 3 : Cho biểu thức : M = + + x x x xx x 5 1. 25 10 5 5 5 2 a) Rút gọn M b) Tính giá trị của x để M = 20 1 x + 1 c) Tìm số nguyên x để giá trị tơng ứng của M là số nguyên. 1 Bài 4 : Cho biểu thức : A = x xx x x + + + + 2 1 6 5 3 2 2 a) Rút gọn A b) Tìm x để A > 0 c)Tìm x Z để A nguyên dơng. Bài 5 : Cho biểu thức : B = + + xx xx x 1 2 3: 32 5 352 2 2 a) Rút gọn B b) Tìm x để B = 2 1 x c) Tìm x để B > 0 Buổi 2 Chuyênđề 2 : Tứ giác A Kiến thức cơ bản 1, Tứ giác. * Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không nằm trên một đờng thẳng * Tổng bốn góc của một tứ giác bằng 360 0 2, Hình thang, hình thang cân. * Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. * Hình thang cân : - Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. - Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau - Trong hình thang cân, hai đờng chéo bằng nhau - Hình thang có hai đờng chéo bằng nhau là hình thang cân 3, Hình bình hành và các dạng đặc biệt của nó ( hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông) * Hình bình hành : - Tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi thoả mãn một trong các điều kiện sau 1. Có các cạnh đối song song. 2. Có các cạnh đối bằng nhau 3. Có các góc đối bằng nhau 4. Có hai cạnh đối song song và bằng nhau 5. Có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng. * Hình chữ nhật : Hình bình hành là hình chữ nhật khi và chỉ khi hình bình hành có: - Hai đờng chéo bằng - Một góc vuông. áp dụng vào tam giác : Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy. * Hình thoi : Hình bình hành là hình thoi khi và chỉ khi hình bình hành có : - Hai đờng chéo vuông góc - Mỗi đờng chéo là đờng phân giác của các góc hình thoi * Hình vuông vừa là hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi nên nó có tất cả các tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi. B Mộtsố bàI luyện tập Bài 1 : Điền các điều kiện theo mũi tên để đợc sơ đồ nhận biết các loại tứ giác : Sơ đồ nhận biết các loại tứ giác 2 Tứ giác Hình bình hành Hình thoi Hình chữ nhật Hình vuông Hình thang vuông Hình thang Hình thang cân Bài 2 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, BC. Cho Q là điểm đối xứng của P qua N. Chứng minh : a. PMAQ là hình thang. b. BMNC là hình thang cân. c. ABPQ là hình bình hành d. AMPN là hình thoi e. APCQ là hình chữ nhật Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, E là điểm đối xứng với M qua D. a.Chứng minh điểm E đối xứng với điểm M qua AB. b. Các tứ giác AEMC; AEBM là hình gì? Vì sao? c. Cho BC = 4cm. Tính chu vi tứ giác AEBM? d. Tam giác vuông ABC cần có điều kiện gì để AEBM là hình vuông? Bài 4 : Hình bình hành ABCD có AB = 2 AD ; E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. a. Các tứ giác AEFD ; AECF là hình gì? Vì sao? b. Gọi M là giao điểm của AF và DE , N là giao điểm của BF và CE . Chứng minh tứ giác EMFN là hình chữ nhật. c. Chứng minh các đờng thẳng AC, BD, EF, MN đồng qui. Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH, trung tuyến AM. a) So sánh các góc BAH và MAC b) Trên đờng trung trực Mx của đoạn thẳng BC, lấy điểm D sao cho MD = MA ( D và A ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ BC). Chứng minh rằng AD là phân giác chung của các góc MAH và CAB. c) Từ D kẻ DE, DF lần lợt vuông góc với AB, AC. Tứ giác AEDF là hình gì ? 3 d) Chứng minh : DBE = DCF Buổi 3 Chuyênđề 3 : Phơng trình bậc nhất A Kiến thức cơ bản 1- Phơng trình một ẩn : Một phơng trình ẩn x luôn có dạng A(x) = B (x), trong đó vế trái A (x) và vế phải B (x) là hai biểu thức của cùng một biến x. Giá trị của ẩn x làm cho hai vế của phơng trình nhận cùng một giá trị đợc gọi à nghiệm của phơng trình. 2 Phơng trình bậc nhất một ẩn và cách giải * Qui tắc chuyển vế : Trong một phơng trình ta có thể chuyểnmột hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó. * Qui tắc nhân : Trong một phơng trình ta có thể nhân (hoặc chia) cả hai vế cho cùng mộtsố khác 0. * Giải phơng trình bậc nhất một ẩn : Định nghĩa : Phơng trình có dạng ax + b = 0 với a,b là hai số tuỳ ý và a 0 Các bớc giải phơng trình : - Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc hay qui đồng mẫu thức hai vế, dùng qui tắc nhân để khử mẫu thức - Dùng qui tắc chuyển vế đểchuyển hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế bên kia - Thu gọn đợc phơng trình có dạng ax = c + Nếu a 0, dùng qui tắc nhân tìm đợc nghiệm duy nhất của phơng trình x = a c + Nếu a = 0, c 0 , phơng trình vô nghiệm. + Nếu a = 0, c = 0, phơng trình vô số nghiệm 3 Phơng trình tích Định nghĩa : Phơng trình có dạng : A (x) . B (x) = 0 Cách giải phơng trình tích dựa vào công thức : A (x) . B (x) = 0 A (x) = 0 hoặc B (x) = 0 4 Phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức Các bớc giải : B1 - Tìm điều kiện xác định của phơng trình. B2 - Qui đồng mẫu thức hai vế của phơng trình rồi khử mẫu thức B3 - Giải phơng trình vừa nhận đợc B4 - Kết luận : Trong các giá trị của ẩn tìm đợc ở bớc 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phơng trình đã cho. 5 Giải bài toán bằng cách lập phơng trình Các bớc giải : B1 : Lập phơng trình : - Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số - Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết - Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng. B2 : Giải phơng trình B3 : Trả lời : Kiểm tra xem trong các nghiệm của phơng trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận. B Mộtsố bàI luyện tập Bài 1: Cho phơng trình (ẩn x) : 4x 2 25 + k 2 + 4kx = 0 a) Giải phơng trình với k = 0 b) Giải phơng trình với k = - 3 c) Tìm các giá trị của k sao cho phơng trình nhận x = - 2 làm nghiệm. Bài 2: Giải phơng trình : a) 2x + 5 = 20 3x b) (2x 1) 2 (x + 3) 2 = 0 c) 7 116 2 45 + = xx d) x xxx = + 3 23 4 2 6 12 4 e) 3 52 32 4 1 2 2 + = + + x x xx x x g) 2 222 9 37 33 x xx x x x xx = + Bài 3 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km. Một giờ sau, một ngời đi xe máy từ A và đến B trớc ngời đi xe đạp 20 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết vận tốc của xe máy gấp 3 lần vận tốc xe đạp. Bài 4 : Một tổ may áo theo kế hoạch mỗi ngày phải may 30 áo. Tổ đã may mỗi ngày 40 áo nên đã hoàn thành trớc thời hạn 3 ngày, ngoài ra còn may thêm đợc 20 chiếc áo nữa. Tính số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch. Bài 5 : Hai công nhân nếu làm chung thì trong 12 giờ sẽ hoàn thành song một công việc. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì ngời thứ nhất chuyển đi làm việc khác, ngời thứ hai làm nốt công việc trong 10 giờ. Hỏi ngời thứ hai làm một mình thì bao lâu hoàn thành song công việc. Buổi 4 Chuyênđề 4 : Tam giác đồng dạng A Kiến thức cơ bản 1 - Định lí Ta lét trong tam giác * Định lí Ta lét : Nếu một đờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ. * Định lí đảo Ta lét : Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ thì đờng thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. * Hệ quả của định lí Ta lét : Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tơng ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho. 2 Tính chất đờng phân giác của một tam giác Định lí : Đờng phân giác trong (hay ngoài) của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy. 3 Tam giác đồng dạng * Định nghĩa : Tam giác ABC gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu : Â = Â ; B = B ; C = C ; CA 'A'C BC 'C'B AB 'B'A == * Định lí : Một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại sẽ tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho. * Các trờng hợp đồng dạng của tam giác : TH 1 : Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng TH 2 : Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng TH 3 : Nếu hai góc của tam giác này lần lợt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. * Các trờng hợp đồng dạng của tam giác vuông : Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu : a) Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia b) Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia c) Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia. áp dụng : - Tỉ số hai đờng cao tơng ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng. - Tỉ số hai diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phơng tỉ số đồng dạng B Mộtsố bàI luyện tập Bài 1 : Tam giác vuông ABC có Â = 90 0 ; AB = 12 cm; AC = 16 cm ; đờng phân giác góc A cắt BC tại D a) Tính BC, BD và CD b) Vẽ đờng cao AH. Tính AH, HD và AD. Bài 2 : Tứ giác ABCD có hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại O, góc ABD = ACD . Gọi E là giao điểm của hai đờng thẳng AD và BC . Chứng minh rằng : 5 a) AOB và DOC đồng dạng b) AOD và BOC đồng dạng. c) EA . ED = EB . EC Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông ở A, trung tuyến BD. Phân giác của góc BDA và góc BDC lần lợt cắt AB, BC ở M và N. Biết AB = 8 cm; AD = 6 cm a) Tính độ dài BD, BM b) Chứng minh MN // AC c) Chứng minh BM . BC = AB . BN d) Tính diện tích tứ giác AMNC. Bài 4 : Cho tam giác ABC (AB < AC), hai đờng cao BE và CF gặp nhau tại H, các đờng thẳng kẻ từ B song song với CF và từ C song song với BE gặp nhau tại D. Chứng minh a) ABE ACF b) AE . CB = AC . EF c) Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh H, I, D thẳng hàng. Bài 5 : Cho hình bình hành ABCD , trên tia đối của tia DA lấy DM = AB, trên tia đối của tia BA lấy BN = AD. Chứng minh : a) CBN và CDM cân. b) CBN và MDC đồng dạng. c) Chứng minh M, C, N thẳng hàng. Buổi 5 Chuyênđề 5 : Bất phơng trình bậc nhất một ẩn A Kiến thức cơ bản 1 Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng (phép nhân). * Khi cộng cùng mộtsố vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta đợc bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. - Có thể xoá hai hạng tử bằng nhau ở hai vế của bất đẳng thức : a + c < b + c a < b - Có thể chuyểnmột hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu của nó : a + c < b a < b c * Chiều của bất đẳng thức không đổi khi nhân (hoặc chia) cả hai vế của bất đẳng thức với cùng mộtsố dơng Chiều của bất đẳng thức thay đổi khi nhân (hoặc chia) cả hai vế của bất đẳng thức với cùng mộtsố âm. 2 Bất phơng trình bậc nhất một ẩn * Định nghĩa : Bất phơng trình dạng ax + b < 0 ( hoặc ax + b < 0 ; ax + b 0 ; ax + b 0) trong đó a và b là hai số đã cho, a 0 , đợc gọi là bất phơng trình bậc nhất một ẩn. * Các phép biến đổi tơng đơng bất phơng trình: - Khi cộng cùng mộtsố vào cả hai vế của một bất phơng trình ta đợc bất phơng trình mới cùng chiều, t- ơng đơng với bất phơng trình đã cho. - Khi nhân cả hai vế của một bất phơng trình với cùng mộtsố dơng ta đợc bất phơng trình mới cùng chiều, tơng đơng với bất phơng trình đã cho. - Khi nhân cả hai vế của một bất phơng trình với cùng mộtsố âm ta đợc bất phơng trình mới ngợc chiều, tơng đơng với bất phơng trình đã cho - Khi chuyểnmột hạng tử của bất phơng trình từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó, thì đợc bất phơng trình mới tơng đơng với bất phơng trình đã cho. 3 Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. * Định nghĩa : Giá trị tuyệt đối của số a, kí hiệu a là số đợc xác định nh sau : a = a khi a 0 ; a = - a khi a < 0 Phơng trình hay bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối đợc giải bằng cách sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối đểchuyển về phơng trình hay bất phơng trình không chứa dấu giá trị tuyệt đối. B Mộtsố bàI luyện tập 6 Bài 1 : Với giá trị nào của m thì phơng trình ẩn x : a) x 3 = 2m + 4 có nghiệm dơng ? b) 2x 5 = m + 8 có nghiệm âm ? Bài 2 : Giải các bất phơng trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số : a) (x + 2) 2 < 2x(x + 2) + 4 b) (x + 2)(x + 4)> (x 2)(x + 8) + 26 c) 3 2 5 6 + xx < 2 d) 12 12 1 6 3 4 5 22 + xxx e) 1 1 51 x x g) 2 3 + x < x 3 2 h) x 2 4x + 3 > 0 i) x 3 2x 2 + 3x 2 0 k) 2 3x < 7 l ) 2x - 3 5 Bài 3 : Giải các phơng trình : a) 9 + x= 2x b) x - 1= 3x + 2 c) 2x - 3= - x + 21 d) 2x - x - 1= 2 Bài 4 : Chứng minh các bất phơng trình sau vô nghiệm : a) x 2 + 2x + 2 0 b) 4x 2 4x + 5 0 Bài 5 : Tìm điều kiện của x để biểu thức sau có giá trị âm : A = + + + + 3x 1x 1x 3x : 1x 3x 3x x1 Buổi 6 : Làm đề khảo sát chất lợng đầu năm Đề bài : Bài 1 : Cho biểu thức P = + 1 41 4 : 41 4 2 42 2 3 x xx x x xx a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x để P > 0 Bài 2 : Cho ABC ~ ABC với tỉ số đồng dạng là k = 3 1 . Phát biểu nào sau đây là đúng : A. Nếu đờng cao AH = 5 thì đờng cao AH là 5 1 . B. Nếu đờng trung tuyến AM = 12 thì đờng trung tuyến AM = 36. C. Nếu đờng cao AH = 9 thì đờng cao AH = 3. D. Nếu chu vi ABC là 12 thì chu vi ABC là 48. Bài 3 : Cho tam giác ABC có AB = AC, góc BAC < 90 0 , đờng cao AH ( HBC ). Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BA, M là trung điểm của AD. a) Chứng minh : HAD và MBD đồng dạng b) Chứng minh : DB. DH = 2 2 DA c) Tia MH cắt tia AC tại N . Chứng minh : CH = CN. d) ABC cần điều kiện gì để H là trung điểm của MN ? Bài 4 : Một sà lan xuôi dòng từ A đến B mất 2,5 giờ và ngợc dòng từ B về A mất 4 giờ. Biết vận tốc dòng nớc là 3 km/h. Tính khoảng cách AB. Bài 5 : Giải các phơng trình sau : x + 5 - 1- 2x = x 7 . điều kiện sau 1. Có các cạnh đối song song. 2. Có các cạnh đối bằng nhau 3. Có các góc đối bằng nhau 4. Có hai cạnh đối song song và bằng nhau 5. Có hai đờng. đờng thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. * Hệ quả của định lí Ta lét : Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh