12 NGUYÊN hàm TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG

CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN: Nguyên hàm ∫ f ( x)dx = F ( x) + C ⇔ F '( x) = f ( x) 1/ ∫ f '( x)dx = f ( x ) + C 2/ ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x )dx 3/ ∫ [f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x)dx + Định nghĩa : + Tính chất : + Bảng nguyên hàm ∫ dx = x + C α ∫ x dx = x ∫ a dx = xα +1 +C α +1 ∫ cos x dx = t anx + C dx ∫ x = ln x + C ∫ e dx = e + C ∫ cosxdx = s inx + C x Tích phân: + Định nghĩa : ax + C (a > 0, a ≠ 1) ln a ∫ sin x dx = − cot x + C ∫ 0dx = C ∫ s inxdx = −cosx + C x b ∫ f ( x)dx = F ( x) b a = F (b) − F (a ) a + Tính chất : a 1/ ∫ f ( x)dx = ; a 2/ ∫ kf ( x)dx = − ∫ f ( x )dx a b b a a a 4/ ∫ [ f ( x ) ± g ( x )]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx a b b b b b a a b 5/ ∫ a c b a c f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx ( a < c < b ) 3/ ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x )dx Các phương pháp tìm ngun hàm, tính tích phân Dạng : Tìm ngun hàm, tính tích phân định nghĩa Dạng : Xác định nguyên hàm, tính tích phân phương pháp đổi biến số Dạng : Xác định nguyên hàm, tính tích phân phương pháp nguyên hàm phần B KỸ NĂNG CƠ BẢN + Áp dụng ĐN, tính chất, bảng ngun hàm để tìm nguyên hàm, tính tích phân + Áp dụng phương pháp đổi biến số, phương pháp phần để tính tích phân + Sử dụng máy tính cầm tay để giải tập nguyên hàm, tích phân C BÀI TẬP Dạng 1: Áp dụng ĐN, tính chất, bảng nguyên hàm để tìm ngun hàm, tính tích phân Bài 1.Tìm nguyên hàm hàm số a f(x) = ( x − 1) 2 => f(x) = x − + 2 x x ĐS F(x) = b f(x) = x + x + x => f(x) = x +x +x c f(x) = x −3 x −1 => f(x) = x − − x − x => f(x) = ( x − 1) x x g f(x) = sin − ĐS F(x) = x − 33 x + C ĐS F(x) = x − x + ln x + C ĐS F(x) = x − x + C x => f(x) = - cosx h f(x) = tan2x => f(x) = ĐS F(x) = x + x + x + C − ( x − 1) d f(x) = => f(x) = − 2x + x x e f(x) = 4 1 x3 − 2x + + C x ĐS F(x) = x – sinx + C −1 cos x ĐS F(x) = tanx – x + C i f(x) = e x + ĐS F(x) = 2x e + x+C Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau : a) x5 ∫ ( x − 3x + x + 1) dx = ∫ x dx − 3∫ x dx + 2∫ xdx + ∫ dx = − x + x + x + C b) ∫ ( x + 1) ( x − 2)dx c) ∫ = ∫( x 2 − x − ) dx = x − x − x + C x−2 1 +C dx = ∫ ( − )dx = ln x − − ln x − + C = ln x −1 x − 3x + x − x −1   − x + e x ÷dx = tanx − x + e x + C d) ∫   cos x  e) ∫ ( cos3x − 5s inx ) dx = ∫ cos3xdx − 5∫ s inxdx = s in3x + 5cosx + C ∫ x 2 g) sin dx = ∫ − cosx x sinx 1  +C dx = ∫  − cosx ÷dx = − 2 2  Bài Tìm hàm số f(x) biết: a) f’(x) = 2x + f(1) = Ta có f ( x) = ∫ ( x + 1) dx = x + x + C ; Vì f(1) = nên C = 3; Vậy : f(x) = x2 + x + ( ) b) f’(x) = – x2 f(2) = 7/3; Ta có: f(x) = ∫ − x dx = x − x3 +C x3 Vì f(2) = 7/3 nên C = 1; Vậy: f(x) = x − +1 Bài Tính tích phân sau ∫ 1 a) ( x − 1)dx = ∫ ( x − 1)dx = ∫ x dx − ∫ dx = ( 3 0 0 x4 −3 − x) 10 = 4  x2 2 x2 + x 1  11 dx = ∫ ( x + ) dx =  + x ÷ = ( + ) −  + ÷ = b) ∫ x 2   1 1 x x c) ∫ (e + 2)dx = ( e + x ) = e + −1 = e +1 Bài Tính tích phân sau: a) π π 0 ∫ (cosx − 3sinx)dx = ∫ (cosx − 3sinx)dx = ( s inx + 3cosx ) π = −2 π 3π   b) (3+ cos2x).dx =  x + sin x ÷ = ∫ 2  0 π π π c) ( cos x − sin x ) dx = cos xdx + sin xdx = 2sin x + cos x = ∫0 ∫0 ∫0 0 π π π π  π2    d) sin3x cos xdx = [ sin x + sin x ]dx =  ∫ sin xdx + ∫ sin xdx  ∫0 0 ∫0   π π 1 1 1      − cos x − cos x  =  − cos 2π − cosπ ÷−  − cos − cos ÷  2 2      = 1 1 1  − + + + ÷= 2 4 2 = Bài Tính tích phân sau:  2 x3   x3 a) ∫ x − 1dx = ∫ − ( x − 1) dx + ∫ ( x − 1) dx =  x − ÷ +  − x ÷ = − + − − + = 0  3 3  1 0 2 π b) ∫ − c) π π 2 π π sin x dx = ∫ − sin xdx + ∫ sin xdx = cos x π − cos x = − + = − 2 π − 2 ∫ ( cos x − sin x ) 2 π dx = ∫ cos x − sin x dx = 0 π π π ∫ ( cos x − sin x ) dx + ∫ ( sin x − cos x ) dx π π = ( sin x + cos x ) − ( cos x + sin x ) = 2 − π D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu Tìm nguyên hàm ∫ 4x dx A x +C B 3 x +C 4 x +C C D x +C Câu Nguyên hàm ∫ 5(x − 2x + 3)dx A 5x3 − 10x2 + 15x C B 5x3 − 10x2 + 15x + C x − 5x2 + 15x + C D x − 10x2 + 15x + C 2 Câu Nguyên hàm ∫ 5(3x − 1) dx A 9x5 − 10x3 + 5x + C B 9x5 + 10x3 − 5x + C C 15x5 − 10x3 + 5x + C D 15x5 + 10x3 − 5x + C Câu Nguyên hàm ∫ (cos x + sin x)dx A sinx + cosx + C B sinx – cosx + C C –sinx + cosx + C D –sinx – cosx + C Câu Nguyên hàm ∫ (x2 − 2x + )dx x x x3 A B − x2 + 4ln| x | +C − x2 + 4ln x + C 3 x x3 C D − x2 − 4ln| x | +C − x2 − 4ln x + C 3 x2 + 2x3 + x2 + dx Câu Nguyên hàm ∫ x2 x3 x3 A B + x2 + x − + C + x2 + 2x − + C x x 3 2x x C D + x2 + x − + C − 3x2 + x − + C x x Câu Nguyên hàm ∫( ) x + x + x4 dx 23 43 95 x + x + x +C 3 C x2 + x3 + x5 + C (x2 + 1)2 dx Câu Nguyên hàm ∫ x2 2x3 A + 3x − + C x A 23 43 95 x + x + x +C 3 59 D x + x + x +C B B x3 − 3x + + C x 2x3 + 2x − + C x x 2x Câu Nguyên hàm A = ∫ dx C D x3 + 2x − + C x 12x 14x 16x 18x A B C D +C +C +C +C ln12 ln14 ln16 ln18 Câu Nguyên hàm ∫ cot xdx A tanx + x + C B –tanx + x + C C –cotx – x + C D cotx + x + C Câu 10 Nguyên hàm ∫ tan xdx A cotx – x + C B cotx + x + C C tanx – x + C D tanx + x + C x Câu 11 Nguyên hàm ∫ 3sin2 dx 3 x A (x − sin x) + C B x − sin x + C C xsin x + C D sin3 + C 2 2 Câu 12 Giả sử ∫ dx = lnc Giá trị c 2x − A Câu 13 Tích phân A B ∫ ∫ B 16 x dx x+ A ln2 B ln3 2x + Câu 17 Tích phân ∫ dx x+ A ln2 – ln3 B ln3 – ln2 x dx Câu 18 Tích phân ∫ − x2 A ln B ln Câu 19 Tích phân ∫ C 17 C D D 18 D π ∫ A Câu 20 Tích phân C dx (1+ x)3 Câu 16 Tích phân D 16 x − dx B C (x2 − 2x + 3)dx 14 Câu 15 Tích phân A ∫ Câu 14 Tích phân A B π D – ln3 C 6ln3 – 3ln2 D + 6ln2 – 3ln3 C ln D ln cosxdx B ∫ C – ln2 cosxdx C π D π A B C π D π π Câu 21: Giả sử I = sin x sin xdx = (a + b) , Khi giá trị a+b là: ∫ A B ∫ 10 C − D Câu 22 Tính cos xdx 1 sin x  x +  ÷+ C 4  C ( x + sin x ) + C ln x dx Câu 23 Tính ∫ x ( x + sin x ) + C 1 D ( x + sin x ) + C 2 A A ln ln x + C B B x2 ( ln x − 1) + C C ln x + C D ln x2 + C Câu 24 Giá trị m để hàm số F(x) =mx3 +(3m+2)x2-4x+3 nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3x + 10 x − là: A m = B m = C m = D m = Câu 25 Nếu A dx a ∫ x = − bx3 + C b − a bằng: B -2 C D -1 BUỔI DẠNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN: Nguyên hàm Tính I = ∫ f [u( x)].u' ( x)dx cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x) ⇒ dt = u ' ( x)dx I= b ∫ f [u( x)].u' ( x)dx = ∫ f (t )dt ∫ f[ϕ (x)]ϕ '(x)dx phương pháp đổi biến Tính tích phân a Bước 1: Đặt t = ϕ (x) ⇒ dt = ϕ '(x) dx Bước 2: Đổi cận: x = a ⇒ t = ϕ (a) ; x = b ⇒ t = ϕ (b) Bước 3: Viết tích phân cho theo biến mới, cận tính tích phân tìm B KỸ NĂNG CƠ BẢN + Biết cách đặt ẩn phụ + Biết biểu diễn nguyên hàm theo ẩn phụ, đổi cận tích phân + Biết sử dụng tính chất, cơng thức vào giải toán C BÀI TẬP NGUYÊN HÀM Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: ∫ a) b) ∫( x => du x + 1.xdx = u du = u du = u = u + C = ∫ => Đặt u = x + => du = xdx => xdx = x + 1.xdx ∫( x ∫ + ) x dx + 5) 2 2∫ 2 3 2 Đặt u = x + => du = x dx => x dx = (x + 1) + C du 1 u5 u5 x3 + 5) x dx = ∫ u du = ∫ u du = + C = + C = ( +C 3 15 15 x dx Đặt u = x + => du = xdx => xdx = du +5 x 1 1 dx = ∫ du = ln u + C = ln ( x + ) + C => ∫ 2 u 2 x +5 c) ∫x d) ∫ => ∫ e) dx Đặt u = 2x-1=>du = 2dx 2x −1 dx 2x −1 ∫ ( x − 1) e = 1 − 12 12 u du = u + C = u + C = u + C = 2x −1 + C 2∫ x − x +3 dx ; Đặt u = x − x + => du = 2( x − 1)dx => ( x − 1) dx = du => ∫ ( x − 1) e x2 − x +3 dx = 1 ∫ e du = e u u + C = e x −2 x +3 + C Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: sin x ∫ cos5 xdx Đặt u = cos x => du = − sin xdx sin x du u −4 1 −5 dx = − ∫ = − ∫ u du = => ∫ +C = +C = +C u 4u 4cos x cos x a) b) ∫ cot xdx = ∫ ∫ => cot xdx = c) ∫ => ∫ d) sin x sin x cos x − dx = ∫ sin x.cos xdx Đặt u = cos x => du = − sin xdx 3 dx = − ∫ u du = −3u + C = −3 cos x + C cos x ∫ ( + cot sin x − ∫ ( + cot => cos x Đặt u = sinx => du = cosxdx ∫ sin x dx = ∫ u du = ln u + C = ln sin x + C dx = ∫ cos x cos x dx sin x x ) ecot x dx Đặt u = cot x => du = − 2 x ) e cot x dx = − 2 sin x dx => du = −2(1 + cot 2 x)dx u e du = − ecot x + C ∫ 2 TÍCH PHÂN Bài Tính tích phân sau : ∫ a) A = x + x dx Đặt t = + x => dt = xdx ; Đổi cận: Khi x = 0=> t = 1; Khi x = 1=> t = 2 => A = ∫ 2 1 12 23 tdt = ∫ t dt = t = t t = 2 −1 21 3 ( ) b) B = ∫ x ( x − 1) dx Đặt t = x − => dt = x dx ; Đổi cận: Khi x = => t = -1; x = => t = 0 15 t6 60 = t =− => B = ∫ t dt = 4 −1 24 −1 24 −1 e x dx ; ex −1 c) C = ∫ Đặt t = e x − => dt = e x dx Đổi cận: Khi x = 1=> t = e – 1;Khi x = 2=> t = e − => C = e −1 ∫ e −1 e2 −1 dt e2 − = ln t = ln ( e −1) − ln ( e −1) = = ln = ln ( e + 1) t e −1 e −1 2 d) D = ∫ − x xdx Đặt t = − x => dt = −2 xdx => xdx = − dt Khi x = 0=> t = ; x = => t = 4 1 12  23  tdt = ∫ t dt =  t ÷ = t t = ( 4.2 − ) = => D = ∫ − 20 23  3 4 ∫ e) E = e ( ) x x Đặt t = x => dt = dx x dx => dx = 2dt x t t Khi x = 1=> t = ; x = => t = ; => E = ∫ 2.e dt = 2e π sin x f) F = ∫0 + sin2 xdx = ( e2 − e ) Đặt t = sin x => dt = 2sin x cos xdx = sin xdx Khi x = => sin = => t = 0; x = π π => sin = => t = 2 1 dt = ln + t = ln − ln1 = ln 1+ t => F = ∫ ln ∫ (e g) G = x Đặt − 1) e x dx ( Đề thi TN năm 2011-2012) t = e x − => dt = e x dx ; Đổi cận : Khi x = => t = ; x = ln => t = 1 => G = ∫ t dt = t3 = D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu Nguyên hàm ∫ (5x + 3) dx A x6 +C 30 B x5 +C 25 C x4 +C 24 D x3 +C 20 osx dx Câu Nguyên hàm ∫ sin xc A cos5 x +C Câu Nguyên hàm A lnex + C Câu Nguyên hàm B sin5 x +C C cos5 x + C D sin5x + C C ln(ex – 1) D ln(ex + 1) ex ∫ ex + 1dx B ln x +C lnex x3 ∫ (6x4 + 5)5 dx A −6 +C 85(6x4 + 5)4 B C −1 +C 96(6x4 + 5)4 D Câu Nguyên hàm A − C ∫ B − (2cos x − 1)3 + C A − A − D (3cos x − 2)3 + C (3cos x − 2)3 + C cos x dx x ∫ sin +C cos x Câu Nguyên hàm +C 75(6x4 + 5)4 2cos x − 1.sin xdx (2cos x − 1)3 + C Câu Nguyên hàm −2 +C 55(6x4 + 5)4 B − +C sin x C +C sin x D +C cos x C +C sin x D +C cos x C tan x + C sinx ∫ cos x dx +C cos x B − +C sin x Câu Nguyên hàm ∫ (tan x + tan x)dx A tan x + C B tan2 x + C D tan3 x + C Câu Nguyên hàm ∫ [x(3− x )] dx A 3− x4 +C 16 x4 − +C 16 B Câu 10 Nguyên hàm ∫ A −e x + C B e x + C Câu 11 Nguyên hàm ∫ x lnxdx A A 43 D (3− x4 )4 +C 16 e x dx C 2e x + C ln x2 + C B ∫ (3− x4 )4 +C 16 D 3e x + C 1 ln x + C Câu 12 Tích phân x C − 2 ln x + C D lnx2 + C x2 x3 + 1.dx 47 B Câu13 Tính tích phân C ∫ −1 x3 x + 1.dx C 52 D 57 10 => d) x2 x2 x2 x2 x2 ln x − ∫ dx = ln x − ∫ xdx = ln x − + C 2 x 2 ∫ x ln xdx = ∫ ( − x ) cos xdx => u = − x du = −dx =>   dv = cos xdx v = sin x Đặt  ∫ ( − x ) cos xdx = ( − x ) sin x + ∫ s inxdx = ( − x ) sin x − cos x + C Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) => b) u = − x  du = −2dx => Đặt   x x  dv = e dx v = e x ∫ ( − x ) e dx ∫ ( − x ) e dx = ( − x ) e + ∫ 2e dx = ( − x )e x ∫ => x x + 2e x + C = e x ( − x ) + C  du = dx u = ln x x  =>  Đặt  dv = xdx v = x  x ln xdx ∫ x 32 32 dx 32 12 x ln xdx = x ln x − ∫ x = x ln x − ∫ x dx = 3 x 3 32 2 3 x ln x − x + C = x ln x − x + C 3 3 u = x du = dx  =>  Đặt  v = −cotx dv = sin x dx xdx dx c) ∫ sin x => d) xdx cos x dx = − x cot x + ln sin x + C dx = -xcotx + ∫ sin x x ∫ sin ∫ ( x + 3) e −x u = x +  du = 2dx =>  Đặt  −x −x dv = e dx v = −e dx −x −x −x −x −x => ∫ ( x + 3) e dx = −e ( x + 3) − ∫ −e 2dx = −e ( x + 3) + ∫ 2e dx −x −x −x = −e ( x + 3) − 2e + C = −e ( x + 1) + C TÍCH PHÂN Bài Tính tích phân sau: π u = x du = dx ⇒ Đặt :   dv = cosx.dx v = sin x ∫ a/ I= x.cos x.dx Vậy : I = x sinx π π π - sin x.dx = + cosx ∫ π = π -1 = du = dx  u = ln x x ⇒ Đặt :  dv = x.dx v = x  e b/ J= ∫ x.ln xdx x2 Vậy : J = lnx e x2 e2 e2 e e2 + dx = − xdx = − x = ∫1 x 2 ∫1 4 du = dx =>  x x dv = e dx v = e x ∫ x.e dx Đặt  Vậy : e u = x c) e ∫ x.e dx = x.e x x 0 −∫ e x dx = e − e x 10 = e − (e − 1) = Bài Tính tích phân sau: π xdx a )A= ∫0 cos x π u = x du = dx  Đặt  dx =>  v = tan x dv = cos x xdx = ( x tan x ) ∫ cos x π π − ∫ tan xdx = 0 π π = + (ln cos x ) b) B = ∫ x.e 2x dx ∫ x.e 2x dx π π π sin x −∫ dx cos x  π π  2 +  ln − ln1÷ = + ln ÷ 4  2  =  du = dx u = x  =>  Đặt  2x 2x dv = e dx v = e 2x = x.e 1 1 − ∫ e2 x dx = x.e2 x 10 − e x 20 1 2 1 + e2 = e − e + = 4 u = x du = xdx =>  c) C = x cos xdx Đặt  ∫0 v = sin x  dv = cos xdx π 2 ∫ x cos xdx = x sin x * Tính : I = π ∫ xsinxdx π π − ∫ x sin xdx = π π − ∫ x sin xdx u = x du = dx =>  dv = sin xdx v = − cos x Đặt  I= π ∫ xsinxdx = − x cos x π π Thế I = vào C ta : π + ∫ cos xdx = − x.cos x + sin x = 0 π π π2 = −2 x cos xdx ∫ D CÂU HỎI TRÁC NGHIỆM KHÁCH QUAN ∫ xln xdx Câu Tìm nguyên hàm A x ln x − x2 + C B x2 ln x − x +C C x ln x − x2 + C D x2 ln x − x +C x Câu Nguyên hàm ∫ x.2 dx A 2x − 2x + C ln2 ln B x.2x − 2x + C ln2 ln C 2x + 2x + C ln2 ln D x.2x + 2x + C ln2 ln Câu Nguyên hàm ∫ x.ln xdx A x ln x − x x + C B x ln x − x x + C C x x ln x − x x + C D x x ln x + x x + C Câu Nguyên hàm ∫ x ln(x + 2)dx x2 A x ln(x + 2) − − 2x + 4ln(x + 2) + C 2  x2  x2 ln(x + 2) −  − 2x + 4ln(x + 2) + C 2  C Câu Nguyên hàm ∫ x.e A B e x ( ln x ) +C Câu Nguyên hàm ∫   x2 D ln(x + 2) −  − 2x + ln(x + 2) + C 2  dx bằng: x2 +1 e +C Câu Nguyên hàm A x +1  x2  x2 ln(x + 2) −  + 4ln(x + 2) + C B 2  +1 +C C 2e x +1 D x e x +C +1 +C ln x dx bằng: x ( ln x ) B ∫ x.ln x +C dx bằng: C ( ln x ) +C D ( ln x ) +C ln x +C Câu Nguyên hàm A − +C ln x ∫ x cos xdx bằng: B − C +C ln x D − x2 A sin x + C B x sin x + cosx + C C x sin x − sinx + C D x2 cosx + C B ( x + 3) e + C D x x + e ( ) +C Câu 9: Nguyên hàm x ∫ xe dx bằng: x A ( x − 3) e + C x x − e ( ) +C x2 − x +3 dx Câu 10 Tìm nguyên hàm ∫ ( x − 1) e C  x2  x2 − x +3 +C A  − x ÷e   x2 −2 x +C C e x x − x +3 x B ( x − 1) e D x2 −2 x +3 e +C +C Câu 11 Tích phân ∫ xe dx bằng: x A e Câu 12 Tích phân B e − π ∫ xcos2 xdx C D e −1 bằng: A π −2 B π −1 C − π D − π Câu 13 Tích phân ∫ ( x + 1) ln ( x + 1) dx bằng: A ln − B 10 ln + Câu 14 Tích phân ∫ x ln ( x A ln − 16 C 8ln + D 16 ln − + 1) dx bằng: D ( ln − 1) 3e3 + D 2e + C ln − B ln − e Câu 15 Tính tích phân ∫x ln xdx A e2 + B 2e3 + C π Câu 16 Tìm tích phân (2x − 1) cos xdx ∫ A π − 15 B π + C 2π − D 2π − +C ln x π Câu 17 Tính tích phân (x + 1) sin 2xdx ∫ A π −1 B π +1 π +2 D C D − C π2 + 32 D C π −2 π Câu 18 Tính tích phân I = (2x − 1) sin 3xdx ∫ A B − Câu 19 Tính tích phân 5 π ∫ x(1 + sin 2x)dx π2 + 32 A B Câu 20 Tích phân π ∫x π2 − 32 π2 − 32 s inxdx A π − C π − B π − D π − ∫ x Câu 21 Tính tích phân I = xe dx A I = Câu 22 Giả sử B I = ∫ A C I = D I = x −1 dx = a ln + bln , với a, b ∈ Q Khi a – b bằng: x + 4x + B - C - D −x Câu 23 Tính tích phân I = ∫ x.e dx B − e A C e D 2e − 2 Câu 24 Tính tích phân I = ∫ ( x − 1) ln xdx A I = ln + B I = π Câu 25 Tích phân ∫e x ln + C I = ln − cos xdx = a.e π + b Khi tổng S = a + b bằng: A S = − B S = −1 C S = D S = D I = ln − BUỔI CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN Diện tích hình phẳng + Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f(x) liên tục, trục hoành, hai đường b thẳng x = a, x = b tính theo cơng thức S = ∫ f ( x) dx (1) a + Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y=f1(x), y = f2(x) liên tục [a;b] b đường thẳng x = a; x = b là: S= ∫ f1 ( x) − f ( x) dx (2) a c + Chú ý: ∫ a c f1 ( x) − f ( x) dx = ∫ [f1 ( x) − f ( x)]dx a Thể tích vật thể Cho vật thể (T) giới hạn mp song song (α), (β) Xét hệ tọa độ Oxy cho Ox vng góc với (α), (β) Gọi giao điểm (α), (β) với Ox a, b (a Đặt   2x 2x  dv = e dx v = e x 2x => I = e 1 − 2x 1 1 e dx = e2 − e x 10 = e − e + ∫ 20 4 π  e2 e2  π π e2 2x e − π x e dx − π Thay I vào V ta có : V = =  − + ÷ = ( e − 1) (ĐVTT) ∫0 2  4 d) Đồ thị hàm số : y = x − x đường y = 0, x = 0, x = 3 3  x x x  81π 1 1 2 4 π π x − x dx = π x − x + x dx V = ∫ ÷  ÷ =  63 − + ÷ = 35 ( ĐVTT) ∫       0 D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu Cho hình (H) giới hạn y = sin x; x = 0; x = π y = Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình (H) quanh trục Ox A V = π/2 B V = π²/2 C V = 2π D V = π²/4 Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x²; x = 1; x = y = A B C D 3 Câu Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f1 ( x ) , y = f ( x ) liên tục hai đường thẳng x = a , x = b(a < b) tính theo công thức: b A S = ∫ f1 ( x ) − f ( x ) dx b B S = a b C S = ∫  f1 ( x ) − f ( x )  dx a Câu Cho hình (H) giới hạn đường y = quay hình (H) quanh trục Ox A π/6 B π/3 ∫ f ( x ) − f ( x ) dx a b b a a D S = ∫ f1 ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx x y = x Tính thể tích vật thể trịn xoay C π/2 D π Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x + đồ thị hàm số y = x − A B C D Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = –x³ + 3x + đường thẳng y = A 57/4 B 27/4 C 45/4 D 21/4 Câu Kí hiệu (H) hình phẳng giới hạn ba đồ thị hàm số y = x ln x, x = e , trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình (H) xung quanh trục Ox 5e3 − 5e3 − A V = B V = π 27 27 5e + 5e3 − 2 C V = D V = π π 27 27 Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn ( C ) : y = x + x ; y − x − = 11 A B C D 2 2 Câu 9: Cho hình thang cong ( H ) giới hạn bới đường y = e x , y = 0, x = x = ln Đường thẳng x = k (0 < k < ln 4) chia ( H ) thành hai phần có diện tích S1 S hình vẽ bên Tìm x = k để S1 = S2 A k = ln C k = ln B k = ln D k = ln Câu 10 Với giá trị m > diện tích hình phẳng giới hạn y = x y = mx đvdt ? A m = B m = C m = D m = Câu 11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x.ln x ,trục hoành hai đường thẳng x = 1, x = e 2 A S = (e + 1) B S = (e − 1) C S = (1 − e ) D S = (1 − e ) 4 Câu 12 Tìm diện tích S hình phẳng (H) giới hạn y = − x + x − , hai trục tọa độ đường thẳng x = 19 A S = (đvdt) B S = (đvdt) C S = (đvdt) D S = (đvdt) 2 3 Câu 13 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x + đường thẳng x − y +1 = A (đvdt) B (đvdt) C (đvdt) D (đvdt) Câu 14 Thể tích hình phẳng giới hạn y = ( x − 2) , y = ,x=0, x=2 xoay quanh trục hoành 32 32 A V = B V = 32π C V = π D 32 5 Câu 15 Thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng ( H ) giới hạn y = x ; y = x + quanh trục Ox 72π 81π 81π 72π A (đvtt) B (đvtt) C (đvtt) D (đvtt) 10 10 Câu 16 Cho hình phẳng (H) giới hạn y = x − x , y = Tính thể tích khối tròn xoay thu a  quay (H) xung quanh trục Ox ta V = π  + 1÷ Khi b  A ab=15 B ab=20 C ab=28 D ab =54 2 3x + x − Câu 17 Diện tích hình giới hạn y = , y = 0, x = 0, x = −1 a ln + b Khi đó, x−2 a + 2b là: 61 A B 40 C D -2 Câu 18 Nếu f ( 1) = 12 , f ' ( x ) liên tục A 29 B ∫ f ' ( x ) dx = 17 Giá trị f ( ) C 15 D 19 Câu 19 Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) Diện tích hình phẳng (phần gạch hình) la A ∫ −3 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx B 0 ∫ −3 −3 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx C ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx D ∫ f ( x ) dx −3 Câu 20 Cho hình phẳng giới hạn đường cong y = x − x , y = x Thể tích khối trịn xoay thu quay hình quanh trục trục Ox: π π π 6π A B C D 25 5 2 Câu 21 Cho hình phẳng giới hạn đường cong y = x , x = y Thể tích khối trịn xoay thu quay hình quanh trục trục Ox: 8π 2π π 3π A B C D 10 ( ) x Câu 22 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = ( e + 1) x y = + e x là: e −1 D − e Câu 23 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = −2 x + x + trục hoành là: A − A e 125 24 B B 125 34 C C 125 14 D 125 44 Câu 24 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = − x , y = − x trục hoành là: A − 2π B 2 − π C π − D − π Câu 25 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = mx cos x ; Ox ; x = 0; x = π 3π Khi đó: A m = −3 B m = C m = −4 D m = ±3 KIỂM TRA 45 PHÚT I MA TRẬN ĐỀ Nhận biết Mức độ nhận thức Thông hiểu Vận dụng Chủ đề mạch kiến thức kĩ Vận dụng thấp Câu 1,2,3,4 Câu 9,10,11, Câu19,20,21 Tổng cao Câu 22 14 12, 13, 14 Tích phân 1,6 2,4 Ứng dụng hình học Câu5,6,7,8 1,2 Câu15,16,17,18 Câu 23 0,4 Câu24,25 5,6 11 tích phân 1,2 1,2 10 Tổng 0,4 3,2 4,0 0,8 1,6 4,4 25 1,2 10 II ĐỀ KIỂM TRA Câu Cho hàm số f(x) liên tục [a; b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) [a; b] Khi b tích phân ∫ f ( x)dx là: a A F(a)- F(b) B F(a)+ F(b) C F(b)- F(a) d b b a d a D - F(a)- F(b) Câu Nếu ∫ f ( x)dx = 5, ∫ f ( x)dx = với a < d < b ∫ f ( x)dx bằng: A -3 B C 6 2 D -7 Câu Cho ∫ f ( x)dx = 4, ∫ g ( x)dx = Tính ∫ ( f ( x) + g ( x))dx ? A B C 3 Câu Nếu ∫ f ( x)dx = 5, ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx bằng: D A -2 B C D Câu Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= - x2, trục Ox, hai đường thẳng x= 0, x= 3 3 A S = − ∫ x dx B S = ∫ x dx C S = ∫ x dx D S = π ∫ x dx 0 Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y=f1(x), y = f2(x) liên tục [a;b] đường thẳng x = a; x = b là: b A ∫ [ f ( x) − f ( x) ]dx a b B ∫ [ f1 ( x) + f ( x) ] dx a a C ∫ f1 ( x) − f ( x) dx b b ∫ D f1 ( x) − f ( x) dx a Câu Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) Diện tích hình phẳng (phần gạch hình) A ∫ −3 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx B −3 0 ∫ −3 4 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx C ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx D ∫ f ( x ) dx −3 Câu Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y= sinx, y= 0, x= 0, x = π quay quanh trục 0x là: π π A π ∫ sin x dx B ∫ s inx dx 0 Câu Đẳng thức đúng? A ∫ x − dx = ∫ x − 1dx −2 C ∫ 2 π Câu 10 Tìm tích phân I = ∫ tan xdx B − π C ∫ sin x dx D π ∫ sin x dx 0 3 B ∫ x − dx = ∫ ( x − ) dx 0 x − dx = ∫ ( x − ) dx − ∫ ( x − ) dx A π π D ∫ 2 x − dx = ∫ ( x − ) dx + ∫ ( x − ) dx C ln2 D π 2 Câu 11 Cho I= ∫ x x − 1dx u = x2- Chọn khẳng định sai ? 3 A I= u B I = 27 3 C I= ∫ u du Câu 12 Cho I = ∫ x − x dx Đặt t= − x I bằng: 1 3 3 − t dt t dt A ∫ B ∫ C ∫ t dt 4 0 D I= ∫ u du 1 D − ∫ t dt x Câu 13 Tìm tích phân I = ∫ ( x − 1) e dx A e2 + e B e2 − e C 2e – π Câu 14 Đổi biến u = sinx ∫ sin x cos x dx thành: D e2 − 3e π A ∫ u − u du B u du ∫ C ∫ u du D 0 π ∫u − u du Câu 15 Diện tích hình phẳng giới hạn y= x2 + 1, x= -1, x= trục Ox là: A B C D −1 2 x + x − , y = 0, x = 0, x = 3 −5 C D Câu 16 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y= A B 12 Câu 17 Gọi S miền giới hạn (C): y= x2, trục Ox hai đường thẳng x= 1, x= Thể tích vật thể trịn xoay quay S quanh trục Ox là: 31π 31π 31π 31π + − A +1 B C D 5 5 Câu 18 Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y= x2 - 2x, y = 0, x = 0, x = quanh trục Ox có giá trị bằng: 8π 7π 15π 8π A B C D 15 8 m Câu 19 Tìm m biết ∫ ( x + ) dx = A m= -1, m= -6 B m= 1, m= -6 C m= 1, m= dx dx trở thành: Câu 20 Đổi biến x= 2sint I = ∫ − x A π π B tdt ∫ ∫ dt 0 π C dt ∫0 t D m= -1, m= D π ∫ dt Câu 21 Biết ∫ ( x + 1) e dx = a + be Tính tích ab x A -1 B C -15 π Câu 22 Tích phân I = ∫ ( − cos x ) n sin xdx bằng: 1 B C 1+ n n −1 2n Câu 23 Diện tích hình phẳng giới hạn y = x2 y = 2x là: A B C 3 A D D n D 23 15 Câu 24 Diện tích hình phẳng giới hạn y = − x Parabol y = x là: 22 26 25 28 A B C D 3 3 Câu 25 Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên quay hình phẳng giới hạn đường y= x2 - 4, y = 2x - quay quanh trục Ox A 16π B 6π C −6π D 16π 15 ...+ Sử dụng máy tính cầm tay để giải tập nguyên hàm, tích phân C BÀI TẬP Dạng 1: Áp dụng ĐN, tính chất, bảng nguyên hàm để tìm ngun hàm, tính tích phân Bài 1.Tìm ngun hàm hàm số a f(x)... 2x + Câu 17 Tích phân ∫ dx x+ A ln2 – ln3 B ln3 – ln2 x dx Câu 18 Tích phân ∫ − x2 A ln B ln Câu 19 Tích phân ∫ C 17 C D D 18 D π ∫ A Câu 20 Tích phân C dx (1+ x)3 Câu 16 Tích phân D 16 x... Viết tích phân cho theo biến mới, cận tính tích phân tìm B KỸ NĂNG CƠ BẢN + Biết cách đặt ẩn phụ + Biết biểu diễn nguyên hàm theo ẩn phụ, đổi cận tích phân + Biết sử dụng tính chất, cơng thức vào