GIÁO ÁN PHƯƠNG PHÁP MỚI 12 CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN ĐẦY ĐỦ 2019 I. Hoạt động khởi động Mục đích: Tạo sự tò mò, gây hứng thú cho học sinh về cách tính diện tích của một số thửa ruộng có hình dạng đặc biệt trong thực tế. Nội dung: Giáo viên chiếu 2 bức ảnh về những thửa ruộng bậc thang và đặt các câu hỏi. Cách thức: Quan sát hình ảnh và trả lời câu hỏi Sản phẩm: Học sinh đặt ra câu hỏi: trong toán học có thể tính được diện tích của hình bất kì không ? II. Hoạt động hình thành kiến thức. Mục đích: + Nắm được nội dung bài toán tính diện tích hình thang cong. + Nắm được cách chứng minh bài toán tính diện tích hình thang cong. + Biết tính diện tích của một hình thang cong. + Phát biểu được định nghĩa tích phân. + Tính được tích phân của một số hàm đơn giản. Nội dung: + Thực hiện các nhiệm vụ trong phiếu học tập, nghiên cứu SGK + Phát biểu định nghĩa, làm các ví dụ GV yêu cầu.
BÀI 1: NGUYÊN HÀM A Mục tiêu Kiến thức: - Hiểu khái niệm nguyên hàm hàm số; - Biết tính chất nguyên hàm Kĩ năng: - Tìm nguyên hàm số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm cách tính nguyên hàm phần - Sử dụng phương pháp đổ biến số(Khi rõ cách đổi biến số không đổ biến số lần) để tính nguyên hàm Tư tưởng; thái độ: Rèn luyện việc tính tốn xác; cẩn thận Tính chủ động sáng tạo cho học sinh 4.Năng lực hướng tới: Năng lực chung - Năng lực hợp tác, giao tiếp, tự học, tự quản lí - Năng lực duy, sáng tạo, tính tốn, giải vấn đề - Năng lực sử dụng CNTT, sử dụng ngôn ngữ Tốn học - Năng lực mơ hình hóa tốn học lực giải vấn đề - Năng lực sử dụng cơng nghệ tính tốn Năng lực chun biệt: Thấy ứng dụng toán học đời sống, từ hình thành niềm say mê khoa học, có đóng góp sau cho xã hội B Nội dung chủ đề Nội dung 1: Định nghĩa nguyên hàm Nội dung 2: Tính chất nguyên hàm Nội dung 3: Phương pháp tính nguyên hàm: Phương pháp đổi biến số, phương pháp nguyên hàm phần Mô tả cấp độ tư nội dung Định nghĩa tích phân NHẬN BIẾT Phát biểu định nghĩa nguyên hàm, ký hiệu dấu nguyên hàm, biểu thức dấu nguyên hàm THÔNG HIỂU VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO Tìm nguyên hàm số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm cách tính nguyên Sử dụng phương pháp đổ biến số(Khi rõ cách đổi biến số không đổ biến số lần) để tính nguyên - Sử dụng định nghĩa để tính nguyên hàm số hàm số khác Trang | ∫ f ( x)dx = F ( x) + C hàm phần hàm Tiết A HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG Mục tiêu: Học sinh tính đạo hàm hàm số định hình hàm số “gốc” Phương pháp: Gợi mở,vấn đáp Hình thức tổ chức hoạt động: Cá nhân, cặp đôi Phương tiện dạy học: Bảng phụ, phấn Sản phẩm: Học sinh tính đạo hàm hàm số đưa hàm số “gốc” hàm số đơn giản B HÌNH THÀNH KIẾN THỨC HOẠT ĐỘNG 1: Hoạt động hình thành NGUYÊN HÀM Mục tiêu: Học sinh hiểu nắm định nghĩa nguyên hàm hàm số K Phương pháp: Gợi mở,vấn đáp Hình thức tổ chức hoạt động: Cá nhân, cặp đơi Phương tiện dạy học: Bảng phụ, phấn Sản phẩm: Học sinh đưa định nghĩa nguyên hàm yếu tố nguyên hàm Bài mới: Nội dung kiến thức cần đạt Hoạt động thầy trò I Ngun hàm tính chất Giáo viên: Vấn đáp Nguyên hàm - Hàm số có đạo hàm 3x Định nghĩa: Cho K khoảng đoạn nửa khoảng Hàm số F (x) gọi nguyên hàm hàm số f (x) K - Đạo hàm hàm số tan x F ' ( x) = f ( x); ∀x ∈ K Chủ động làm việc; trả lời câu hỏi thầy Ví dụ Giáo viên: 1) x nguyên hàm 3x R - Nói: Hàm số x nguyên hàm hàm số 3x hàm số tan x nguyên hàm hàm 2) tan x nguyên hàm (− π π ; ) 2 cos x Học sinh: số cos x HOẠT ĐỘNG 2: Hoạt động hình thành tính chất ngun hàm Mục tiêu: Học sinh hiểu nắm tính chất nguyên hàm Phương pháp: Gợi mở,vấn đáp Hình thức tổ chức hoạt động: Cá nhân, cặp đôi Phương tiện dạy học: Bảng phụ, phấn Sản phẩm: Học sinh đưa tính chất nguyên hàm Trang | Nội dung kiến thức cần đạt Hoạt động thầy trò Định lí 1: Nếu F (x) nguyên hàm hàm số f (x) K với C ∈ R ; F ( x) + C - Vấn đáp: nguyên hàm f (x) K +) Ngoài hàm số x ; nguyên hàm khác 3x Định lí 2: Nếu F (x) nguyên hàm hàm số f (x) K nguyên hàm f (x) K có dạng F ( x) + C +) Hàm số x + C với C số có phải ngun hàm hàm số 3x hay khơng Tóm lại: Nếu F (x) nguyên hàm hàm số f (x) K họ nguyên hàm f (x) K F ( x) + C ; C ∈ R Và kí hiệu ∫ f ( x)dx Như ta có: Học sinh: Dựa vào định nghĩa; trả lời câu hỏi thầy Giáo viên: - Phát biểu định lí 1; định lí ∫ f ( x)dx = F ( x) + C; C ∈ R - Yêu cầu học sinh chứng minh định lí Học sinh: Ví dụ: 1) ∫ x dx = x + C 2) ∫ dx = tan x + C cos x Các tính chất nguyên hàm Tính chất 1: ∫ f ' ( x)dx = f ( x) + C - Ghi nhớ định lí 1;2 - Chứng minh định lí Giáo viên: - Giới thiệu tính chất nguyên hàm Tính chất 2: ∫ k f ( x)dx = k ∫ f ( x )dx - Yêu cầu học sinh chứng minh nhanh tính chất nguyên hàm Tính chất 3: Học sinh: ∫ ( f ( x) ± g ( x))dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx - Ghi nhớ tính chất nguyên hàm - Vận dụng tính chất đạo hàm định nghĩa nguyên hàm để chứng minh nhanh tính chất nguyên hàm Điều kiện tồn nguyên hàm: Định lí 3: Mọi hàm số f (x) xác định K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm số hàm số sơ cấp Từ bảng đạo hàm hàm số sơ cấp khái niệm nguyên hàm ta có bảng sau: Sử dụng phương pháp thuyết trình Giáo viên: - Tổ chức cho học sinh tự ôn tập kiến thức cũ: Hãy liệt kê hàm số sơ cấp đạo hàm - Yêu cầu học sinh chuyển bảng đạo hàm hàm số sơ cấp sang ngôn ngữ nguyên hàm Trang | Học sinh: - Chủ động ôn tập kiến thức cũ theo hướng dẫn thầy cô - Vận dụng khái niệm nguyên hàm vừa học phát biểu lại bảng đạo hàm ngôn ngữ nguyên hàm Giáo viên: - Gọi học sinh thay trả lời - Nhận xét; chỉnh sửa; xác hố kiến thức; tổng hợp thành bảng Ví dụ áp dụng: 1) A = ∫ (2 x + x3 − )dx = ∫ x dx + ∫ x dx Học sinh: Ghi nhớ bảng nguyên hàm hàm số sơ cấp = x + 4x + C 2) B = ∫ (3 cos x − x −1 )dx = 3∫ cos xdx − Củng cố kiến thức: Tìm nguyên hàm sau: x dx 3∫ 1) A = ∫ (2 x + 3x x −1 = sin x − + C = sin x − +C ln ln x3 )dx 2) B = ∫ (3 cos x − x −1 )dx 3)C = ∫ ( x + x + sin x − 1 + x )dx cos x e C Củng cố kiến thức: - Khái niệm nguyên hàm hàm số; bảng đạo hàm hàm số sơ cấp - Các tính chất nguyên hàm; điều kiện tồn nguyên hàm Bài tập hướng dẫn học nhà: Làm tập SGK đọc trước phương pháp tính ngun hàm D Tìm tòi, mở rộng Tiết Tiến trình lên lớp HOẠT ĐỘNG 3: Hoạt động luyện tập Trang | Nội dung kiến thức cần đạt Hoạt động thầy trò Tóm tắt kiến thức: Giáo viên: Tổ chức cho học sinh chủ động ôn tập kiến thức cũ: - Khái niệm nguyên hàm hàm số K - Nếu F (x) nguyên hàm f (x) K họ nguyên hàm f (x) K là: ∫ f ( x)dx = F ( x) + C; C ∈ R - Sự tồn nguyên hàm: Nếu f (x ) hàm số liên tục K có nguyên hàm K Bài Kiểm tra xem hàm số nguyên hàm hàm số lại cặp hàm số sau: - Khái niệm nguyên hàm hàm số tập hợp K ? - Để kiểm tra xem F (x) có phải nguyên hàm hàm số f (x ) hay khơng ta phải làm nào? Từ đề xuất cách giải tốn Học sinh: - Chủ động ơn tập kiến thức cũ theo hướng dẫn thầy cô? - Định hướng cách giải toán - Đề xuất cách giải a ) f ( x) = ln( x + + x ) Và g ( x) = b) f ( x ) = e sin x cos x Và g ( x) = e sin x Và g ( x) = − Và g ( x) = x − x + x Và c) f ( x ) = sin x x −1 d ) f ( x) = x − 2x + e) f ( x ) = x e 1+ x2 Giáo viên: sin x x - Nhận xét góp ý cho hướng giải mà học sinh đề xuất - Giao nhiệm vụ cho học sinh Học sinh: - Chủ động làm tập g ( x) = (2 x − 1)e x - Xung phong lên bảng trình bầy Giáo viên: - Gọi học sinh lên bảng trình bầy - Đơn đốc giúp đỡ học sinh khác giải toán - Nhận xét làm học sinh Bài Chứng minh hàm số F (x) G (x) nguyên hàm hàm số: a ) F ( x) = x + 6x + 2x − x + 10 2x − Và G ( x) = b) F ( x ) = sin x Và G ( x) = 10 + cot x c) F ( x ) = + sin x Và G ( x) = − cos x Giáo viên: - Gọi học sinh lên bảng làm tập - Kiểm tra cũ học sinh khác - Đôn đốc học sinh chủ động giải - Nhận xét làm học sinh Học sinh: - Chủ động giải toán - Đối chiếu với lời giải kết bạn Trang | - Cùng thầy cô nhận xét làm bạn Bài Tính: a ) ∫ ( x − x + 1)dx c) ∫ 1+ x − x x4 b) ∫ (1 − d )∫ - Gọi học sinh lên bảng làm tập )dx sin x - Kiểm tra cũ; tập học sinh −1 dx ex x - Nhận xét HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI: - Khái niệm nguyên hàm hàm số; bảng đạo hàm hàm số sơ cấp - Các tính chất nguyên hàm; điều kiện tồn nguyên hàm Bài tập hướng dẫn học nhà: Làm tập SGK đọc trước phương pháp tính nguyên hàm Tiết A TỔ CHỨC CÁC HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP KHỞI ĐỘNG Kiểm tra cũ: thực trình lên lớp B HÌNH THÀNH KIẾN THỨC HOẠT ĐỘNG 1: Hoạt động hình thành PHƯƠNG PHÁP ĐỖI BIẾN SỐ Nội dung kiến thức cần đạt Hoạt động thầy trò II Các phương pháp tính nguyên hàm Giáo viên: Phương pháp đổi biến - Vấn đáp: Cho nguyên hàm sau: ∫ sin(2 x + 1)dx ∫e 1− x dx +) Có tồn ngun hàm khơng? Tại sao? +) Có thể áp dụng ln cơng thức ∫ sin xdx = − cos x + C để suy ∫ sin(2 x + 1)dx = − cos(2 x + 1) + C hay không? Tại lại vậy? +) Nếu biểu thức dấu nguyên hàm f (u ) f hàm số sơ cấp để Ví dụ: Tìm A = ∫ sin( x + 1)dx Để áp dụng bảng nguyên hàm hàm số sơ cấp ta sau: áp dụng nguyên hàm hàm số sơ cấp f (u ) dấu nguyên hàm phải dx hay du ? - Hướng dẫn chi tiết học sinh tính Trang | Đặt u = x + ⇒ du = 2d ⇒ dx = du Ta có: 1 A = ∫ sin(2 x + 1)dx = ∫ sin udu = − cos u + C 2 ⇒ A = − cos(2 x + 1) + C 1− x - Yêu cầu học sinh tìm ∫ e dx Học sinh: - Nghiên cứu lại bảng nguyên hàm; trả lời câu hỏi thầy cô - Theo dõi chi tiết cách giải tốn thầy 1− x - Độc lập tìm ∫ e dx Xung phong trình bầy lời giải Giáo viên: Định lí 1: Nếu ∫ f (u )du = F (u ) + C với u = u (x ) có - Gọi học sinh đứng chỗ trình bầy đạo hàm liên tục ∫ f (u ( x)).u ' ( x)dx = F (u( x)) + C Hệ quả: Nếu ∫ f (u )du = F (u ) + C - Nhận xét làm; rút kinh nghiệm; nhận xét việc tập chung nghe giảng học sinh - Phát biểu chứng minh chi tiết định lí hệ qủa ∫ f (ax + b)dx = a F (ax + b) + C (a ≠ 0) Từ định lí ta có phương pháp tính nguyên hàm dạng A = ∫ f (u ( x)).u ' ( x )dx sau Phương pháp đổi biến: Giáo viên: Yêu cầu học sinh xem lại định lí cách giải hai ví dụ ban đầu; hay xây dựng phương pháp tính nguyên hàm dạng A = ∫ f (u ( x)).u ' ( x )dx Bước 1: Đặt t = u (x) Học sinh: Bước 2: Tính dt = u ' ( x )dx - Làm việc theo hướng dẫn thầy cô Bước Thay yếu tố vào biểu thức - Xung phong trình bầy phương án A = ∫ f (u ( x)).u ' ( x )dx ta có: A = ∫ f (t )dt = F (t ) + C Bước 4: Thay ngược lại ta có A = F (u ( x)) + C Giáo viên: - Gọi học sinh đứng chỗ trình bầy - Nhận xét phương pháp học sinh - Đưa phương pháp dự kiến - Lưu ý học sinh: Thông thường u ' ( x) biểu thức A = ∫ f (u ( x)).u ' ( x )dx bị ẩn Cần phải luyện tập cách nhìn tinh tế để phát nó; dùng phép đổi biến cho có hiệu Ví dụ Tính nguyên hàm sau: Ví dụ củng cố: Trang | a ) A = ∫ ( x − 1)10 dx b) B = ∫ ln x dx x c)C = ∫ x dx ( x + 1) Giáo viên: Chép đề; giao nhiệm vụ cho học sinh Học sinh: - Nghiên cứu đề bài; tìm hiểu nhiệm vụ - Tìm phương án hồn thành nhiệm vụ Giải: - Xung phong trình bầy a Đặt t = x − ⇒ dx = dt Ta có Giáo viên: ( x − 1) 11 t 11 A = ∫ ( x − 1) dx = ∫ t dt = +C = +C 11 11 10 10 b Đặt t = ln x ⇒ dt = B=∫ - Gọi học sinh lên bảng làm dx Ta có x - Giúp đỡ học sinh khác giải toán - Gọi học sinh nhận xét ln x t ln x dx = ∫ tdt = + C = +C x 2 - Chính xác hố lời giải; Phân tích; góp ý cho lời giải đề xuất khác c Đặt t = x + ⇒ x = t − ⇒ dx = dt Ta có: - Đưa lời giải dự kiến - Hướng dẫn học sinh làm khác C=∫ x t −1 1 1 dx = ∫ dx = ∫ ( − )dt = − + + S ( x + 1) t t t 3t 4t Hay: C = − nguyên hàm B = ∫ ln x dx sau: x Đặt x = e t ⇒ dx = e t dt Ta có: 1 + +S 3( x + 1) 4( x + 1) B=∫ ln e t t t2 ln x e dt = tdt = + C = +C ∫ 2 et HOẠT ĐỘNG Củng cố: Phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm Bài tập hướng dẫn học nhà: Làm tập SGK đọc trước phương pháp nguyên hàm phần Tiết A Tiến trình lên lớp Kiểm tra cũ: thực trình lên lớp Bài mới: ( Luyện tập) Nội dung kiến thức cần đạt Bài Tính nguyên hàm sau phương pháp đổi biến theo hướng dẫn bài: a ) ∫ (1 − x) dx (Đặt t = − x ) b) ∫ cos x sin xdx (Đặt t = cos x ) Hoạt động thầy trò Giáo viên: Tổ chức cho học sinh tự ôn tập kiến thức cũ, hướng dẫn học sinh khai thác đề bài; tìm lời giải: - Bảng nguyên hàm hàm số sơ cấp bản? - Đã áp dụng ln bảng chưa? Trở ngại Trang | mà ta gặp phải? - Phương pháp đổi biến dùng để tính nguyên hàm dạng nào: Phương pháp đổi biến tính nguyên hàm? c) ∫ x(1 + x ) dx (Đặt t = + x ) d )∫ dx (Đặt t = e x + ) e + e−x + x Học sinh: - Chủ động ôn tập kiến thức cũ - Nghiên cứu đề bài; chủ động giải tập - Xung phong lên bảng trình bầy Giáo viên: - Gọi học sinh lên bảng làm - Kiểm tra cũ; tập giúp đỡ học sinh khác giải toán - Gọi học sinh nhận xét - Rút kinh nghiệm cách giải tập Bài Tìm nguyên hàm sau: a)∫ dx 2x + b) ∫ sin(1 − x)dx c) ∫ dx Gọi học sinh lên bảng làm d ) ∫ x − 3dx 1− x Bài Tìm nguyên hàm sau: a ) ∫ tan xdx c) ∫ sin( − x ) − 3x dx 1−3 x b) ∫ x.e d )∫ dx x − 5x + − 3x dx sin x dx cos x Đặt t = cos x → dt = − sin xdx Do đó: sin x ∫ tan xdx = ∫ cos x dx = −∫ - Chép đề; giao nhiệm vụ cho học sinh(Có thể gợi ý; dẫn dắt học sinh tìm cách đặt biến mới) Học sinh: - Tìm hiểu đề bài; tìm phương án hồn thành nhiệm vụ Cách giải: a ∫ tan xdx = ∫ Giáo viên: dt = − ln t + C t - Xung phong trình bầy đề xuất cách giải Giáo viên: ⇒ ∫ tan xdx = − ln cos x + C - Gọi học sinh lên bảng làm b Đặt t = − 3x - Quan sát; động viên; giúp đỡ học sinh khác giải toán Trang | - Gọi học sinh nhận xét c Đặt t = − 3x - Rút kinh nghiệm giải toán dx A B ∫ x − 5x + = ∫ x − 2dx + ∫ x − 3dx d Biến đổi: - Phân tích; góp ý cho lời giải đề xuất - Đưa lời giải dự kiến Củng cố: Phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm Bài tập hướng dẫn học nhà: Làm tập sách tập Tiết A Tiến trình lên lớp Kiểm tra cũ: thực trình lên lớp B HOẠT ĐỘNG : Hoạt động hình thành PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Nội dung kiến thức cần đạt Phương pháp tính nguyên hàm phần Ví dụ: Tính ∫ x sin xdx Giải: Hoạt động Tiếp cận kiến thức: Giáo viên: Yêu cầu học sinh đứng chỗ giải tốn: 1) Tính đạo hàm hàm số f ( x) = x cos x Ta có: ( x cos x)' = cos x − x sin x ⇒ − x sin x = ( x cos x)'− cos x Do ta có: − ∫ x sin xdx = ∫ [( x cos x)'− cos x]dx = x cos x − sin x + C Hay Hoạt động thầy trò ∫ x sin xdx = − x cos x + sin x + C ∫ x(cos x)' dx =x cos x + ∫ cos xdx 2) áp dụng tính chất nguyên hàm bảng nguyên hàm; tính ∫ ( x cos x)dx; ∫ cos xdx Từ tính nguyên hàm: ∫ x sin xdx Học sinh: - Chủ động xem lại kiến thức cũ; làm tập mà thầy cô đặt - Theo dõi nhận xét làm bạn Hay: ∫ xd (cos x) =x cos x + ∫ cos xdx Ta viết kết sau: Định lí 2: Nếu hai hàm số u ( x); v ( x ) có đạo hàm liên tục K ∫ u( x).v' ( x)dx = u ( x)v( x) − ∫ v( x).u' ( x)dx Chú ý: Vì v ' ( x) dx = dv; u ' ( x) dx = du nên viết lại đẳng thức sau: ∫ udv = uv − ∫ vdu (Cơng Giáo viên: - Chính xác hố lời giải - Viết lại kết toán dạng ∫ x(cos x)' dx =x cos x + ∫ cos xdx - Phân tích cách viết; phát biểu định lí tổng quát Học sinh: Trang | 10 Diện tích khoảng 12 Đây hồ thủ đô Hà Nội? Theo em người ta tính diện tích hồ nào? - Sản phẩm: Học sinh đặt câu hỏi: tốn học để tính diện tích hình phẳng tương tự người ta làm nào? Học sinh mô tả cách hiểu cách tính 2) Hoạt động hình thành kiến thức - Mục đích: + Nêu cơng thức tính diện tích hình thang cong + Phát biểu định nghĩa, tính chất tích phân + Phát biểu định lý tích phân Trang | 17 + Nắm phương pháp tính tích phân + Áp dụng tích chất phương pháp để tính tích phân - Nội dung: + Học sinh nghiên cứu SGK + Phát biểu định nghĩa định lý, trả lời câu hỏi, làm ví dụ GV yêu cầu - Cách thức: + Giáo viên đưa ví dụ yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi tương ứng Học sinh làm ví dụ trình bày bảng GV nhận xét yêu cầu học sinh phát biểu định nghĩa tích phân + Giáo viên đưa ví dụ để học sinh làm, sau lên bảng trình bày - Sảm phẩm: + Học sinh phát biểu định nghĩa, tính chất tích phân + Tính tích phân I KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN Diện tích hình thang cong Ví dụ Kí hiệu T hình thang vng giới hạn đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≤ t ≤ 5) (H.1) Tính diện tích S hình T t = (H.2) Tính diện tích S(t) hình T t ∈ [1;5] Hình Hình Chứng minh S(t) nguyên hàm f(t) = 2t + 1, t ∈ [1 ; 5] diện tích S = S(5) − S(1) - Giao việc: GV yêu cầu học sinh thực nhiệm vụ ví dụ? - GV tổng hợp, nhận xét câu trả lời HS chốt định nghĩa + Giúp học sinh thấy mối liên hệ diện tích hình thang nguyên hàm + GV chốt tổng quát: Công thức tính diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) (liên tục, không âm đoạn [ a; b ] ), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b S = F (b) − F (a) (trong F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) ) Ví dụ Tính diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = x − x + , trục hoành hai đường thẳng x = −2, x = Định nghĩa tích phân Trang | 18 Cho f(x) hàm số liên tục đoạn [a ; b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) đoạn [a ; b] Hiệu số F(b) − F(a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [a ; b]) hàm số f(x), kí hiệu b ∫ f (x)dx a b Ta dùng kí hiệu F(x) a để hiệu số F(b) − F(a) b Vậy b ∫ f (x)dx = F (x) a = F (b) − F (a) a - GV: Hướng dẫn học sinh ghi nhớ kí hiệu, tên gọi định nghĩa trường hợp đặc biệt Ví dụ Tính π a) ∫ x dx b) ∫ sin xdx c) e ∫ e dx x d) ∫ t dt - GV: Chốt cách tính theo định nghĩa gọi học sinh nêu nhận xét, nhấn mạnh ý nghĩa hình học tích phân II TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN - GV: Dựa vào tính chất ngun hàm hướng dẫn học sinh xây dựng tính chất tích phân TÍNH CHẤT b b ∫ kf ( x)dx = k∫ f (x)dx a (k số) a TÍNH CHẤT b b b a a a c b ∫ [ f (x) ± g( x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx TÍNH CHẤT b ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx a a (a < c < b) c Ví dụ Tính a) ∫ ( 4x ) − x dx π b) ∫x − x dx c) ∫ − sin 2xdx III PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến số Trang | 19 ∫ Ví dụ Cho tích phân I = (2x + 1) dx Tính I cách khai triển (2x + 1)2 Đặt u = 2x + 1, a = u(0), b = u(1) Biến đổi biểu thức (2x + 1)2dx thành g(u)du u(1) ∫ Tính g (u )du so sánh kết với I câu u(0) - GV: giao nhiệm vụ hướng dẫn học sinh làm ví dụ qua định hướng hình thành phương pháp đổi biến số ĐỊNH LÍ Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a ; b] Giả sử hàm số x = ϕ (t) có đạo hàm liên tục đoạn [ α ; β ] cho ϕ (α ) = a, ϕ (β ) = b a ≤ ϕ (t) ≤ b với t ∈ [α ; β ] Khi b β a α ∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t))ϕ '(t)d t Ví dụ Tính a) I = π ∫ ( sin x + ) b) J = cos xdx ∫9+ x dx 0 - GV: Hướng dẫn học sinh giao nhiệm vụ cho học sinh thực Định hướng tích phân J cho phương pháp đổi biến số loại Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta sử dụng phép đổi biến số dạng sau : b Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a ; b] Để tính ∫ f (x)dx , ta chọn hàm số u = u(x) làm a biến số mới, u(x) có đạo hàm liên tục đoạn [a ; b] u ( x) ∈[α ; β ] Giả sử viết: f ( x) = g(u( x))u '( x), x ∈ [a ; b], với g(u) liên tục đoạn [α ; β ] Khi đó, ta có b u(b) ∫ f (x)dx = ∫ a g(u)du u( a) Phương pháp tích phân phần Ví dụ a) Hãy tính ∫ (x + 1)e dx phương pháp tính nguyên hàm phần x b) Từ tính ∫ (x + 1)e dx x - GV: Hướng dẫn học sinh thực phát biểu định lí Trang | 20 ĐỊNH LÍ Nếu u(x) v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a ; b] b ∫ u( x)v'(x)d x = (u(x)v(x)) b a b ∫ − u '( x)v( x)d x a b ∫ u d v = uv hay b a a a b ∫ − vd u a Ví dụ Tính π a) ∫ x cos xdx e ∫ b) ln x x3 dx 3) Luyện tập: - Mục đích: Học sinh tính tích phân - Nội dung: Học sinh làm tập - Cách thức: Giáo viên phát tập, học sinh làm nhà - Sản phẩm: Giải số dạng tốn tích phân Bài Tính tích phân sau : a) ∫ − (1 − x) dx ; b) 2 e) π ∫ dx π ; sin − x ÷dx ; c) x( x + 1) 4 ∫ ( x + 1)2 dx ; f) d) ∫ sin 3x cos5xdx ; g) π − ∫ x( x + 1) dx ; 2 π − 3x ∫ ∫ − x dx ; h) π ∫ sin xdx Bài Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính : x2 ∫ d x (đặt u = x + 1); a) (1 + x)2 x c) ∫ e (1 + x) x + xe b) ∫ − x2 d x (đặt x = 2sin t) ; x d x (đặt u = + xe ) ; d) ∫ − x + x2 dx (a > 0) (đặt x = tan t) ; Bài Sử dụng phương pháp tích phân phần, tính : a) π ∫ (x + 1)sin xdx e ; b) ∫x ln xdx ; c) ∫ ln(1 + x)dx ; Trang | 21 d) ∫ (x ln −x − 2x − 1)e dx ; e) ∫ xe dx ; x f) π sin x dx x ∫ x cos Bài Tính tích phân sau : a) ∫ (1 + 3x)2 dx ; b) x −1 ∫ x2 − dx ; c) ∫ ln(1 + x) x2 dx; d) e ln x + ln x dx ∫1 x 4) Ứng dụng, tìm tòi mở rộng - Mục đích: + Vận dụng kiến thức học để tính diện tích hình thang cong tổng qt - Nội dung: Học sinh đọc nghiên cứu đọc: “Tính diện tích giới hạn” - Cách thức: + Học sinh tự đọc đọc: “Tính diện tích giới hạn” + Học sinh tự lấy ví dụ tự thực lời giải nhà - Sản phẩm: Học sinh lấy ví dụ giải BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC A Mục tiêu Kiến thức: Học sinh cần biết cách tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong; Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng quanh Ox Kỹ năng: Tính diện tích hình phẳng thể tích khối tròn xoay nhờ tích phân trường hợp đơn giản Tư tưởng; thái độ: Rèn luyện việc tính tốn xác; cẩn thận Tính chủ động sáng tạo cho học sinh 4.Năng lực hướng tới: Năng lực chung - Năng lực hợp tác, giao tiếp, tự học, tự quản lí - Năng lực duy, sáng tạo, tính tốn, giải vấn đề - Năng lực sử dụng CNTT, sử dụng ngơn ngữ Tốn học - Năng lực mơ hình hóa tốn học lực giải vấn đề - Năng lực sử dụng công nghệ tính tốn Năng lực chun biệt: Thấy ứng dụng tốn học đời sống, từ hình thành niềm say mê khoa học, có đóng góp sau cho xã hội Mơ tả cấp độ tư Trang | 22 NHẬN BIẾT Học sinh cần biết cách tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong; Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng quanh Ox THƠNG HIỂU Tính diện tích hình phẳng thể tích khối tròn xoay nhờ tích phân trường hợp đơn giản VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO Xây dựng mơ hình tốn học để giải tốn thực tế - Sử dụng tính chất để giải toán khác B Chuẩn bị Giáo viên: Chuẩn bị giáo án; sách giáo khoa; sách tập; sách tham khảo Học sinh: Đọc trước mới; chuẩn bị sách vở; dụng cụ học tập I HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG Cổng trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng Parabol, chiều rộng 8m, chiều cao 12, m Người ta cần lắp cửa sắt khép kín Biết 1m2 cửa sắt có giá 900.000 Hỏi Nhà trường phải trả tiền để làm cửa sắt vậy? Ông An có mảnh vườn elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.00 đồng/1m2 Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn) Trang | 23 B HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐƯỜNG CONG VÀ TRỤC HOÀNH Trang | 24 GỢI Ý +) HĐ1: Khởi động HĐ1.1 Nêu công thức tính diện tích hình thang cong giới hạn đường thẳng x=a, x =b, trục hoành đường cong y = f(x), f(x) hàm số liên tục, không âm đoạn [a;b] b S = ò f ( x)dx a HĐ1.2 Cho hình phẳng giới hạn đường thẳng y = 2x + 1; y = 0; x = x = a) Dùng cơng thức hình học tính diện tích hình phẳng b) Tính tích phân sau I = o ò( 2x + 1)dx S = (AD +2 BC).CD =28 I = (x +x) = 28 Diện tích không đổi 1 HĐ1.3 Trong HĐ1.2 thay hàm số y = 2x + hàm số –y = – (2x + 1) diện tích thay đổi nào? +) HĐ2: Hình thành kiến thức Từ kết trên, ta có Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) liên tục, trục hoành hai đường thẳng x =a, x=b tính theo cơng thức b S = ∫ f ( x) dx a Ví dụ Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường: y = x – 1; trục Ox, đường thẳng x = 0, x = Ví dụ Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = cos2 x, trục hoành, trục tung đường thẳng x = π +) HĐ3: Củng cố GỢI Ý HĐ3.1 Kí hiệu S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b hình bên Khẳng định sau đúng? Trang | 25 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI HAI ĐƯỜNG CONG Trang | 26 GỢI Ý +) HĐ1: Khởi động HĐ1.1 Diện tích hình phẳng (phần tơ màu) hình tính nào? y = y = x = f (x) lt u' c/[a;b] f (x) lt u' c/[a;b] a; x = b Có thể tính S thơng qua S S khơng? tính nào? Xét TH: f1(x) ≥ f2(x) ≥ x [a;b] Khi S = S1 - S2 +) HĐ2: Hình thành kiến thức Từ kết trên, ta có Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f(x), g(x) liên tục [ a;b ] hai đường thẳng x = a, x = b tính theo cơng thức b S = ò f1 ( x) - f2 ( x) dx a Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 – 4, y = -x2 – 2x, hai đường thẳng x = -3 , x = -2 Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = x2 – y = -x2 – 2x +) HĐ3: Củng cố GỢI Ý HĐ3.1 Kí hiệu S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) hai đường thẳng x = a, x = b hình bên Khẳng định sau đúng? c b a c A S = ∫ g ( x ) − f ( x ) dx + ∫ f ( x ) − g ( x ) dx Trang | 27 C HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP Bài toán GỢI Ý Câu 1: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn − x − 2x + = − ( x − 1) + ≤ 2, ∀x đường y = − x − 2x + 1, y = m, ( m > ) , x = 0, x = Tìm m S = ( m + x + 2x − 1) dx ∫0 cho S = 48 A m = B m = C m = D m = 10 3 x3 = mx + + x − x ÷ = 3m + 24 Câu 2:Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị 0 hs y = cosx , y = sinx đt x = , x = π Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hs y = x, y = x D HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG Bài toán Cổng trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng Parabol, chiều rộng 8m, chiều cao 12, m Người ta cần lắp cửa sắt khép kín Biết 1m2 cửa sắt có giá 900.000 Hỏi Nhà trường phải trả tiền để làm cửa sắt vậy? Gợi ý: Giả sử parabol có phương trình y = ax + bx + c ( a ≠ ) 25 Đi qua C 0; ÷, D ( 4;0 ) nên ta có hệ phương trình: 25 c = c = 2 25 25 ⇔ b = ⇒ y = − x2 + b = 32 25 25 16a + a = − =0 32 S = 2∫ − 25 25 200 x + dx = m 32 Trang | 28 Bài tốn Ơng A có mảnh vườn elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải dất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.00 đồng/1m Hỏi ông A cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn) Gợi ý: x y2 Giả sử elip có phương trình + = Từ giả a b thiết ta có 2a = 16 ⇒ a = 8; 2b = 10 ⇒ b = Vậy phương trình elip là: y=− 64 − x ( E1 ) x y + =1⇒ 64 25 y = 64 − x ( E ) Khi diện tích dải vườn giới hạn đường (E1); (E2); x = −4; x = diện tích dải 2 4 5 64 − x dx = ∫ 64 − x dx 20 −4 số vườn S = ∫ Khi tiền π 3 T = 80 + ÷.100000 = 7652891,82 ≈ 7.653.000 6 Bài tốn Ơng An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng kích thước giống hình vẽ bên, biết đường cong phía Parabol Giá 1m rào sắt 700.000 đồng Hỏi Ông An phải trả tiền để làm cửa sắt (làm tròn đến hàng phần nghìn) Gợi ý: + Diện tích khung cửa tổng diện tích hình chữ nhật diện tích phần parabol phía + Diện tích hình chữ nhật S1 = AB.BC = 5.1,5 = 7,5 (m ) Gọi đường cong parabol có phương trình y = ax + bx + C Đường cong có đỉnh I ( 0; ) suy ra: b = 0, c = ⇒ y = ax + Đường cong qua điểm: Trang | 29 2 5 5 C ; ÷⇒ a = − ⇒ y = − x + 25 25 3 Phần diện tích tạo parabol đường thẳng y = 1,5 2,5 là: S2 = −2 ∫ 25 x −2,5 ⇒ S = S1 + S2 = + 0,5 ÷dx = 55 55 ⇒ T = 700000 ≈ 6417000 đồng 6 E HOẠT ĐỘNG TÌM TỊI MỞ RỘNG Những phép tính tích phân thực từ cách 2.000 năm Archimedes (287–212 trước Công nguyên), ông tính diện tích bề mặt thể tích khối vài hình cầu, hình parabol hình nón Phương pháp tính Archimedes đại dù vào thời chưa có khái niệm đại số, hàm số hay chí cách viết số dạng thập phân Tích phân, vi phân mơn tốn học phép tính này, giải tích, thức khám phá Leibniz (1646–1716) Isaac Newton (1642–1727) Ý tưởng chủ đạo tích phân vi phân hai phép tính nghịch đảo Sử dụng mối liên hệ hình thức này, hai nhà tốn học giải số lượng khổng lồ toán quan trọng toán học, vật lý thiên văn học J B Fourier (1768–1830) nghiên cứu truyền nhiệt tìm chuỗi hàm lượng giác dùng để biểu diễn nhiều hàm số khác Biến đổi Fourier (biến đổi từ hàm số thành chuỗi hàm lượng giác ngược lại) biến đổi tích phân ngày ứng dụng rộng rãi không khoa học mà Y học, âm nhạc ngôn ngữ học Người lập bảng tra cứu tích phân tính sẵn Gauss (1777–1855) Ơng nhiều nhà tốn học khác ứng dụng tích phân vào tốn tốn học vật lý Cauchy (1789–1857) mở rộng tích phân sang cho số phức Riemann (1826–1866) Lebesgue (1875–1941) người tiên phong đặt tảng lơ-gíc vững cho định nghĩa tích phân Kí hiệu tích phân nhà tốn học Leibniz đưa ra, tích phân hàm số f đoạn [a;b] ông định nghĩa giới hạn tổng: (1) Về sau hiệu kí hiệu lại (do chữ d chữ bắt đầu “diferentia”, nghĩa “hiệu số”), kí hiệu tổng số chữ S có nguốc từ chữ La-tinh “summa” (nghĩa “tổng số”), dấu tích phân biến dạng đơn giản chữ S Thành thử, giới hạn (1) kí hiệu Tính độ dài đường cong đồ thị f(x) giới hạn hai đường thẳng x=a x=b Ta chia nhỏ đường cong thành vô số đoạn “gần thẳng” lấy tổng chúng lại với Xét cho Với đủ nhỏ, ta xem độ dài đường cong đồ thị Trang | 30 f(x) giới hạn đường thẳng độ dài đoạn thẳng nối điểm , nhỏ, ta xem đoạn thẳng thuộc tiếp tuyến Như độ dài đoạn thẳng nối điểm tính , góc tạo tiếp tuyến trục Ox nên Tóm lại độ dài đường cong Lấy tổng độ dài đoạn thẳng nhỏ lại với nhau, ta cơng thức tính đồ thị f(x) giới hạn đường thẳng Trang | 31 ... tích hình phẳng kín” thực tế Nội dung: Giáo viên chiếu hình ảnh hồ Gươm đặt câu hỏi Cách thức: Quan sát hình ảnh trả lời câu hỏi Trang | 16 Diện tích khoảng 12 Đây hồ thủ đô Hà Nội? Theo em người... giải: a ∫ tan xdx = ∫ Giáo viên: dt = − ln t + C t - Xung phong trình bầy đề xuất cách giải Giáo viên: ⇒ ∫ tan xdx = − ln cos x + C - Gọi học sinh lên bảng làm b Đặt t = − 3x - Quan sát; động... hình thang cong + Phát biểu định nghĩa, tính chất tích phân + Phát biểu định lý tích phân Trang | 17 + Nắm phương pháp tính tích phân + Áp dụng tích chất phương pháp để tính tích phân - Nội dung: