SỐ PHỨC vận DỤNG CAO

SỐ PHỨC MỨC ĐỘ KHÁ TRỞ LÊN z  m  2m  Câu : Cho số phức z thỏa mãn với m số thực Biết tập hợp điểm số phức w    4i  z  2i đường tròn Tìm bán kính R nhỏ đường trịn A R  B R  10 C R  15 D R  20 Giải : w  2i    4i  z � w  2i    4i  z    4i  z  � �20 �m  1  4� � � w  2i �20 R  20 với tâm I  0;  Vậy đường trịn có bán kính Dấu "  " xảy m  1 Câu : Cho hai số phức A P  z1 , z2 thỏa mãn z1  z2   6i z1  z2  Tìm giá trị lớn P  z1  z2 B P  26 C P   D P  32  Giải : � �  a  c    b  d   100 �z1  a  bi �a  c   b  d  i   6i � ��  a, b, c, d �� � � � �z2  c  di  a  c   b  d   � �  a  c   b  d   � Gọi : �  a  c    b  d    a  c    b  d   104 � a  b  c  d  52 2 2 B.C S P  a  b2  c  d �    12  12 a  b2  c  d  26 Mặc khác : Cách 2: z ,z Gọi A, B điểm biểu diễn số phức mặt phẳng phức D điểm thứ tư hình bình z  z � OD  z1  z2  10 hành AOBD � D điểm biểu diễn số phức   z1  z2 độ dài đoạn AB 2 � AOB  �AB  OA  OB  2OA.OB.cos � � 104  OA2  OB � OA  OB  � OD  OA2  OB  2OA.OB.cos � AOB  100 OAB có � �  OA  OB  max  104  26 �  z1  z2  max  26   z   z   20 Câu : Cho số phức z thỏa Gọi m, n giá trị lớn giá trị nhỏ z Tính P  m  n Giải : z  x  yi  x, y �� M  x; y  Gọi điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Biên soạn sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng Page Trong mặt phẳng phức, xét điểm Ta có MF1  MF2   8  x    x 2 F1  8;0  ; F2  8;0    y   x  8   y   x  8 2 2   y  z    y  z  � z   z   20 � MF1  MF2  20  conts x2 y MF1  MF2  F1 F2 � Tập hợp điểm M elip có dạng a  b2  Do � max z  10 2a  20 �a  100 � x2 y � �� � �2 �   � � c 8 z  b  a  c  36 100 36 � � � z 1 T  z   z 1 Câu : Cho số phức z thỏa Tính giá trị lớn biểu thức A max T  Gọi B max T  10 z  a  bi  a, b �� � a  b  Ta có : T  z 1  z 1  C max T  D max T  Giải :  a  1  b2   a  1  b2 B.C S  a  b  2a   a  b  2a   2a   2  a � 1   22    Vậy max T  Câu : Cho A Gọi P z1 , z2 số phức thỏa z  a  bi  a, b �� z  i   iz z1  z2  P  z1  z2 Tính giá trị P C D P  B P  Giải : 2 z  i   iz � 4a   2b  1  a    b  � a  b2  Ta có : z ,z Gọi A, B điểm biểu diễn số phức mặt phẳng phức uuu r uuu r uuu r � z1  z2  OA  OB  BA  � OAB có OA  OB  AB  � OAB tam giác uuu r uuu r uur � P  z1  z2  OA  OB  OI  với I trung điểm AB z �� _ _ �� z zz 2 _ �� z Câu : Cho z z số phức liên hợp z Biết �� Tìm Biên soạn sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng Page A Gọi z 1 B z 3 z 2 C Giải : D z 4 _ z  a  bi  a, b �� � z  a  bi _ Ta có : z  z   a  bi    a  bi   2bi  � b  � � z z ��� �z z ��� � � _ _ z z2 z3   �� � z �� _ _ _ z2 _ �� �� �� � � z z z �� �� �� �z z � �� �� �� � � Theo giả thiết : 3 3 2 z  a  3a bi  3a  bi    bi   a  3ab   3a b  b  i Mà � � � 3a 2b  b  3a  b  a2  � �2 � �2 � �2 � z 2 b 3 b 3 b 3 � � � z Câu : Cho A z  z  a  bi  a; b ��  P  z 2  thỏa B z2   z P   z  2 P   b  a   12 C  P  z 4  , mệnh đề sau : D P   z  4 Giải Ta chọn z   i � P  36  16 Đáp án thỏa điều đáp án A ( dựa vào MTCT khoảng 1p xong ) Hướng dẫn cách chọn z   i Theo đề ta có : z   z �  a  b    2abi  a  bi �  a  b    4a b    a  b  Chọn a  � b   Câu : Cho số phức thỏa z 1 Tính tổng giá trị lớn giá trị nhỏ Giải : 2 z  a  bi  a; b �� � a  b  Đặt z 1    2a  b   a  1 z  z    a  2abi  b    a  bi   a  b   2a  a    2a  1 bi    a  1 P  z 1  z2  z 1  a    2a  1 b  2  2a  1 a  b   2a  Biên soạn sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng Page Vậy P   a  1  2a  � �7 � 13 max P  P � � � � max P  P  1  �8 � � 1� � a �� 1; �� � � � � a �� ;1�� � � 2� � �1 � �1 � � � P  P � � P  P � � � � �2 � �2 � � � Xét Xét � 13 15 max � 12 3P  � z   � i � z 1 � � P  � z  � i { � 2 z  Kết luận � Câu : Cho số phức P x y A Theo giả thiết ta có : z  x  yi  x; y �� thỏa z 1 Tính tổng giá trị lớn nhỏ D C  Giải : 2 � � �z  y  Py  P    * �x  y  � P  y   y2 1   �� �� �� �� �x  P  y �P  x  y �x  P  y �x  P  y B Để hệ có nghiệm phương trình �  ' *  P   P  1 �0 5 �� P 2 � P � max P  P   * có nghiệm với y �� z im  m ��  m  m  2i  Câu 10 : Cho số phức z  �k Giá trị k thuộc khoảng sau �1 � �1 � �; � �; � A �3 � B �2 � Gọi k  k �� �2 � �; � C �3 � Giải :   m  i im im 1 z   � z 1   m  m  2i  i  2mi  m im m i Biên soạn sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng giá trị nhỏ cho tồn �4 � � ;1� D �5 � Page  Ta có : a a   b �0  b b z 1   1 m  i m i Áp dụng k 0 � �2 � z  �k � �m  2m  �k � � m 1 Theo yêu cầu toán, tồn m  2m  m2   m  2m  f  m  m2  Xét kmin để z  �k � 1 �  f� � � � � �   f  m  Ta có 1 k giá trị k cần tìm � B Vậy f  m   1 k2 k 1 k 0 Cách biến đổi khác, bình thường : im im 1 m i z     2  m  m  2i  i  2mi  m i  m m 1 m 1 2 �m  m  � � � m  m2 1 i � z 1   � z 1  � � � � m2  m 1 � m  � �m  � � m   m  1 � � � m  2m  m  1   m  1  m  2m  � � �  � z 1  �  m  � �m  � m2  �  m2  1 � � 2 z   2i  z  4i , w  iz  w Câu 11 : Cho số phức z , w thoả Giá trị nhỏ cùa Giải : z  a  bi  a, b �� Gọi 2 z   2i  z  4i �  a     b    a   b   � a  b   � Số phức z  a    a  i � w   a  1  2 � w   a  1  a � a Dấu "  " Biên soạn sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng Page T   z3  z  z  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Giải : T �1  z  z  z   Dấu "  " xảy z  Ta có :  z3 3  z �0 �  z �   z3  z3 z  z 1  �   z �2, z  1 1 z  3 1 z 1 z � T 2 Dấu "  " xảy z  1 �max T  � Vậy �min T  Câu 12 : Cho z 1 z   2a  bi  1 z   a  2bi    a, b  �, b Câu 13 : Cho phương trình phức sau : sau a, b phương trình có nghiệm thực : 0 Với điều kiện �  36b   36b �  36b 2   36b a a a 9 9 A B C D Giải : x �� Gọi nghiệm thực phương trình : a � x   2a  bi  1 x   a  2bi   � x   2a  1 x  a  4b   bx  4ab  i  � 2 Áp dụng định nghĩa số phức : Ta có : 2 � �x   2a  1 x  a  4b  �x  4a �� �� bx  4ab   4a    2a  1  4a   a  4b2  � � �x  4a 2� ' �� �  * a   '  b '2  ac   36b   a  a  b  *   � có nghiệm z 2017   P z A  2017  max P   2017  P  Câu 14 : Cho số phức Gọi Tính 2017 2016 2017 A A  2017 B A  2017 C A  2017 D A  2017 Giải : 2017 2017 2017 max P  z  � max P  z  z Ta có : 2017 2017 2017 P  z  � P  z  z Biên soạn sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng Page Gọi z 2017  a  bi  a, b �� � Tập hợp điểm biểu diễn số phức z 2017 đường trịn tâm I  0;1 có bán kính R  � max P 2017  max P  2017.2017 � �� � � A  2017.2017 � 2017 P  P 0 � � �z1  z2  z3  � � 2 2 z1  z2  z3  � Tính A  z1  z2  z2  z3  z3  z1 Câu 15 : Cho số phức z1 ; z2 ; z3 thỏa � 2 8 A B 2 C D Giải : �z1  z2   z3 2 � �z1  z3   z2 � A   z1   z2   z3  �z  z   z �2 z z z  z2  1; z1  z2  Câu 16 : Cho số phức z1 , z2 thỏa Tính A B C Giải : � �z1  a  bi �z1  z2   a, b, x, y �� � � � �z2  x  yi �z1  z2  Gọi � a  b2  x  y  � a  b2  x2  y  � � �� �� 2  a  x    b  y   �2  ax  by   � � z1  z2   a  x   b  y  a   2i  Câu 17 : Xét số phức z thoả  z 2 2 z A B Ta có :   2i  z   b    x  y    ax  by   z  D 10 2i z Mệnh đề : 1 z   z  2 C D Giải : 10 2i z � 10 � �  z     z  1 i  � �z �z � � � Biên soạn sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng Page � � � 10 10 �z   z     z  1 i  � � � �z z � � 10 � z � �z � � � � � 10 � �  z     z  1  � �z � � � � 2   � z  z   �  z  1  z  1 z   � z  2 z1 , z2 thỏa z  2i  iz  z1  z2  Tính P  z1  z2 Giải : z  a  bi  a, b �� M , N z ,z Gọi , điểm biểu diễn mặt phẳng phức , z  2i  iz  � a  b  Ta có : uuuu r uuur uur � z1  z2  OM  ON  OI với I trung điểm MN uuuu r uuur uuuur � z1  z2  OM  ON  NM  Câu 18 : Cho số phức �1 � O � OI  MN � OI  OM  � MN �  � OI  2 � �  OMN Ta có : cân 2 điểm A hình vẽ bên điểm Câu 19 : Cho số phức z thỏa mãn w iz biểu diễn z Biết hình vẽ bên, điểm biểu diễn số phức bốn điểm M , N , P , Q Khi điểm biểu diễn số phức w : A Điểm Q C Điểm M z  B Điểm N z  a  bi  a, b �� D Điểm P Giải : điểm biểu diễn số phức A Do z thuộc góc phần tư thứ mặt phẳng Oxy , nên a, b  b a w   2i iz a  b a  b Lại có � Điểm biểu diễn w nằm góc phần tư thứ ba mặt phẳng Oxy Gọi w 1    z  2OA iz i z w Vậy điểm biểu diễn số phức điểm P z  a  bi  a, b �� z   i  z  2i P  z   3i  z  Câu 20 : Cho số phức thỏa mãn đạt giá trị P  a  b nhỏ Tính : Biên soạn sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng Page Giải : Ta có : z   i  z  2i � a  b   a  2 P  P  z   3i  z     b  3   a  1 2  b2 M  a; b  , A  2;3 , B  1;0  Xét mặt phẳng phức Oab , xét điểm với M điểm biểu diễn số phức z � M � d  : a  b    a  2   b  3   a  1 MA  MB  Ta có : Vậy ta tìm M �d cho  x  y  x  y   � A , B  A A  B B  Do thuộc phía so với đường thẳng d MA  MB  2  b2 � Gọi A ' điểm đối xứng A qua d �3 � M  A ' B �d � M � ; �� P  a  2b  �2 � Ta có : MA  MB  MA ' MB �A ' B Dấu "  " xảy z  a  bi  a, b �� z   i  z  2i P  z   3i  z   2i Câu 21 : Cho số phức thỏa mãn đạt giá P  a  b trị nhỏ Tính : Giải : z   i  z  2i � a  b  Ta có :  a  2 P  P  z   3i  z     b  3   a  1 2   b  2 M  a; b  , A  2;3 , B  1; 2  Xét mặt phẳng phức Oab , xét điểm với M điểm biểu diễn số phức z � M � d  : a  b   MA  MB   a     b     a  1   b   MA  MB  Ta có : Vậy ta tìm M �d cho   xA  y A  1  xB  yB  1  � A, B khác phía so với đường thẳng d Do 2 2 �3 � M  AB �d � M � ; �� P  a  2b  �2 � Ta có : MA  MB �AB Dấu "  " xảy z   4i  P  z  2i Câu 22 : Cho số phức z thỏa Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ P Tính A  M  m Giải : z  a  bi  a, b �� Gọi 2 z   4i  �  a  3   b    Ta có : Biên soạn sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng Page M � C  :  a  3   b    Vậy tập hợp điểm A  2;1 Trong mặt phẳng phức xét , ta có : � �MAmin  AI  R  34  � MA  AI  R  34  Vậy : � max có tâm I  3;  P  z   i  MA bán kính R  M � C  :  a  3   b    với z   i  z  2i P  z  3i Câu 23 : Cho số phức z  a  bi thỏa đạt giá trị nhỏ Tính A  a  2b Giải : z  a  bi  a, b �� Gọi z   i  z  2i � a  b   Ta có : M �   : a  b   Vậy tập hợp điểm A  0;3 � P  MA M �   Trong mặt phẳng phức xét với MAmin  d � A;    � � � 2 Vậy Câu 24: Cho số phức z, w khác cho 1 a a A B zw 2 z  w Phần thực số phức a C a  D Giải : u z w là: Cách : u  a  bi  a, b �� Gọi Ta có : � z  �2 �u  a  b2  w � � zw 2 z  w � � �� �z  w  z  w  u  �  a  1  b2  � � w w � �  a  1  a  2a   � a  Cách : � a  b   * � z  � z  � 1 w   w � � �a 2 w  a  bi  a, b ��  a  1  b2  � Gọi Chọn 15 1 15 �u    i  * � b  8 15 a  i vào 2 Thay Biên soạn sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng Page 10 z   z  i �2 Câu 25 : Xét số phức z thỏa Mệnh đề : 1  z 2 z   z  z  2 A B C D Giải : A  1;0  , B  0;1 M  x; y  Xét điểm với M điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Ta có : z 1  z  i   x  1  y  x   y  1  MA  3MB 2MA  3MB   MA  MB   MB �2 AB  MB  2  MB �2 Ta có : � z   z  i �2 2 z   z  i �2 Mà theo giả thuyết ta có : z 1  z  i  2 Vậy �M �AB �� M  B M  0;1 z � MB  � "  " Dấu xảy �z  � � � Câu 26 : Gọi z1 , z2 , z3 , z4 nghiệm phương trình �2 z  i � 2 2 P   z1  1  z2  1  z3  1  z4  1 Tính Giải : i z� Điều kiện : �  z  1   z  i  4 2 2 � �� z  1   z  i  � �z  1   z  i  �  �� � 2 � �� 0  z  1   z  i  �  z  1   z  i  �  z  1   z  i  � � �� � �� � �  3z   i    z   i  � z    4i  z � � � � 1 i z � � z   i 17 �� �P � z0 �  4i � z  � � Câu 27 : Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M , M � Số phức w  z (4  3i ) số , N , N �là bốn đỉnh hình chữ phức liên hợp có điểm biểu diễn N , N � Biết M , M � nhật Tìm giá trị nhỏ z  4i  Biên soạn sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng Page 11 A 34 B C Giải : D 13 z  a  bi  a, b �� Gọi số phức � w   a  bi    3i    4a  3b    3a  4b  i � w   4a  3b    3a  4b  i �MM '  Ox �� �NN '  Ox Ta có : M M ' đối xứng qua trục Ox , N N ' đối xứng qua trục Ox , N , N �là bốn đỉnh hình chữ nhật MM ' N ' N MM ' NN ' Ta có : M , M � A  5; 4  � z  4i   MA Trong mặt phẳng phức Oab , xét điểm Trường hợp : Với hình chữ nhật MM ' N ' N � MN  M ' N ' � MN / / Ox � yM  yN � b   3a  4b  � a  b  � M � d1  : a  b  Vậy MAmin  d � A;  d1  � � �   4   Trường hợp : Với hình chữ nhật MM ' NN ' � MN '  M ' M ' � MN '/ / Ox � yM  y N ' � b    3a  4b  � 3a  5b  � M � d  : 3a  5b  Vì Vậy MAmin  d � A;  d  � � � z  a  2bi  a, b �� z  a   2b  34 f  x   ax  bx  C Giải: D Biết f  �1 �1 Tính giá trị Ta có: f  ��۱ 1 1�۱a�b 1 ax � � 2b  y , ta có Đặt � đa thức: B 2 A 32  52  d� A;  d1  � A;  d  � � � d � � �� MAmin  Câu 28 : Cho số phức z lớn 3.5   4  2a 2b 2x y  1 ۱��� 2  1 2 �2 x  y  �2 � � 2 �2 x  y  �2 � x  y  �0 � � x  y  �0 �  * � x  y � � � x  y �0 � * A  0;0  , B  1;  , C  2;0  , D  1; 2  Miền nghiệm S   tứ giác ABCD (kể cạnh) Với Biên soạn sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng Page 12 Dễ dàng nhận thấy ABCD hình thoi M  x; y  Gọi điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng Oxy � M chạy tung tăng miền S Ta có z  OM � z max  OM max OM max  OB  OD � z max  Ta dễ nhận thấy Nhưng nhóm muốn chứng minh thêm cho người xem , phần chữ màu đỏ CHỨNG MINH :  OBC Vì ODC đối xứng qua trục Ox nên xét M chạy tung tăng OBC ( O �A ) OM  BC OM ON N thuộc cạnh BC Gọi N  � HN �HB � BC � � HN �HC � H hình chiếu O Ta lại có HN hình chiếu ON BC HB hình chiếu OB BC HC hình chiếu OC BC ON �OB OM �OB � � � � OM max  max  OB; OC � ON �OC � OM �OC � Từ ta có � Mà OB  � OM � max � OC  � OB M B M �B  1;  � OM max � � � z max  M �D  1; 2  � Do tính đối xứng nên 1 1   số phức w thỏa z w z  w Tính w : Câu 29 : Cho số phức z có Giải : 1 2w  1 z � w �  �  2w  1  2w w  2 w 2 Chọn: z  � w2  w   � w    i� w  4 Biên soạn sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng Page 13 z z 1 P    z2 z1 Câu 30 : Cho số phức z1 , z2 thỏa z1 z2 z1  z2 Tính giá trị Giải : �z1  1 1 �2  �  z2  1  z2  1  z � z22  z2   � z2    i � z �1 z2  z2 2 Chọn �2 z z �P   z2 z1 Câu 31 : Cho số phức z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ w z  z    z   2i   z  3i  1 số phức w thỏa w  z   2i z  z    z   2i   z  3i  1 Giải : Ta có : � z   2i   �  z   2i   z   2i    z   2i   z  3i  1 � � � � z   2i    z  3i  1  z   2i   � z   2i � w  Trường hợp :  z   2i    z  3i  1 � b   với z  a  bi  a, b �� Trường hợp : � � �w� a  i �  2i   a    i � w  � �  a  2  � f  z     i  z  az  b f  1 , f  i  Câu 32 : Cho hàm số phức với a, b số phức Biết số thực Tính P a b giá trị nhỏ Giải : a  x1  y1i �  x , x , y , y �� � b  x2  y i 2 � Gọi : f  z     i  z  az  b Ta có : � f  1   i  a  b    x1  x2    y1  y2  1 i � f  i      i    b   4  y1  x2    1  x1  y2  i y  y   � � �1 � x1  y1   f  1 , f  i  x1  y2   � Do số thực a �   : x  y   Vậy để thỏa yêu cầu tốn mặt phẳng Oxy cịn b số phức tự � Pmin  a  b  d � O;    � � �  Biên soạn sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng Page 14 z   2i  2 Câu 33 : Cho số phức z thỏa Tính tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z   2017 z   4i Giải : z  a  bi  a, b �� Gọi M  a; b  Gọi điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức A  1;0  , B  3;  Trong mặt phẳng phức xét điểm 2 2 �MA  MB  AB  py  ta  go  �  P  2017MB   MB  AB  � P  MA  2017 MB Ta ln có : � 2 2 �  2017  1 MB  2.P.2017 MB   P  AB    *  * có nghiệm : Để phương trình  ' * �0 � 2017 P   2017  1  P  AB  �0  P2 AB  2017 1 P AB  2017 1 z   2i  2 P  a z   b z   4i Câu 34 : Cho số phức z thỏa Tính giá trị lớn biểu thức với a, b số thực dương Gọi z  x  yi  x, y �� M  x; y  Giải : điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức A  1;0  , B  3;  Trong mặt phẳng phức xét điểm 2 2 �MA  MB  AB  py  ta  go  �P  bMB � 2 � � � � MB  AB  P  aMA  bMB � a � Ta ln có : � 2 �b � �P � 2.P.b � �  1�MB  MB  �  AB �  * a �a � �a � Gọi  * có nghiệm : Để phương trình �P b 2 �b � 2�  ' * �0 � P  �  1� �  AB ��0 a �a � �a � � P �b � � �� 1�AB 2 a �a � P2 AB  a b  P AB a b M  4u  3v u  v  10, 3u  4v  2017 Câu 34 : Cho số phức u , v thỏa Tính Giải : Biên soạn sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng Page 15 Đặt v  a  bi  a, b �� � 161 a 2 � � v  10 � a  b  100 60 � � � u  10 � � �� �� 2  30  4a   16b  2017 �b  100  a  93 71 � �30  4v  2017 � 80 � Chọn � M  40   a  bi   2983 � M  2983 Câu 35 : Cho số phức Đặt z1  a  bi  a.b �� z1 , z2 thỏa z1  2, z2  1, z1  z2  Tính M  z1  z2 Giải : � a 2 � � a  b  � �z1  � � z2  � � �� ��  2a  3  4b  16 �b  �2 z1  z2  � � Chọn 55 � M  11 z    4i   Câu 36 : Cho số phức z thỏa mãn Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ 2 2 P  z   z i Tính giá trị A  M  m Giải : z  a  bi  a, b �� Gọi 2 z    4i   �  a  3   b    Ta có : � z thuộc đường trịn  C  có tâm I  3;  bán kính R  Mặt khác : P  z   z  i � 4a  2b   P     : 4a  2b   P  Vậy z thuộc đường thẳng �z � C  � � � z �   I;  �  C  �   � d � � � ��R Ta có : Để z 23  P � 13 P 33 � A  1258 z �2 Câu 37 : Cho số phức z �0 thoả Họi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z i P z Tính A  M  m : Giải : Biên soạn sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng Page 16 zi �  T  1 z  i z Gọi T  � Khơng có số phức thoả mãn i i T �1 � z  � z  �2 � T  � T 1 T 1 Xét T I  1;0  Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức T hình trịn tâm có bán kính � M  OI  R  � � � A �� � m  OI  R  � R  4i z 5 Câu 38 : Cho số phức z thỏa Tìm giá trị nhỏ z  Giải :  4i  A  4i  A  4i  A  4i A �z �z  �  �  A  4i  A z 5 A A A Đặt Gọi A  x  yi  x, y �� �  x  3   y  4  x2  y 2 � 6x  y   A �   : x  y   Vậy tập hợp điểm số phức � A  d � O;    � � � z  4i z 5 Câu 39 : Cho số phức z thỏa Tìm giá trị nhỏ z  Giải : z  4i A z  Xét A  � khơng có số phức z thỏa Vậy A �1 Đặt A  4i A  4i A  4i �z � z  �  � A  4i  A  A 1 A 1 A 1 Gọi A  x  yi  x, y �� �  5x    y  4   x  1  y2 � 50 x  40 y   A �   : 50 x  40 y   Vậy tập hợp điểm số phức � A  d � O;    � � � 10 41 Biên soạn sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng Page 17 1   z  z  z3  z ,z ,z z ,z ,z Câu 40 : Cho số phức phân biệt thỏa mãn z1 z2 z3 Biết biểu diễn điểm A, B, C mặt phẳng phức Tính góc �ACB Giải : Ta có : z z 1 z z z z   �   �  2  � z1  z2  z3 z1 z2 z3 z1.z1 z2 z2 z3 z3 z1 z2 z3 Do tính đối xứng trục Ox nên C điểm thứ hình bình hành OACB OB  AC � � OA  OC  AC � OB  OA  OC � Từ ta có : � OAC tam giác � Góc �ACB  1200 z  a  bi  a, b  �; a, b  f  x   ax  bx  f  1 �0, Câu 41 : Cho số phức Đặt đa thức Biết �1 � f � �� �4 � Tính giá trị lớn z Ta có : Giải : f  1�� a b  0�۳ b a a b �1 � f � �-���- �4 � 16 b a Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng Oxy miền kín giới hạn đường thẳng sau : x x  0; y  0; y  x  2; y    z � max z  max OM Gọi M điểm biễu diễn số phức � M định sau A  0;0  , B  2;0  , C  2;  , D  0;3 � max Om  OC  z2  z1 z  2i  z Câu 42 : Cho số phức, z2 số thực thoả mãn  i số thực Gọi M , m giá 2 z z trị lớn giá trị nhỏ Tính A  M  m Giải : Oxy Trong mặt phẳng phức : Biên soạn sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng Page 18 Gọi A, B điểm biểu điểm số phức z1 , z2 � A � C  : x   y    B �Ox uuur uuu r uuur � z2  z1  OB  OA  AB uuu r z1  z2  k  k �� � AB  k  1;1 � Ta có  2i Đường thẳng AB có  1; 1 véctơ pháp tuyến Ta có : AB tạo với trục Ox góc 45 max AO � max AB   3 � AO � sin 45 sin 450 � AB  �� � P  20 AO sin 450 � max AB    � sin 450 sin 450  z Câu 43 : Cho số phức z thỏa mãn phần ảo số phức z Đặt z  a  bi  a, b �� z  2, 1  z số ảo Tính trị tuyệt đối phần thực Giải : 2 z   2  z   z.z z 2z  z  z 2 Ta có :  a  bi    a  bi  z �a  3bi � � 2z  z  z    a  bi   �  a � bi 2 � � �a  3bi � �  z  1  z  �  a � bi � � a �0 a  3bi � �  a  � �  z  1  z a  9b 2 � Do số ảo � a  � � z  � a  b2  � b2  � a  � � �a b 5 � b � � Mặt khác  z 1  z  Câu 44 : Cho z  z1 , z2 nghiệm phương trình z  a  bi  a, b �� Ta có :  3i  iz  z   9i thõa mãn z1  z2  Gọi M , m z1  z2 Tính P  M  m Giải : 2  3i  iz  z   9i �  a  3   b     C  giá trị lớn giá trị nhỏ Đặt z Biên soạn sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng Page 19 z ,z Trong mặt phẳng phức Oxy , gọi A, B điểm biểu diễn số phức I , H tâm  C  , trung điểm AB đường tròn �A, B � C  :  x  3   y    � �� uuu r uuu r uuur z1  z2  OA  OB  OH  2OH � � OI  IH �OH �OH  HI Với điểm O, I , H ta có : � AB AB � 44 -� OI �� IA - ��  2OH � OI IA2 � 4 � � � � Dấu "  " xảy : Khi OH đạt giá trị nhỏ O, H , I thẳng hàng theo thứ tự Khi OH đạt giá trị lớn O, I , H thẳng hàng theo thứ tự 2OH 56 P 20 z1  z2 z   i  1, z   z  i z , z 2 Câu 45 : Cho số phức thoả mãn  i số thực Gọi M , m z z giá trị lớn giá trị nhỏ Tính P  M  m Giải : z1 , z2 Gọi A, B lầnuulượt làur điểm u r uu uuurbiểu diễn số phức � z2  z1  OA  OB  AB � z2  z1  AB u u u r z1  z2  k  k �� � AB  k  2; 1 � 2i Ta có Đường  1;  thẳng AB có véctơ pháp tuyến Trong mặt phẳng phức Oxy ta có : 2 � �z1 � C  :  x  3   y    � �z2 � d  : x  y  d Ta có góc AB : uuur uu r nAB nd 10 cos  AB; d   uuur uu r  10 � sin  AB; d   nAB nd 10 I; d  �  C  không cắt  d  � d � � � R C   Gọi H hình chiếu A  d  Ta có � d� I; d  � max AH � � R C  max AB     10 � sin  AB; d  sin  AB; d  � AO � AB  �� � P  14 sin  AB; d  d� I; d  � � AH � � R C  max AB     10 � sin  AB; d  sin  AB; d  � Biên soạn sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng Page 20 w z  z thực Giá trị lớn Câu 46 : Cho số phức z thoả mãn z số thực P  z 1 i : Giải : z  z �2 � w � � �   �  z� �� 2 z w z �z � � z Ta có : Do z � z  a  bi  a, b �� Gọi  a  bi  2 � 2a � � � � z  a  bi  2  a  bi  � 2  a � b � 2  1� i z a  bi a b �a  b � �a  b � � b   loai  � � ��� b � 2  1� � �2 w �a  b � a  b2  � Do C  : a2  b2   z Vậy tập hợp điểm số phức đường tròn mặt phẳng phức Trong mặt phẳng phức xét điểm A  1;1 � P  MA � max P  OA  R C   2 z  z2  Câu 47 : Cho hai số phức z1 , z2 thỏa: Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa: z  z1  z  z2 A R đường trịn có bán kính R Tính giá trị R 10 14 R R R 3 B C D Giải: Trong mặt phẳng phức, gọi Z , Z1 , Z hai điểm biểu diễn số phức z , z1 , z2 A điểm thứ tư hình bình hành OZ AZ1 uuuu r uuuu r uuu r � OZ1  OZ  OA � z1  z2  OA  uuur uuuu r z  z1  OZ  OZ1  ZZ1 Ta có: uuur uuuu r z  z2  OZ  OZ  OP với P điểm thứ tư hình bình hành OZ PZ Gọi N trung điểm OA � ON  2,5 H trung điểm cạnh OP � OP  2OH H trung điểm cạnh ZZ Ta có HN đường trung bình ZZ1Z Biên soạn sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng Page 21 � ZZ1  HN z  z1  z  z2 � ZZ1  2OP � HN  4OH � HN  HO u u r u u r ON 2,5 �  �IN  2 IO � OI  3 �uuu r uuu r � JN  JO � OJ  ON  2,5 Gọi I , J hai điểm thỏa: � Ta chứng minh HI , HJ đường phân giác phân giác đỉnh H HON � HI  HJ � H thuộc đường trịn đường kính Gọi O1 trung điểm IJ � O1I  IJ  10 Gọi O ' là điểm cho O1 trung điểm O ' Z 10 Ta có: O1 H đường trung bình Với z1 , z2 khơng đổi A, Z1 , Z � N cố định � I , J cố định � O1 cố định � O ' cố định 10 R Vậy Z thuộc đường tròn tâm O ' , bán kính O ' ZZ � O ' Z  2O1H   35i z   i  z1 z z Câu 48 : Cho số phức thỏa , số phức thỏa z2  23  4i số thực số phức w thỏa w   i  w   i �2 P  w  z1  w  z2  z1  z2 điều kiện Cho , gọi a giá trị nhỏ biểu thức P (nếu có) Đáp án sau : 16 10 10 64 a a a 5 A B C D Đáp án khác Giải : Oxy A , B , C Trong mặt phẳng phức gọi điểm w , z , z biểu diễn số phức z  a  bi  a, b �� � z1   i  z1 � a  b   Gọi � z1 � 1  : x  y   mặt phẳng phức Oxy uuur  35i  k  k �� � CD   1; 7  k Ta có : z2  23  4i với 23 � � D� ; � �5 � Vậy z2 thuộc đường thẳng có véctơ Biên soạn sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng Page 22 phương  1; 7  qua điểm D không lấy điểm D � z2 �   : x  y  33  23 z2 �  i 5 w   i  w   i �2 � AE  AF �2 E  1; 1 F  2; 1 Ta có : với Mà AE  AF �2 EF  dấu "  " xảy w   i � P  AB  BC  CA Ta có A thuộc góc nhọn tạo đường thẳng A,A Gọi điểm đối xứng A qua  1  ,    � P  AB  BC  CA  A1 B  BC  A2C �A1 A2   1  ,    �A1  2;3 � �AB  A1 B � �38 � �� �A2 � ;  � �AC  A2C � �5 � 16 10 � Chọn A … ah mà :v � �B  A1 A2 � 1  � C  A1 A2 �   "  " Dấu xảy � Ta cần tìm tọa độ C để so sánh với điểm loại 23 �  2  � C � � ; �� �5 � Không tồn điểm C � Không tồn Pmin Câu 49: Gọi S tập hợp giá trị thực tham số m để tồn số phức thoả z.z  z 3i  m có nghiệm A B C D Đặt Giải : z  a  bi  a, b ��  C  : a  b2   C2  :  a  giao điểm đường tròn    b  1  m 2 � Số phức z m � Do đường tròn khác tâm Ứng với tồn số phức đường trịn phải tiếp xúc tiếp xúc ngồi � Có số phức thoả yêu cầu toán Câu 50 : Có số phức z thoả mãn Đặt z  a  bi  a, b �� z z  số ảo ? Giải : z  3i  z4 � 4a � 4bi z �  1  � 1  2 � z z a  b a  b số ảo � � z  Ta có số ảo Biên soạn sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng Page 23 4a  �  a    b2  a b 2 z  3i  � a   b  3  25 Ta có : �1 C : a    b2  C : a   b  3  25 Số số phức z số giao điểm đường tròn      � Có giao điểm, ta loại z  khơng xác định số phức � có số phức thoả 2 z  2i  2 z  1 Câu 51 : Có số phức z thỏa mãn  số ảo ? A B C D Giải : 2 z  a  bi  a, b �� � �  a  1  bi � � �   a  1  b   a  1 bi Đặt b  a 1 � �  a  1  b  � � z  1 b  1 a � Do  số ảo Vậy mặt phẳng phức Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng  d1  : y  x  1,  d2  : y   x 2 z   i  2 � z � C  :  x     y  1  Mặt khác ta có :  d  � C  ,  d1  � C  � Có Vậy số số phức z thỏa yêu cầu toán tồng số giao điểm phân biệt giao điểm phân biệt � có số phức thỏa 2 1 i z ,z w ,w Câu 52 : Cho số phức thỏa , số phức thỏa điều kiện w   2i w  w2  2 u   i  u   2i �6 số thực , số phức u thỏa Gọi giá trị nhỏ biểu P  u  z1  u  z2  u  w1  u  w2 thức sau (nếu có) Đáp án sau : A  26 B  C  26 D Đáp án khác z 1 i  z z1  z2  Giải : z , z � z1  z2  � AB  Trong mặt phẳng phức gọi A, B điểm biểu diễn số phức Biên soạn sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng Page 24 Gọi z  a  bi  a, b �� � z   i  z � a  b   z , z �   : x  y   Vậy mặt phẳng phức với z1  z2  Trong mặt phẳng phức gọi X , C , D là điểm biểu w, w1 , w2 � w1  w2  � CD  diễn số phức uuur 1 i  k  k �� � XY  k  1;1 Y  4; 2  Ta có : w   2i với  1;1 Vậy w thuộc đường thẳng có véctơ phương Y  4; 2  qua điểm w �4  2i � w �   : x  y   Y  4; 2  loại điểm Trong mặt phẳng phức gọi M điểm biểu diễn số phức u E  2;1 , F  1; 2  � u   i  u   2i �6 � ME  3MF �6 Ta có MF  � M  1; 2  Mà 2ME  2MF �2 EF  Vậy dấu "  " xảy � P  MA  MB  MC  MD với AB  2CD  Ta cần tìm Pmin Gọi E , F định thứ tư hình bình hành MCDE , MBAF     Gọi E ' điểm đối xứng E qua , F ' điểm đối xứng F qua �MC  DE  DE ' � P   E ' D  DM    F ' A  AM  �E ' M  F ' M � MB  AF  AF ' � Ta có : � �D  ME '�   � A  MF '� 1  Dấu "  " xảy �  � MHA  ANF '  g  c  g  Gọi N hình chiếu M   với � MA  AF '  AF  MB � MAB cân M Chứng minh tương tự MCD cân M � Pmin  MA  MB  MC  MD   26 N  FF '� 1  Kiểm tra lại tọa độ C , D Ta viết phương trình đường trịn tâm M bán kính R  MC C  4; 2  � � � C , D   C  �   � � �D  1; 5  Không tồn Pmin w �4  2i Biên soạn sưu tầm : Nguyễn Thành Tiến - Nguyễn Quang Hưng Page 25 ...  3  25 Số số phức z số giao điểm đường tròn      � Có giao điểm, ta loại z  khơng xác định số phức � có số phức thoả 2 z  2i  2 z  1 Câu 51 : Có số phức z thỏa mãn  số ảo ? A...  d1  � C  � Có Vậy số số phức z thỏa yêu cầu toán tồng số giao điểm phân biệt giao điểm phân biệt � có số phức thỏa 2 1 i z ,z w ,w Câu 52 : Cho số phức thỏa , số phức thỏa điều kiện w ... �P � z0 �  4i � z  � � Câu 27 : Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M , M � Số phức w  z (4  3i ) số , N , N �là bốn đỉnh hình chữ phức liên hợp có điểm biểu diễn N , N �