Câu 1: Cho số thức z Ỵ £ * thỏa mãn z + 1 ≤ M = max z + Khẳng định sau đúng? z z B < M < A −1 < M < C < M < D M + M + M < Lời giải: Chọn C 3 1 1 1 1 3 z + ÷ = z + + 3 z + ÷⇔ z + = z + ÷ − 3 z + ÷ z z z z z z 3 1 1 1 1 z + = z + ÷ − 3 z + ÷ ⇔ z + ÷ − 3 z + ÷ ≤ z z z z z 3 1 1 1 −3 z + Mặt khác: z + ÷ − z + ÷ ≥ z + z z z z Suy ra: z + 1 − z + ≤ , đặt t = z + ≥ z z z Ta được: t − 3t − ≤ ⇔ ( t − ) ( t + 1) ≤ ⇒ t ≤ ⇒ z + Câu 2: ≤ ⇒ M = z 5i z D Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức A = + A C Lời giải B Chọn C Ta có: A = + Câu 3: 5i 5i ≤1+ = + = Khi z = i ⇒ A = z z z Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn M max giá trị nhỏ M biểu thức M = z + z + + z + A M max = 5; M = B M max = 5; M = C M max = 4; M = D M max = 4; M = Lời giải Chọn A Ta có: M ≤ z + z + + z + = , z = ⇒ M = ⇒ M max = Mặt khác: M = − z3 1− z + 1+ z ≥ z = −1 ⇒ M = ⇒ M = 1 − z3 + + z3 ≥ − z3 + + z3 =1 Câu 4: Cho số phức z thỏa z ≥ 2 Tìm tích giá trị lớn nhỏ biểu thức P = A B C D z +i z Lời giải Chọn A Ta có P = + i i 1 ≤1+ ≤ Mặt khác: + ≥ − ≥ z |z| z |z| Vậy, giá trị nhỏ P , xảy z = −2i; giá trị lớn P xảy 2 z = 2i Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = + z + − z A 15 B C 20 Lời giải D 20 Chọn D Gọi z = x + yi; ( x Ỵ ¡ ; y Ỵ ¡ ) Ta có: z = ⇒ x + y = ⇒ y = − x ⇒ x ∈ [ −1;1] Ta có: P = + z + − z = ( 1+ x) + y2 + ( 1− x) + y2 = ( 1+ x) + ( 1− x ) Xét hàm số f ( x ) = ( + x ) + ( − x ) ; x ∈ [ −1;1] Hàm số liên tục [ −1;1] với x ∈ ( −1;1) ta có: f ′ ( x ) = 2( 1+ x) − = ⇔ x = − ∈ ( −1;1) 2( 1− x) 4 Ta có: f ( 1) = 2; f ( −1) = 6; f − ÷ = 20 ⇒ Pmax = 20 5 Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + + z − z + Tính giá trị M m A 13 B 39 C 3 Lời giải Chọn D Gọi z = x + yi; ( x Ỵ ¡ ; y Ỵ ¡ ) Ta có: z = ⇔ z.z = Đặt t = z + , ta có = z − ≤ z + ≤ z + = ⇒ t ∈ [ 0; 2] t2 − Ta có t = ( + z ) ( + z ) = + z.z + z + z = + x ⇒ x = 2 D 13 Suy z − z + = z − z + z.z = z z − + z = ( x − 1) = 2x − = t − Xét hàm số f ( t ) = t + t − , t ∈ [ 0; 2] Bằng cách dùng đạo hàm, suy max f ( t ) = Câu 7: 13 13 ; f ( t ) = ⇒ M n = 4 Cho z số phức thay đổi thỏa mãn z = Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = + z + − z + z Tính giá trị biểu thức T = B T = A T = 13 C T = 13 M 4m + D T = Lời giải Chọn B Gọi z = ⇒ z = ⇔ z.z = Đặt t = + z , ta có = z − ≤ z + ≤ z + = ⇒ t ∈ [ 0; ] Khi t = ( + z ) ( + z ) = + z.z + z + z = + ( z + z ) ⇒ z + z = t − z − z + = z − z + z z = z z − + z = t − 13 M = ⇒T = Xét hàm số f ( t ) = t + t − đoạn [ 0; 2] , ta m = Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + = z Khẳng định sau đúng? A −1 +1 ≤ z ≤ 6 B − ≤ z ≤ + C − ≤ z ≤ + D −1 +1 ≤ z ≤ 3 Lời giải Chọn B Áp dụng bất đẳng thức u + v ≥ u + v , ta 2 z + −4 = z + + −4 ≥ z ⇒ z − z − ≤ ⇒ z ≤ + 2 z + z = z + + − z ≥ ⇒ z + z − ≥ ⇒ z ≥ − Vậy, z nhỏ Câu 9: Biết số phức z − 1, khi z = −i + i z lớn thỏa mãn đồng thời hai điều kiện + 1, khi z = i + i z − − 4i = M = z + − z − i đạt giá trị lớn Tính mơđun số phức z + i biểu thức A z + i = 41 B z + i = C z + i = D z + i = 41 Lời giải Chọn D Gọi z = x + yi; ( x Î ¡ ; y Î ¡ ) Ta có: z − − 4i = ⇔ ( C ) : ( x − 3) + ( y − ) = : tâm 2 I ( 3; ) R = Mặt khác: 2 2 M = z + − z − i = ( x + ) + y − ( x ) + ( y − 1) = x + y + ⇔ d : x + y + − M = Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d ( C ) có điểm chung ⇔ d ( I; d ) ≤ R ⇔ 23 − M ≤ ⇔ 23 − M ≤ 10 ⇔ 13 ≤ M ≤ 33 x + y − 30 = x = ⇒ M max = 33 ⇔ ⇔ ⇒ z + i = − 4i ⇒ z + i = 41 2 y = −5 ( x − 3) + ( y − ) = Câu 10: (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH – L2) Cho số phức z thỏa mãn z − z + = ( z − + 2i ) ( z + 3i − 1) Tính | w | , với w = z − + 2i A | w |= B | w |= C | w |= D | w |= Lời giải Chọn C Ta có z − z + = ( z − + 2i ) ( z + 3i − 1) ⇔ ( z − + 2i ) ( z − − 2i ) = ( z − + 2i ) ( z + 3i − 1) z − + 2i = ⇔ ( z − − 2i ) = ( z + 3i − 1) Trường hợp : z −1 + 2i = ⇒ w = −1 ⇒ w = ( 1) Trường hợp 2: z − − 2i = z + 3i − Gọi z = a + bi (với a, b ∈ ¡ ) ta 2 a − + ( b − ) i = ( a − 1) + ( b + 3) i ⇔ ( b − ) = ( b + 3) ⇔ b = − Suy w = z − + 2i = a − + i ⇒ w = ( a − 2) + ≥ ( 2) Từ ( 1) , ( ) suy | w |= Câu 11: (CHU VĂN AN – HN) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − = Tìm giá trị lớn T = z + i + z − − i B max T = A max T = C max T = Lời giải D max T = Chọn B T = z + i + z − − i = ( z − 1) + ( + i ) + ( z − 1) − ( + i ) Đặt w = z − Ta có w = T = w + ( + i ) + w − ( + i ) Đặt w = x + y.i Khi w = = x + y T = ( x + 1) + ( y + 1) i + ( x − 1) + ( y − 1) i = ⇒T ≤ (1 + 12 ) ( ( x + 1) ( x + 1) + ( y + 1) + + ( y + 1) + ( x − 1) + ( y − 1) 2 2 ) = ( 2x ( x − 1) + ( y − 1) + y2 + 4) = Vậy max T = Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z = Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + + z − Khi đó: A M = 5, m = B M = 5, m = C M = 5, m = D M = 10, m = Lời giải Chọn C Đặt z = x + yi ( x; y Ỵ ¡ ) 2 Ta có z = ⇔ x + y = Suy x ∈ [ −1;1] Ta có P = z + + z − = ( x + 1) + y2 + ( x − 1) + y = x + + −2 x + Xét hàm f ( x ) = x + + −2 x + đoạn [ −1;1] , ta Ta có f ′ ( x ) = − , f ′( x) = ⇔ x = − 2x + −2 x + Bảng biến thiên: 3 f ( x ) = f ( 1) = f ( x ) = f − ÷ = Dựa vào BBT, ta suy ra: max [ −1;1] [ −1;1] 5 Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức T = z + + z − A max T = B max T = 10 C max T = Lời giải D max T = Chọn A Gọi số phức z = x + yi ( x , y ∈ ¡ ) 2 Ta có z = ⇔ x + y = Mà T = z + + z − = ( x + 1) ( x − 1) + y2 + 2 + y2 2 = x + x + + y + x − x + + y = x + + 2 − x (do x + y = ) Mà theo Bunhiacopxki ta có ( 2x + + 2 − 2x ) ≤ ( + ) ( x + + − x ) = 20 2 Nên −2 ≤ T ≤ nên Tmax = Câu 14: Cho số phức z thỏa mãn z − i = Tìm giá trị lớn M = z − + z + − 2i A C Lời giải B D Chọn D Đặt z = x + yi ( x, y Ỵ ¡ ) Ta có z − i = ⇔ x + ( y −1) = ( 1) Lại có M = z − + z + − 2i Bunhiacopski ≤ (1 ( + 12 ) z − + z + − 2i ( = ( x + y − y + 12 ) = x + ( y − 1) 2 ) + 10 = ) ( 2.4 + 10 ) = Câu 15: Tìm số phức z cho z − ( + 4i ) = biểu thức P = z + − z − i đạt giá trị lớn A z = + i B z = + 5i C z = + 2i Lời giải D z = + 3i Chọn B Cách 1: Đặt z = x + yi ( x, y Ỵ ¡ ) z − ( + 4i ) = ⇔ ( x − ) + ( y − ) = 2 Ta có: P = ( x + ) + y − x − ( y − 1) = x + y + ⇔ P − 23 = ( x − ) + ( y − ) Suy ra: P − 23 = ( x − 3) + ( y − ) ≤ ⇔ 13 ≤ P ≤ 33 (4 + 22 ) ( ( x − 3) + ( y − 4) )= 20.5 = 10 Do đó: Pmax x−3 y −4 = x = = 33 chi ⇔ ( x − 3) + ( y − ) = 10 y = Vậy z = + 5i Cách 2: Đặt z = x + yi ( x , y Ỵ ¡ ) z − ( + 4i ) = ⇔ ( x − ) + ( y − ) = 2 x − = sin t ⇔ x = + sin t Đặt y − = cos t ⇔ y = + cos t ( ) ( ) P = z + − z − i = x + y + = + sin t + + cos t + ⇔ sin t + cos t = P − 23 Theo điều kiện có nghiệm phương trình lượng giác ( ⇒ ) +( 5) 2 ≥ ( P − 23 ) ⇔ P − 46 P + 429 ≤ ⇔ 13 ≤ P ≤ 33 Vậy GTLN P 33 ⇒ z = + 5i Câu 16: Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M , M ' Số phức z ( + 3i ) số phức liên hợp có điểm biểu diễn N , N ' Biết MM ' N ' N hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ z + 4i − A 34 B C D 13 Lời giải Chọn C Giả sử z = a + bi ( a; b Ỵ ¡ ) biểu diễn điểm M ( a; b ) ⇒ z = a − bi biểu diễn điểm M ' ( a; −b ) ⇒ (4 + 3i ) = ( a + bi ) ( + 3i ) = ( 4a − 3b ) + ( 3a + 4b ) i → N ( 4a − 3b;3a + 4b ) ⇒ z ( + 3i ) = ( 4a − 3b ) − ( 3a + 4b ) i → N ' ( 4a − 3b; −3a − 4b ) uuuuur uuuur uuuu r Suy MM ' = ( 0; −2b ) , NN ' = ( 0; −6a − 8b ) , MN = ( 3a − 4b;3a + 3b ) uuuuur uuuur r −2b = −6a − 8b MM ' = NN ' ≠ ↔ −2b ( 3a + 3b ) = ⇔ a = −b ≠ r Vì MM ' N ' N hình chữ nhật nên uuuuur uuuu MM '.MN = b ≠ Khi z + 4i − = 1 2 ( −b − 5) + ( b + ) = b + ÷ + ≥ 2 2 Câu 17: Cho số phức z ≠ thỏa mãn z ≥ a , (a > 0) Hãy tính tổng giá trị lớn nhỏ biểu thức P = z+i : z A B C Lời giải D Chọn B Ta có P = z+i i i a +1 = 1+ ≤ 1+ ≤ 1+ = z z z a a Mặt khác P = z+i i i a −1 = 1+ ≥ 1− ≥ 1− = z z z a a Nên tổng giá trị lớn nhỏ P a +1 a −1 + =2 a a Câu 18: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 − 2i = z2 + + 2i = z2 + + 4i Giá trị nhỏ biểu thức P = z1 − z2 bằng: A P = B P = C P = Lời giải D P = Chọn B Đặt z1 = x1 + y1i z2 = x2 + y2i với x1 , x2 , y1 , y2 Ỵ ¡ ● z1 − 2i = ⇔ x12 + ( y1 − ) = ⇒ tập hợp số phức z1 đường tròn ( C ) : x + ( y − ) = ● z2 + + 2i = z2 + + 4i ⇔ ( x2 + ) + ( y2 + ) = ( x2 + ) + ( y2 + ) ⇔ y2 + = 2 2 ⇒ tập hợp số phức z2 đường thẳng d : y = −3 Ta có P = z1 − z2 = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) khoảng cách từ điểm B ( x2 ; y2 ) ∈ d đến điểm A ( x1 ; y1 ) ∈ ( C ) Do z2 − z1 ⇔ ABmin Dựa vào hình vẽ ta tìm ABmin = A ( 0; −1) , B ( 0; −3) Câu 19: Cho số phức z = x + yi ( x, y Ỵ ¡ ) thỏa mãn điều kiện z + − i + z + − 3i = Gọi M , m giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P = x z Tổng M + 2m A − 54 B 27 D − C 18 Lời giải Chọn A Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ M ( z ) = ( x; y ) A ( −1;1) , B ( − 2;3) suy AB = Từ giả thiết ta có z + − i + z + − 3i = ( x + 1) + ( y − 1) + ( x + 2) + ( y − ) = MA + MB = AB ⇒ M thuộc đường thẳng ( AB ) : x + y + = ⇒ y = − x − với x ∈ [ − 2; − 1] 2 3 Khi P = x z = x x + ( x + 1) = x + x + x Đặt f ( x ) = x + x + x Xét hàm số f ( x ) đoạn [ − 2; − 1] , có f ' ( x ) = 15 x + x + > 0; ∀x ∈ [ − 2; − 1] M = f ( − 1) = − ⇒ M + 2m = − 54 Suy f ( x ) hàm số đồng biến [ − 2; − 1] ⇒ m = f ( − ) = − 26 Câu 20: (CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP – QUÃNG NGÃI 2017) Trong số phức z thỏa − z + iz + 2i = 12 Gọi M , N điểm biểu diễn số phức z có mơđun lớn nhỏ mặt phẳng phức Khi khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng MN là: A 24 14 17 B 12 13 13 C Lời giải Chọn D 24 34 17 D 12 34 17 ... 429 ≤ ⇔ 13 ≤ P ≤ 33 Vậy GTLN P 33 ⇒ z = + 5i Câu 16: Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M , M ' Số phức z ( + 3i ) số phức liên hợp có điểm biểu diễn N , N ' Biết MM ' N ' N hình... 20: (CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP – QUÃNG NGÃI 2017 ) Trong số phức z thỏa − z + iz + 2i = 12 Gọi M , N điểm biểu diễn số phức z có mơđun lớn nhỏ mặt phẳng phức Khi khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng... Vậy, z nhỏ Câu 9: Biết số phức z − 1, khi z = −i + i z lớn thỏa mãn đồng thời hai điều kiện + 1, khi z = i + i z − − 4i = M = z + − z − i đạt giá trị lớn Tính mơđun số phức z + i biểu thức A