PHUONG TRINH MU LOGA DAY DU

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH- HỆ MŨ- LƠGARIT CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH- HỆ MŨ BIÊN SOẠN GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 CHỦ ĐỀ I:PHƯƠNG TRÌNH MŨ BÀI TỐN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG I Phương pháp: Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau: a =  a >  a f ( x ) = a g ( x ) ⇔  0 < a ≠  ( a − 1)  f ( x ) − g ( x )  =   f ( x ) = g ( x )  II VD minh hoạ: ( VD1: Giải phương trình: + x − x ) sin ( = + x − x2 ) − cos x Giải: Phương trình biến đổi dạng: −1 < x < 2(*)  + x − x >  ⇔   x − x − = 0(1)   + x − x − sin x − + cos x =   sin x + cos x = 2(2) ( )( ) 1± thoả mãn điều kiện (*) π π π π  cos x = ⇔ sin x  x + ÷ = ⇔ x + = + 2kπ ⇔ x = + 2kπ , k ∈ Z Giải (2): sin x + 2 3  Để nghiệm thoả mãn điều kiện (*) ta phải có: π  π  π π −1 < + k π < ⇔  −1 − ÷ < k <  − ÷ ⇔ k = 0, k ∈ Z ta nhận x3 = 2π  6 2π  6 1± π Vậy phương trình có nghiệm phân biệt x1,2 = ; x 3= Giải (1) ta x1,2 = VD2: Giải phương trình: ( x − 3) x −5 x + ( = x2 − x + Giải: Phương trình biến đổi dạng: ( x − 3) ) x2 + x − x −5 x + 2 = ( x − )    x2 + x −4 = ( x − 3) 2( x + x − 4) x − =1 x = x =   ⇔  0 < x − ≠ ⇔  x < ≠ ⇔ x =  3x − x + = x + x −   x − x + 10 =   Vậy phương trình có nghiệm phân biệt x=4, x=5 BÀI TỐN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƠGARIT HỐ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ I Phương pháp: Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta logarit theo số vế phương trình, ta có dạng: Dạng 1: Phương trình: 0 < a ≠ 1, b > a f ( x) = b ⇔   f ( x ) = log a b Dạng 2: Phương trình : a f ( x ) = b g ( x ) ⇔ log a a f ( x ) = log a b f ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x).log a b f ( x) = logb b g ( x ) ⇔ f ( x).logb a = g ( x) log b a II VD minh hoạ: VD1: Giải phương trình: x2 −2 x = 2 Giải: Lấy logarit số hai vế phương trình ta được: log 2 x −2 x = log ⇔ x − x = log − ⇔ x − x + − log = , Ta có ∆ = − + log = log > suy phương trình có nghiệm x = ± log VD2: Giải phương trình: x −1 x = 500 Giải: Viết lại phương trình dạng: x x.8 x −1 = 500 ⇔ x.2 x −1 x = 53.22 ⇔ x −3.2 x −3 x =1 Lấy logarit số vế, ta được: x −3    x −3  x −3 log  x −3.2 x ÷ = ⇔ log x −3 + log  x ÷ = ⇔ ( x − ) log + log 2 = x     x =  1  ⇔ ( x − 3)  log + ÷ = ⇔  x = − x  log  Vậy phương trình có nghiệm phân biệt: x = 3; x = − log Chú ý: Đối với phương trình cần thiết rút gọn trước logarit hố BÀI TỐN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG I Phương pháp: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng việc sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ Ta lưu ý phép đặt ẩn phụ thường gặp sau: ( k −1) x .α1a x + α = Dạng 1: Phương trình α k + α k −1a ( ) k k −1 Khi đặt t = a x điều kiện t>0, ta được: α k t + α k −1t α1t + α = Mở rộng: Nếu đặt t = a f ( x ) , điều kiện hẹp t>0 Khi đó: a f ( x ) = t , a f ( x ) = t , , a kf ( x ) = t k t x x Dạng 2: Phương trình α1a + α a + α = với a.b=1 α x Khi đặt t = a x , điều kiện t0, suy b t x 2x 2x Dạng 3: Phương trình α1a + α ( ab ) + α 3b = chia vế phương trình cho b x >0 − f ( x) = Và a 2x x a a ( a , ( a.b ) ), ta được: α1  ÷ + α  ÷ + α = b b x 2x x a Đặt t =  ÷ , điều kiện t (hoặc a f , ( a.b ) ) f f a - Đặt t =  ÷ điều kiện hẹp t>0 b Dạng 4: Lượng giác hoá Chú ý: Ta sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp t>0 cho trường hợp đặt t = a f ( x ) vì: - Nếu đặt t = a x t>0 điều kiện - Nếu đặt t = x +1 t>0 điều kiện hẹp, bới thực chất điều kiện cho t phải t ≥ Điều kiện đặc biệt quan trọng cho lớp tốn có chứa tham số II VD minh hoạ: VD1: Giải phương trình: 4cot g x + sin x − = (1) Giải: Điều kiện sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ , k ∈ Z (*) = + cot g x nên phương trình (1) biết dạng: Vì sin x cot g x 4cot g x + 2.2 − = (2) Đặt t = 2cot g x điều kiện t ≥ cot g x ≥ ⇔ 2cot g x ≥ 20 = Khi phương trình (2) có dạng: t = t + 2t − = ⇔  ⇔ 2cot g x = ⇔ cot g x =  t = −3 thoả mãn (*) π ⇔ cot gx = ⇔ x = + kπ , k ∈ Z 2 Vậy phương trình có họ nghiệm x = π + kπ , k ∈ Z ( ( ) +2=0 Giải: Nhận xét rằng: + = ( + ) ; ( + ) ( − ) = 1 Do đặt t = ( + ) điều kiện t>0, thì: ( − ) = ( + ) t VD2: Giải phương trình: + ) x −3 2− x x x x = t2 Khi phương trình tương đương với: t = t − + = ⇔ t + 2t − = ⇔ ( t − 1) t + t + = ⇔  t t + t + = 0(vn) ( ( ⇔ 2+ ) x ) =1⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x=0 Nhận xét: Như ví dụ việc đánh giá: ( 7+4 = 2+ ) ( + 3) ( − 3) =1 Ta lựa chọn ẩn phụ t = ( + ) x cho phương trình Ví dụ ta miêu tả việc lựa chọn ẩn phụ thông qua đánh giá mở rộng a.b=1, là: a b a.b = c ⇔ = tức với phương trình có dạng: A.a x + B.b x + C = c c Khi ta thực phép chia vế phương trình cho c x ≠ , để nhận được: x x x x a b a b A  ÷ + B  ÷ + C = từ thiết lập ẩn phụ t =  ÷ , t > suy  ÷ = c c c c t 2 VD3: Giải phương trình: 22 x +1 − 9.2 x + x + 22 x + = Giải: Chia vế phương trình cho 22 x+ ≠ ta được: 2 22 x −2 x −1 − 9.2 x −2 x − + = ⇔ 22 x −2 x − x − x + = x2 − x x2 − x ⇔ 2.2 − 9.2 +4=0 x2 − x Đặt t = điều kiện t>0 Khi phương trình tương đương với: t =  x − x = 22  x2 − x =  x = −1  2t − 9t + = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔   2 t =  x − x = 2−1  x − x = −1  x =  Vậy phương trình có nghiệm x=-1, x=2 Chú ý: Trong ví dụ trên, tốn khơng có tham số nên ta sử dụng điều kiện cho ẩn phụ t>0 thấy với t = vô nghiệm Do tốn có chứa tham số cần xác định điều kiện cho ẩn phụ sau: 1 1  x2 − x x −x =x− ÷ − ≥− ⇔ ≥ 24 ⇔ t ≥ 2 4  3x x VD4: Giải phương trình: − 6.2 − Giải: Viết lại phương trình có dạng:  x 23   x   − x ÷−  − x ÷ = (1)     3( x−1) + 12 =1 2x 23  x   3x ⇒ − =  − x ÷ + 3.2 x  x − x x 3x 2     ÷ = t + 6t  x Khi phương trình (1) có dạng: t + 6t − 6t = ⇔ t = ⇔ − x = x Đặt u = , u > phương trình (2) có dạng: u = −1(1) u u − = ⇔ u2 − u − = ⇔  ⇔ u = ⇔ 2x = ⇔ x = u = Vậy phương trình có nghiệm x=1 Chú ý: Tiếp theo quan tâm đến việc sử dụng phương pháp lượng giác hoá Đặt t = x − ( ) 2x 2x x VD5: Giải phương trình: + − = + − 2 Giải: Điều kiện − 22 x ≥ ⇔ 22 x ≤ ⇔ x ≤  π x Như < x ≤ , đặt = sin t , t ∈  0; ÷  2 Khi phương trình có dạng: ) ( + − sin t = sin t + − sin t ⇔ + cos t = ( + cos t ) sin t ⇔ cos t t 3t t t 3t  = sin t + sin 2t ⇔ cos = 2sin cos ⇔ cos 1 − sin ÷ = 2 2 2 2 t   π  x cos = 0(1) t = =  x = −1 ⇔ ⇔ ⇔ 2⇔  x  3t x = t = π =1  sin =    2 Vậy phương trình có nghiệm x=-1, x=0 BÀI TỐN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG I Phương pháp: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng việc sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ hệ số chứa x Phương pháp thường sử dụng phương trình lựa chọn ẩn phụ cho biểu thức biểu thức cịn lại không biểu diễn triệt để qua ẩn phụ biểu diễn cơng thức biểu diễn lại phức tạp Khi thường ta phương trình bậc theo ẩn phụ ( theo ẩn x) có biệt số ∆ số phương II VD minh hoạ: 2x x x x VD1: Giải phương trình: − + + 9.2 = ( ) Giải: Đặt t = 3x , điều kiện t>0 Khi phương trình tương đương với: 2 t = t − x + t + 9.2 x = 0; ∆ = x + − 4.9.2 x = x + ⇒  x t = Khi đó: + Với t = ⇔ 3x = ⇔ t = ( ) ( ) ( ) x 3 + Với t = x ⇔ 3x = x ⇔  ÷ = ⇔ x = 2 Vậy phương trình có nghiệm x=2, x=0 x2 x2 VD2: Giải phương trình: + x − 3 − x + = ( ) Giải: Đặt t = 3x điều kiện t ≥ x ≥ ⇔ 3x ≥ 30 = 2 Khi phương trình tương đương với: t + x − t − x + = 2 ( ) 2 t = ∆ = x − − −2 x + = x + ⇒  t = − x Khi đó: + Với t = ⇔ 3x = ⇔ x = log ⇔ x = ± log ( ) ( ) ( ) + Với t = − x ⇔ 3x = − x ta có nhận xét: VT ≥ VT = 3x = ⇒ ⇔ ⇔ x=0  VP ≥ VP = 1 − x = Vậy phương trình có nghiệm x = ± log 2; x = BÀI TOÁN 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG I Phương pháp: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng sử dụng ẩn phụ cho biểu thức mũ phương trình khéo léo biến đổi phương trình thành phương trình tích II VD minh hoạ: 2 VD1: Giải phương trình: x −3 x + + x + x + = 42 x +3 x + + 2 2 Giải: Viết lại phương trình dạng: x −3 x + + 42 x +6 x +5 = x −3 x + 2.42 x + x + + u = x −3 x + , u, v > Đặt  x2 +6 x +5 v = Khi phương trình tương đương với: u + v = uv + ⇔ ( u − 1) ( − v ) = x = x =  x − 3x + = =1 u =  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x +6 x +5  x = −1 v = x + x +   =    x = −5 Vậy phương trình có nghiệm 2 VD2: Cho phương trình: m.2 x −5 x +6 + 21− x = 2.26 −5 x + m(1) x −3 x + 2 a) Giải phương trình với m=1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Giải: Viết lại phương trình dạng: m.2 x −5 x + 2 + 21− x = 27 −5 x + m ⇔ m.2 x 2 −5 x + + 21− x = ( ( x − x + 6) + 1− x ) +m ⇔ m.2 x −5 x + + 21− x = x −5 x + 6.21− x + m u = x −5 x + , u , v > Khi phương trình tương đương với: Đặt:  1− x v = x =  x −5 x + =  u = mu + v = uv + m ⇔ ( u − 1) ( v − m ) = ⇔  ⇔ ⇔ x = 1− x v = m =m  1− x2  = m(*) 2 Vậy với m phương trình ln có nghiệm x=3, x=2 a) Với m=1, phương trình (*) có dạng: 21− x = ⇔ − x = ⇔ x = ⇔ x = ±1 Vậy với m=1, phương trình có nghiệm phân biệt: x=3, x=2, x= ± b) Để (1) có nghiệm phân biệt ⇔ (*) có nghiệm phân biệt khác m > m > ⇔ (*) ⇔  Khi điều kiện là: 1 − x = log m  x = − log m m > m < m >  1 − log m >   1  ⇔ m ≠ ⇔ m ∈ ( 0; ) \  ;    256  1 − log m ≠  1 − log m ≠  m ≠ 256  1  Vậy với m ∈ ( 0; ) \  ;  thoả mãn điều kiện đầu  256  BÀI TOÁN 6: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG I Phương pháp: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng việc sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành hệ phương trình với k ẩn phụ Trong hệ k-1 phương trình nhận từ mối liên hệ đại lượng tương ứng Trường hợp đặc biệt việc sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành hệ phương trình với ẩn phụ ẩn x, ta thực theo bước: Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho biểu tượng phương trình Bước 2: Biến đổi phương trình dạng: f  x, ϕ ( x )  =  y = ϕ ( x ) Bước 3: Đặt y = ϕ ( x ) ta biến đổi phương trình thành hệ:   f ( x; y ) = II VD minh hoạ: 2x 18 = x −1 1− x x −1 x +1 + 2 + + 18 + 1− x = x −1 1− x Giải: Viết lại phương trình dạng: x −1 +1 +1 + + x −1 u = + , u, v > Đặt:  1− x v = + x −1 1− x x −1 1− x Nhận xét rằng: u.v = + + = + + = u + v VD1: Giải phương trình: ( )( + ) Phương trình tương đương với hệ: 18 8 u = v = u + 8v = 18  + =  ⇔ u v u + v ⇔  u = 9; v = u + v = uv u + v = uv  x −1  + = ⇔ x =1 + Với u=v=2, ta được:  1− x  + =  x −1 + = 9  + Với u=9 v = , ta được:  1− x 9⇔x=4 2 + =  Vậy phương trình cho có nghiệm x=1 x=4 VD2: Giải phương trình: 22 x − x + = Giải: Đặt u = x , điều kiện u>0 Khi phương trình thành: u − u + = Đặt v = u + 6, điều kiện v ≥ ⇒ v = u + Khi phương trình chuyển thành hệ: u = v + u − v = ⇔ u − v2 = − ( u − v ) ⇔ ( u − v ) ( u + v ) = ⇔   v = u + u + v + = u = ⇔ 2x = ⇔ x = + Với u=v ta được: u − u − = ⇔  u = − 2(1)  + Với u+v+1=0 ta được:  −1 + 21 u = 21 − 21 − u2 + u − = ⇔  ⇔ 2x = ⇔ x = log 2  −1 − 21 (1) u =  21 − Vậy phương trình có nghiệm x=8 x= log BÀI 7: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SƠ I Phương pháp: Sử dụng tính chất hàm số để giải phương trình dạng tốn quen thuộc Ta có hướng áp dụng: Hướng1: Thực bước sau: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f(x)=k Bước 2: Xét hàm số y=f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu( giả sử đồng biến) Bước 3: Nhận xét: + Với x = x0 ⇔ f ( x ) = f ( x0 ) = k x = x0 nghiệm + Với x > x0 ⇔ f ( x ) > f ( x ) = k phương trình vơ nghiệm + Với x < x0 ⇔ f ( x ) < f ( x0 ) = k phương trình vơ nghiệm Vậy x = x0 nghiệm phương trình Hướng 2: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f(x)=g(x) Bước 2: Xét hàm số y=f(x) y=g(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số y=f(x) Là đồng biến hàm số y=g(x) hàm nghịch biến Xác định x0 cho f ( x0 ) = g ( x0 ) Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm x = x0 Hướng 3: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f(u)=f(v) (3) Bước 2: Xét hàm số y=f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu ( giả sử đồng biến) Bước 3: Khi đó: (3) ⇔ u = v với ∀u, v ∈ D f II VD minh hoạ: VD1: Giải phương trình: x + 2.3log x = (1) Giải: Điều kiện x>0 Biến đổi phương trình dạng: 2.3log x = − x (2) Nhận xét rằng: + Vế phải phương trình hàm nghịch biến + Vế trái phương trình hàm đồng biến Do phương trình có nghiệm nghiệm Nhận xét x=1 nghiệm phương t rình (2) 2.3log x = − Vậy x=1 nghiệm phương trình ) ( x − x −1 VD2: Giải phương trình: log x − x + + +  ÷ 5 x ≤1 Giải: Điều kiện: x − x + ≥ ⇔  x ≥ = (1) Đặt u = x − 3x + , điều kiện u ≥ suy ra: x − x + = u ⇔ x − x − = − u 1− u Khi (1) có dạng: log ( u + ) +  ÷ 5 1− x Xét hàm số: f ( x ) = log3 ( x + ) +  ÷ 5 + Miền xác định D = [ 0; +∞) + Đạo hàm: f = =2 = log3 ( x + ) + x 1 + x.5 x ln > 0, ∀x ∈ D Suy hàm số tăng D ( x + ) ln Mặt khác f ( 1) = log ( + ) + = Do đó, phương trình (2) viết dạng: f ( u ) = f ( 1) ⇔ u = ⇔ x − x + = ⇔ x = Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3± 3± 2 VD2: Cho phương trình: x + mx + − x +4 mx+2 = x + 2mx + m a) Giải phương trình với m = − b) Giải biện luận phương trình Giải: Đặt t = x + 2mx + phương trình có dạng: 5t + t = 52t + m −2 + 2t + m − (1) t Xác định hàm số f ( t ) = + t + Miền xác định D=R + Đạo hàm: f = 5t.ln + > 0, ∀x ∈ D ⇒ hàm số tăng D Vậy (1) ⇔ f ( t ) = f ( 2t + m − ) ⇔ t = 2t + m − ⇔ t + m − = ⇔ x + 2mx + m = (2) x = 4 2 a) Với m = − ta được: x + x − = ⇔ x − x − = ⇔  x = − 5 5  Vậy với m = − phương trình có 2nghiệm x = 2; x = − 5 b) Xét phương trình (2) ta có: ∆ ' = m − m + Nếu ∆ ' < ⇔ m − m < ⇔ < m < Phương trình (2) vơ nghiệm ⇔ phương trình (1) vơ nghiệm + Nếu ∆ ' = ⇔ m=0 m=1 với m=0 phương trình có nghiệm kép x=0 với m=1 phương trình có nghiệm kép x0=-1 m > + Nếu ∆ ' > ⇔  phương trình (2) có nghiệm phân biệt x1,2 = −m ± m − m m <  nghiệm kép (1) Kết luận: Với m=0 phương trình có nghiệm kép x=0 Với m=1 phương trình có nghiệm kép x0=-1 Với 0 0, ∀t ∈ D ⇒ hàm số đồng biến Đạo hàm f ( t ) = ( t + 3) ln t.ln Vậy phương trình (1) viết dạng: f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y  x = y Khi hệ (I) trở thàmh:  (II) log ( x + 3) = ( + log x ) (2) 2 + Giải (2): ⇔ x + = 22( 1+log3 x ) ⇔ x + = 4.2log3 x ⇔ x + = 4.2log3 2.log2 x ( ) ⇔ x + = x log3 ⇔ x + = 4.x log3 ⇔ x1−log3 + 3.x − log3 = (3) 1− log − log Xét hàm số g ( x ) = x + 3.x Miền xác định D = ( 0; +∞ ) − log −1− log < 0∀x ∈ D ⇒ hàm số nghịch biến Đạo hàm: g ' ( x ) = ( − log ) x − 3log 4.x Vậy phương trình (3) có nghiệm nghiệm Nhận xét x=1 nghiệm phương trình bới đó: 11−log3 + 3.11−log3 = ⇔ = 44 x = y ⇔ x = y =1 Khi hệ (II) trở thành:  x = Vậy hệ cho có nghiệm (1;1) BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ I Phương pháp: II VD minh hoạ: e x − e y = ( log y − log x ) ( xy + 1) (1) VD1: Giải hệ phương trình:  2  x + y − 1(2) Giải: Điều kiện x; y>0 *) Giải (1) ta có nhận xét sau: VT( 1) > ⇒ (1) vô nghiệm - Nếu x > y ⇔ log x > log y , đó:  VP( 1) < VT( 1) < ⇒ (1) vô nghiệm - Nếu x < y ⇔ log x < log y , đó:  VP( 1) > - Vậy x=y nghiệm (1) x = y x = y x = y  ⇔ ⇔ ⇔ x= y= Khi hệ có dạng:  2  x + y = 2 x =  x =   1  ; Vậy hệ có cặp nghiệm  ÷  2 log ( x + y ) = x + y − VD2: Giải hệ phương trình:  log x + y + ( xy + 1) = x + y − x + y > x + y >  ⇔ Giải: Điều kiện:  xy + > 0 < x + y + ≠  xy + >  Từ phương trình thứ hệ với viếc sử dụng ẩn phụ t=x+y>0, ta được: log t = t − u Đặt u = log t ⇒ t = phương trình có dạng:  log t = u = x + y = Bernoulli 2u = u + ¬  → ⇔ ⇔ u = x + y =  log t =  x + y = x + y =  x + y =  x = 0; y = ⇔ ⇔ ⇔ + Với x+y=1 hệ có dạng:   xy + =  xy =  x = 1; y = log ( xy + 1) =  x + y = x + y = x + y = ⇔ ⇔ + Với x+y=2 hệ có dạng:   xy = log ( xy + 1) =  xy + = Khi x; y nghiệm phương trình: t − 2t + = vơ nghiệm Vậy hệ có cặp nghiệm (0;1) (1;0) 45 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LƠGARIT I.Hàm số mũ PHƯƠNG TRÌNH MŨ x +1 x+4 x+2 1) + = + 2) x +8 − 4.3 x +5 + 27 = x 3) 4.3 x − 9.2 x = 5.6 4) 8.3 x + 3.2 x = 24 + x 72x x 5) = 6.( 0.7 ) + x 100 6) 125 x + 50 x = x +1 7) x + x.3 x + 31+ x = x x + x + x −1 8) x.8 x = 500 9) x +1 + x −2 − x −3 + x −4 = 750 10) 7.3 x +1 − x + = x + − x +3 11) 6.4 x − 13.6 x + 6.9 x = 12) x = x −1 13) x +1 − 3.5 x −1 = 110 14) 3.4 x + 2.9 x = 5.6 x 15) x +8 − 4.3 x +5 + 27 = 16) 7.3 x +1 − x + = x + − x +3 1 17) 6.9 x − 13.6 x +6 + 6.4 x = ( 18) + x −1 ) x − x +1 ( + 2− 19) + − + 2 20) 2 x −3 = x +3 x −5 x x ( ) x+2 ) x − x −1 ) ( x 101 10 − ( =0 21) x − x + = x + − 32 x −1 22) x + log − x = ( = )( 23) + + + − 24) 25 x + 15 x = 2.9 x 25) x −2 + 16 = 10.2 x −2 2 26) 2 x +1 − 9.2 x + x + 2 x + = 12 3x x 27) − 6.2 − 3( x −1) + x = 2 ) x ( = 2+ ) ) 46 x 28) + = x 29) x = 128 30) x + x − = 31) 25 X − 6.5 x +1 + 53 = 32) x + 5.3 x + = 33) x − 25.3 x − 54 = 34) 2+ x + 32− x = 30 35) 2( x +1) − 82.3 x + = 36) x + 9.5 x = x + 9.7 x 2 37) x −1 − 36.3 x −3 + = 2 38) x +1 − x +1 − = 39) x + + x = x +1 40) x = 32 x + 2.5 x + 2.3 x 2 2 41) x −1 − x = x −1 − x + 2− x x x −1 42) = 10 x x 43) + + 16 − = x +3 ( ) ( ) ( ) 44) 3.16 x + 2.81x = 2.36 x 45) + ( lo2 x + x −    log x = 1+ x2 ) 46) x x + − x − = x + − x − 47) x log = x 3log x − x log x 48) x.8 x + = 49) 2.x log x + x −3 log8 x − = 50) x + x log = x log 51) ( x − ) log ( x −2 ) = 4( x − ) 52) lg10 x − lg x = 2.3lg100 x x x x 1 1 1 53) x −   + x −   −   = −2 x + 3 2 6 54) 5.3 x −1 − 7.3 x −1 + − 6.3 x + x +1 = 55) 12.3 x + 3.15 x − x +1 = 20 56) log 2 x − x log = 2.3log x 57) x + x = x + 2 58) x −1 − x − x = ( x − 1) 47 PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT 1) log ( x + 3) − log ( x − 1) = − log 2) log 5− x x − x + 65 = 3) lg + lg( x + 10 ) − = lg( 21x − 20 ) − lg( x − 1)  1 1  1  4) lg x − lg x −  = lg x +  − lg x +   2 2  8  2 5) lg x − lg x = lg x − ( ) 6) log x − log x + = 3 x2 =8 7) log ( x ) + log 2 8) log (4 x ) ( ) − − log x − = x + log x x = log x x 9) log x 2 10) log − log x = x 11) log x x + 40 log x x − 14 log16 x x = 12) log x log x log x = log x log x + log x log x + log x log x x3 = + log x 13) log ( x ) log x − log 3 14) lg( lg x ) + lg lg x − = 15) log ( x + 1) + log ( x + 1) = 16) log x − − log ( x − 10) + = [ ( ) ] ( ( ) ) 17) log x + x = log x 18) log x − x −2 x = 2 19) log x x log x = 12 20) log x ( x + 1) − lg 4,5 = 3 3   21) log  x +  + log  x −  = x x   22) x + lg x − x − = + lg( x + ) 23) log x − − log ( x − 10) + = ( 24) log ( ) ) x log x 3 + log 3 3= 48 25) log 2+ (x ) − x − = log 2+ 26) log 92 x = log x log [ (x ] ) − 2x − 2x +1 −1 27) log x − log 3 x − = log x + log x x + log x 28) = log x 29) lg( x + 10) + lg x = − lg 30) x − log ( x +1) = log x + − log x 31) ( x + 3) log ( x + ) + 4( x + ) log ( x + ) = 16 32) log ( x +3 ) − − x + x = 2 log 36 + log 81 = log x −4 x −15 33) log ( ) ) ( ( ) 34) log x +1 x + = 35) 36) log 22 x + ( x − 1) log x + x − = 37) log x + log x = ( ) 38) log − x = log − x − 39) log x + x + + log x + x + 12 = + log ( ( ) ( ) ( ) ) x − + + x − log x − x = x x +1 41) log 5 − log 25 − = 40) ( 42) log 43) log 2+ 44) ( ) ( ) ( x + x = log x ) x + + x + log 2− log 2 + log ( x ) = 45) log x ) ( ) x2 +1 − x = ( ) x + log x + log 3 x = 3 =0 47) log x + log x = log log 225 = + log ( x + 1) 48) log ( x − 1) + log x +3 46) log x − log x + ( ) ( ) x x +1 49) log + = x − log − 50) log x + log x = + log x log x ( ) ( ) ( 51) log x − x − log x + x − = log 20 x − x − ( ) 52) log x + 5.3 x = ) 49 [ ] 54) log [log ( − 6) ] = 55) log ( + 4) − x = log ( x +1 x 53) log x − 4.3 − = x + x x x 56) log ( x + 1) = log x +1 16 ( ) ( log x x ) ) + 12 − log x 57) + 2 + x − 2 58) log x − = log ( x − 1) ( ) = 1+ x2 59) log ( log ( log x ) ) = 60) 61) x − lg x + + x − lg x + = ( ) ( ) ( ) ( ) 62) log ( x + 1) + ( x − 5) log ( x + 1) − x + = ) ( ( ) ( 63) log x − x − log x + x − = log x − x − 64) log x + log x + log x = ) ( ) 16 ( ) x +1 65) log 5 − log 25 − = 66) log x + log x = log log 225 67) log ( x + 8) − log ( x + 26 ) + = x 68) x log x 27 log x = x + 69) log ( x + ) + log x + x + = ( ) ( ) 71) ( x − 1) lg ( x + 1) + 2( x − 1) lg( x + 1) = 72) log ( x + 1) + log = log ( x + 2) − log ( x − ) 2 70) log1−2 x x − x + − log1−3 x x − x + − = 2 2 2 5 25 73) ( x + ) log ( x + 1) + 4( x + 1) log ( x + 1) − 16 = 3 74) log ( x + ) − = log ( − x ) + log ( x + ) 4 x3 = + log x 75) log log x − log x 2 76) log x +7 + 12 x + x + log x +5 x + 23 x + 21 = ( ) 2 77) x log x − x − − x log ( (5x ) ) − 2x − = x + 2x 78) log x log x = log x + log x − 79) ( x − 3) log ( x − 1) + log x −1 = ( x − 3) log x −1 + log x − 2 x  80) log x + x log ( x + 3) =  + log ( x + 3)  log x 2  50 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ −x 1) + x ≤9 x +1 x 2)   + 3  = 12     3) 16 log a x ≥ + 3.x log a 4) ( ) +1 − x2 + x + 2−x ( + x +1 ) < −1 − x2 + x 5) x − 8.3 x + x + − 9.9 x + > 6) x −4 + x − x −2 ≥ 7) x +1 − 16 x < log ( ) 8) x − 2( x −1) + 1  9) 2 x +1 − 21  2 −1 ( x −1) > 52 x +3 +2≥0 −1 10) 9.4 x + 5.6 − x < 4.9 x 4 11) 8.3 x + x + x +1 ≥ x x 12) x + x + < ( ) 2 13) 6.9 z − x − 13.6 x − x + 6.4 x − x ≤ 14) − x − x + x > x.3 x − x − 3x + x x 15) x + x x + 31+ x < 2.3 x x + x + 16) ( 5+2 ) x −1 ≥ ( ) x −1 − x +1 2 17) 25 x − x +1 + x − x +1 ≥ 34.15 x − x 18) ( log5 x ) + x log5 x ≤ 10 19) log3 x−2 x 20) ( 0,12 ) 21) x −4 log 3x + x + x −5 ) −1 6x 2x −1 − ( x + 1) log ( − x ) 10) log x ( x + 5) ≤ 11) log x + log x ≤ ( ) ( ) x + 8x − 2x − + ≤ x 13) x − 16 x + log ( x − 3) ≥ 14) log x − x + + log x − > log ( x − 3) 3 12) x − x + + log ( ) 2x − 17) log x − x + log ( x + 1) 15) log 3 ( ( 20) log ( x ) 18) log x + x ≤ 2 19) log x − 11x + 43 < 2 21) ) ) − x + < −2 log ( x + 1) ≤ log ( − x ) 52 x + 6x + < − log ( x + 1) 2( x + 1) 22) log 18 − x  x log 18 − log 23) 2  ≤ −1   x 24) log x log − < log ( x − 1) + log ( x + 1) + log ( − x ) < 25) ( ) [ )] ( 3 26) log x − x ( − x ) > ( ) 27) log x x + x − > ( ) ) ( 2  2 28) + x − x + 12  − 1 ≤ 14 x − x − 24 + log x x x  29) log x x − x + > 30) =  3x −  x ≤ 31) log − log  16  4 ( ) ( 32) log 0,3 ) ( ) x + − x +1 > x − > log ( x + 3) 33) log x − x + + log 34) ( ) ( ) log x − x + 11 − log11 x − + 11 2 − x − 3x >0  1 35) ( log x ) ≥  log x −  4   4x −  ≤ 36) log x   x−2  37) log ( x − 1) > log 1 − − x 2 2 ( ) log x − log x > 2 x−5 ≥0 39) log ( x − ) − 38) 40) log x + < log ( − x − ) + log ( x + 2) > 41) 2x +1 x log ( x − 1) 42) − log x [ ( 8 )] 44) log x log − ≤ 45) log x − log x < log x log x x ( ) log x − x +  2x −1   >1 48) log x   x −1  + log 32 x >1 49) + log x 50) log x − log x > log 35 − x >3 51) log ( − x ) 52) log x − x +1 x − x − < 53) log x − log x > 2 log ( x + 1) − log ( x + 1) 54) >0 x − 3x − lg x − x + >2 55) lg x + lg 2 56) log x x − 18 x _ + 16 > ( ) ( ) ( ) 57) log x 64 + log x 16 ≥ 2 58) log x + log x < 1  59) log x  x −  ≥ 4  60) x + log x − x + > − ( x + 1) log ( − x ) ( ) 61) log ( x+ − x ) ≤ log x +1    log ( x − 1) 62) log 25 ( x − 1) ≥ log   2x −1 −1 63) ( ) ( log x + x + + > log 2 x + x + ) 54  32  2 x  64) log x − log   + log   < log x x    2 65) ( ) log 22 x + log x − > log x − ( ) ( x −1 x −1 66) log + − > log + ) HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LƠGA I Hệ phương trình mũ x   y +4 x 5 y −   3 x =y 1)   x = y −1  xy + xy  = 32 2) 4 log ( x − y ) = − log ( x + y ) x  1y 2y  = 3 3)   x + y = 2x −  x y 3y  2yx 2 = 2 x 4)  x ( 1− y )  y y 3 = 3.3  xy = 5)  2 lg x + lg y = 3 x − y = 77  y 6)  3 x − 2 =  y log y x = + y 7)  log x xy = log y x 3.2 x − 2.3 y = −6 8)  x +1 2 − y +1 = −19 x− y  x + y =  9)  x − y 5 = 5.3 x − y −3  55 2 x = y − y  10)  x + x +1 =y  x  +2  x + y y − x = 11)  4 8 x + y − x − y = 3lg x = lg y 12)  ( x ) lg = ( y ) lg ( ) ( )  log xy  y.x = x2 13)  log y log y ( y −3 x ) = 2 x +1 + y −2 = 3.2 y +3 x 14)   x + xy + = x + 2 x + xy + y = 14  15)  log ( x +1) ( y + 2) − log y + ( x + 1) =  − 2 x + + y = 16)  y x  + 2 + + = II.Hệ phương trình lơgarit  x − y = ( log y − log x )( + xy ) 1)  3  x + y = 16 3lg x = lg y 2)  ( x ) lg = ( y ) lg ( ( ) ( ) ( ) ) log x + log y = + log 3)  log ( x + y ) = 2( log y x + log x y ) = 4)   xy =  x log8 y + y log8 x = 5)  log x − log y =  x log8 y + y log8 x = 6)  log x − log y = log x + y − log ( x ) + = log ( x + y )  7)  x log ( xy + 1) − log 4 y + y − x + = log y −  ( ) ( ) 56 log ( log x ) = log ( log y ) 8)  log ( log x ) = log ( log x ) 2 x + xy + y = 14  9)  log ( x +1) ( y + 2) − log y + ( x + 1) = log x ( x + y ) = 10)  log y ( y + x ) = log x ( x + y ) + log y ( y + x ) = 11)  log x ( x + y ) log y ( y + x ) = 1  log x − log y = 12)   x + y2 − 2y =   x log3 y + y log3 x = 27 13)  log y − log x = 14) 15) 16) 17) 5 log x − log y = −8  5 log x − log y = −9 lg x = lg y + lg ( xy )  lg ( x − y ) + lg x lg y = 2 log1− x ( − xy − x + y + ) + log 2+ y x − x + =  log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + ) =  4− x  x + − y =  x log x + y =  ( ( ) ) 4 log3 ( xy ) = + ( xy ) log3 18)   x + y − x − y = 12  xy + xy  = 32 19) 4 log ( x − y ) = − log ( x + y )  x + log y = 20)  x  y − y + 12 = 81y log xy =  x 21)  log =2  y  ( ) 57  1− x2 2 x + xy + = y   2  x y + 2x − 2x y − 4x + = 22) ( ) 58 ... dạng: y v =  mu + v = 2m (II) Ta có:  u + mv = m + m 2m m 2m D= = m − ; Du = = 2m2 − m − 1; Dv = = m2 − m m m +1 m m +1 a) Hệ có nghiệm khi:   m − ≠ D ≠  m ≠ ±1   Du   2m +  ≥3⇔... a > g ( x ).lg b sử dụng logarit theo số a hay b II VD minh hoạ: VD: Giải bất phương trình: 49.2 x > 16.7 x Giải: Biến đổi tương đương phương trình dạng: x − > x − Lấy logarit số hai vế phương... là: −3; − ∪ 1; ) BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HOÁ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ I Phương pháp: Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta logarit hố theo số hai vế bất phương trình mũ Chúng