bài tập vận dụng cao hình tọa độ không gian

BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC OXYZ …………………………………………………………………… Chủ đề Tọa độ điểm véc tơ không gian       Véc tơ không gian Véc tơ đồng phẳng Tọa độ véc tơ Tích có hướng hai véc tơ ứng dụng Một số kiến thức khác Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết Chủ đề Mặt phẳng không gian      Định nghĩa Các trường hợp riêng mặt phẳng Vị trí tương đối hai mặt phẳng Góc hai mặt phẳng Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết Chủ đề Đường thẳng không gian        Định nghĩa Vị trí tương đối hai đường thẳng Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Khoảng cách Góc hai đường thẳng Góc đường thẳng mặt phẳng Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết Chủ đề Mặt cầu     Định nghĩa mặt cầu Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu (S) Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC OXYZ Phương pháp tọa độ khơng gian hay cịn gọi ngắn hình học Oxyz chuyên đề cuối chương trình tốn THPT Phần phần đánh giá khơng khó, nhiên việc tính tốn lại dễ sai số lượng câu hỏi vận dụng cao khơng phải Cùng vào Chủ đề sau đây: CHỦ ĐỀ TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN Véc tơ không gian Định nghĩa Trong không gian, vecto đoạn thẳng có định hướng tức đoạn thẳng có quy định thứ tự hai đầu  Chú ý: Các định nghĩa hai vecto nhau, đối phép toán vecto không gian xác định tương tự mặt phẳng Vecto đồng phẳng r r r r a A Định nghĩa: Ba vecto , b, c khác gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng  Chú ý:  r  n vecto khác gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng  Các giá vecto đồng phẳng đường thẳng chéo r B Điều kiện để vecto khác đồng phẳng Định lý 1: r r r r r r a, b, c đồng phẳng � m, n �R:: a  mb  nc C Phân tích vecto theo baurvecto khơng đồng phẳng uu r ur  Định lý 2: Cho vecto e1 , e2 , e3 r a không đồng phẳng Bất kì vecto khơng gian  x1 , x2 , x3  có thểuu phân tích theo ba vecto đó, nghĩa la có ba số thực r ur r ur a  x1 e1  x2 e2  x3 e3 r r r r a  Chú ý: Cho vecto , b, c khác : r r r a ,rb, c rđồngr phẳng có ba số thực m, n, p không đồng thời cho: ma  nb  pc  r r r r r r a , b , c ma  nb  pc 0�mn p 0 không đồng phẳng từ Tọa độ vecto Trong không gian xét hệ trục Oxyz, có trục Ox vng góc với trục Oy O, trục Oz vng góc với mặt phẳng r  r r Oxy  O Các vecto đơn vị trục Ox, Oy, Oz i   1;0;0  , j   0;1;  , k   0;0;1 r r r r r a   a1 ; a2 ; a3  � a  a1 i  a2 j  a3 k uuuu r r r r M  xM , yM , zM  � OM  xM i  yM j  zM k Cho A  x A , y A , z A  , B  xB , yB , z B  uuu r AB   xB  x A ; y B  y A ; z B  z A  ta có: AB   xB  x A    yB  y A    zB  z A  �x  x A yB  y A z B  z A � M �B ; ; � 2 � � AB M rtrung điểm r a   a1 ; a2 ; a3  b   b1 ; b2 ; b3  Cho ta có: a1  b1 � r r � ab� � a2  b2 � a3  b3 �  r r a �b   a1 �b1; a2 �b2 ; a3 �b3   r k a   ka1 ; ka2 ; ka3   rr r r r r a.b  a b cos a; b  a1b1  a2b2  a3b3      r a  a12  a2  a32 r r cos   cos a; b    r r a1b1  a2b2  a3b3 r r r r a  a22  a32 b12  b22  b32 a (với �0, b �0 ) rr � a.b  � a1b1  a2b2  a3b3   a b vng góc : a1  kb1 � r r � � k �R : a  kb � � a2  kb2 r r � a3  kb3 �  a b phương: Tích có hướng ứng dụng r Tích có hướng a   a1 ; a2 ; a3  r b   b1 ; b2 ; b3  là: r r �a2 a3 a3a1 a1a2 � � � a �, b � �b b ; b b ; b b �  a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  �2 3 1 � Tính chất: r r r r r r � � a, � � b a , b a , b  � � � � r r r r r r � � a b sin a, b a , b  � �   r r r r r � � a , b  a b phương: � � r r r r r r � � � a c  �, b �  a, b, c đồng phẳng 2 Các ứng dụng tích có hướng r uuur uuu � AB , AC � � 2�  Diện tích tam giác: r uuur uuur uuu � VABCD  � AB AD � , AC �  Thể tích tứ diện uuu r uuur uuur � VABCD A ' B 'C ' D '  � AB AA' � , AD �  Thể tích khối hộp : S ABC  Một số kiến thức khác Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số uuur uuur k MA  k MB   ta có: x A  kxB y  kyB z  kz B ; yM  A ; zM  A 1 k 1 k 1 k với k �1 x  xB  xC y  yB  yC z z z ABC � xG  A ; yG  A ; zG  A B C 3 G trọng tâm tam giác uuu r uuur uuur uuur r G trọng tâm tứ diện ABCD � GA  GB  GC  GD  xM  BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho điểm A Tứ diện C Tứ diện Lời giải uuu r uuur S  1, 2,3  ; A  2, 2,3  ; B  1,3,3  ; C  1, 2,  SABC là: B Hình chóp D Hình thang vng uuur AB   1;1;0  ; BC   0; 1;1 ; AC   1;0;1 � AB  BC  CA  � ABC tam giác uur uur uuu r SA   1;0;0  ; SB   0;1;0  ; SC   0;0;1 � SA  SB  SC  1 D  SA, SB, SC   0 0  �0 0 uur uur uuu r r � �SC �0 SA ; SB � Hayuurtaucó thể tính � ur uuu r � SA, SB , SC không đồng phẳng � SABC hình chóp , đỉnh S Chọn B Bài 2: Cho bốn điểm  BC , CA AB.SMNP là: A Hình chóp C Tứ diện Lời giải S 1, 2,3  ; A  2, 2,3 ; B  1,3,3  ; C  1, 2,  Gọi M , N , P trung điểm B Hình chóp D Tam diện vng Tam giác: ABC có AB  BC  CA  � MN  NP  PM  2 uur uur uuu r SA   1; 0;  ; SB   0;1;0  ; SC   0;0;1 uur uur � SA.SB  � SA  SB Tương tự SA  SC , SB  SC Các tam giác vng SAB, SBC , SCA vng S, có trung tuyến: AB   MN  NP  PM 2 SP � SAB  ; SM � SBC  ; SN � SCA  SP  SM  SN  Ta có: uur uuur uuu r � SP, SM , SN không đồng phẳng � SMNP tứ diện Chọn C Bài 3: Cho bốn điểm chóp SABC S  1, 2,3 ; A  2, 2,3 ; B  1,3,3  ; C  1, 2,  �5 13 � � ,3, � B �3 �  A  Lời giải uuu r uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r Ta có GS  GA  GB  GC � 4OG  OA  OB  OC  OS 5,9,13 Xác định tọa độ trọng tâm G hình �7 9� 1, , � � C � 4 � �5 13 � �, , � D �4 4 � � �x      1  � � � G �y        � 13 � �z        � Chọn D Bài 4: Cho vectơ ru r ru r ru r r r r a   1,1, 2  ; b   2, 1,  ; c   2,3, 2  u r Xác định vec tơ d thỏa mãn a.d  4; b.d  5; c.d   3, 6,5 A Lời giải B ru r � a.d  �x  y  z  r u r � � � b.d  � � 2x  y  2z  � r u r � � 2 x  y  z  c.d  � �  3, 6, 5   1  2  3  1    : 3x  � x      3 : y  12 � y  �3 � � , 6, � C �2 � � 5� 3, 6, � � D � � 2  1 : z   x  y         ur � � �d � 3; 6; � � 2� Chọn D uuu r r uuur r uuur r AB  a; AC  b; AD  c Gọi M trung điểm BC thì: ABCD Bài 5: Cho khối tứ diện Nếu r r r r r r uuuur a  c  2b uuuur b  c  2a DM  DM  2 A B r r r r r r uuuur a  b  2c uuuur a  2b  c DM  DM  2 C D Lời giải r r r r r uuuur uuur uuuur r a  b a  b  2c DM  DA  DM  c   2 Chọn C uuu r r uuur r uuur u r  d Gọi G trọng tâm tam giác BCD thì: Bài 6: Cho khối tứ diện ABCD Nếu AB  b; AC  rc; AD r ur r ur r uuur b  d  c AG  A r ur r uuur b  d  c AG  C uuur b  d  c AG  B uuur r ur r D AG  b  d  c Lời giải G trọng tâm tam giác BCD nên: Gọi uuur uuu r uuur r uuur AG  AB  BG  b  BG  1 uuur uuur uuur r uuur AG  AC  CG  c  CG   uuur uuur uuur ur uuur AG  AD  DG  d  DG  3 r u r r uuur r ur r r r ur r uuur b  d  c AG  b  d  c   b  d  c � AG   1 ;   ;  3 Từ suy ra: Chọn B ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi O tâm hình lập phương, đó: Bài 7: Cho hìnhrlậpuuphương uuur uuu ur uuur uuu r uuur uuur AD  AB  AA ' AO  A uuur uuu r uuur uuur AD  AB  AA ' AO  C uuur AD  AB  AA ' AO  B uuur uuur uuur uuur AD  AB  AA ' AO  D   Lời giải uuur uuu r uuur uuur uuuu r AD  AB  AA ' AO  AC '  2 Chọn C CDD ' C '  Bài 8: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi I u tâm mặt  , đó: uuu r uuur uu r uuur uur AB  AA ' uuur AI   AD A uuur uuur uur AD  AA ' uuu r AI   AB C Lời giải uur AB  AD uuur AI   AA ' B uuu r uuur uuur uur AB  AA '  AD AI  D uuu r uuur uuur uuu r uuur uur uuur uur AB  AD  AA ' uuur AB  AA ' uuur AI  AO  IO   AD   AD O tâm hình lập phương 2 Chọn A ABCD Gọi P, Q trung điểm AC , BD Tìm hệ thức đúng: Bàiuu9: Cho khốir tứuudiện u r uuur uuu ur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur AB  AD  CB  BD  PQ A u uu r uuur uuu r uuur uuur  AD  CB  BD  PQ B AB uuu r uuur uuu r uuur uuur C AB  AD  CB  BD  3PQ Lời giải D AB  AD  CB  BD  PQ uuur uuur uuur AB  AD  AQ  uuu r uuur uuur CB  BD  2CQ uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur AB  AD  CB  BD  AQ  CQ  AP  PQ  CP  PQ  2PQ  AP  CP  PQ       Chọn A Bàiuu10: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Tìm hệ thứcuusai: uu r uuur uuuur uu r uuuur uuur AC '  CA '  2C ' C  AC '  A ' C  AC A u B uuu r uuuur uuur uuur uuur uuuu r C AC '  A ' C  AA ' Lời giải O tâm hình hộp D CA '  AC  CC ' uuuu r uuur uuuu r uuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r AC '  AO  2OC '; CA '  2CO � AC '  CA '  OC '  CO  2CC ' uuuu r uuuur uuuur uuuu r uuuur r AC '  A ' C  2C ' C  2CC '  2C ' C  uuuu r uuur r uuuur uuur uuur uuur AC '  AO � �uuuu uuuur uuur �AC '  A ' C  AO  OC  AC A ' C  2OC �     Vậy C sai Chọn C ABCD.M , N trung điểm AC , BD Chọn hệ thức sai: Bàiuu11: ur Cho uuuu r tứ diện uuuu r uuur uuur uuuu r  MD  2MN A MB uuur uuu r uuuu r C NC  NA  2MN Lời giải r uuuur uuur uuuu B AB  CDuuur2MN uuur uuuu r D CB  AD  2MN MB  MD  2MN (hệ thức trung điểm) Gọi P, Q trung điểm AD, BC � MNPQ hình bình hành: uuur uuuu r uuuu r MP  MQ  MN �uuur uuur MP  CD r uuur uuuu r uuu r uuur uuuu r � uuu � � AB  CD  MN � AB  CD  2MN �uuuu r uuu r 2 �MQ  AB � uuur uuu r uuuu r NC  NA  MN (C sai) uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuuu r AD  CB  AB  BD  CD  DB  AB  CD  2MN Chọn C Bàiuu12: ur Cho uuu r hình uuur hộp r A EA '  EB  ED  ABCD A ' B ' C ' D ', A ' C � A ' BD   E , AC '� CB ' D '   F Xác định hệ thức sai: uuur uuuu r uuur r B FC  FD '  FB '  uuur uuuu r EF  AC ' D uuur uuur uuur uuuur C AB  AD  AA '  AC ' Lời giải Gọi I , I ' giao điểm đường chéo mặt đáy AC ' cắt trung tuyến A ' I tam giác A ' BD trung tuyến CI ' (của tam giác CB ' D ' ) E F EI IF   � E, F A ' I FC trọng tâm tam giác A ' BD; CB ' D ' Chọn A, B uuur uuur uuur uuur uuur uuuur AB  AD  AA '  AC  AA '  AC ' C sai uuur uuuu r AE  EF  FC '  AC ' � EF  AC ' 3 D Chọn D Bài 13: Cho khối tứ diện ABCD, G trọng tâm tứ diện, A ' trọng tâm tam giác BCD.M điểm tùy ý không gian Chọn hệ thức đúng: uuu uuur uuur uuur uuur r uuu r uuur uuur r GB  GC  GD  GA ' GA  GB  GC  GD  A uuur uuur uuur B.uuur uuuu r uuuu r uuuu r C AA '  AG D MA  MB  MC  MD  4MG Lời giải Gọi B ' trọng tâm tam giác ACD, hai trung tuyến AA';BB' cắt G , GA ' B ' đồng dạng GAB uuur uuur A' B ' A' M 1 �   � GA '  GA � AA '  AG AB BM 3 uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur GB  GC  GD  GA '  A ' B  GA '  A ' C  GA '  A ' D uuur uuuur uuuur uuuur uuur r uuur  3GA '  A '4 B 44A2' C44A4'3D  3GA '   3GA ' uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur r 3GA '  GA � GA  GB  GC  GD  uuur uuur uuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuur MA  MB  MC  MD  MG  GA  MG  GB  MG  GC  MG  GD uuuu r uuu r uuur uuur uuur uuuu r  MG  GA  GB  GC  GD  4MG Chọn C Bàiuu14: Cho hình hộp rABCD A ' B ' C ' D ' Chọn hệ thức sai: ur uuu r uuur uuuu uuuuu r uuuuur uuuur uuuur AA '  AB  AD  AC ' A ' B '  A' D '  A' A  A'C A uuuuur uuuuur uuuur uuuur uuur B.uuu r uuur uuuur C C ' D '  C ' B '  C ' C  C ' A Lời giải uuur uuur uuu r uuuur uuur uuuur AA '  AD  AB  A ' A  AC  A ' C uuuuu r uuuuur uuuur uuuuu r uuuur uuuur A ' B '  A ' D '  A ' A  A 'C '  A ' A  A 'C uuuuur uuuuu r uuuur uuuuu r uuuur uuuur C ' D '  C ' B '  C 'C  C ' A '  C 'C  C ' A uuur uuu r uuur uuur uuur uuuu r BC  BA  BB '  BD  BB '  BD ' D BC  BA  BB '  D ' B Chỉ có hệ thức D sai Chọn D CHỦ ĐỀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Định nghĩa 2 Trong khơng gian Oxyz phương trình dạng Ax  By  Cz  D  với A  B  C  gọi phương trình tổng quát mặt phẳng  Phương trình mặt phẳng r n   A; B; C   P  :Ax+By+Cz+D=0 với A2  B  C  có vec tơ pháp tuyến P M x ;y ;z  Mặt phẳng   qua điểm  0  nhận vecto P : A x  x0   B  y  y0   C  z  z0   tuyến dạng    r r r n   A; B; C  , n �0 làm vecto pháp r r P a   a1 ; a2 ; a3  ; b   b1 ; b2 ; b3   Nếu   có cặp vecto khơng phương, có giá song song r r r � n� a P P   �, b � nằm Thì vecto pháp tuyến xác định Các trường hợp riêng mặt phẳng 2  :Ax+By+Cz+D=0, Trong không gian Oxyz cho mp   với A  B  C  Khi đó:   D    qua gốc tọa độ   A  0, B �0, C �0, D �0   song song trục Ox  Oxy   A  0, B  0, C �0, D �0   song song mặt phẳng   A, B, C , D �0 Đặt a D D D x y c ,b   ,c     :   1 A B C Khi : a b z Vị trí tương đối hai mặt phẳng  :Ax+By+Cz+D=0  ' :A'x+B'y+C'z+D'=0 Trong không gian Oxyz cho     �AB ' �A ' B � ۹ �BC ' B ' C �  ' CB ' �C ' B �    cắt   �AB '  A ' B � � �BC '  B ' C va AD ' �A ' D CB '  C ' B      ' � � //  �AB '  A ' B �BC '  B ' C � �� CB '  C ' B � �  ' �AD '  A ' D    �  ur uu r       ' � n1.n2  � A A ' B.B ' C.C '  Đặt biệt: Góc hai mặt phẳng 00 � �900  Gọi  góc hai mặt phẳng   P  :Ax+By+Cz+D=0  Q  :A'x+B'y+C'z+D'=0 uur uur nP nQ uur uur cos = cos nP , nQ  uur uur  nP nQ   A A ' B.B ' C.C ' A2  B  C A '2  B '2  C '2 BÀI TẬP ÁP DỤNG A 0;1; 1 ; B  1;1;  ; C  1; 1;0  ; D  0;0;1 Bài 1: Cho tứ giác ABCD có  Viết phương trình mặt phẳng  P  qua A, B chia tứ diện thành hai khối ABCE ABDE có tỉ số thể tích Chọn A  1; 2;0  �d , ta có: d  A;  Q    d  ; d   � Với Vì m  �  Q : y  z      P  � Q  �  Với 2  m qua m4 �  2�� m0 � B  7;0;  �  : x7 y z4   1 1 C  3;0;  �  : x3 y z   1 1 m  �  Q : y  z     P  � Q  �  Vì Chọn A qua Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng  P  : x  y  z   Gọi d: x  y 1 z   2 1 mặt phẳng I giao điểm d ,  P  Tìm M � P  cho MI vng góc với d MI  14 � M  5;9; 11 � M  3; 7;13  A � � M  5;7; 11 � M  3; 7;13 B � M  5;9; 11 � � M  3; 7;13 C � M  5; 7;11 � � M  3;7; 13  D � Lời giải I  t; 1  2t ; t  Vì I �d nên  Hơn I � P  �  t   2t   � t  1 � I  1;1;1 � �M � P  � a  b  c  uuur uu r uuur uu r � IM  a  1; b  1; c  , u   1; 2; 1   M  a; b; c  MI  d � IM u  � a  b  c   d d Gọi Do: � 2 MI  14 �  a  1   b  1   c  1  224   Do Khi ta có hệ phương trình: � � abc  b  2a  a 5 a  3 � � � � � � � � a  2b  c   �� c   3a � � b  �� b  7 � � � � � 2 2  a  1   b  1   c  1  224 � a  1  16 �c  11 �c  13 �  a; b; c    5;9; 11 � M  5;9; 11 Với Với  Chọn A a; b; c    3; 7;13 � M  3; 7;13 P : x  y  z  0,  Q  : x  y  z   Bài 3: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng   Viết A 0; 0;1 , Q phương trình đường thẳng d qua  nằm mặt phẳng   tạo với mặt phẳng  P  góc 450 A �x  t �x  t � � d1 : �y  t ; d : �y  t �z   4t �z  � � B �x  t �x  3t � � d1 : �y  t  ; d : �y  t �z   4t �z   4t � � C Lời giải r Ta có Gọi n   2; 2;1 �x  t �x  t � � d1 : �y  2t  1; d : �y   t �z   4t �z  � � �x   4t �x  t � � d1 : �y   t ; d : �y  t �z   4t �z  � � D r P Q , b   1; 2;  vecto pháp tuyến   vec tơ pháp tuyến   r a   a; b; c  , a  b  c  vecto phương d A 0;0;1 A 0;0;1 , A � Q  Vì đường thẳng d qua  mà  Do r r rr d � Q  � a  n � a.n  � 2a  2b  c  � c  2a  2b P Góc hợp d   45 : rr a b r r a  2b  2c 2 � sin 450  cos a; b  r r �  � 18(a  b  c )   a  2b  2c  � a  �b a.b a2  b2  c   a  b  b  � a  1; c  4  a  b  b  1 � a  1; c   �x  t �x  t � � d1 : �y  t ; d : �y  t �z   4t �z  � � Vậy đường thẳng cần tìm Chọn A Bài 4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB, CD thỏa mãn CD  AB diện tích 27; đỉnh A  1; 1;0  ; phương trình đường thẳng chứa cạnh CD x  y 1 z    2 Tìm tọa độ điểm D biết hoành độ điểm B lớn hoành độ điểm A A  Lời giải D 2; 5;1 Đường thẳng CD qua B M  2; 1;3 H   2t ; 1  2t ;3  t  Gọi uuur r D  3; 5;1 có vec tơ phương C D  2; 5;1 r u   2; 2;1 hình chiếu A lên CD, ta có: AH u    2t ; 2.2t  (3  t  � t  1 � H  0; 3;  , d  A, CD   AH  Từ giả thiết ta có: D D  3; 5;1 S ABCD  18 � AB  6; DH  3; HC  AH uuu r uuur r uuu r AB AB  tu   2t ; 2t; t  � t   xB  x A  � t  r  � AB  4; 4;  � B  3;3;  u AB  CD  AB  Đặt uuur uuu r HC  AB   6;6;3  � C  6;3;5  uuur r uuu HD   AB   2; 2; 1 � D  2; 5;1 Chọn A P : 5x  z   Bài 5: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng   hai đường thẳng d1 ; d x 1 y z  x 1 y  z    ;   1 2 1 Viết phương trình mặt phẳng  Q  / /  P  , có phương trình AB  d , d A , B theo thứ tự cắt cho A  Q1  : x  z  25  331 25  331  0;  Q2  : x  z  0 7  Q1  : x  z   0;  Q2  : 55 x  11z  14  Q : 5 x  z   0;  Q2  : 55 x  11z  14  C   Q : x  z   0;  Q2  : 55 x  11z   D   B Lời giải �x   t �x   2t ' � � d1 : �y  t , d : �y   t ' ;  Q  : x  z  d  0, d �4 �z  1  2t �z  1  t ' � � 3  d  d 15  2d � �3  2d 12  d 30  5d � ; ; ,  Q  �d  B � ; ; � � 3 9 � � � � uuu r �6  d 6  4d 30  5d � AB  � ; ; �   d ; 6  4d ;30  5d  9 � �9 Suy  Q  �d1  A � � AB   2 �   d    6  4d    30  5d  Do Vậy, tìm hai mặt phẳng thỏa mãn:  Q1  : 5x  z   � 25  331 d � 80 �  � 42d  300d  252  � � 25  331 d � � 25  331 25  331  0;  Q2  : x  z  0 7 Chọn A Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d2 : d1 : x 1 y  z   ; x  y 1 z 1   1 mặt phẳng  P  : x  y  z   Lập phương trình đường thẳng d song  P d1 , d A, B AB song với mặt phẳng cắt cho độ dài đoạn đạt giá trị nhỏ x 1 y  z    1 A x 1 y  z  d:   1 C x 1 y  z    1 1 B x2 y2 z2 d:   1 D d: d: Lời giải A �d1 ; B �d � A  1  a; 2  2a; a  , B   2b;1  b;1  b  uuu r AB    a  2b  3; 2a  b  3;  a  b  1 Ta có uuu r r r � �AB  n n   1;1; 2  , AB / /  P  � �  P  có vec tơ pháp tuyến �A � P  Vì uuur r uuu rr uuur AB  n � AB.n  �  a  2b   2a  b   2a  2b   � b  a  � AB   a  5; a  1; 3  Do đó: AB   a  5   a  1   3   a    27 �3 2 � AB  3 a  � A  1; 2;  uuur AB   3; 3; 3 , A  1; 2;  � P  Vậy phương trình đường thẳng Chọn A d: x 1 y  z    1 Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x  y  z 1   1 mặt phẳng  P  : x  y  z   Gọi M giao điểm d  P  Viết phương trình đường thẳng P mặt phẳng   , vng góc với d đồng thời khoảng cách từ M đến  42 � x 5 y  z 5 :   � 3 � x 3 y  z 5 � :   �  � A � x 5 y 2 z 5 :   � 3 � x3 y 4 z 5 � :   �  � C � x 5 :  � 2 � x3 � :  �  � B �x   2t � d : �y  2  t �z  1  t Phương trình tham số uur � nP   1;1;1 ,  P có VTPT z 5 z 5 � x 5 y  z 5 :   � � x3 y 4 z 5 � :   � � D Lời giải Mặt phẳng y2  3 y4  3 d có VTCP uu r ud   2;1; 1  nằm Vì M  d � P  � M  1; 3;0  uur uu r uur � � VTCP u  u P  �d ; nP �  2; 3;1 Vì  nằm   vng góc với d nên: uuuu r N  x; y; z  MN   x  1; y  3; z  Gọi hình chiếu vng góc M  , đó: uuuu r uu r �x  y  z   �MN  u N  5; 2; 5 � � � � �� x  y  z  11  �� �N � P  N  3; 4;5 � � 2 � x   y   z  42 MN  42     � Ta có: � x5  Với x3 N  3; 4;5  �  :  Với N  5; 2; 5  �  : y2  3 y4  3 z5 z 5 Chọn A Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm mặt phẳng   d ' cho AB  P : x  y  z   A  1; 2;3 , đường thẳng d: x y z 1   1 P Gọi d ' đường thẳng đối xứng với d qua   Tìm tọa độ điểm B � �62  16 151 26  151 31  151 � B� ; ; � � � 27 � 27 27 �� � � �62  16 151 26  151 31  151 � � B� ; ; � � � � 27 27 27 � � � A �� 16 151 151 151 � B� ; ; � � � 27 27 � � � 27 � � �16 151 2 151 8 151 � � B� ; ; � � � 27 27 27 � � � � C � �62  151 26  151 31  151 � B� ; ; � � � 27 � 27 27 �� � � �62  151 26  151 31  151 � � B� ; ; � � � � 27 27 27 � � � B � �62  151 26  151 31  151 � B� ; ; � � � � 27 27 � � 27 � � �62  151 26  151 31  151 � � B� ; ; � � � � 27 27 27 � � � D Lời giải P I 2; 1;1 M 0;0; 1 �d P Có d cắt    Chọn  M ' điểm đối xứng M qua   Khi M ' � d ' Ta tìm M ' P Gọi  đường thẳng qua M vng góc với mặt phẳng   uu r uur x y z 1 � VTCP u  VTPT nP   1;  1 �  :   1 H MM ' H Gọi trung điểm tọa độ định: x y z  � 2 �  �1 2� � x   ; y   ;z   � H �  ; ; � 1 �1 3 3 3 � � � �x  y  z   � 1� M '  x H  xM ; y H  y M ; z H  z M   �  ; ; � � 3 3� Từ đó: I  2; 1;1 Suy d’ đường thẳng qua nhận VTCP: uuuur �8 � x  y 1 z 1 M ' I  � ; ; �� d ' :   �3 3 � B �d ' � B   8t; 1  t;1  4t  AB  �   8t    t  3   4t    81 � 81t  6t  67  � t  Theo đề ta phải có: 2 �2 151 27 � �62  16 151 26  151 31  151 � B� ; ; � � � � 27 27 � � 27 � �� �62  16 151 26  151 31  151 � � B� ; ; � � � � 27 27 27 � �� Chọn A Q Bài 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng d: A x 1 y 1 z    1 tạo với mặt phẳng  P  : x  y  z   góc nhỏ  Q : y  z    Q : y  z   B C   Lời giải Q : y  2z   + d có vtcp r u   2;1;1 ,  P   Q  chứa D  Q : y  z   r ur n   a, b, c  ,  a  b  c   m   1; 2; 1  Q  cór vtptr r r , có vtpt r n  u � n.u  � 2a  b  c  � c  2a  b � n   a , b, 2a  b  d nên ta có: P Q + Góc hợp      ur r m.n ur r a  2b  z  b � cos = cos m; n  ur r  m.n a  b   2a  b  +  cos =  ab a  b   2a  b  2 a b �۳  a  b   300 r b  1; c  1 � n   0;1; 1   300 a  Vậy Dấu xảy chi lúc ta chọn � qua : A  1; 1;3 r  Q : � � vtpt : n   0;1; 1 Q : yz40 � Mặt phẳng từ   Chọn A CHỦ ĐỀ MẶT CẦU Định nghĩa mặt cầu Tập hợp điểm không gian cách điểm O cố định khoảng cách R cho trước mặt cầu tâm O bán kính R Kí hiệu  Trong khơng gian với hệ trục Oxyz : S O; R  S I a, b, c  - Mặt cầu   tâm  bán kính - R có phương trình là:  x  a    y  b    z  c   R 2 2 2 Phương trình: x  y  z  2ax  2by  2cz  d  0, với a  b  c  d  phương trình I  a; b; c  , R  a  b2  c2  d mặt cầu tâm bán kính 2  P  mặt cầu  S  P S   không cắt mặt cầu   Vị trí tương đối mặt phẳng   d  I, P   R d  I, P   R d  I, P   R  P  tiếp xúc mặt cầu  S   P  cắt mặt cầu  S  theo P giao tuyến đường tròn nằm mặt phẳng   có tâm  2 H có bán kính r  R  d Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng S O; R  a) Cho mặt cầu  đường thẳng  Gọi H hình chiếu O lên  d  OH khoảng cách từ O đến   Nếu d  R  cắt mặt cầu điểm phân biệt (H.3.1)  Nếu d  R  cắt mặt cầu điểm (H.3.2)  Nếu d  R  khơng cắt mặt cầu (H.3.3) BÀI TẬP ÁP DỤNG A 1;0;0  , B  2; 1;  , C  1;1; 3  Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho  Viết phương trình ABC  mặt cầu có tâm thuộc trục Oy, qua A cắt mặt phẳng  theo đường tròn có bán kính nhỏ 2 � 1� x  �y  � z  � 2� A � 1� x  �y  � z  � 2� B 2 � 1� x  �y  � z  � 2� C Lời giải Mặt phẳng � 3� x  �y  � z  � 2� D  ABC  có phương trình: x  y  z 1   S  mặt cầu có tâm I �Oy cắt  ABC  theo đường tròn bán kính r nhỏ I 0; t ;0  , ABC  Vì I �Oy nên  gọi H hình chiếu I lên  có bán kính 2 ABC  S đường trịn giao    r  AH  IA  IH Gọi Ta có IA2  t  1, IH  d  I ,  ABC    t 1 t  2t  2t  2t   3 � r  t 1 � � I� 0; ; � , IA  t � � Do đó, r nhỏ Khi � 1� x  �y  � z  � 2� Vậy phương trình mặt cầu cần tìm : Chọn A I 1; 2;3 Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu có tâm  tiếp xúc x y2 z   2 với đường thẳng 233 A 2223 2  x  1   y    ( z  3)2  C  x  1 243 B 333 2  x  1   y    ( z  3)  D   y    ( z  3)   x  1 Lời giải + Đường thẳng d qua M  0; 2;0  + Khẳng định tính có vec tơ phương uuu r r � � MI � ,u� d  I,d    r u + Khẳng định mặt cầu cần tìm có bán kính 233  x  1   y    ( z  3)  2   y    ( z  3)2  r u   1; 2;  Tính 233 d  I,d  viết phương trình: uuu r MI   1; 4;3 Chọn A Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình x  y  z  x  y  z  12  đường thẳng d : x   2t; y  4; z   t Viết phương trình đường M  5;0;1  S d   thẳng tiếp xúc mặt cầu điểm biết đường thẳng tạo với đường thẳng cos   góc thỏa mãn �x   3t �x   13t � �  : �y  5t � : �y  5t �z   t �z   11t � � A B �x   3t �x   13t � �  : �y  5t � : �y  5t �z   t �z   11t � � C �x   3t �x   13t � �  : �y  5t � : �y  5t �z   t �z   21t � � D �x   3t �x   13t � �  : �y  5t � : �y  5t �z   t �z   11t � � Lời giải I  2; 1; 3   y     z    26 �  S  có tâm bán kính R  26 uuur ur d IM   3;1;  , u1   2;0;1 VTVP   uu r   a  b  c �0  u2   a; b; c  Giả sử VTCP củauđường thẳng uur uu r M � IM  u2 � 3a  b  4c  � b  3a  4c  1  S  S  :  x  2 2 Do tiếp xúc mặt cầu Mà góc đường thẳng  đường thẳng d  ur uu r u1.u2 ur uu r � cos u1 , u2  cos � ur uu � r  u1 u2    1 vào   ta được: 2a  c  a   3a  4c   c 2a  c a b c 2   2 Thay �  4a  4ac  c    a  9a  24ac  16c  c  a  3c � � � 22a  92ac  78c  � 13 � a c � 11 2 Với a  3c a  b  c �0 nên chọn c  1 � a  3; b  5 2 �x   3t �  : �y  5t �z   t � � phương trình đường thẳng là: 13 a c 11 a  b  c �0 nên chọn c  11 � a  13; b  Với � phương trình đường thẳng là: �x   13t �  : �y  5t �z   11t � Chọn A d: Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  S d M M thuộc đường thẳng cho mặt cầu �6 � M  2;0; 2  �M � ;  ; � �5 5 � A �7 � M  2;0; 2  �M � ;  ; � �5 5 � C Lời giải Vì M �d � M   t; 2  2t ; 2t  x 1 y  z   2 Tìm tọa độ điểm tiếp xúc với trục Oz có bán kính tâm �6 � M  2;0;  �M � ; ; � �5 5 � B �6 � M  4;0; 2  �M � ;  ; � �5 5 � D r O  0;0;  k   0;0;1 ; Oz Trục qua điểm có vtcp uuuu r uuuu r r � OM    t; 2  2t; 2t  � � OM � ; k �  2  2t ; 1  t;  uuuu r r � �� OM � ; k � 5t  6t  S R  d  M ; Oz   5t  6t  Gọi R bán kính mặt cầu   , ta có : � M  2; 2;  t 1 � � R  � 5t  6t   � 5t  6t   � � � � �6 � � t M � ; ; � � � � �5 5 � 2 Chọn A Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 ,  có phương trình: 1 : x  y 1 z 1 x  y  z 1   ; 2 :   1 1 Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ 1 ,  ? tiếp xúc với hai đường thẳng x2   y  2  z  B x2   y  2  z  D x2   y  2  z  A x   y  2  z  C Lời giải 2 2 Mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng 1 ,  mặt cầu nhận đoạn vng S góc chung 1 ,  làm đường kính Giả sử mặt cầu cần lập   A, B tiếp điểm  S  với 1 ,  Viết phương trình 1 ,  dang tham số ta có: A   m;1  4m;1  2m  , B  2  n;3  n; 1  n  Do AB đoạn vng góc chung 1 ,  nên: uuu r uuur � AB 3n  21m  � � U 1  �� � m  n  � A  2;1;1 , B  2;3; 1 r uuur �uuu 3n  m  AB U  � �  � I 0; 2;0  Trung điểm I AB có tọa độ  nên phương trình mặt cầu cần lập là: x2   y  2  z  Chọn A S  : x  y  z  x  y  z    Ox yz , Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu  P  S Ox Viết phương trình mặt phẳng P : y  2z  A   chứa trục cắt mặt cầu P : x  2z  B   theo đường trịn có bán kính P : y  2z  C   P : x  2z  D   Lời giải  S  có tâm I  1; 2; 1 bán kính  P  chứa trục R  Ox cắt mặt cầu  S  theo đường trịn có bán kính nên  P  chứa Ox qua tâm I mặt cầu Ta có: uur OI  1; 2; 1 ,  P  Vậy   Chọn A có vec tơ pháp tuyến r r uur n� i, OI � � �  0; 1; 2   P  qua O P : y  z  x 1 y 1 z d:   Oxyz, 1 cắt mặt phẳng Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng  P  : x  y  z   điểm M Viết phương trình mặt cầu  S  có tâm I thuộc đường thẳng d tiếp xúc với mặt phẳng độ âm S : x  1 A    C    Lời giải  P  điểm A, biết diện tích tam giác IAM 3 tâm I có hồnh  y   z  1  S : x  1  y   z  1  36 B    2 S : x  1  y   z  1  D    2 S : x  1  y   z  1  2 Một vec tơ phương đường thẳng d r mặt phẳng  P  n   1; 2;1 r u  2;1; 1 Một vec tơ pháp tuyến đường thẳng P Gọi  góc đường thẳng d mặt phẳng   � r r  1 sin   cos u , n   �   IMA  300 6 Ta có  S  � IA  R R IAM   Gọi bán kính mặt cầu Tam giác � IMA  300 � AM  R 3.S IMA  3 � Giả sử: I   2t ;1  t; t  , t  2 vng A có IA AM  3 � R  d  I , P   R � Từ giả thuyết ta có khoảng cách: 3t  � t  1 �t  (loại) � I  1;0;1 S : x  1  y   z  1  Phương trình mặt cầu    Chọn A 2 A 1; 1;  , B  2;1; 1 Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu qua ba điểm  C  1; 2; 3  biết tâm mặt cầu nằm mặt phẳng Oxz 2 12 � � � 1326  S :� �x  � y  �z  � � 11 � � 11 � 121 A 2 2 12 � � � 1327  S :� �x  � y  �z  � � 11 � � 11 � 121 B 12 � � � 1328  S :� �x  � y  �z  � � 11 � � 11 � 121 C 12 � � � 1329  S :� �x  � y  �z  � � 11 � � 11 � 121 D Lời giải 2 2 �  x  1    z     x      z  1 � � 2 2 I � Oxz  I  x;0; z  , IA  IB  IC  x  1    z     x  1    z  3 � nên nên: � 12 4� � 12 x   ;z   � I�  ; 0;  � 11 11 11 � � 11 Giải hệ ta Bán kính R 1326 121 2 12 � � � 1326  S :� �x  � y  �z  � � 11 � � 11 � 121 Phương trình mặt cầu Chọn A A 13; 1;0  , B  2;1; 2  , C  1; 2;  Bài 9: Trong không gian Oxyz cho điểm  mặt cầu  S  : x  y  z  x  y  z  67  Viết phương trình mặt phẳng  P  qua qua BC tiếp xúc với mặt cầu  S   S  có tâm I  1; 2;3 có bán kính R  P : 2 x  y  z  28  P : x  y  z  100  A     P : 2 x  y  z  28  P : x  y  z  100  B     P : 2 x  y  z  28  P : x  y  z  100  C     D  Lời giải P  : 2 x  y  z  28   P  : x  y  z  1000  r  P  có vtpt n   A; B; C  ,  A2  B  C �0  ,  P  / / BC nên: Giả sử r uuur uuur r uuur r n  BC , BC   1;1;  � n.BC  � A  B  4C � n   B  4C ; B; C   P  qua A  13; 1;0  � phương trình:  P  :  B  4C  x  By  Cz  12B  52C   P  tiếp xúc với I , P �  S � d � � � R � B  4C  2B  3C  12B  52C  B  4C   B C B  2C  � � B  BC  8C  �  B  2C   B  4C   � � B  4C  � 2 9 A, song song với �B  , � P : 2 x  y  z  28  C   B  C  � Với chọn ta phương trình:   �B  , � P : x  y  z  100  C  B  C  � Với chọn ta phương trình:   Chọn A S : x  y  z  x  y  z   0, Bài 10: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   mặt phẳng  P  : x  y  z   hai điểm A  1;1;0  , B  2; 2;1 Viết phương trình mặt phẳng    song song với AB, vng góc với mặt phẳng  P  cắt mặt cầu  S  theo đường tròn  C  có bán kính    : x  y  2z      : x  y  z  11  A mp    : x  y  z   mp    : x  y  z  11   : x  y  2z    : x  y  z  11  C   mp    : x  y  2z 1   : x  y  z  11  D   mp   B Lời giải 2 S S  :  x     y  1   z  1    Pt viết dạng  S  có tâm I  2; 1; 1 , bán kính R  Suy rauu u r r P AB   3;1;1 n   1; 1;1  Ta có VTPT mặt phẳng uuur r r � �  2; 2;  �0 AB n Do � � Gọi vec tơ VTPT mặt phẳng r uuu r � �    / / AB � u  AB r �    Ta có: uuu rr � �r r � u � � AB n �   P     u  n � � phương với � � r uuu rr r �� u   1; 1; 2  u � AB n 2� � Chọn r  Mặt phẳng   có VTPT u nên phương trình có dạng x  y  z  D   S C Gọi d khoảng cách từ I đến mặt phẳng   cắt   theo đường tròn   có bán kính r  2 Nên d  R  r    Ta có: d 6�   1   1  D D 1 �  � 5 D  � � D  11 �  : x  y  2z   A 1;1;0  Với D    khơng qua  (vì 1   2.0  �0 )  / / AB Nên   Tương tự, mặt phẳng song song với AB  Vậy có hai mặt phẳng   thỏa mãn u cầu tốn có phương trình:    : x  y  z   mp    : x  y  z  11  Chọn A A 2;0;0  , B  0; 2;0  Bài 11: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm  Điểm C thuộc trục Ox cho tam giác ABC tam giác đều, viết phương trình mặt cầu giác ABC S : x2  y  z  A   S : x  y  z  2 B   C   Lời giải S : x2  y2  z  Vì C �Oz � C  0;0; c   S  có tâm O tiếp xúc với ba cạnh tam D  S  : x2  y  z   tam giác ABC khi: AB  AC  BC � AB  AC  BC � 22  22  22  c � c  �2 C  0;0;  C  0;0; 2  Vậy Lập luận tứ diện OABC OA  OB  OC  tam giác ABC Gọi I trung điểm AB IO  AB (Tam giác OAB vuông O ) Lập luận mặt cầu R  d  O, AB   IO  I � OI  1 AB  OA2  OB   22  2  S  có tâm O tiếp xúc với cạnh tam giác Do phương trình có mặt cầu Chọn A  S  : x  y  z  Bài 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  S  :  x  1   y     z  1  25 d: Viết phương trình đường thẳng S đường thẳng d mặt cầu   hai điểm A, B cho AB  �x  1  6t �  : �y  1  2t �z  2  9t � A �x  1  6t �  : �y   2t �z   9t � C Lời giải Gọi: �x  1  6t �  : �y  1  2t �z  2  9t � B �x  2  6t �  : �y  3  2t �z  2  9t � D uuuuur M  d � � M   t;1  2t ;1  t  � MM    t;  2t;3  t  Mặt cầu có tâm ABC có bán kính I  1; 2;1 �qua I  1; 2;1 qua I  1; 2;1 � � �  P : � uur uuuuur  P : � � P    VTPT nP  MM � � Mặt phẳng �  P  :   t   x  1    2t   y      t   z  1  Gọi H trung điểm AB IH  AB, IH  x  y 1 z 1   1 2 mặt cầu M  1; 1; 2  ,  qua điểm cắt IM  � MH   d  M ,  P   Do t  1 � �  � � t 6t  8t  22 � 3t  15 �x  1  2t �x  1  6t � � t  1 �  : �y  1  2t t  �  : �y  1  2t �z  2  t �z  2  9t � � Với Với Chọn A S Bài 13: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu   tiếp xúc với mặt phẳng  Q  : x  y  z   M  1; 1; 1 tiếp xúc mặt phẳng 2 �  c  :  x  3  y   z  1  � 2 � c  :  x  1   y     z  3   � A 2 �  c  :  x  3  y   z  1  � 2 � c  :  x  1   y     z  3   � C Lời giải Q Mặt phẳng   có vec tơ pháp tuyến có phương trình Lấy  P  : x  y  2z   2 �  c  :  x  3  y   z  1  � 2 � c  :  x  1   y     z  3   � B 2 �  c  :  x  3  y   z  1  81 � 2 � c  :  x  1   y     z  3  81  � D r n   2;1;  Q Đường thẳng d qua M vng góc với   �x   2t � �y  1  t �z  1  2t � I   2t; 1  t; 1  2t  �d MI  d  I ,  P   � 4t  t  4t   2t   2t   4t  �t � 1  t  � I  3; 0;1 , R  �  S  :  x    y   z  1  2 t  1 � I  1; 2; 3 , R  �  S  :  x  1   y     z  3  Chọn A 2 ... lại dễ sai số lượng câu hỏi vận dụng cao khơng phải Cùng vào Chủ đề sau đây: CHỦ ĐỀ TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN Véc tơ không gian Định nghĩa Trong không gian, vecto đoạn thẳng có...BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC OXYZ Phương pháp tọa độ khơng gian hay cịn gọi ngắn hình học Oxyz chuyên đề cuối chương trình tốn THPT Phần... IB   2MB    P MI bé hay M hình chiếu I   �283 104 214 � M� ; ; � 183 183 183 � � Tìm tọa độ Chọn A Q : x y z 0 Bài 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   hai