TUYỂN CHỌN BĂI TẬP VẬN DỤNG CAO
Tâc giả: Đoăn Trí Dũng
Sưu tầm vă biín tập: Oải Hương FTU Cđu 1: Biết rằng biểu thức "Šñ“X#a *9ốa "”“Ÿ: (trong đó neN*,n>3) được biểu diễn dưới dạng lũy 6s thtra a Tinh gia tri cua n? A n=100 B n=10 Cc n=90 D n=20 Loi giai: Dap an B 1 1 _ & — Ta biến đổi biểu thúc: z1 =z TT, 20009 2 60-1 1 + 65 _1Í3-1, 4-2 (n+2)—n ——=~———'-+*+—— 264 2|123 234 ” n(m+1)(n+2) =Š-1ÍD-prnnn)" sen 264 2|12 (n+l)(n+2)) 4[n°+3n+2)
Cđu 2: Cho đồ thị hăm số =2” như hình vẽ bín Trín đó ta lấy câc điểm phđn biệt 4 vă B đồng thời lấy điểm C(0;~ trín trục tung O Biết rằng tam giâc ABC nhậ O lă trọng tđm Xâc định tổng bình phương câc hai điểm A va B? A.7 ; 15 c= 2 D Lời giải: Đâp ân A Gọi câc điểm A(ø,2'),B(b,2') a+b+0=30 © 2'+2"-3=3.0 @ ow a NIN Vậy Vì +; =7 lỏa mên điều kiện: +Jâ? +Ÿø*b? +jb? +Ôø?b° =1 Goi M va m lần lượt lă giâ của P=a+b Xâc định tích Mn? B -2 Gal D Nie Loi giải: Đâp ân C
Có: a? + ate? +b? + ferb* =1 0? + ath? +0? +a?! + Nab? + a 2b + Oot? + 0°?
ca” +Ña*b? +b° + nh +2, (ia
o(lt iF) ol Fao vty =1 voi x=Ÿa;y =Ñb
sp!) =1<©a°+3510 +b`+3Đp' =1 5
Khi dĩ: -(2° +’) <P=a+b=x ty <x +y*, Do đó M=1;m=~1=> Mm==1
Trang 2Cđu 4: Trín nửa đường tròn đường kính 4B=2R lấy C tùy ý Kẻ CH vuông góc với AB tại H Gọi Ï
lă trung điểm của CH Trín nửa đường thẳng Ix vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho ASB=90° Tìm giâ trị lớn nhất của bân kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SAIB khi C thay đổi
Rj7 RB R
ee B Ruin = GR => D R,,, =R
in =p in =p Ram = nin Loi gidi: Dap an A
Đặt HA =x,Hb= „ ta có hệ thức lượng trong tam giâc vuông,
CH= fay 1 Ls 1A = x? +t B= yt Ta có ASB =90° cho nĩn: SA? + SB? = AB? ree
Trang 3Để có ba nghiệm phđn biệt thì đồ thị hăm số phải có hai cực trị nằm về hai phía của trục hoănh
¬ ; 2 16
Diĩu kiĩn cĩ hai cue tri la: b* — 3ac =16- 3k >0 Sk < at
Ta có đường thang di qua hai điểm cực trị của đồ thị ham s6 da cho: y =-= S 2 (16- 3k)x-2+ T
Do vậy giả sử hai hoănh độ cực trị lă =7 vă x=ƒ thì:
2 4kl[_2 4k
|-ÊIs~s)~2+- |-3I6-31)a~2= 3|<0e[ts- 3k)p+9=2k || (16-3k)q+9-2k |] <0
=(16-3k} pj+(9~2k)(16~3k)(p+)+(9~2k)” <0
4 8.) ok, k
Lại có: '=3x”—8x+k nín P+1=S vă PS nín (16-3) ail (9- 2k) (16— 3k
sche 2 hoặc pe BH win bel amas: 5k <5 1 2 3 ` ~32 BĨ" 1 Xĩt hăm số f (k)=2(k° -32k +144) voi 5<k< Cđu 6: Biết rằng đồ thị hăm số „= giâ trị nhỏ nhất của biểu thức ? = (a° " +3)(c* A Phin =27 B P„„=192 Loi giải: Đâp ân B Ta có '=av'+bx+c—5 có một cực tr (« +3)(0* +3) i * = (Ve + 5) =3(a+b)' =3(5-c) =3(25-10c +c’) Vay P bề 3)>3(e? +3)(e? ~ 10e +25) = 3(e" ~ 10e° +28e? ~ 30e +75) = f (c) Ta có: ~80c? +56c ~ 30) = 6(c =5)(2 ~3)(c =1)
Trang 4Từ bảng biến thiín, ta thấy rằng giâ trị nhỏ nhất cần tìm lă 192
Lời giải: Đâp ân A
Cđu 7: Cho hăm số yt có đồ thị (C) Tính diện tích của hình tròn có tđm lă giao điểm của hai x+
đường tiệm cận đồ thị (c) đồng thời tiếp xúc với 2 nhânh của đồ thị đó
A, S=6n B S=12z C S=18x D S=24z
Tời giải: Dap an A
Câch 1: Giải bằng phương phâp tự luận:
Đđy lă một băi toân khâ khó Trước hết ta gọi giao
điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hăm số
lă điểm A(-s1) Khi đó điểm tiếp xúc 5 của
đường tròn với đồ thị lă điểm thuộc đồ thị sao cho khoảng câch 4ø đạt giâ trị nhỏ nhất Chính
vì vậy ta có hướng giải quyết như sau: 2) tase 2 ay Goi a(t khi đó: AB= lossy «(22-) = l(a+5) + 9 (a+5, Sử dụng chức năng TABLE để ủ Start=-9,End=9,Step=1
a điều kiện x+y=vx-1+AJ2y+2 Gọi M,m Tần lượt lă giâ trị lớn Pax? +y?+2(x+1)(y +1) +8f4—x-y Khi do gid tri cha M+m bang: 1 €.43 D.42 40=0=| Ti = t=1+2/2 Để tìm giâ trị lớn nhất vă nhỏ nhất của hăm số trín, ta cần tìm điều kiện của biến ¡ ƒ(0)=18 wits aca, “ <4 he an * Giải sai lầm: Ta có: [Ty jS0t<xtyse Tới đđy ta có: /(I+2{2)=27,627417 ‘ /(4)=36
Khi đó M+m=45,6274? Không có đâp ân năo khớp cả Rất may băi toân năy không căi bẫy nếu không ta đê mất điểm rất đâng tiếc Tới đđy ta cần khảo sât sđu hơn điều kiện của biến ¿= x+y
Trang 5Giải đúng: Âp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz (Bunyakovsky):
(x+y) =(tjx+1+42 fray ⁄(1+2)(x~1+y+1)0<t=x+y<3
Vay 1+2V2 ¢[0;3] cho nín chỉ cần xĩt:
Bai tập âp dụng: Cho câc số thực x,y thỏa mên điều kiện: x+y~1=42x~4+j/+1 Tìm giâ trị lớn nhất vă 38-25 2 nhỏ nhất của biểu thức: Safer ¬ 0t DS: M= ,m=2~28J2 x+y 2 mx Cđu 9: Tìm câc giâ trị thực của tham số „ dĩ ham sĩ y=~—""**4 tiĩn tue va dat gid = [0:4] tại một điểm xạ e (0;4) A -2<m<2 B -2<m<0 C m>2 ® Loi giải: Đâp ân B ~2mx +im2 ~4 _(-mŸ -2 (x-mỷ &-mỆ Lập bảng biến thiín vă suy luận: ' Do đó ta có trục xĩt đấu sau: có câc tình huống sau:
ố đê cho đều thuộc khoảng (0;4) Khi đó ta
(0;4) khi đó lập bảng biến thiín ta chỉ cú GTNN tai x=m+2 cho
âđ~-2<im<0
O<m+2<4 |-2<m<2
m>4Vm<0 ¡ #[0;4]
văo đâp ân A vì đâp ân năy sẽ lăm học sinh dĩ mac sai lđm tích văo khi giải ra
¡ giải thím điều kiện phụ mz[0;4] vì muốn tồn tại GTNN trong [0;4j thì bản than ham
số phải xâc định vă liín tục trín [0;4] _ax+b oxtd Cau 10: Cho ham sĩ y= f(x) với câc hệ số a,b,c,deR; ~Š+0 có đồ thị (C), đồ thị hăm số z= /(s) như hình vẽ bín
Biết đồ thị hăm số y= /(x) cắt trục tung tại điểm có tung độ
bằng 3 Tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoănh
Trang 6
ad—be + Vì đồ thị hăm s6 y= '(x) c6 tiệm cận đứng x=1 nín -Š=1©c=-4 mm ý Ta có: ƒ{x) f(0)=3=5 =b=34 Mặt khâ lt khâc "" .ˆ ẽ ˆ Po Pa
A ax+b -dx+3d_ x-3 saw Ẩn trai x ^ # 1 3 Vay 1=f0)= Ta” ad xi vă tiếp tuyến tại x=3 lă đường thắng jo
Cđu 11: Cho tứ điện ABCD có A8=CD=a Gọi E vă F lần lượt lă trung điểm của øC vă AD Biết rằng
Tính khoảng câch giữa hai đường thang ap va CD biết thể tích của tứ điện a : A a(AB,CD) => B d(AB,CD) = 2a C a(AB,CD)=a Lời giải: Đâp ân C Trước tiín ta có công thức đặc biệt tính thể tích: A
v = Lobdsins 2 ZABCD Asp cpysin{AB,CD)
Trang 7Cđu 13: Cho hăm số ƒ(x) thỏa mên ƒ(%)+ ƒ'(x)=e 'J2x+1 Khi đó giâ trị biểu thức A=e*Ƒ(4)~ ƒ(0)
có giâ trị lă:
a A-28 3 B.A= CC 3 cA= TC 3 D.A=0
Loi giải: Đâp ân A
Ta có: e (f(x) + f'(x)) =V2x+1 = Jef (x)dxs Jef (x)ax =[W2x+1dx
=[/)de +fetdf(x) =5(2x+1)J2x+1+C=se'/(x)=2(2x+1)VBx+1+C Vậy: £'/(4)=9+€ vă ƒ(0)=3+C=e'/(4)~ /(0)= Cđu 14: Có bao nhiíu giâ trị nguyín của trong (-10;10) để phương trình ot ghiĩm x< (2): 4° -3.2""! +10 =2(2" -3)sinmx A.0 B.1 G2 @ D2 Lời giải: Đâp ân A Dat t=2* ta đưa phương trình về đạng: f° -(2sin 6)! +'Õ6ginzzx + 10 =0
Để có nghiệm ¿ thì A'=sin?mw~1>0©>sinma mx PE + ke
Va tất nhiín khi đó ta có: =2" =2 hoặc Me
Vì xe (2) nĩn chi lay x=2 2 niín không tồn tại nguyín năo thỏa mên R.AB =Rv2 1A va >MI.AB © MA+ MB> Đẳng thức xảy ra khi vă chỉ khi z= 2— 3i Cđu 16: Cho số phức z thỏa mên |z+2):+1|+|«-2):-1| =6.Goi M vă m lần lượt lă giâ trị lớn nhất vă nhỏ nhất của |z|_ Tính T = M+ m A.T=5 B.T=4 C.T=10 D.T=16
lời giải: Dap an A
Trang 8Ta có: |z+2)¡-1|+|£-2);~I|=6=jx+2}+(y-1Ÿ +j(x-2} +(y+1Ÿ =6
Gọi M lă điểm biểu điễn của số phức z vă gọi tọa độ câc điểm A(2;-1), B(-2;1).Khi đó: MA+ MB=6
Mặt khâc khi MA + MB=2a thì quỹ tích của M lă một
elip trong đó AB=2c do vậy elip năy có:
® Bân trục lớn: a= 3
® Tiíu cự: AB=2N5 =2c = c =xl5 © Ban truc bĩ: b? =a? -c? =4>b=2
¢ Tam elip 1a g6c toa dĩ O
Nhu vay J|=OM max=3 vă min =2 Do đó T=M+N=5
Cđu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho câc điểm M( 1/7; 0),
số thực đương thỏa mên mn = 2 Ching minh rang đường thẳng MN tơ với một mặt cầu cố định Xâc đinhk bân kính của mặt cầu đó?
A R= 2 5.R—XẾ 3 CR
Loi giai: Dap an D
Câch 1: Giả sử tđm mat cau can tim 1a 1(a;b;c)
4+(m+n)`~2m =m+n Vậy MN= AM+BN Gọi O lă trung điểm của AB, ha OH | MN Theo dinh ly Pythagoras:
OM? = OA? + AM? = OH? + MH? ie = OB’ + BN? = OH? + NH? Do vậy: AM — BN? = MH? — NH? hay: (AM- BN)(AM-+ BN) =(MH-NH)(MH-+NH) = MeN Miah Loner AM+BN=MH+NH' ˆ |BN=NH
=OH? =OM? - MH = OM? - MA? = OA? =
Trang 9
Vậy tđm O có khoảng câch tới MN bằng 1
Cđu 18: Cho biết x = log, 12; = log,„ 24; log 168 = tong Tính §=a+2b+ 3c A.S=5 B §=10 €.6=15 D.S=20 Lời giải: Đâp ân C log 168 _ — alog.24+1 .„ Vì 168 =7.24= ø =1 Ta có: xự = log„ 24 vă log„ 168 = a co: xy = log, 24 va log., log, 54 blog, Flos 244cloz.12 24+ clog, 12 (23), - 248 (2.3) 1 Vậy S=a+2b+ 3c = 15 Vì 54=2.3?= =c=8;b=-5
Cđu 19: Biết rằng khi m thay đổi nhưng luôn
thỏa mên điều kiện #0, tôn tại một đường,
thẳng (đ) lă tiếp tuyến chung của tất cả câc
đường cong thuộc họ (c ù -— 2a? —(m—2)x+ m dal đó tạo với hai trục tọa độ một tam giâc có điện tích bằng bao nhiíu? A a b + 4 3 1 c= 2 Loi giai: Dap an C Đường thẳng (4) x? — 396x +9602 Ta xĩt: m=100> y= = cho chạy từ -9 đến 9, Step 1 ta được: xe99 x-99)ˆ Ö- ` (2-29) Math Math ht - Ftma †00- 2e lim: I:điễn ch 3 010.9755 -z
Ta mấy Ă7 › =~1 hệ số góc tiếp tuyến không đổi bằng 1 Mặt khâc bấm mây tính: Ws 2x? - 98x +100 CALC x=-1 duge y=-2
x-99 * ee
Vậy ta luôn có một tiếp tuyến cố định tiếp xúc với mọi đường cong trong ho la y = x—1 Chọn C Cđu 20: (Sở giâo duc va dao tao Ha Tinh 2017) Cho câc số thực b>ø>0 Trong câc phương trình sau,
Trang 10Bởi khi chia cả hai vế cho b* ta được: # +(e) 7 o[2) +(E+1] =1
« 4) | + (2) =0 (2) (3) + J =0 lă phương trình vô nghiệm bởi hai vẽ trâi luôn đương
Cđu 21: (Chuyín Lí Quý Đôn - Quảng Trị - lần 1 - năm 2017) Cho x, y lă hai số thực thoả mên
log,(x+)+log,(x—w)>1 Tìm giâ trị nhỏ nhất P,„ của biểu thức P=2x—ÿ
A Pạ„ =4 B Pụ„ =—4 min C P„„ =2/3 min D.P, BE
Loi giai: Dap an C
Ta có log,(x+)+log,(x—)>1x?—y° >4 Ta chú ý rằng: x+ >ø,x— >0 nín x
Do vậy x>.jyˆ +4 cho nín P=2x—>2Ajy°+4—= ƒ(y) với yéR
2 — -1~0<sy~2MÖ, Vậy vẽ bảng biến thiín ta đượ Vy +4 3 Ta lại có: ƒ'(/)}=
Cđu 22: (Chuyín KHTN - Hă Nội - lần 5 - 2017) Với ø,b>0 thỏa mấn điều kiỆhsế + b+ ab =1, giâ trị
nho nhat cia P=a‘ +b* bang A (+ B 2(v2-1)’ Œ (-¬1), @ >(v2+1) Loi giai: Dap an B Ta có: a+b+ab=1<(a+b)+ cũng có câc đânh giâ cơ bản: ts+p>(+Ý bole 1 aT Bay
2(a +0 )>(a +b") -[}260 +b°)| = -Ÿ | nín p>2( 2-1)
Cđu 23: Tìm mdĩ do thi ham sĩ y = x* thẳng =-3 tại bốn điểm phđn biệt sao
Trang 11F(x) 1-13 1-13 —>= = Câch 2: Sử dụng tam thức bậc 2: Do lă hăm trùng phương nín phương trình xŸ +2zzx” ++3=0 cần 4 nghiệm thỏa mên.điều kiện: x, <-2<-1<x, <0<x, <1<2<x, © 0<, <1<4<t;, với bars A>0,5>0,P>0 Nghĩa lă phương trình £Ÿ +2zw†+ m+3=0 có (t, -1)(t, -1) <0 © (t,~4)(t,~4)<0
Cđu 24: (THPT Chuyín ĐH Vinh - lần 4 —- năm 2017) Cho câc số tÌ
đường thẳng nao song song với trục Ox mă cắt câc đường thang y =a" Biết rằng bất kì ục tung lần lượt tại M, _ Tọa độ điểm M © =k
_ Tọa độ điểm N lă lệ phương trình: Ũ y= =x, =log,k
Giả sử vị trí của hữ hình vẽ tức lă x„„ >0 >x„ Khi đó AN=2AM © -x„, =2%¿¡-
= ©log,a+2log,b=0<>
log,b log, a Se Be
Cđu 25: Cho đồ thị hăm số ự = a có đồ thị như hình vẽ Biết A, B, C, D thuộc đồ thị hăm số sao cho ABCD lă hình vuông Tính diện tích hình vuông:
Trang 12¿ + [a-1=b-1 ,
_V6i (a-1) =(b-1) =|! id py: 12 loai trường hợp đầu vì bắt buộc A+zB Khi đó a+b=2 tức lă
A, B la hai điểm đối xứng nhau qua I (vô lí, loại)
_ Với (a-1) (6-1) a1 Nt Vi a,b>1 hoac a,b<1 nĩn (z-1)(p-1)>0 vậy (a-1)(b-1)=~
(a-1)(b-1)=26b=-4 thay văo ta được A gel A| Em
a-1 a-1 a-1
_Vi IAB =0 (a- 9- i} (E-Je-9=e (Vô nghiệm) a-1
Kết luận: không tồn tại hình vuông „ x1 TT Cđu 26: Tìm m để hăm số 1/ = —— nghịch biến trín (19) xˆ+x+m A.m>-2 B.m2-2 Cms-2 Dun Lời giải: Đâp ân C ty đ y= 3x +f—Ì To đụ, EL) (x2 +0-+m) # +x+? z0,Vx e(T—1;1)
Đối với ~x?~2x+m—1<0,Vxe(-1;1)>mm<x° +2x+1,Vxe(—ÚÔ)= m< 0`
Đối với x” +x+im#0,V3e(-1,1), xĩt ƒ(x)=+” gb _ x a a 1 € tich gấp 32 lần khối hộp chữ nhật Tìm giâ trị lớn nhất của SỐ B s.42, €: g4, Tử s.46, 5 5 5 a b x #
Đặt =x, =ự, =z với giả thiết x= min‡x,,z}
2 a+b+e ° a+b+c y a+b+c lu t }
1 6(a+b+c) a
Ta có: (a+b+c)` =32abc œ xyz=— vă tỉ số §=———————~=———— vă chú ý Ïx + + z =1
( ) R39 2(ab+be+ac) xy+yz+xz #Eturs=] ex= Vi sy + yetxz—x(y +2)+y2=x(1-x)+ 2-7 (2) với ƒ(x)=1-2x-——— + Lae 32x
(Chú ý: thực tế có hai nghiệm lă x= va x= >t nhung x =min{x,y, <5 nĩn chon x= ?
Trang 13
Vậy lập bảng biến thiín ta được ƒ(x)> ⁄§) “= =|S= Ha Cđu 28: Tất cả câc đường tiệm cận của đồ thị hăm số : 1/ = A, 4 B.2 Có D.1 Lời giải: Đâp ân D ‘ x+2 1 4 có câ +Ơ gi v3Đn IỄ Rút gọn: /=———————>y=———~— do đó có câc đường tiệm cận lă x =2, x = -2, 1/ =0 (x-2)Ì(x+2) (x-2)jx+2
Cđu 29: Cho hăm số = f(x) có đồ thị như hình vẽ sau:
Hỏi hăm số =|ƒ(x)| có bao nhiíu cục trị? Al B.2 c3 D4 bọ Lời giải: Đâp ân B Ta lưu ý: Điểm cực trị của hăm số lă chỉ nói về x (ví dụ: -) (2-1 ) cũng nói về y ức trị lă y=1, va y=0 4 fem) (x)?
Điểm cực trị của đồ thị hăm số lă nói về (x,
Cục trị của hăm số lă chỉ nói về y Giâ trị Do đó băi toân năy đang nói về hă
Cđu 30: Cho hăm số ƒ(x) =e` sin+-
A V2, a c.-2%e, D.-2099%e",
Lời giải: Đâp ân D :
NYS f'(x)=e*(sinx-+cosx) = (V2) sin( +]
Voi f(x) pee ham 3 cap: | f"(x) =2¢" cosx=(v2) e' sn( v2]
f°"(x)=2e*(cosx-sinx)=(V2) e sin(s +3)
Ta nhn thay: f”) (x)= (v2) la snl x +=) => fo) (z)= (}” e sin(s + mm) =2,
Cđu 31: Cho câc số thực đương x, y thoa man log, x =log, y = log, (# + Ì Tính giâ trị của biểu thức
P=x55+ g8"?
A 2 B.5 c4 D.6
Loi giai: Dap an C
Dat log,x= lop, =log [3Ev1Ì~=x=#, =9, xụ =4.6' 4= 36' ~4.6' +4=0= 6' =2
Trang 14Khi đó: log, x = log, 1 =log, (#: 1 =b=log, 265 ead PO yin ghee,
Thay văo ta được: P= (6s)? xi” ye = (ase) +(e) nở = GPK? 4 G82 =
Cđu 32: Cho hình chóp §.ABC có đây ABC lă tam giâc vuông cđn tại B với AB=BC = a3, góc
SAB=SCB=90° vă khoảng câch từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng øV2 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 16na° B 18na* C 12na° D 16m” Lời giải: Đâp ân C Câch 1: Sử dụng công thức giải nhanh: Giâ sử: AH L(SBC) thì AH=a2 Đặt SB=x Âp dụng công thức thể tích dựa theo câc cạch vă góc của đỉnh B ta có:
Vv =c8exji ~ cos? SBA — cos? SBC =3 1 =f
Âp dụng công thức thể tích cơ bản dựa theo đường cao
AH ta có:
Vv =40 Paw ave -3a =a Vx? -30° us, Giải phương trinh tìm được x=2z SAB=SCB=90° nín tđm mặt cầu lă trung điểm của SI Rs = =| =12n0"|, Š E Câch 2: Giải bằng hình học thuần túy? Hạ _ SD.L(ABCD) = SD.L AB AB”n AB 1 AD Tương tự ta cũng có BC L BD a(A,(SBC)) =d(D,(SBC
Vi CD =av3 SD Bayo 5 = R=av3 A B