số nguyên hàm ST T Nguyên hàm hàm số Nguyên hàm mở rộng a.dx ax C, a �� � x 1 C , �1 1 x dx � dx dx �x ln x C , x �0 dx �x dx (ax b) 1 ( ax b ) d x C � a 1 ln ax b C � ax b a x C, x C , x �0 � x x dx � x C ( 1) x 1 e dx e � x a x dx � x dx � (ax b) C 1 C a ( 1)(ax b) 1 dx e ax b C a ax b e � ax C ln a a x d x � a x C ln a cos xdx sin x C � cos(ax b)dx sin(ax b) C � a sin xdx cos x C � sin(ax b)dx cos( ax b) C � a � cos 10 x � sin x 1 1 dx tan x C dx tan(ax b) C � cos (ax b) a dx cotx C � sin 2 1 dx cot( ax b) C ( ax b) a ơng thức tính vi phân hàm số Định nghĩa: Vi phân hàm số Ký hiệu dy hay d f x dy f� x dx vi phân y f x f x df x f � x dx Các vi phân bản: biểu thức f� x dx 1) d u 1 1 u du 3) d cosu sinudu 5) 7) 9) d cotu d (ln) du u với d tan u 4) du sin u d u C du d sin u cosu.du 2) C du cos u 6) d eu eu du 8) d u v du dv số Các phép biến đổi vi phân bản: �u 1 � u du d � � 1 � � 1) du d (tan u ) 4) cos u BÀI TẬP du d (cotu ) 5) sin u cosu.du d sinu 6) eu du d eu 3) sinu.du d cosu du d (ln | u |) 7) u Chú ý: Trên phép biến đổi quan trọng, giúp cho vi ệc tính nguyên hàm tr nên ngắn gọn, tiết kiệm thời gian trình bày Câu 1: Nguyên hàm A) 2) x x3 x x x3 C B) là: x 3x C C) 2x x x3 C � x3 � x2 � 1 � C � � D) 1 x là: Câu 2: Nguyên hàm x A) x4 x2 C 3x B) Câu 3: Nguyên hàm hàm số x3 x C x f x x x4 x2 C 3x C) là: 33 x2 F x C A) C) F x B) 4x C 33 x A) C x F x F x D) Câu 4: Nguyên hàm hàm số F x x3 C D) x f x B) 3x x C 4x 3 x2 C x x là: F x x C F x C x C) D) F x x C f x Câu 5: Nguyên hàm hàm số A) x 1 F x C x B) F x x x x x2 là: C x 1 x C) F x 23 x 1 x C F x C x x D) dx � Câu 6: x bằng: A) 3x �5 Câu 7: A) C B) A) 13 x e C A) e 5 x 3 � x Câu 10: C x dx 3.2 � x ln x C C) C) 5ln x ln x C D) x C D) 5ln x x C là: e13 x C C) F x 3e C e3 x D) F x e C 3e3 x e 5 x F x là: e 5 x C 3x 4x C B) ln ln x dx C) F x e 25 x C D) F x e5 x C 5e 4x 3x C C) ln ln 3x 4x C D) ln ln bằng: B) Câu 12: Nguyên hàm hàm số A) C bằng: 2x x C A) ln F x F x f x B) 3x 4x C A) ln ln Câu 11: f x e13x B) Câu 9: Nguyên hàm hàm số F x 3x 2 5 x C 5ln x x C 5 B) Câu 8: Nguyên hàm hàm số F x � x3 � dx � bằng: � � �x 5ln x 23 x 32 x C 3ln 2 ln B) Câu 13: Nguyên hàm hàm số 2x 2x 2x x C x C x3 C ln C) 3.ln D) ln f x 23 x.32 x F x là: 72 23 x.32 x ln 72 C F x C F x C ln 72 ln 72 C) D) f x 312 x.23 x là: x x �8 � �� F x � � C ln A) Câu 14: Nguyên hàm hàm số x x f x 3x 1 x là: x �4 � �� F x � � C ln A) �3 � �� F x � � C ln B) Câu 15: Nguyên hàm hàm số 3.e C F x ln 3.e A) x �9 � �8 � �8 � �� �� �� 9 F x � � C F x � � C F x � � C 8 ln ln ln 9 B) C) D) f x e3 x 3x x F x 3 B) e3 x ln 3.e3 x C) �3 � �� F x � � C ln D) x C F x là: F x C C) 3.e x ln 3.e3 3.e F x x C D) ln C �x � x �dx � � � bằng: � Câu 16: �3x ln � �3x � �x � 9x C � � x � C x � x C x C x � � x ln 3 ln 3 � ln � � A) � B) � C) ln 2.9 ln D) ln � Câu 17: cos4 x.cos x sin x.sin x dx bằng: � sin x C A) Câu 18: sin x C B) sin � 2xdx 1 sin x.cosx C cos7x cos9 x C 18 B) C) 14 � sin sin x C B) 1 x sin x C C) 1 x sin x C D) dx x.cos x bằng: A) tan 2x C Câu 21: 1 cos9x cos7x C 14 D) 18 bằng: 1 x sin x C A) Câu 20: sin x cos4 x C D) cos8 x.sin xdx � bằng: sin x.cosx C A) Câu 19: 1 sin x cos4 x C C) sin x cos2 x � B) -2 cot 2x C dx bằng: C) cot 2x C D) cot 2x C sin x cos2 x 3 A) Câu 22: cos � 2 �1 � cos2 x sin x � C C � � B) � x sin x C C) x cos4 x C D) 2x dx bằng: 2x cos C A) 2x cos C B) x 4x sin C C) x 4x cos C D) 3 Câu 23: A) dx � 2x bằng: ln x C B) 2 ln x C Câu 24: A) � x 3 C) ln x C D) 3ln x C dx bằng: C x 3 B) C x 3 C) C x 3 D) C x 3 C D) x C x 3 Câu 25: A) dx � x 6x bằng: C x3 C B) x C) 3x Câu 26: A) �x dx bằng: 3x ln x C B) x ln x C C) 3x ln x C D) x ln x C x2 2x � x dx bằng: Câu 27: x2 x ln x C A) x2 x2 x ln x C x ln x C B) C) D) x ln x C x2 x � x dx bằng: Câu 28: A) x 5ln x C x2 x 5ln x C B) x2 x 5ln x C C) D) x 5ln x C Câu 29: A) dx � x 1 x ln x ln x C bằng: ln B) x 1 C x2 C) ln x C D) ln x C x 1 Câu 30: dx � x 3x bằng: A) C) 3ln x ln x C B) ln x 3ln x C 3ln x ln x C ln x 3ln x C D) Câu 31: dx � x 4x bằng: ln A) x5 C x 1 x 1 x � 10 Câu 32: 1 x dx B) 1 x x Câu 33: � x 1 A) 2 11 C 22 x5 ln C x C) x 5 ln C x D) bằng: 11 A) x 5 C x 1 ln 22 B) 1 x 22 C C) 11 1 x 11 C D) 11 C dx bằng: ln x x C B) ln x C C C) x D) ln x C x 1 ex �x dx bằng: Câu 34: e x A) e x C ln e C x B) ex C x C) e x D) C ln e x 1 ex �2 dx bằng: Câu 35: x 1 x A) e C B) e C x x C) e C D) e x C e2 x �x dx bằng: Câu 36: e A) (e x 1).ln e x C B) e x ln e x C C) e x ln e x C D) ln e x C Câu 37: x.e x 1dx � bằng: x 1 e C A) x B) e 1 C x C) 2e 1 C x D) x e 1 C x Câu 38: �2 x 3 dx bằng: 3x C A) ln x Câu 39: �x A) dx ln x Câu 40: � x.ln A) x x2 C B) 2x2 C C) D) 2 x C bằng: dx C B) ln x C ln x C C) ln x C D) ln x C bằng: ln x C B) C C) ln x D) C ln x ln x Câu 41: dx � x ln x bằng: �1 � � ln x ln x � C � A) �3 �1 � � ln x ln x � C � B) � �1 � � ln x ln x � C � C) �3 �1 � � ln x ln x � C � D) � Câu 42: sin � x.cosxdx bằng: sin x C A) B) sin x C C) cos6 x C cos x C D) sin x Câu 43: dx � cos x bằng: 1 1 C C C 4 A) 4cos x B) 4cos x C) 4sin x 1 C D) 4sin x sin x cos x Câu 44: A) dx � sin x cosx bằng: ln sin x cosx C B) ln sin x cosx C C) ln sin x cosx C D) ln sin x cosx C tan x tan x dx bằng: � Câu 45: A) tan x C 2 B) tan x C C) 2 tan x C tan x C D) Câu 46: cot x dx x bằng: � sin A) Câu 47: cot x C x 1 e � x2 x3 cot x C B) dx C) tan x C tan x C D) bằng: �x �x2 2 x 3 x2 x e C x x 3 x � x� e C x e C � A) � B) C) Câu 48: � 4x 4x 1 dx 2x bằng: C A) x x C) x2 x 3 e C D) B) C 4x 2x ln x x C D) ln x x C 3cos x Câu 49: dx � sin x bằng: 3sin x A) 3ln sin x C B) 3ln sin x C C) sin x C D) 3sin x C ln sin x 3sin x cos x Câu 50: dx � 3cos x 2sin x bằng: A) C) ln 3cos x 2sin x C B) ln 3sin x cos x C D) ln 3cos x sin x C ln 3sin x cos x C e x e x �x x dx bằng: Câu 51: e e A) Câu 52: ln e x e x C ln e x e x C C) ln e x e x C D) ln e x e x C x cos xdx � bằng: x2 sin x C A) Câu 53: B) B) x sin x cosx C C) x sin x sinx C x sin x cos xdx � bằng: �1 x � � sin x cos2 x � C � A) �4 �1 x � � sin x cos2 x � C � B) �2 x2 cosx C D) �1 x � � sin x cos2 x � C � C) �4 �1 x � � sin x cos2 x � C � D) �2 x Câu 54: xe dx � A) Câu 55: bằng: x 3 x 3 e C B) x 3 e x x x e C C) C x x e C D) x ln xdx � bằng: x2 x2 ln x C A) x2 x2 ln x C B) C) x ln x x C x2 x2 ln x C D) BÀI TẬP CÓ ẨN Câu Giả sử hàm số A = a + b+ c , ta được: f ( x) = ( ax2 + bx + c) e- x nguyên hàm hàm số g( x) = x( 1- x) e- x Tính tổng B A = C A = D A = 20x - 30x + f ( x) = ; F ( x) = ( ax2 + bx + c) 2x - x> 2x - Để hàm số F ( x) nguyên Câu Cho hàm số với f ( x) hàm hàm số giá trị a, b, c là: A a = 4, b = 2, c = B a = 4, b = - 2, c = - A A = - C a = 4, b = - 2, c = Câu Với giá trị a, b, c, d A a = b = 1, c = d = D a = 4, b = 2, c = - F ( x) = ( ax + b) cos x +( cx + d) sin x Câu Một nguyên hàm sin3 x F ( x) = A C F ( x) = hàm số Câu Cho hàm số A ln2 ? D Kết khác p p x= 4? kết sau đây, biết nguyên hàm x sin2x F ( x) = B sin3 x F ( x) = 12 D f ( x) = sin2 x x sin2x + 4 y = f ( x) f ( x) = x cos x B a = d = 0, b = c = C a = 1, b = 2, c =- 1, d = - F ( x) nguyên hàm có đạo hàm ln3 B 2x - f ( 1) = f ( 5) có giá trị bằng: C ln2+1 D ln3+1 f '( x) = � � F � � f ( x ) sin x cos x thỏa mãn �2 � Câu (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số F ( x) cos x sin x B F ( x ) cos x sin x A C F ( x) cos x sin x D F ( x) cos x sin x � p� p 4m � F� = � � + sin2 x � � F x f x F = ( ) ( ) ( ) � � p Câu Cho hàm số Tìm m để nguyên hàm thỏa mãn 4 3 m= m= m= m= 3 4 A B C D y = f ( x) = sin2 x Nếu F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) đồ thị y = F ( x) qua điểm Câu Cho hàm số f ( x) = � � p � M� ;0� � � � �thì F ( x) là: � F ( x) = - cot x A B F ( x) = 3- cot x D F ( x) f ( x) = 4x - F ( x) f ( x) Câu Giả sử nguyên hàm hàm số Đồ thị hàm số cắt điểm trục tung Tọa độ điểm chung hai đồ thị hàm số là: � � � � � � � � � ;9� ;9� ;8� � � � � � � � � � � � � 0;- 1) 0;- 1) ( ( � � � 2 A B C D C F ( x) = - + cot x F ( x) = - + cot x Câu 10 Tìm số thực m để hàm số f ( x) = 3x2 + 10x - m=1 A B m= F ( x) = mx3 +( 3m+ 2) x2 - 4x + C m= nguyên hàm hàm số D m= � Câu 11 (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( x) 5sin x f (0) 10 Mệnh đề ? A f ( x) x 5cos x B f ( x) x 5cos x C f ( x ) 3x cos x D f ( x) x 5cos x 15 F (0) x f ( x ) e x F ( x ) Tìm F ( x ) Câu 12 Cho nguyên hàm hàm số thỏa mãn F ( x) e x x F ( x) 2e x x 2 B A F ( x) e x x C D F ( x) e x x ... � � p Câu Cho hàm số Tìm m để nguyên hàm thỏa mãn 4 3 m= m= m= m= 3 4 A B C D y = f ( x) = sin2 x Nếu F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) đồ thị y = F ( x) qua điểm Câu Cho hàm số f ( x) = � �... ax + b) cos x +( cx + d) sin x Câu Một nguyên hàm sin3 x F ( x) = A C F ( x) = hàm số Câu Cho hàm số A ln2 ? D Kết khác p p x= 4? kết sau đây, biết nguyên hàm x sin2x F ( x) = B sin3 x F (... cot x Câu 10 Tìm số thực m để hàm số f ( x) = 3x2 + 10x - m=1 A B m= F ( x) = mx3 +( 3m+ 2) x2 - 4x + C m= nguyên hàm hàm số D m= � Câu 11 (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn