Giải tích i tuần 4

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Ứng dụng đạo hàm vào khảo sát hàm số I Chiều biến thiên cực trị hàm số Cho hàm số f (x) Xét chiều biến thiên • Tìm tập xác định D • Tính đạo hàm f (x)  f (x) = ⇒ f (x) = C, ∀x ∈ [a, b]  • Xét dấu f (x) lập bảng biến thiên f  f (x) > ⇒ f (x) đơn điệu tăng [a, b]  f (x) < ⇒ f (x) đơn điệu giảm [a, b] Chú ý Nếu f (x) ≥ (≤ 0), ∀x ∈ [a, b] f (x) đơn điệu không giảm (không tăng) [a, b] 1 VD Hàm số f (x) = có f (x) = − < 0, ∀x = x x Kết luận: Hàm số nghịch biến (−∞, 0) ∪ (0, +∞) Tìm cực trị Điểm nghi ngờ cực trị x0 f (x0 ) = f (x0 ) khơng tồn Có hai cách để nhận biết điểm cực trị • Lập bảng biến thiên quan sát Nếu f (x) đổichiều qua x0 x0 điểm cực trị    f (x0 ) = f (x0 ) = = f (n−1) (x0 ) = • Sử dụng đạo hàm cấp cao để kiểm tra Giả sử   f (n) (x0 ) =   cực đại f (n) (x0 ) <    n chẵn x0 điểm cực trị   Khi  cực tiểu f (n) (x0 ) >   n lẻ x0 khơng điểm cực trị Chú ý Ta cịn sử dụng chiều biến thiên hàm số để chứng minh bất đẳng thức VD1 Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số sau y = f (x) = (1 − x)(x − 2)2 Giải Tập xác định: D = R Hàm số xác định liên tục R Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Ta có f (x) = 3 x−2 1−x 2 + 1−x x−2 = −x với ∀x = 1, x = (1 − x)2 (x − 2) Lập bảng biến thiên −∞ x − − f (x) − − + +∞ √ f (x) +∞ − −∞ Kết luận: ,2 • Hàm số f (x) đồng biến • Hàm số f (x) nghịch biến −∞, (2, +∞) • f (x) đạt cực đại x = ymax = y(2) = 4 • f (x) đạt cực tiểu x = ymin = y √ −34 = VD2 Chứng minh bất đẳng thức 2x arctan x ≥ ln (1 + x2 ), ∀x ∈ R Giải Đặt f (x) = 2x arctan x − ln (1 + x2 ) ∀x ∈ R 2x 2x Khi f (x) = arctan x + − = arctan x = ⇔ x = + x2 + x Lập bảng biến thiên x −∞ − f (x) +∞ 0 +∞ + +∞ f (x) Từ bảng biến thiên, ta có f (x) ≥ 0, ∀x (đpcm) Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập II Tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn Ta thực bước sau để giải tốn • Tìm điểm cực trị hàm f (x) [a, b] • Tính giá trị f điểm tới hạn tìm hai đầu mút • So sánh giá trị f từ suy GTLN GTNN Nếu f liên tục bị chặn khoảng giới nội khơng giới nội (a, b) ta mở rộng hàm f sử dụng phép biến đổi biến số đưa hàm liên tục đoạn Do vậy, trường hợp để tìm cận cận f (a, b), ta • Tính điểm cực trị f (a, b) • Tính giá trị f điểm tới hạn tính f (a+ ) f (b− ) f (a+ ) = lim+ f (x) , x→a VD Tìm GTLN GTNN hàm số y = f (b− ) = lim− f (x) x→b (x2 − 2x)2 đoạn [0, 3] Giải 2x − ∀x ∈ [0, 3] \ {0; 2} Điểm cực trị y = f (x) (0, 3) x = x = Ta có y = √ 3 x2 − 2x √ Ta có f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = Vậy f (x) = x ∈ {0; 2} x∈[0,3] √ max f (x) = x = x∈[0,3] III Xác định tính lồi, lõm hàm số Định nghĩa y Hàm lồi Cho f (x) hàm số xác định [a, b] Hàm f (x) gọi y = f (x) lồi [a, b] với ∀t ∈ [0, 1] tf (a) + (1 − t)f (b) ≥ f ta + (1 − t)b Với f (x) hàm lồi t = ta có f (a) + f (b) ≥f a+b f (a)+f (b) f a+b a a+b b x Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập y Hàm lõm Cho f (x) hàm số xác định [a, b] Hàm f (x) gọi f lõm [a, b] với ∀t ∈ [0, 1] f (a)+f (b) tf (a) + (1 − t)f (b) ≤ f ta + (1 − t)b Với f (x) hàm lõm t = ta có f (a) + f (b) ≤f 2 y = f (x) a+b a+b a a+b x b Định lý Nếu f (x) > đoạn [a, b] f (x) lồi [a, b] Nếu f (x) < đoạn [a, b] f (x) lõm [a, b] Điểm uốn Định nghĩa Điểm I c, f (c) điểm uốn y = f (x) điểm phân chia hai phần lồi lõm đồ thị hàm số Cách tìm Để tìm điểm uốn, ta giải phương trình f (x) = nghiệm x = c Khi I c, f (c) điểm uốn đồ thị Ví dụ π , ta có bất đẳng thức tan x + tan y x+y tan ≤ 2 VD1 Chứng minh với < x < y < Giải Xét hàm f (x) = tan x Ta có f (x) = sin x > 0, ∀x ∈ cos3 x 0, π Do f (x) lồi 0, π hay tf (x) + (1 − t)f (y) ≥ f tx + (1 − t)y , ∀t ∈ [0, 1] Thay f (x) = tan x, ta t tan x + (1 − t) tan y ≥ tan tx + (1 − t)y Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Chọn t = , ta đpcm VD2 Xét tính lồi lõm hàm số y = (x − 1)ex Giải Tập xác định: D = R Ta có y = (x + 1)ex Nhận thấy y ≥ ⇔ x ≥ −1 Do hàm số lồi [1, +∞), lõm (−∞, 1] Điểm uốn đồ thị hàm số điểm x = −1 IV Khảo sát đồ thị hàm số Đường cong thông thường Đối với đường cong y = f (x) Tìm đường tiệm cận • Tiệm cận ngang y = y0 tiệm cận ngang (TCN) đồ thị ⇔ lim f (x) = y0 x→+∞ • Tiệm cận đứng x = x0 tiệm cận đứng (TCĐ) đồ thị ⇔ lim f (x) = ∞ x→x0 • Tiệm cận xiên y = ax+b tiệm cận xiên (TCX) đồ thị ⇔ lim f (x) − (ax + b) = 0, x→∞ f (x) x→∞ x a = lim , b = lim f (x) − ax x→∞ Lược đồ khảo sát đồ thị hàm số Gồm có phần • Tìm miền xác định • Xác định đường tiệm cận, chiều biến thiên, tính lồi lõm lập bảng biến thiên • Vẽ đồ thị Đường cong cho phương trình tham số Đối với đường cong cho phương trình tham số    x = x(t) t ∈ [a, b] , quy trình tương tự   y = y(t) đường cong y = f (x), khác ta phải khảo sát thông qua biến trung gian t Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Tính đạo hàm Ta sử dụng công thức sau dy dy dt y (t) = = dx dt dx x (t) d2 y y (t)x (t) − y (t)x (t) = dx x (t) Tìm  đường tiệm cận    lim x(t) = x0 • Nếu t→t0 x = x0 tiệm cận đứng    lim y(t) = ∞ t→t0 • Nếu     lim x(t) = ∞ t→t0 y = y0 tiệm cận ngang    lim y(t) = y0 t→t0  y(t)    lim =a t→∞ t→t0 x(t) • Nếu x, y −−−→ ∞    lim y(t) − ax(t) = b y = ax + b tiệm cận xiên t→t0 Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music ... music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập II Tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn Ta thực bước sau để gi? ?i tốn • Tìm ? ?i? ??m cực trị hàm f (x) [a, b] • Tính giá trị f ? ?i? ??m t? ?i hạn tìm hai... ta ph? ?i khảo sát thơng qua biến trung gian t Nhóm Gi? ?i tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s... (x) l? ?i [a, b] Nếu f (x) < đoạn [a, b] f (x) lõm [a, b] ? ?i? ??m uốn Định nghĩa ? ?i? ??m I c, f (c) ? ?i? ??m uốn y = f (x) ? ?i? ??m phân chia hai phần l? ?i lõm đồ thị hàm số Cách tìm Để tìm ? ?i? ??m uốn, ta gi? ?i phương