Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Đạo hàm - Vi phân I Định nghĩa Đạo hàm Cho y = f (x) xác định miền X, ta có đạo hàm f (x) ∆y f (x + ∆x) − f (x) = lim ,x∈X ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x y = f (x) = lim Đạo hàm phía ∆y f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = lim − ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆y f (x0 + ∆x) − f (x0 ) Đạo hàm bên phải: f (x+ = lim + ) = lim + ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x Đạo hàm bên trái: f (x− ) = lim − − Nhận xét Hàm số f (x) tồn đạo hàm x0 ⇔ f (x+ ) = f (x0 ) y Ý nghĩa hình học f (x0 ) hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f (x) Phương trình tiếp tuyến đường cong y = f (x) điểm x0 : f (x0 ) = ∆y y − y0 ∆y = ∆x x − x0 ⇔ y = y0 + f (x0 )(x − x0 ) O ∆x x Liên hệ đạo hàm liên tục ∃f (x0 ) ⇒ f (x) liên tục x0 Nhưng điều ngược lại không Chẳng hạn với f (x) = |x| Hàm liên tục x = khơng có đạo hàm Thật vậy: |0 + ∆x| − |0| −∆x = lim − = −1 ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x |0 + ∆x| − |0| ∆x f (0+ ) = lim + = lim + =1 ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x f (0− ) = lim − f (0+ ) = f (0− ) Đạo hàm hàm số ngược Hàm số x = ϕ(y) có hàm ngược y = f (x) Nếu hai điều kiện sau thỏa mãn: i) y = f (x) liên tục x = x0 = ϕ(y0 ) ii) ϕ (y0 ) = Khi ta có f (x0 ) = ϕ (y0 ) Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Phép tốn cơng thức Các hàm f (x), g(x) khả vi x = x0 Khi (1) (f ± g) (x0 ) = f (x0 ) ± g (x0 ) (2) (f g) (x0 ) = f (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g (x0 ) (3) f g (x0 ) = f (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g (x0 ) g(x0 ) , g(x0 ) = Đạo hàm số hàm sơ cấp (1) C = (C ∈ R) (2) (xα ) = αxα−1 (3) (ax ) = ax ln a (4) (ln x) = , loga |x| = x ln x ln a (a > 0) x ln a 1 (5) (sin x) = cos x, (cos x) = sin x, (tan x) = , (cot x) = − 2 cos x sin x 1 1 (6) (arcsin x) = √ , (arccos x) = − √ , (arctan x) = , (arccot x) = − 1+x + x2 − x2 − x2 = (7) (Đạo hàm hàm hợp) Nếu ∃yu (u0 ), ∃ux (x0 ) y = y u(x) có đạo hàm x0 yx (x0 ) = yu (u0 ).ux (x0 ) Vi phân Hàm f khả vi x0 số gia hàm f x0 viết dạng ∆f = A∆x + α(∆x) A số α(∆x) VCB bậc cao ∆x (∆x → 0) Hàm f khả vi x0 ⇔ f có đạo hàm x0 Cơng thức tính vi phân Nếu y = f (x) x biến độc lập df = f (x)dx Quy tắc tính vi phân: Với u = u(x) v = v(x), ta có (1) d(u + v) = du + dv (2) d(αu) = αdu (α ∈ R) (3) d(uv) = vdu + udv (4) d u v = vdu − udv v2 Ứng dụng vi phân tính gần Để tính gần f (x0 + ∆), ta sử dụng cơng thức tính gần f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + df (x0 ) = f (x0 ) + f (x0 )∆x Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập II Đạo hàm vi phân cấp cao Đạo hàm cấp cao Nếu hàm f khả vi n lần, để tính đạo hàm cấp n f ta áp dụng: Định nghĩa f (n) (x) = f (n−1) (x) Công thức Leibnitz Nếu u = u(x), v = v(x) hai hàm khả vi n lần n (n) (uv) = k=0 n (k) (n−k) u v k Công thức đạo hàm cấp cao số hàm sơ cấp (1) (ax )(n) = ax lnn a (a > 0) (3) (4) (5) (6) (n) = an α(α − 1) (α − n + 1)(ax + b)α−n nπ nπ (sin x)(n) = sin x + , (cos x)(n) = cos x + 2 nπ (n) sin(ax + b) = an sin ax + b + , cos(ax + b) (−1)n−1 an (n − 1)! (n) ln(ax + b) = (ax + b)n (−1)n−1 (n − 1)! (n) loga |x| = xn ln a (2) (ax + b)α (n) = an cos ax + b + nπ Vi phân cấp cao Để tính vi phân cấp n hàm f (x), ta sử dụng định nghĩa dn f = d dn−1 f Trong trường hợp x biến độc lập ta có d2 x = d3 x = = dn x = Do dn f = f (n) (dx)n III Áp dụng Ví dụ VD1 Tính gần nhờ vi phân A = 4, 032 + √ Xét hàm f (x) = x2 + Chọn x0 = 4, ∆x = 0, 03 Khi A = f (4, 03) = f (4 + 0, 03) Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Sử dụng cơng thức tính gần đúng, ta có A = f (4 + 0, 03) ≈ f (4) + f (4).0, 03 √ √ = 42 + + x2 + 0, 03 x=4 0, 03x =5+ √ x2 + x=4 = + 0, 024 = 5, 024 (50) VD2 Cho f (x) = Tính f (−2) x + 2x + 1 Viết lại f (x) = = (x + 1)−2 (x + 1)2 (50) Khi f (50) (−2) = (x + 1)−2 = (−2)(−3)(−4) (−51) (x + 1)−52 x=−2 ln (ex + x) (x > 0) VD3 (GK 20181) Cho f (x) = Tính f (0+ ) 0 (x = 0) x=−2 = 51! Theo định nghĩa, ta có f (0+ ) = lim + ∆x→0 ln e∆x + ∆x ln(1 + ∆x) f (0 + ∆x) − f (0) = lim + = lim + =1 ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x ∆x VD4 Xét tính khả vi tìm vi phân hàm số sau: x (x = 0) a) f (x) = + e x b) g(x) = ln |x| (x = 0) 0 (x = 0) a) Với x = x0 = f có đạo hàm nên khả vi df = f (x)dx = + 1 + ex Với x = ∆x f (0+ ) = lim+ + x→0 e ∆x f (0− ) = lim− + x→0 e ∆x ∆x dx ex x + ex −0 = lim+ ∆x ∆x x→0 1+ e ∆x =0 −0 = lim+ x→0 1+ e ∆x =1 Do hàm f không khả vi x = ln |x| |x| ≥ b) Ta có g(x) = − ln |x| < |x| < Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Với x = x0 = ±1, hàm g có đạo hàm nên khả vi ln |x| |x| > g (x) = x − ln |x| < |x| < x Với x = −1 f (−1+ ) = lim + ∆x→0 − ln | − + ∆x| + ln | − 1| − ln(1 − ∆x) = lim + =1 ∆x→0 ∆x ∆x f (−1− ) = lim − ∆x→0 ln | − + ∆x| − ln | − 1| ln(1 − ∆x) = lim − = −1 ∆x→0 ∆x ∆x Do f (−1± ) = ±1 nên g khơng khả vi x = −1 Tương tự, ta có f (1± ) = ±1 nên g không khả vi x = Bài tập (GK 20191) Cho y = (x2 + 1)ex−1 Tính y (40) (1) Xét tính khả vi hàm số sau sin x (x = 0) x a) f (x) = 0 (x = 0) xα sin (x = 0) x Cho hàm số f (x) = 0 (x = 0) b) f (x) = 1− √ − x2 a) Xác định α để hàm f khả vi R b) Xác định α để hàm f xác định liên tục R Cho f (x) = sin(β arccos x) Tính f (n) (x) x (x ∈ Q) Xét tính khả vi hàm số f (x) = 0 x∈R\Q Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music ... nhờ vi phân A = 4, 032 + √ Xét hàm f (x) = x2 + Chọn x0 = 4, ∆x = 0, 03 Khi A = f (4, 03) = f (4 + 0, 03) Nhóm Gi? ?i tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness... = f (x0 ) + f (x0 )∆x Nhóm Gi? ?i tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that... − ln |x| < |x| < Nhóm Gi? ?i tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that