Giải tích i tuần 1 20201 (bản in)

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Giới hạn hàm số I Định nghĩa Giới hạn hàm số Cho hàm số f (x) xác định khoảng (a, b) Ta nói hàm f (x) có giới hạn A (hữu hạn) x dần đến x0 ∈ [a, b] Ký hiệu lim f (x) = A x→x0 Nếu với dãy {xn } (a, b) \ {x0 } mà xn → x0 lim f (xn ) = A xn →x0 Định lý tương đương: Hàm f (x) xác định (a, b) gọi có giới hạn A x → x0 ∈ [a, b] thỏa mãn điều kiện sau ∀ε > 0, ∃δ > : < |x − x0 | < δ ⇒ f (x) − A < ε Giới hạn trái, giới hạn phải Giới hạn trái Ký hiệu x → x− x dần tới x0 nhỏ x0 Ta gọi A giới hạn trái x0 lim f (x) = A x→x− Giới hạn phải Ký hiệu x → x+ x dần tới x0 lớn x0 Ta gọi A giới hạn phải x0 lim f (x) = A x→x+ Điều kiện tồn giới hạn ∃ lim f (x) = A ⇔ lim+ f (x) = lim− f (x) = A VD: Xét hàm f (x) =     x→x0 x→x0 x→x0 x + (x ≥ 0)   −x2 (x < 0) Ta có lim+ f (x) = lim (x + 1) = , lim− f (x) = lim −x2 = x→0 x→0 x→0 x→0 Do lim+ f (x) = lim− f (x) nên không tồn giới hạn f (x) x = x→0 II x→0 Tính chất phép tốn Tính chất (1) (Tính giới hạn) lim f (x) = a, lim f (x) = b ⇒ a = b x→x0 x→x0 Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập (2) lim f (x) = a ⇔ lim f (x) − a = x→x0 x→x0 (3) f (x) = C ⇒ lim f (x) = C x→x0 (4) Nếu lim f (x) = a ∀x ∈ Uε0 (x0 ) \ {x0 } : f (x) ≤ c a ≤ c x→x0 (5) Nếu lim f (x) = a a > p f (x) > p với ∀x ∈ Uε0 (x0 ) \ {x0 } x→x0 (6) (Nguyên lý kẹp) Với ba hàm f (x), g(x), h(x) thỏa mãn f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) Nếu lim f (x) = lim h(x) = A x→x0 x→x0 ta có lim g(x) = A x→x0 Tính giới hạn hàm số Để tính giới hạn hàm số, ta sử dụng: Các phép tính (1) lim u(x) ± v(x) = lim u(x) ± lim v(x) (Trừ trường hợp giới hạn vế trái có dạng ∞ − ∞) x→x0 x→x0 x→x0 (2) lim u(x)v(x) = lim u(x) lim v(x) (Trừ trường hợp giới hạn vế trái có dạng 0.∞) x→x0 x→x0 x→x0 lim u(x) (3) lim x→x0 u(x) x→x0 = v(x) lim v(x) Trừ trường hợp giới hạn vế trái có dạng vơ định x→x0 ∞ ∞ Tính liên tục hàm số sơ cấp Nếu hàm số sơ cấp f (x) xác định lân cận điểm x0 lim f (x) = f (a) x→x0 III Vô bé, vô lớn (VCB, VCL) Hàm f (x) gọi VCB (Vô bé) x → a (a hữu hạn vô cùng) lim f (x) = x→a Hàm f (x) gọi VCL (Vô lớn) x → a (a hữu hạn vô cùng) lim |f (x)| = +∞ x→a Khi xét hàm VCB, ta giữ lại biểu thức có bậc thấp (Hoặc tiến chậm hơn) ngắt bỏ biểu thức có bậc cao VD: Khi x → 0, ta có x8 − x2 + x ∼ x Một số VCB tương đương thường dùng (x → 0) x ∼ sin x ∼ tan x ∼ arcsin x ∼ arctan x ln(1 + x) ∼ x ∼ ex − Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music (1 + x)α ∼ + αx Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Lưu ý Không phép thay VCB tương đương vào tổng hiệu, thay vào tích thương Khi xét hàm VCL, ta giữ lại biểu thức có bậc cao (Hoặc tiến vơ nhanh hơn) ngắt bỏ biểu thức có bậc thấp VD: Khi x → +∞, ta có ex + x8 ∼ ex x5 + 5x − x ∼ x5 IV Áp dụng Lưu ý Trước tính giới hạn, tích phân có dạng vơ định ta phải ghi rõ dạng vơ định vào làm Có tất dạng vơ định ∞ , , 0.∞ , ∞ − ∞ , 00 , 0∞ , 1∞ ∞ Ví dụ x + sin3 x − tan x4 + (arcsin x)5 x→0 2x + 3x2 + arctan (x2 ) VD1 Tính giới hạn lim Dạng 0 Khi x → 0, ta có T S ∼ x + x3 − x4 + x5 ∼ x M S ∼ 2x + 3x2 + 2x2 ∼ 2x Do x + sin3 x − tan x4 + (arcsin x)5 x lim = lim = 2 x→0 x→0 2x + 3x + arctan (x ) 2x x n − an (a > 0, m = n) x→a xm − am VD2 Tính giới hạn lim Dạng 0 Biến đổi (x − a) xn−1 + axn−2 + + an−2 x + an−1 x n − an nan−1 nan−m = lim = = x→a xm − am x→a (x − a) (xm−1 + axm−2 + + am−2 x + am−1 ) mam−1 m  x2    e − cos x (x = 0) x2 VD3 Tìm số a để hàm số f (x) = liên tục R   a (x = 0) lim Với x0 = ta ln có Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập 2 ex − cos x ex0 − cos x0 lim f (x) = lim = f (x0 ) = x→x0 x→x0 x2 x20 Do f (x) liên tục R \ {0} Xét với x = 0, f (0) = a Ta có ex − cos x lim± f (x) = lim± x→0 x→0 x2 Dạng 0 Biến đổi x 2 sin2 ex − cos x ex − 1 − cos x x2 =1+ = lim± = lim± + lim± = lim± + lim± 2 2 x→0 x→0 x→0 x→0 x x→0 x x x x 2 Để f (x) liên tục x = limx→0± f (x) = f (0) hay a = VD4 Tính giới hạn lim x→+∞ xx x − x (Dạng ∞ − ∞) Khi x → +∞, ta có biến đổi x xx 1 −x=x x x x −1 −1 =x e xx − = e x→+∞ xx x − x ln x x −1∼ −1 ∼ x x − x ln x ln x x ln x x ln x = lim ln2 x = +∞ x→+∞ x x→+∞ Do lim x x −1 ln x = lim Bài tập Tính giới hạn sau a) lim x→0 πx2 + πx2 + πx2 +1 b) lim x→+∞ sin ln(x + 1) − sin ln x 1 + sin x sin x xx − x c) lim d) lim x→0 x→1 (x − 1)2 + tan x So sánh cặp vô bé sau x → a)(GK 20181) α(x) = x + x2 ; β(x) = ln(1 + x) √ b) α(x) = x + x ; β(x) = ln + arctan (x4 )    x sin (x = 0) xα Khảo sát liên tục hàm số f (x) = với α ∈ R   0 (x = 0) Tính giới hạn lim x→+∞ n x(x + 1)(x + 2) x + (n − 1) − x Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Đáp án a) Giới hạn dạng vô định nên ta thay trực tiếp x = vào biểu thức πx2 +1 πx2 + πx2 + lim x→0 = π.0 + π.0 + π.0+1 = b) (Dạng ∞ − ∞) Ta có ln(x + 1) + ln x ln(x + 1) − ln x sin 2 ln + ln(x2 + x) x sin = cos 2 ln + 1 x→+∞ ln(x + x) x ∼ sin ∼ Ta có cos ≤ 2, ∀x , sin −−−−→ 2 2x 2x sin ln(x + 1) − sin ln x = cos Do lim x→+∞ sin ln(x + 1) − sin ln x = c) (Dạng 1∞ ) Ta có 1 + sin x + tan x ln + sin x sin x 1 + sin x ln = ln + tan x sin x + tan x sin x − tan x sin x − tan x sin x(cos x − 1) = ln + ∼ = + tan x + tan x sin x + cos x Do  ln  lim x→0 + sin x + tan x sin x  ln x→0 sin x  = lim ⇒ lim x→0 d) Dạng 0 + sin x + tan x + sin x + tan x sin x cos x − =0 x→0 sin x + cos x = lim = e0 = Khi x → 1, ta có xx − x = x xx−1 − = x e(x−1) ln x − ∼ x(x − 1) ln x ∼ (x − 1) ln x ln x = ln(1 + (x − 1)) ∼ x − xx − x (x − 1)2 = lim =1 x→1 (x − 1)2 x→1 (x − 1)2 Do lim a) Khi x → 0, ta có α(x) = x + x2 ∼ x β(x) = ln(1 + x) ∼ x Do α(x) β(x) VCB tương đương x → Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập b) Khi x → 0, ta có x + √ x∼ √ x nên α(x) = x+ √ x∼ √ x = x4 Cũng với x → 0, ta có √ β(x) = ln + arctan (x4 ) ∼ arctan (x4 ) ∼ x4 = |x| Vậy α(x) VCB bậc thấp β(x) Với x = x0 = lim f (x) = lim x sin x→x0 x→x0 1 = x0 sin α = f (x0 ) α x x0 Do f (x) liên tục R \ {0} Xét với x = Ta có sin ≤ 1, ∀x, lim x = x→0 xα Khi lim f (x) = lim x sin x→0 x→0 = = f (0) xα Vậy f (x) liên tục R (Dạng ∞ − ∞) Ta có n x(x + 1)(x + 2) x + (n − 1) − x = x(x + 1)(x + 2) x + (n − 1) − xn n−1 k x n−1−k n x(x + 1)(x + 2) x + (n − 1) k=0 = n(n − 1) n−1 x + o xn−1 n−1 k xn−1−k n x(x + 1)(x + 2) x + (n − 1) k=0 Xét số hạng tổng quát tổng M S Khi x → +∞, ta có k xn−1−k n x(x + 1)(x + 2) x + (n − 1) = xn−1−k n k xn + o (xn ) ∼ xn−1 Do n−1 n−1 k xn−1−k n x(x + 1)(x + 2) x + (n − 1) k=0 xn−1 = nxn−1 ∼ k=0 Vậy lim x→+∞ n x(x + 1)(x + 2) x + (n − 1) − x n(n − 1) n−1 x + o xn−1 n−1 = lim = x−1 x→+∞ nx Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Đạo hàm - Vi phân I Định nghĩa Đạo hàm Cho y = f (x) xác định miền X, ta có đạo hàm f (x) ∆y f (x + ∆x) − f (x) = lim ,x∈X ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x y = f (x) = lim Đạo hàm phía ∆y f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = lim − ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆y f (x0 + ∆x) − f (x0 ) Đạo hàm bên phải: f (x+ = lim + ) = lim + ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x Đạo hàm bên trái: f (x− ) = lim − − Nhận xét Hàm số f (x) tồn đạo hàm x0 ⇔ f (x+ ) = f (x0 ) y Ý nghĩa hình học f (x0 ) hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f (x) Phương trình tiếp tuyến đường cong y = f (x) điểm x0 : f (x0 ) = ∆y y − y0 ∆y = ∆x x − x0 ⇔ y = y0 + f (x0 )(x − x0 ) O ∆x x Liên hệ đạo hàm liên tục ∃f (x0 ) ⇒ f (x) liên tục x0 Nhưng điều ngược lại khơng Chẳng hạn với f (x) = |x| Hàm liên tục x = khơng có đạo hàm Thật vậy: |0 + ∆x| − |0| −∆x = lim − = −1 ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x |0 + ∆x| − |0| ∆x f (0+ ) = lim + = lim + =1 ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x f (0− ) = lim − f (0+ ) = f (0− ) Đạo hàm hàm số ngược Hàm số x = ϕ(y) có hàm ngược y = f (x) Nếu hai điều kiện sau thỏa mãn: i) y = f (x) liên tục x = x0 = ϕ(y0 ) ii) ϕ (y0 ) = Khi ta có f (x0 ) = ϕ (y0 ) Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Phép tốn cơng thức Các hàm f (x), g(x) khả vi x = x0 Khi (1) (f ± g) (x0 ) = f (x0 ) ± g (x0 ) (2) (f g) (x0 ) = f (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g (x0 ) (3) f g (x0 ) = f (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g (x0 ) g(x0 ) , g(x0 ) = Đạo hàm số hàm sơ cấp (1) C = (C ∈ R) (2) (xα ) = αxα−1 (3) (ax ) = ax ln a (4) (ln x) = , loga |x| = x ln x ln a (a > 0) x ln a 1 (5) (sin x) = cos x, (cos x) = sin x, (tan x) = , (cot x) = − 2 cos x sin x 1 1 (6) (arcsin x) = √ , (arccos x) = − √ , (arctan x) = , (arccot x) = − 1+x + x2 − x2 − x2 = (7) (Đạo hàm hàm hợp) Nếu ∃yu (u0 ), ∃ux (x0 ) y = y u(x) có đạo hàm x0 yx (x0 ) = yu (u0 ).ux (x0 ) Vi phân Hàm f khả vi x0 số gia hàm f x0 viết dạng ∆f = A∆x + α(∆x) A số α(∆x) VCB bậc cao ∆x (∆x → 0) Hàm f khả vi x0 ⇔ f có đạo hàm x0 Cơng thức tính vi phân Nếu y = f (x) x biến độc lập df = f (x)dx Quy tắc tính vi phân: Với u = u(x) v = v(x), ta có (1) d(u + v) = du + dv (2) d(αu) = αdu (α ∈ R) (3) d(uv) = vdu + udv (4) d u v = vdu − udv v2 Ứng dụng vi phân tính gần Để tính gần f (x0 + ∆), ta sử dụng cơng thức tính gần f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + df (x0 ) = f (x0 ) + f (x0 )∆x Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập II Đạo hàm vi phân cấp cao Đạo hàm cấp cao Nếu hàm f khả vi n lần, để tính đạo hàm cấp n f ta áp dụng: Định nghĩa f (n) (x) = f (n−1) (x) Công thức Leibnitz Nếu u = u(x), v = v(x) hai hàm khả vi n lần n (n) (uv) = k=0 n (k) (n−k) u v k Công thức đạo hàm cấp cao số hàm sơ cấp (1) (ax )(n) = ax lnn a (a > 0) (3) (4) (5) (6) (n) = an α(α − 1) (α − n + 1)(ax + b)α−n nπ nπ (sin x)(n) = sin x + , (cos x)(n) = cos x + 2 nπ (n) sin(ax + b) = an sin ax + b + , cos(ax + b) (−1)n−1 an (n − 1)! (n) ln(ax + b) = (ax + b)n (−1)n−1 (n − 1)! (n) loga |x| = xn ln a (2) (ax + b)α (n) = an cos ax + b + nπ Vi phân cấp cao Để tính vi phân cấp n hàm f (x), ta sử dụng định nghĩa dn f = d dn−1 f Trong trường hợp x biến độc lập ta có d2 x = d3 x = = dn x = Do dn f = f (n) (dx)n III Áp dụng Ví dụ VD1 Tính gần nhờ vi phân A = 4, 032 + √ Xét hàm f (x) = x2 + Chọn x0 = 4, ∆x = 0, 03 Khi A = f (4, 03) = f (4 + 0, 03) Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Sử dụng cơng thức tính gần đúng, ta có A = f (4 + 0, 03) ≈ f (4) + f (4).0, 03 √ √ = 42 + + x2 + 0, 03 x=4 0, 03x =5+ √ x2 + x=4 = + 0, 024 = 5, 024 (50) VD2 Cho f (x) = Tính f (−2) x + 2x + 1 Viết lại f (x) = = (x + 1)−2 (x + 1)2 (50) Khi f (50) (−2) = (x + 1)−2 = (−2)(−3)(−4) (−51) (x + 1)−52 x=−2    ln (ex + x) (x > 0) VD3 (GK 20181) Cho f (x) = Tính f (0+ )   0 (x = 0) x=−2 = 51! Theo định nghĩa, ta có f (0+ ) = lim + ∆x→0 ln e∆x + ∆x ln(1 + ∆x) f (0 + ∆x) − f (0) = lim + = lim + =1 ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x ∆x VD4 Xét tính khả vi tìm vi phân hàm số sau:   x   (x = 0)  a) f (x) = + e x b) g(x) = ln |x| (x = 0)    0 (x = 0) a) Với x = x0 = f có đạo hàm nên khả vi    df = f (x)dx =  +  1 + ex Với x = ∆x f (0+ ) = lim+ + x→0 e ∆x f (0− ) = lim− + x→0 e ∆x ∆x     dx  ex x + ex −0 = lim+ ∆x ∆x  x→0 1+ e ∆x =0 −0 = lim+ x→0 1+ e ∆x =1 Do hàm f không khả vi x =    ln |x| |x| ≥ b) Ta có g(x) =   − ln |x| < |x| < Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music 10 Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Với x = x0 = ±1, hàm g có đạo hàm nên khả vi     ln |x| |x| > g (x) = x  − ln |x| < |x| <  x Với x = −1 f (−1+ ) = lim + ∆x→0 − ln | − + ∆x| + ln | − 1| − ln(1 − ∆x) = lim + =1 ∆x→0 ∆x ∆x f (−1− ) = lim − ∆x→0 ln | − + ∆x| − ln | − 1| ln(1 − ∆x) = lim − = −1 ∆x→0 ∆x ∆x Do f (−1± ) = ±1 nên g không khả vi x = −1 Tương tự, ta có f (1± ) = ±1 nên g không khả vi x = Bài tập (GK 20191) Cho y = (x2 + 1)ex−1 Tính y (40) (1) Xét tính khả vi hàm số sau     sin x (x = 0) x a) f (x) =   0 (x = 0)    xα sin (x = 0) x Cho hàm số f (x) =   0 (x = 0) b) f (x) = 1− √ − x2 a) Xác định α để hàm f khả vi R b) Xác định α để hàm f xác định liên tục R Cho f (x) = sin(β arccos x) Tính f (n) (x)    x (x ∈ Q) Xét tính khả vi hàm số f (x) =   0 x∈R\Q Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music 11 ... (n − 1) k=0 xn? ?1 = nxn? ?1 ∼ k=0 Vậy lim x→+∞ n x(x + 1) (x + 2) x + (n − 1) − x n(n − 1) n? ?1 x + o xn? ?1 n? ?1 = lim = x? ?1 x→+∞ nx Nhóm Gi? ?i tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white... x→+∞ x x→+∞ Do lim x x ? ?1 ln x = lim B? ?i tập Tính gi? ?i hạn sau a) lim x→0 πx2 + πx2 + πx2 +1 b) lim x→+∞ sin ln(x + 1) − sin ln x 1 + sin x sin x xx − x c) lim d) lim x→0 x? ?1 (x − 1) 2 + tan x So... f (x) Nếu hai ? ?i? ??u kiện sau thỏa mãn: i) y = f (x) liên tục x = x0 = ϕ(y0 ) ii) ϕ (y0 ) = Khi ta có f (x0 ) = ϕ (y0 ) Nhóm Gi? ?i tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent