Giải tích i tuần 2 20201

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Các định lý hàm khả vi ứng dụng I Các định lý hàm khả vi Định lý Fermat Cho hàm số f (x) xác định (a, b) thỏa mãn f (x0 ) tồn với x0 ∈ (a, b) Khi f (x) đạt cực trị x = c f (c) = VD (1) Xét hàm số y = x2 khoảng (−1, 2) Ta có f (x) đạt cực trị x0 = f (x) = 2x xác định x0 = Khi f (x0 ) = f (0) = (2) Xét hàm số y = |x| khoảng (−1, 1) Ta có f (x) đạt cực trị x0 = f (x) không xác định x0 = |0 + ∆x| − |0| =1 ∆x→0 ∆x |0 + ∆x| − |0| f (0− ) = lim − = −1 ∆x→0 ∆x Do f (0) = khơng thỏa mãn giả thiết f (0+ ) = lim + Định lý Rolle Cho hàm số f (x) liên tục đoạn [a, b], khả vi khoảng (a, b) f (a) = f (b) Khi tồn c ∈ (a, b) để f (c) = VD Cho a, b, c số thực thỏa mãn a = b + c Chứng minh phương trình 4ax3 + 3bx2 + c = ln có nghiệm thuộc khoảng (−1, 0) Giải Xét hàm số f (x) = ax4 + bx2 + cx Ta có f (x) liên tục [−1, 0], khả vi (−1, 0) Hơn nữa, ta cịn có f (0) = f (−1) = a − b − c = nên f (0) = f (−1) = Vậy theo định lý Rolle, tồn c ∈ (−1, 0) để f (c) = 0, hay phương trình 4ax3 + 3bx2 + c = ln có nghiệm x = c ∈ (−1, 0) Định lý Lagrange Cho hàm số f (x) liên tục đoạn [a, b] khả vi khoảng (a, b) Khi tồn c ∈ (a, b) thỏa mãn f (c) = f (b) − f (a) b−a Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập VD1 Chứng minh a−b a a−b < ln < (0 < b < a) a b b Giải Xét hàm số f (x) = ln x Với < b < a, ta có f (x) liên tục [b, a] khả vi (b, a) Do theo định lý Lagrange, tồn c ∈ (a, b) thỏa mãn f (c) = f (b) − f (a) b−a Hay ln a − ln b a = = ln c a−b a−b b Mà c ∈ (a, b) nên ta có 1 < < Do a c b ln a − ln b a < = ln < a a−b a−b b b Nhân hai vế với a − b (Chú ý a − b số dương nên nhân không làm đảo chiều bất đẳng thức), ta đpcm VD2 Cho hàm số f (x) liên tục đoạn [0, 1], khả vi khoảng (0, 1) có f (0) = 0, f (1) = a) Chứng minh phương trình f (x) = − x có nghiệm khoảng (0, 1) b) Chứng minh tồn hai số phân biệt a, b khoảng (0, 1) cho f (a)f (b) = Giải a) Xét hàm số g(x) = f (x) + x − 1, ta có g(0) = −1 g(1) = nên g(0)g(1) < (∗ ) Nhận thấy f (x) x − liên tục [0, 1] nên g(x) liên tục [0, 1] (∗∗ ) Từ (∗ ) (∗∗ ) ⇒ c ∈ (0, 1) để g(c) = 0, hay phương trình f (x) = − x có nghiệm x = c ∈ (0, 1) b) Xét đoạn [0, c], theo định lý Lagrange, tồn a ∈ (0, c) cho f (a) = f (c) − f (0) f (c) 1−c = = c−0 c c Xét đoạn [c, 1], theo định lý Lagrange, tồn b ∈ (c, 1) cho f (b) = f (1) − f (c) − (1 − c) c = = 1−c 1−c 1−c Nhân hai đẳng thức với nhau, ta đpcm Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Định lý Cauchy Cho f (x) g(x) hai hàm số liên tục đoạn [a, b], khả vi khoảng (a, b) Khi tồn c ∈ (a, b) cho f (b) − f (a) g (c) = g(b) − g(a) f (c) Nếu g (x) = với x ∈ (a, b) ta có f (b) − f (a) f (c) = g(b) − g(a) g (c) VD Chứng minh với x > 0, ta có bất đẳng thức arctan x + arctan(x + 2) < arctan(x + 1) Giải Bất đẳng thức tương đương với arctan(x + 2) − arctan(x + 1) < arctan(x + 1) − arctan x Do x > nên arctan(x + 2) − arctan(x + 1) > Chia hai vế bất đẳng thức cho VT, ta arctan(x + 1) − arctan x > arctan(x + 2) − arctan(x + 1) Đặt f (t) = arctan t, g(t) = arctan(t + 1) Nhận thấy f (x) g(x) liên tục [x, x + 1], khả vi (x, x + 1) g (t) = với ∀t ∈ (x, x + 1) Theo định lý Cauchy, tồn c ∈ (x, x + 1) để f (x + 1) − f (x) f (c) = g(x + 1) − g(x) g (c) Hay arctan(x + 1) − arctan x = arctan(x + 2) − arctan(x + 1) II 1 (1 + c)2 + 1 + c2 = > > (đpcm) 1+c + (c + 1) Công thức khai triển Taylor, Maclaurin Định lý Công thức Taylor cấp n Hàm số f (x) có f (k) (x) (k = 1, n) liên tục x0 có f (n+1) (x) Uε0 (x0 ) Khi n f (n+1) (c) f (k) (x0 ) n+1 f (x) = (x − x0 ) + (x − x0 )k (n + 1)! k! k=0 với x0 < c < x0 + θ(x − x0 ), ≤ θ ≤ Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Công thức Maclaurin cấp n Từ công thức Taylor cấp n, ta chọn x0 = 0, ta công thức Maclaurin cấp n n f (n+1) (c) n+1 f (k) (0) k x + x (n + 1)! k! k=0 f (x) = với < c < θx, ≤ θ ≤ Khai triển Maclaurin số hàm sơ cấp Với < c < x, ta có khai triển sau x2 xn ec (1) ex = + x + + + + xn+1 2! n! (n + 1) sin c + (n + 1)π 2n+2 x2n+1 x3 x5 + − + (−1)n + x (2) sin x = x − 3! 5! (2n + 1)! (2n + 2)! π cos c + (2n + 1) 2n x x x (3) cos x = − + − + (−1)n + x2n+1 2! 4! (2n)! (2n + 1)! (4) (1 + x)α = + αx + α(α − 1) α(α − 1) (α − n + 1) n x + + x + n! α(α − 1) (α − n) (1 + c)α−n−1 xn+1 + (n + 1)! x2 x3 xn xn+1 + − + (−1)n−1 + (−1)n n (n + 1)(1 + c)n+1 x+2 VD1 Viết khai triển Maclaurin đến cấp cho hàm số f (x) = x − 3x − (5) ln(1 + x) = x − Giải Khai triển Maclaurin f (x) tới x3 f (x) = f (0) + Biến đổi f (x) = f (0) f (0) f (0) x+ x + x + o x3 1! 2! 3! −1 + sử dụng công thức x+1 x−4 x+a (n) x=0 (−1)n n! = (x + a)n+1 x=0 (−1)n n! = an+1 x 7x2 25x3 Khi ta f (x) = − + − + + o x3 12 128 4x3 VD2 Cho y = Tính y (11) (0) x +1 Giải 4x3 Nhận thấy y(x) = = ln x4 + x +1 = f (x) Với f (x) = ln x4 + Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Do y (11) (0) = f (12) (0) Ta có khai triển Maclaurin ln(1 + x) = x − x2 x3 + + o x3 Thay x thành x4 , ta ln + x x8 x12 =x − + + o x12 Do y (11) (0) = f (12) (0) = x8 x12 x4 − + + o x12 (12) = 12! x=0  √  − + x20 cos x10   , x20 ln (1 + x10 ) VD3 (GK 20193) Tính f (0), biết f (x) =   0, x=0 x=0 Giải Theo định nghĩa đạo hàm, ta có √ − + x20 cos x10 f (0 + x) − f (0) = lim f (0 ) = lim x→0 x→0 x x21 ln (1 + x10 ) ± Ta có khai triển Maclaurin √ x + x = (1 + x) = + + o(x) x2 cos x = − + o x2 (1) (2) Thay x thành x20 vào (1), thay x thành x10 vào (2), ta √ x20 + x20 = + + o x20 20 x cos x10 = − + o x20 Nhân hai vế (3) với (4), ta √ x20 + x20 cos x10 = + + o x20 Do TS = − √ 1− x20 + o x20 + x20 cos x10 = (3) (4) =1− x40 + o x40 x40 + o x40 Sử dụng VCB tương đương, ta có ln + x10 ∼ x10 Vậy x40 + o x40 x9 ± f (0 ) = lim = lim + o x9 x→0 x→0 x31 =0 Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập III Luyện tập Các định lý hàm khả vi ứng dụng Chứng minh bất đẳng thức | sin x − sin y | ≤ |x − y| (x, y ∈ R) a) Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn a = b − c − d Chứng minh phương trình 6ax5 − 5bx4 + 4cx3 + d = có nghiệm khoảng (0, 1) b) Cho số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = −1 Chứng minh phương trình 6x10 + 3ax4 + 2ax2 + c = có nghiệm khoảng (−1, 1) 3.(CK 20193) Tìm giá trị c cơng thức Lagrange hàm số y = |x|(x + 1) đoạn [−1, 2] 4.(CK 20191) Tìm giá trị α ∈ R để vô bé sau tương đương x → ∞ α(x) = sin 1 − sin + xα + xα , β(x) = x4 5.(CK 20181) Cho f (x) khả vi [a, b] (0 < a < b) Chứng minh tồn ξ ∈ (a, b) thỏa mãn f (b) f (a) − = f (ξ) − ξf (ξ) b a 1 − b a Cơng thức khai triển Taylor, Maclaurin Tính giới hạn sau x − sin x a) lim x→0 x2 ex − − x − 1 c) lim − 2 x→0 sin x x b) lim x→+∞ d) lim x→0 Chứng minh bất đẳng thức sau với x ∈ 0, x arcsin x − arctan x x3 π sin x ≤ x − Lập công thức gần cos x |x| ≤ x − x2 ln + x3 x5 + 3! 5! π xác đến 10−6 Tính y (11) (0) + x + + x3 + x4 Tìm giá trị α ∈ R để vô bé sau tương đương x → +∞ Cho y = x2 α(x) = e − + x x , β(x) = xα Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music ... xn+1 2! n! (n + 1) sin c + (n + 1)π 2n +2 x2n+1 x3 x5 + − + (−1)n + x (2) sin x = x − 3! 5! (2n + 1)! (2n + 2) ! π cos c + (2n + 1) 2n x x x (3) cos x = − + − + (−1)n + x2n+1 2! 4! (2n)! (2n +... o x3 12 128 4x3 VD2 Cho y = Tính y (11) (0) x +1 Gi? ?i 4x3 Nhận thấy y(x) = = ln x4 + x +1 = f (x) V? ?i f (x) = ln x4 + Nhóm Gi? ?i tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys... khai triển Maclaurin √ x + x = (1 + x) = + + o(x) x2 cos x = − + o x2 (1) (2) Thay x thành x20 vào (1), thay x thành x10 vào (2) , ta √ x20 + x20 = + + o x20 20 x cos x10 = − + o x20 Nhân hai vế