Giải tích i tuần 5

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH I Tính chất tích phân bất định tích phân thơng dụng Định nghĩa Với F (x) nguyên hàm f (x) (a; b) F (x) = f (x), ∀x ∈ (a; b) Tập tất nguyên hàm f (x) F (x) + C Ký hiệu ˆ f (x)dx = F (x) + C ˆ Cách tính 2.1 f (x)dx Hai tính chất tích phân Để tính biểu thức ta áp dụng hai tính chất tích phân • Tính chất Nếu với α, β số f (x) = αg(x) + βh(x) ˆ ˆ ˆ f (x)dx = α g(x)dx + β h(x)dx • Tínhˆchất Tính chất bất biến tích phân bất định Nếu f (x)dx = F (x) + C với biến độc lập x với hàm khả vi u, ta có ˆ f (u)du = F (u) + C 2.2 Các cơng thức tích phân thơng dụng  xα  ˆ  , α = −1 α+1 xα dx =   ln(x) + C , α = −1 ˆ ax dx = ax + C, a > 0; a = ln(a) Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập ˆ sin xdx = − cos x + C ˆ cos xdx = sin x + C ˆ ˆ ˆ ˆ dx = tan x + C cos2 x dx = − cot x + C sin2 x dx = arctan x + C + x2 √ ˆ ˆ dx x arctan + C = a2 + x a a √ 10 ˆ √ 11 dx = arcsin x + C − x2 dx x = arcsin + C a −x a2 √ dx = ln | x + x2 ± a2 | +C x ± a2 ˆ √ √ x√ a2 12 x2 ± a2 dx = x ± a2 ± ln | x + x2 ± a2 + C 2 ˆ √ x√ a2 x 13 a2 − x2 dx = a − x2 + arcsin + C 2 a ˆ x dx 14 = ln | tan | +C sin x ˆ dx x π 15 = ln | tan( + ) | +C cos x ˆ 16 tan xdx = − ln | cos x | +C ˆ 17 II cot xdx = ln | sin x | +C Các phương pháp tính tích phân Phương pháp đổi biến ˆ ˆ f (x)dx = f (ψ(t)).ψ (t)dt Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập đó, x = ψ(t) hàm khả vi liên tục sau tính tích phân vế phải chuyển biến cũ phép t = ψ −1 (x) Ta thường sử dụng phương pháp đổi biến để đưa tích phân cần tính tích phân thơng dụng, để đơn giản tích phân cần tính để khử thức, khử hàm lượng giác ngược hàm logarit ˆ Tính I1 = x √ dx x2 + Hướng dẫn giải √ x2 + ⇒ tdt = xdx Khi ˆ ˆ √ tdt = dt = t + C = x2 + + C I1 = t ˆ √ a + x2 Bài tốn giải Tính I2 = dx x4 Đặt t = Hướng dẫn giải Ta biến đổi biểu thức tích phân ban đầu ˆ √ ˆ a + x2 I2 = dx = x x3 Đặt t = a2 x + ⇒ t2 = a2 x a2 + 1.dx = x2 ˆ −1 x + ⇒ tdt = a2 d x a2 x + 1.d x , ta x ˆ −1 −1 t dt = t3 + C a 3a 3  a = 2 + 1 + C 3a x I2 = = 3a2 a x 2 +1 +C Bài toán giải Phương pháp tích phân phần Với u, v hai hàm khả vi liên tục biến x, ta có công thức: ˆ ˆ udv = uv − vdu Chú ý Thứ tự chọn hàm số u (mấu chốt tốn) Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Hàm Logarit/hàm lượng giác ngược Hàm đa thức Hàm lượng giác Hàm mũ Mẹo ghi nhớ Nhất lơ, nhì đa, tam lượng, tứ mũ Tính ´ (x2 + x) sin xdx Hướng dẫn giải Đặt   u = x + x  dv = sin xdx ⇒   du = (2x + 1)dx Do  v = − cos x ˆ I = −(x + x) cos x + (2x + 1) cos xdx ˆ = −(x + x) cos x + sin x + x cos xdx Ta tính I1 = ´ x cos xdx Đặt   u1 = x ⇒  dv1 = cos xdx   du1 = dx Do  v1 = sin x ˆ I1 = x sin x − sin xdx = x sin x + cos x + C I = − x2 + x cos x + 2x sin x + cos x + sin x + C ˆ Bài toán giải Tính I = e3x sin 3xdx Hướng dẫn giải   u = sin 3x   du = cos 3xdx ˆ ⇒ Do I = sin 3x.e   dv = e3x dx v = e3x ´ TínhI1 = e3x cos 3xdx    u1 = cos 3x du1 = −3 sin 3xdx Do Đặt ⇒   dv1 = e3x dx v1 = e3x Đặt 3x − e3x cos 3xdx Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập I1 = cos 3x.e3x + ˆ e3x sin 3xdx = cos 3x.e3x + I Suy 1 sin 3x.e3x − cos 3x.e3x − I 3 3x I = e (sin 3x − cos 3x) I= Bài tốn giải ˆ Tính f (x)dx với f (x) = P (x) phân thức hữu tỉ Q(x) • Nếu f (x) phân thức hữu tỉ thực ta viết dạng Q(x) = (x − a)k (x − b)l (x2 + αx + β)r (x2 + γx + δ)s đó, nhị thức, tam thức khác tam thức bậc khơng có nghiệm thực, sau ta viết A1 A2 Ak Bl B1 + + + + + + + (x − a) (x − a) (x − a)k (x − b) (x − b)l M2 x + N2 Mr x + Nr M1 x + N1 + + + 2 + + 2 (x + αx + β) (x + αx + β) (x + αx + β)r R1 x + L1 R2 x + L2 Rs x + Ls + + + + 2 (x + γx + δ) (x2 + γx + δ) (x + γx + δ)s f (x) = Ta xác định số A1 Ak , B1 Bl M1 Mr N1 Nr R1 Rs L1 Ls phương pháp đồng hệ số cách gán cho x giá trị đặc biệt Từ viết tích phân cần tính thành tổng tích phân phân thức đơn giản Bằng việc tính tính phân đơn giản, ta dễ dàng suy tích phân cần tính ban đầu • Nếu f (x) hàm phân thức khơng thực sự, ta chia đa thức P (x) cho đa thức Q(x) để đưa ´ f (x)dx tổng tích phân đa thức tích phân phân thức thực ˆ x Tính tích phân I = dx x +1 Hướng dẫn giải Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Ta biến đổi tích phân cách thêm bớt hạng tử sau ˆ ˆ x x I= dx = dx x3 + (x + 1)(x2 − x + 1) ˆ ˆ x+1 1 = dx − dx (x − x + 1) x+1 ˆ (2x − 1) + = dx − ln |x + 1| (x2 − x + 1) ˆ ˆ (2x − 1) 1 dx + dx − ln |x + 1| = (x2 − x + 1) (x2 − x + 1) ˆ ˆ 1 d(x2 − x + 1) 1 = + ln |x + 1| √ dx − 2 (x − x + 1) (x − 12 ) + ( 23 ) √ 2x − = ln x2 − x + + arctan √ +C Cách phân tích x3 A Mx + N x = + Ta thực nhân hai vế với x3 + biến +1 x+1 x −x+1 đổi ⇒ x = A(x2 − x + 1) + (M x + N )(x + 1) = (A + M )x2 + (M + N − A)x + A + N    −1    A=   A + M =       ⇒ −A + M + N = ⇔ M =           A  +N =0 N = Bài toán giải Phương pháp hữu tỉ hóa ∗ Một tích phân gọi hữu tỉ hóa sử dụng phương pháp đổi biến để chuyển tích phân phân thức hữu tỉ ∗ Ta xét tích phân số lớp hàm số hữu tỉ hóa được: Ta dùng kí hiệu R(u, v) để phân thức hữu tỉ u v Kí hiệu tương tự để phân thức hữu tỉ nhiều biến ˆ R(cos x, sin x)dx Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập x Các trường hợp đặc biệt: Ta đặt t = tan • R(− cos x, sin x) = −R(cos x, sin x) ta đặt t = sin x • R(cos x, − sin x) = −R(cos x, sin x) ta đặt t = cos x • R(− cos x, − sin x) = R(cos x, sin x) ta đặt t = tan x t = cot x ˆ dx Tính I = sin x(2 + cos x − sin x) Hướng dẫn giải Đặt t = tan x 2t − t2 ⇒ x = arctan t ⇒ dx = dt Từ ta có sin x = ; cos x = Ta + t2 + t2 + t2 có ˆ dt + t2 + t = dt I= − t2 t(t2 − 4t + 3) (2 + − ) 2 + t + t + t ˆ = ( + − )dt 3t 3(t − 3) t − 1 = ln |t| + ln |t − 3| − ln |t − 1| + C 3 ˆ Bài toán giải Tính I = ´ tan x + dx Đặt t = tan x ⇒ dt = sin2 x + 2cos2 x dx cos2 x Ta có biển đổi sau ˆ ˆ tan x + tan x + dx I= dx = 2 tan2 x + cos2 x ˆ sin x + 2cosˆ x 2t + 2t = dt = ( + )dt t2 + t2 + t2 + t = ln t2 + + √ arctan √ + C 2 Bài toán giải ˆ m r R(x n , , x s )dx m r Để hữu tỉ hóa tích phân này, ta tìm mẫu số chung nhỏ phân số , , sau biến n s √ √ ˆ 2+ x x + x √ đổi x = tk Tính I = dx x(1 + x) Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Hướng dẫn giải 1 Hàm lấy tích phân có dạng R x, x , x Đặt x = t6 ⇒ dx = 6t5 dt Ta tích phân sau: ˆ ˆ ˆ t + t3 + t + t4 + t 6t dt = I= dt = (t3 + )dt = t4 + arctan t + C 2 t (1 + t ) 1+t 1+t √ √ 33 = x + arctan x + C Bài toán giải ˆ ax + b cx + d R x, m n , , ax + b cx + d r s ax + b Tương tự toán trên, ta sử dụng phép đổi biến: = tk Tính I = cx + d ˆ √ dx √ − 2x − − 2x Hướng dẫn giải Đặt − 2x = t4 ⇒ x = 12 (1 − t4 ) ⇒ dx = −2t3 dt ˆ ˆ ˆ ˆ −2t3 t2 I= dt = − dt = − (t + 1)dt − dt t −t t−1 t−1 t2 = −2( + t + ln |t − 1|) + C √ √ √ = − − 2x − − 2x − ln − 2x − + C Bài toán giải ˆ R(x, √ ax2 + bx + c)dx Trong đó, a, b, c số a = Ta biến đổi tam thức bậc hai ba dạng  2  a[(x + α) + β ]  2 ax2 + bx + c =   a[(x + α) − β ], a >  −a[β − (x + α)2 ], a < Sau sử dụng phép đổi biến: x + α = β tan t Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập x + α = β cos t x + α = β sin t x + α = β cos t ˆ ˆ Sau đưa tích phân dạng R(cos x, sin x)dx Tính I = dx √ (x − 1) −x2 + 2x + Hướng dẫn giải Do −x2 + 2x + = − (x − 1)2 nên ta đặt x − = sin t ⇒ dx = cos tdt ˆ ˆ cos tdt dt t I= = = ln tan + C sin t.2 cos t sin t 2 1 x−1 = ln tan( arcsin ) +C 2 Bài toán giải Nhóm Giải tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the black show sadness But as you go through life’s journey, remember that the black keys also create music ... Do  v1 = sin x ˆ I1 = x sin x − sin xdx = x sin x + cos x + C I = − x2 + x cos x + 2x sin x + cos x + sin x + C ˆ B? ?i tốn gi? ?i Tính I = e3x sin 3xdx Hướng dẫn gi? ?i   u = sin 3x   du... cos tdt dt t I= = = ln tan + C sin t.2 cos t sin t 2 1 x−1 = ln tan( arcsin ) +C 2 B? ?i tốn gi? ?i Nhóm Gi? ?i tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness and the... hiệu R(u, v) để phân thức hữu tỉ u v Kí hiệu tương tự để phân thức hữu tỉ nhiều biến ˆ R(cos x, sin x)dx Nhóm Gi? ?i tích - CLB Hỗ trợ học tập Life is like a piano The white keys represent happiness