7 TÍNH CHIA hết đối với đa THỨC

TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC I – TÌM DƯ CỦA PHÉP CHIA MÀ KHÔNG THỰC HIỆN PHÉP CHIA Đa thức chia có dạng x−a ( a số ) Ví dụ 38(3) Chứng minh rằng: ( A = n3 n − ) − 36n chia hết cho 5040 với số tự nhiên n Giải: phân tích thừa số 5040 = 24.32.5.7 ( Phân tích Ta lại có  A = n n2 n2 −  ) (   − 36  = n  n3 − n   ) ( )(  −  = n n3 − n − n − 7n +  ) n3 − n − = (n + 1)(n + 2)(n − 3)n3 − 7n + = ( n − 1)(n − 2)(n + 3) A = ( n − 3)( n − 2)( n − 1) n( n + 1)( n + 2)( n + 3) tích bảy số nguyên liên tiếp Trong bảy số nguyên liên tiếp: - Tồn bội ( nên A chia hết cho 5) - Tồn bội ( nên A chia hết cho 7) - Tồn hai bội ( nên A chia hết cho 9) - Tồn ba bội 2, có bội ( nên A chia hết cho 16) A chia hết cho số 5, 7, 9, 16 đôi nguyên tố cúng nên A chia hết cho 5040 = 24.32.5.7 Chú ý 2: Khi chứng minh A(n) chia hết cho m, ta xét trường hợp số dư chia n cho m Ví dụ 39(3) Chứng minh với số nguyên a a) a − a c) a − a chia hết cho 2; chia hết cho 5; b) a − a d) a − a Giải: a) a − a = a ( a − a ) chia hết cho chia hết cho chia hết cho 7; b) a − a = a ( a − 1) ( a + 1) ( chia hết cho )( ) a5 − a = a a + a − c) Cách 1: ( k∈Z) a = 5k Nếu Nếu a chia hết cho a = 5k ± ( k ∈ Z ) a = 5k ± Nếu ( k ∈Z) a2 −1 chia hết cho a2 + chia hết cho Trường hợp có thừa số A chia hết cho a5 − a Cách 2: Phân tích thành tổng hai số hạng chia hết cho Một số hạng tích cuae năm số nguyên liên tiếp, số hạng chứa thừa số ( )( ) a5 − a = a a − a + ( )( ( )( = a a2 − a2 − + ) ) ( ) = a a − a − + 5a a − ( ) = ( a − 2)( a − 1) a( a + 1)( a + 2) + 5a a − Số hạng thứ tích năm số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5, số hạng thứ hai a5 − a cúng chia hết cho Do chia hết cho 5; Cách 3: Giải tương tự cách 2: xét hiệu ( a − ) ( a − 1) a ( a + 1) ( a + ) a5 − a ( ) tích năm số nguyên liên tiếp 5a a − , Do a5 − a chia hết cho 5; d)Bạn đọc tự chứng minh Chú ý: Bài toán trường hợp riêng toán Phéc ma Định lú thường biểu diễn hai dạng: - Dạng 1: Nếu p số nguyên tố a số nguyên ap −a chia hết cho p - Dạng 2: a số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p a p −1 − chia hết cho p Hai dạng tương đương Chính Phéc ma phát biểu định lý dạng Ví dụ 40(2) a Chứng minh số phương chia cho có số dư b) Chứng minh số phương chia cho có số dư c) Các số sau có số phương khơng? M = 19922 + 19932 + 19942 N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 P = + 9100 + 94100 + 1994100 d) Trong dãy sau có tồn số số phương khơng? 11.111.1111.11111…… Giải: Gọi A số phương A = n2 (n∈ N) a)Xét trường hợp: n = 3k (k ∈ N ) ⇒ A = 9k n = 3k ( k ∈ N ) ⇒ A = k Chia hết cho n = 3k ± (k ∈ N ) ⇒ A = 9k ± 6k + , chia cho dư Vậy số phương chia cho có số dư a Xét trường hợp: n = 2k ( k ∈ N ) ⇒ A = k Chia hết cho n = 2k + (k ∈ N ) ⇒ A = 4k + 4k + = 4k ( k + 1) + Chia cho dư 1.( Chia cho dư 1) Vậy số phương chia cho có số dư Chú ý: Từ toán ta thấy: - Số phương chẵn chia hết cho - Số phương lẻ chia cho dư 1( nữa, chia cho dư 1) c) Các số 19932, 19942 số phương không chia hết chia cho dư 1, 19922 chia chết cho Số M số chia cho dư 2, không số phương Các số 19922, 19942 số phương chẵn nên chia hết cho Các số 19932, 19952 số phương lẻ nên chia cho dư Số N số chia cho dư 2, khơng số phương Các số 94100, 1994100 lầ số phương chẵn nên chia hết cho Cịn 9100 số phương lẻ nên chia cho dư Số P số chia cho dư 2, khơng số phương d) Mọi số dãy tận 11 nên số chia cho dư mặt khác, số phương lẻ chia cho dư Vậy khơng có số dãy số phương Chú ý 3: Khi chứng minh tính chia hết cho lũy thừa , ta sử dụng đẳng thức 8,9 công thức Niu-tơn sau đây: ( a + b) n = a n + c1a n −1b  + c2 a n − 2b  +… + cn −1ab n −1 + b n Trong công thức trên, vế phải đa thức có n+1 hạng tử, bậc hạng tử tập hợp biến a,b n ( Phần biến số hạng tử có dạng a ibk, s=đó i+k=n với 0≤ i≤ n; 0≤ k≤ n hệ số c1,c2 ….cn-1 xác định bảng tam giác Paxcan (H1) Trong hình 1, số dọc theo cạnh góc vng 1, số dọc theo cạnh huyền Cộng số với số liền sau bên phải số đứng số liền sau ấy, Chẳng hạn hình Áp dụng đẳng thức vào tính chia hết, ta có với số nguyên a,b số tự nhiên n: n=0 n=1 1 n=2 n=3 3 n=4 n=5 10 10 … …… c1 c2  a n   − b n   c3 c4 chia hết cho a-b (a≠ b)  a n +1 + b n +1 Chia hết cho a+b ( a≠ -b) 10 ( a + b) n = BSa + b n ( BS a bội a) Đặc biệt nên lưu ý đến: ( a + 1) = BS a + 2n   ( a −1 ) = BS a + n +1  ( a − 1)  = BS a − n Ví dụ 41(2) Chứng minh với số tự nhiên n, biểu thức 16n -1 chia hết cho 17 n số chẵn Giải: Cách1 : Nếu n chẵn ( n= 2k, k∈ N) A = 162k -1 = (162)k-1 chia hết cho 162- theo đẳng thức 8, mà 162- = 225, chia hết cho 17 Vậy A chia hết cho 17 A = 16n + – Nếu n lẻ nên A khơng chia hết cho 17 , mà 16n + chia hết cho 17 theo đẳng thức , Vậy A chia hết 17 ⇔ n chẵn A = 16n − = ( 17 − 1) − = BS17 + ( −1) – n Cách 2: n ( Theo cơng thức Niu tơn) Nếu n chẵn A= BS 17 + - = BS 17 Nếu n lẻ A= BS 17 – - 1, không chia hết cho 17 Chú ý 4: Người ta cịn dùng phương pháp phản chứng, ngun lí Đi- rích- lê để chứng minh quan hệ chia hết Ví dụ 42(1) Chứng minh tồn bội 2003 có dạng: 2004 2004…….2004 Giải: Xét 2004 số a1=2004 a2 = 2004 2004 ……… a2004 = 2004 2004 … 2004 ( Nhóm 2004 phải có mặt 2004 lần) Theo nguyên lí Đi- rích- lê, tồn hai số có số dư phép chia cho 2003 M Gọi hai số am an ( 1≤ n≤ m ≤ 2004) am – an 2003 Ta có 2004 2004 44 43 104n am – an = 2004….2004 0000…….0000 = 2004 2004 44 43 Do 104n 2003 nguyên tố nên chia hết cho 2003 II) TÌM SỐ DƯ Ví du 43(2) Tìm sơ dư chia 2100 a) Cho b) Cho 25 c) Cho 125 Giải: a) Lũy thừa sát với bội số 23 = = – 2100 = ( 23 ) = ( − 1)  = ( BS – 1) = BS − = BS + 33 33 Ta có 2100 cho b Lũy thừa sát với bội 25 2100 = Ta có (2 ) 10 10 = ( Số dư chia 210 = 1024 = BS 25 − BS 25 – 1) = BS 25 + 10 c) Dùng công thức Niu tơn 2100 = (5 − 1) 50 = 550 − 50.549 50.49 − 50.5 + Không kể phần hệ số khai triển Niu tơn 48 số hạng đầu chia hết cho lũy thừa với số mũ lớn 3nên chia hết cho 125 hai số hạng chia hết cho 125, số hạng cuối 2100 = BS 125 +1 Chú ý: Tổng quát hơn, ta chứng minh số tự nhiên n không chia hết cho chia n100 cho 125 ta số dư Thật n có dạng 5k+ 5k+2 Ta có: ( 5k ± 1) 100 = ( 5k ) ( 5k ± ) 100 100 ± + = ( 5k ) Ta lại có 100 100 100.99 (5k ) ± 100.5 k + ± + 100.99 (5k ) 298 ± 100.5 k 299 + 2100 = BS 125 + 2100 = BS125+1 ( Câu c) Do (5k ± 2)100 = BS 125 + Ví dụ 44(2) Tìm ba chữ số tận 2100 viết hệ thập phân Giải: Tìm ba chữ số tận 2100 tìm số dư chia 2100 cho 1000 Trước hết tìm số dư chia 2100 cho 125 Theo ví dụ 43 ta có 2100 = BS 125+ 1, mà 2100 số chẵn, nên ba chữ số tận 126, 376, 626 876 Hiển nhiên 2100 chia hết ba chữ số tận phải chia hết cho Trong bốn số có số 376 thỏa mãn điều kiện Vậy ba chữ số tận 2100 376 Chú ý: Bạn đọc tự chứng minh n số chẵn không chia hết cho ba chữ số tận n100 376 Ví dụ 45(2) Tìm bốn chữ số tận 51994 viết hệ thập phân Giải: Cách 54 = 625 ta thấy số tận 0625 nâng lũy thừa nguyên dương tận 0625 ( Chỉ cần kiểm tra : ….0625 × … 0625 = … 0625) Do : 51994 = 54 k + = 25 ( 54 ) = 25 ( 0625 )  = 25 ( …0625 ) = ….5625 k k Cách Tìm số dư chia 51994 cho 10 000 = 24.54 54 – = Nhận xét: 54k – chia hết cho Ta có: (5 + 1) ( 52 – 1) nên chia hết cho 16 51994  = 56 ( 51988 – 1) + 56 Do 56 chia hết cho 54, 51988 – chi hết cho 16 ( Theo nhận xét trên) Nên 56 (51988 – 1) chia hết cho 10 000 Tính 56, ta 15625 bốn sơ tận 51994 5625 Chú ý: Nếu viết 52 không chia hết cho 54 51994 = 52 ( 51992 – 1) + 52 ta có 51992– chia hết cho 16, Như toán này, ta cần viết 51994 dạng 5n ( 51994 −− n – 1) + 5n cho n ≥ 1994 – n chia hết cho III TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ CHIA HẾT Ví dụ 46(4) Tìm số nguyên n để giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B A = n3 + 2n – 3n + , B = n – n Giải : Đặt tính chia n3 + 2n2 – 3n + n2 – n n – n2 n+3 3n2 – 3n + 3n2 – 3n Muốn chia hết, ta phải có chia hết cho n(n − 1) chia hết cho n Ta có: n -1 -2 n −1 -2 -3 n n −1 ( ) 2 Loại Đáp số: n = -1; n Loại =2 Chú ý: a) Không thể nói đa thức A chia hết cho đa thức B Ở tồn giá trị nguyên n để giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B b) Có thể thay việc đặt phép chia cách biến đổi : n3 + 2n − 3n + = n(n − n) + 3(n − n) + Ví dụ 47(2): Tìm số ngun dương Giải: Biến đổi: n5 + 1Mn + n để n5 + chia hết cho n3 + ⇔ n (n + 1) − (n − 1) Mn + ⇔ (n + 1)(n − 1)M(n + 1)(n − n + 1) ⇔ n − 1Mn − n + 1(v ì n + ≠ 0) Nếu n =1 ta chia hết cho Nếu n n − < n( n − 1) + = n − n + , n – khơng thể chia hết cho n2 − n + Vậy giá trị n tìm Ví dụ 48(2): Tìm số ngun n để n5 + chia hết cho n3 + n − M n2 − n + Giải: Cũng biến đổi ví dụ 47, ta có n − M n − n + ⇒ n( n − 1) Mn − n + ⇒ n − nMn − n + ⇒ (n − n + 1) − 1Mn − n + ⇒ 1Mn − n + Có trường hợp: n2 − n + n2 − n + =1⇔ = -1 ⇔ n(n − 1) = ⇔ n2 − n + = n = 0; n = Các giá trị thỏa mãn đề , vô nghiệm Vậy n = 0, n = hai số phải tìm n(n − 1) M n − n + n − Mn − n + Chú ý: Từ suy phép kéo theo phép biến đổi tương đương Do sau tìm n = 0, n = ta phải thử lại Ví dụ 49(2) Tìm số tự nhiên n cho Giải: Nếu n = 3k ( k ∈ N) Nếu n = 3k + ( k ∈ N) Nếu n = 3k + ( k ∈ N) Vậy 2n − 2n − 2n − 2n − = = = 2n − 23k −1 chia hết cho = 23k +1 − = 8k − chia hết cho 2(23 k − 1) + 23k + − = 4(23k − 1) + chia hết cho ⇔ n = 3k ( k ∈ N) = BS + = BS + 4n + > 3n − > 3n − < 4n + số nguyên tố nên Ta lại có n≥0 12n − 5n − 25 (vì ) nên để số nguyên tố thừa số nhỏ phải Do 12n − 5n − 25 Giải điều kiện 3n − = , n=2 12n − 5n − 25 = 13.1 = 13 Khi đó, Vậy với n=2 b) Biển đổi: , số nguyên tố giá trị biểu thức 12n − 5n − 25 số nguyên tố 8n + 10n + = ( 2n + 1) ( 4n + 3) Đáp số: A= 13 n=0 , 8n + 10n + = n ( n + 3) n ( n + 3) M4 n n+3 A Do số tự nhiên nên Hai số n n+3 chẵn Vậy hoặc chia hết cho c) Nếu Nếu n=0 n=4 thì n = 4k Nếu hợp số Nếu A=0 A=7 , không số nguyên tố , số nguyên tố A = k ( 4k + ) k ∈¢ k >1 A với , tích hai thừa số lớn nên n+3 = A =1 , khơng số ngun tố A = k ( 4k − ) n+3 = k ∈¢ k >1 A Nếu với , tích hai thừa số lớn nên hợp số Vậy n=4 223 a) Cách Các số , A=7 A = n + n + 22 = ( n + ) ( n + ) + 12 n+2 n+5 có hiệu nên chúng chia hết không chia hết ( n + 5) ( n + ) 3 A cho Nếu chúng chia hết cho chia hết cho , suy không 3 chia hết cho Nếu chúng không chia hết cho ( số nguyên tố) ( n + 2) ( n + 5) cho không chia hết cho , suy A khơng chia hết cho , không chia hết ( n + a) ( n + b) + c n + 7n + 22 Chú ý Trong cách giải này, ta biến đổi dạng n + a − n + b = ( ) ( ) a −b = a+b = a=5 b=2 (tức ) , chọn , cho A = n + 7n + 22 chia hết cho biểu thức sau chia hết cho : n = 3k + n + 7n + 22 − 9n − 21 n − 2n + ( n − 1) n − A , , , Thay vào ta lại n n + 7n + 22 biểu thức không chia hết cho Vậy với số ngun khơng chia hết cho Cách Giả sử b) Giải tương tự câu a) 224 Số n2 n có tổng chữ số nên n = BS n = BS + nên n2 − n chia hết cho Ta lại có ( n, n − 1) = a1 − a2 − a9 − 225 a) Gọi chín số ban đầu chín số , , Để chứng minh tích chín số số chẵn, ta chứng tỏ tồn số số chẵn Thật vậy, giả sử chín số số lẻ tổng chúng số lẻ a1 , a2 , , a9 ( a1 − 1) + ( a2 − ) + + ( a9 − ) Do ( a1 + a2 + + a9 ) − ( + + + ) nên suy số lẻ, số lẻ, vơ lí b) Chú ý 226 a) số lẻ ( a1 − b1 ) + ( a2 − b2 ) + + ( a9 − b9 ) = n + 2n − = ( n + 3) ( n + ) + 11 chia hết cho 11 Giải tương tự câu a) Vậy n = BS11 + 3 −2 b) Đáp số: ; ; ; c) n3 − + chia hết cho n−2 nên chia hết cho n−2 n = BS11 − Đáp số: d) Phải có n2 + n + n2 + n + = ước Chú ý n2 + n + > −1 −4 ; ; ; ; ; ; ; n2 + n + = nên xét Đáp số: 1; − 2;0; − A = n − 2n3 + 2n − 2n + = (n − 1) ( n + 1) e) B = n − = (n + 1)(n + 1)(n − 1) Do n ≠ ±1 n −1 nên chia hết cho n +1 ⇒ chia hết cho n +1 Đáp số : 0; − 2; − (chú ý n =1 loại) g) Chia n3 − n + n + cho n2 + , n −1 , dư n+8 n + Mn + ⇒ ( n + 8)(n − 8) = n − 64 Mn + ⇒ n + − 65 Mn + ⇒ 65 Mn + n2 + Lần lượt cho n = 0, n = 2, n = −8 ; 5; 13; 65, n 0; ± 2; ± Thử lại, giá trị thỏa mãn 227 Chữ số tận năm sinh hai bạn phải trường hợp ngược lại tổng chữ số năm sinh hai bạn 1, số chẵn + + a + = 19 + a 19a9 Gọi năm sinh Mai Muốn tổng số chẵn a ∈{ 1;3;5; 7;9} Hiển nhiên Mai sinh năm 1959 1999 Vậy Mai sinh năm 1979, bạn Mai sinh năm 1980 228 Xét ba số tự nhiên liên tiếp Nếu Xét n>2 2n − 1, 2n , 2n + 2n + 1, n − > n = 1, n = n=2 , tồn bội 3, nên bội nói hợp số thỏa mãn tốn: 2n − 2n + 2n − = 3, 2n + = 229 Giả sử số a, b, c, d, e, g lẻ bình phương số chia cho dư Do vế trái chia cho dư 5, vế phải chia cho dư 1, vơ lí Vậy tồn số số chẵn P = (a − b)( a − c)( a − d )(b − c )(b − d )(c − d ) 230 Xét bốn số a, b, c, d chia cho 3, tồn hai số có số dư chia cho 3, hiệu chúng chia hết cho 3, nên P chia hết cho Xét bốn số a, b, c, d chia cho 4: - Nếu tồn hai số số dư chia cho hiệu chúng chia hết cho 4, P chia hết cho - Nếu bốn số có số dư khác chia cho ( 0, 1, 2, 3) hai số có số dư có hiệu chia hết cho 2, hai số có số dư có hiệu chia hết cho Do P chia hết cho 231 Mỗi số nguyên dương không 50 viết dạng k ∈ { 0;1; 2;3; 4;5} , b ∈ { 1;3;5; ; 49} Chọn số có Chọn số có số Chọn số có Trong k =0 , k=2 k =4 25 + + = 33 , , b ∈ { 1;3;5; ; 49} , số b ∈ { 1;3;5; 7;9;11} b ∈ { 1;3} 1, 3, 5, , 49, a = 2k b với gồm 25 số , số 4,12, 20, 28, 36, 44 gồm sáu , số 16, 48, gồm hai số số trên, khơng có hai số mà số gấp đơi số cịn lại Chú ý: Nếu có thêm số nữa, khác 33 số cho, nhỏ 50 34 số này, tồn hai số mà số gấp đơi số cịn lại 2.k ' k ' = 1, 3, 5, , 23 Thật vậy, số thứ 34 có dạng ( ) gấp đơi số có k ' = 1, 3, k k ' dạng , số thứ 34 có dạng ( ) gấp đơi số có k 24.k dạng , số thứ 34 có dạng gấp đơi số có dạng 232 Gọi a số tự nhiên mà biểu diễn thập phân khơng có chữ số 0, 1, 2, Có vơ số số a a,aa, , aa a { 4n = ( + 1) = BS + n 2004 sè a Xét dãy số : Tồn hai số có số dư chia cho 2003 am = aa a { an = aa a { msèa Giả sử hai số n sèa (m > n) aa a { Hãy chứng minh số 233 Xét 52 số: m− n sè a chia hết cho 2003 2003, 20032 , 20033 , , 200352 Tồn hai số có số dư chia cho 51 Giả sử hai số 2003n (1 ≤ n < m ≤ 52) Khi 2003m 2003m − 2003n M51 2003n (2003m− n − 1) M51 nên Do 2003n 51 nguyên tố nên 2003m −n − chia hết cho 51 Chú ý: Nếu số nguyên dương a m nguyên tố tơn số tự nhiên k ak −1 cho chia hết cho m Có định lí cho phép số k, định lí Ơ – le, k số lượng số nguyên dương nhỏ m nguyên tố với m Chú ý số a k − 1Mm k tìm theo cách khơng thiết số nhỏ để Cách tìm số lượng số nguyên dương nhỏ m nguyên tố với m sau: - Nếu m số nguyên tố k = m – Nếu m hợp số dạng phân tích thừa số nguyên tố a x b y c z     k = m 1 − ÷1 − ÷1 − ÷  a  b  c  Trong toán m = 51 = 3.17 nên 1 16   k = 511 − ÷1 − ÷ = 51 = 32 17   17  200332 − M51 Như với định lí Ơ –le, ta 251 − = ( 23 ) − 17 234 chia hết cho 270 + 370 = ( 22 ) + ( 32 ) 35 235 236 237 35 23 − = = 435 + 935 chia hết cho 1719 + 1917 = ( 1719 + 1) + ( 1917 − 1) M18 3663 − b) c) (áp dụng + = 13 (áp dụng a k +1 + b k +1 Ma + b ; a k +1 + b k +1 Ma + b a n − b n Ma − b 420 − chia hết cho 1000 001 = 1003 + 13 250 + = 425 + chia cho 37 dư −1 tức 420 − chia hết cho chia hết cho 4n = ( + 1) = BS + −2 +1 chia hết cho 3, mà 100 + 420 − > nên 420 − Vậy 000 001 hợp số nên biểu thức cho BS + + + + + + = BS + 21 240 A = (31n − 15n ) − ( 24n − 8n ) A = (31n − 24n ) − ( 15n − 8n ) , chia hết cho chia hết cho 16; chia hết cho 241 Xét trường hợp n chẵn lẻ Đáp số: n chẵn 242 ) n 239 Ta có ) chia hết cho 36 – = 35 nên chia hết cho 3663 − = ( 3663 + 1) − 238 a) A = 32 n +3 + 24 n +1 = 27.32 n + 2.24 n = 25.32 n + ( 32 n + n ) = BS 25 + ( n + 16 n ) Nếu n lẻ 9n + 16n chia hết cho 25, A chia hết cho 25 hợp số 9n 16n Nếu n chẵn tận 1, cịn 4, A không chia hết cho 25 tận 6, suy ( 9n + 16n ) tận Đáp số : n lẻ 243 Lần lượt xét 244 5n − n 5n − n n = 3k , n = 3k + 1, n = 3k + chia hết cho chia hết cho ⇔n ⇔n A = 1n + n + 3n + n 245 Đặt Nếu n số lẻ b Nếu chẵn Đáp số: n = 6k ( k ∈¥ ) n = 4k ( k ∈ ¥ ) chia hết cho 2n + 3n M5 nên AM5 A = + 24 k + + 34 k + + 44 k + = ( + 42 k +1 ) + ( 92 k +1 + 162 k +1 ) Nếu 5n − 2n bội ( câu a) 1n + 4n M5 n = 4k + ( k ∈ ¥ ) , có n = 3k chia hết cho A = + 24 k + 34 k + 44 k = + 16k + 81k + 16 k , tận 4, không chia hết cho Đáp số: n không chia hết cho 2222 + 5555 = ( BS + 1) + ( BS − 1) 22 246 55 = BS + + BS − = BS 247 Lũy thừa sát với bội 23 = = + Ta thấy 1994 chia cho dư Do 21994 = 23k + = ( 23 ) = ( + 1) = ( BS + 1) = BS + k k 248 Lũy thừa sát với bội 33 = 27 = BS − Ta thấy 1993 chia cho dư Do 31993 = 36 k +1 = ( 33 ) 2k = ( BS − 1) 249 Chú ý 1995 bội 7, 2k = ( BS + 1) = BS + A = 19921993 + 19941995 = ( BS − 3) Theo 248 31998 = BS + 1993 + ( BS − 1) Do 1995 = BS − 31993 + BS − A = BS − ( BS + 3) − = BS − Vậy A chia cho dư ab Chú ý : Để tìm số dư phép chia lũy thừa cho m, ta tìm lũy thừa a sát n nk + r a với bội m (chẳng hạn ), sau viết b dạng (bài 247) 2nk + r (bài 248) 250 Cách Chứng minh Vậy 31998 + 51998 Cách 31998 = BS 13 + 1, 51998 = BS 13 − chia hết cho 13 A = 31998 + 51998 = ( 33 ) 666 + ( 52 ) 999 = 27666 + 25999 = ( 27 666 − 1) + ( 25999 + 1) 27 666 − Ta có chia hết cho 26 ( đẳng thức 8), thức 9) Vậy A chia hết cho 13 25999 + 251 Ta tìm luỹ thừa sát với bội 13, Do ta viết 1011 dạng ( BS + 1) 11 chia hết cho 26 (hằng đẳng 93 = 729 = BS 13 + = 3k + Ta có 910 = 93k +1 = 9(93 ) k =  9 ( BS 13 + 1) = BS 13 + 11 Luỹ thừa sát với bội 13 910 4n + Viết dạng 59 = 54n +1 = ( 52 ) 10 2n = ( BS 13 − l ) 2n 52 =BS 13 − = ( BS 13 + 1)  = BS 13 +  59 = 52m+1   =  5 ( BS1 3 − l ) 10 2m + m (chú ý viết 10 dạng chưa xác định số dư chưa biết m chẵn hay lẻ) 11 Vậy 10 9 10 −59 chia cho 13 dư 252 Ta chứng minh A chia hối cho Luỹ thừa sát với bội có 23 Ta 23n +1 = ( − 1) 2n + = BS − = 3k + Do A = 23k +2 + = 4.(23 ) k + 3=4 ( + 1) +  3 = BS  7  +7  = BS k A>7 Ta lại có , A hợp số 253 a) dư ; b) dư ( n3 − )111 = BSn − 1.(n − 1)333 =BSn − l (n − l)111.(n − l)333 = BSn + 254 Vậy 45512 = ( BS − 1) = B + 12 255 Cách Ta thấy Do đó, a b chia cho dư dư Trong hai trường hợp trên, a + b chia cho dư ab + a + b + = a ( b + 1) + ( b + 1) = (a + 1) ( b + 1) Cách Xét biểu thức Do a b lẻ nên (a + 1) ( b + 1) chia hết cho 4, tức ( ab + 1) + ( a + b ) chia hết cho (1) Ta thấy ab = 45512 = ( BS − 1) = BS 4+1 ⇒ ab + = BS + 12 Từ (1) (2) suy 999 998 = 3.3 256 a) a + b = BS + = ( 10 -1) 499 = ( 10 499 (2) − + 499.10 − 1) = = ( BS 100 + 4989 ) = 67 77 = ( − 1) = BS − = 4k + b) Xét mũ 7 = 4k +3 = 73 ( 7 257 ) k Ta có = 343 ( 01) = ( 43)( 01) = 43 k 50.49  3100 = (10 -1)50 = 1050 − +   10 − 50.10 +1  = BS 1000 + 500 − 500 + = BS 1000 + 3100 Vậy có tận 001 Chú ý : Tổng quát, ta chứng minh n số lẻ không chia hết cho ba chữ số tận n 100 001 Trước hết, ta thấy số n không chia hết cho chia cho 125 có số dư Điều chứng minh ý ví dụ 45 Ở đây, có thêm điều kiện n số lẻ nên cịn chứng minh cách sau: 1, 3, 7, ⇒ n n tận tận ⇒ n100 = ( n ) 25 = ( 10k + 1) = BS1000 + n100 = Ta có 25 25.24 (10k ) + 25.10k + = BS125 + (1) (n ) 50 số phương lẻ (vì n lẻ) nên chia cho dư (2) n100 − Từ (1) (2) suy chia hết cho 1000, tức tận 001 Từ kết qủa này, ta suy : Nếu n số lẻ không chia hết cho n 101 n có ba chữ số tận 89 − 896 − 11 896 − 893 + 258 Ta có chia hết chia hết cho chia hết chia hết cho 893 + , chia hết cho Đặt A = 496 9xy 290 960 896 − = A chia hết cho 11 36 + y Tông chữ số hàng lẻ từ phải sang trái A ,tổng chữ số hàng 18 + x chẵn A x + y ∈ { ; 9; 18} ; 54 + x + y A chia hết chia hết cho 9, từ A chia hết cho 11 nên x − y ∈ { ; −4} ( 36 + y ) − ( 18 + x ) chia hết cho 11, lừ x+y=0 x=y=0 Nếu , loại x + y = 18 x=y= Nếu , loại x+y x+y=9 x−y Nếu : ý chẵn lẻ nên x−y=7 x = 8, y = Ta 89 = 496 98l 290961 Vậy 259 a) Có ; b) Khơng 260 a) x 41 = x 41 − x + x = x ( x 40 − 1) + x x 40 − = ( x )  −1  10 Ta thấy nên chia hết cho x4 −1 , x2 + chia hết cho 41 x x +1 Vậy chia cho dư x b) Dư - x a ) Dư ; b ) Dư x r = f ( −l ) = −1  −1  −1 −1 + = 262 a) Dư 99 55 11 98 x + x + x + x + = x( x + 1) + x( x54 + 1) + x( x10 + 1) − x + b) (x ) 49 Chú ý 9) Vậy dư phải tìm + 1, ( x ) + ( x ) + 27 −2x + chia hết cho x2 +1 (theo đẳng thức 263 Gọi thương chia f(x) cho x2 −1 Q(x), dư f ( x ) = ( x − l ) Q ( x ) + ax + b ax + b Ta có x = x = −1 Đẳng thức với x Lần lượt cho x −1 25x + 26 Đáp : Dư chia f(x) cho ( x − ) ( x − 3) 264 Trước hết ta tìm dư chia f(x) cho f ( x )  = ( x − ) A ( x ) + 7, Xét (1) f ( x )  = ( x − ) B ( x ) + 5, (2) f ( x )  = x ( x − ) ( x − ) + ax + b Cách Xét (3) x = 2, x = a = 2, b = Từ ( ), (2), (3), cách cho ta tìm Dư phép ( x − ) ( x − 3) 2x + chia f(x) cho f ( x ) = Зх( х − 2) ( x − 3) + 2x + = 3x − 15x + 20x + Do Cách Từ (1) suy ( x − ) f ( x ) = ( x − 2) ( x − 3) A ( x ) + ( x − ) (4) Từ (2) suy ( x − 3) f ( x ) = ( x − ) ( x − 3) B ( x ) + ( x − 3) Lấy (4) trừ (5) (5) f ( x ) = ( x − ) ( x − 3)  A ( x ) − B ( x )  + 2x + ( x − ) ( x − 3) 2x + Dư chia f(x) cho Giải tiếp cách x + x − x + x − 31 265 Đáp số: − =a x8 = ( x − a ) B ( x ) + r1 266 Đặt , ta có: r1 = a , x=a Cho đó: x − a = ( x − a ) B ( x ) x8 − a = ( x4 + a ) ( x2 + a ) ( x + a ) x−a B ( x )  = nên ( x  +  a ) ( x Ta có: Cho  +  a ) ( x  + a) = ( x − a ) C ( x ) + r2 2a 2a 2a = r2 x=a r2 = 8a , ta được: nên 1 a=− r2 = − 16 Thay , ta 20 x 267 a) Thêm bớt vào đa thức bị chia x − x − x1945 = ( x − x + 1) − ( x9 + 1) − ( x1945 − x) b) Biến đổi : c) x10 − 10 x + = ( x10 − 1) − 10 ( x − 1) = ( x − 1) ( x + x + x + +  x + 1  − 10 ) Biểu thức dấu ngoặc thứ hai 8x − 9x +1  = ( x − 1) − ( x −1 ) d) (x − 1) + ( x8 − 1) +  +   ( x − 1 ) , chia hết cho x = ( x − 1) 8 ( x8 + x + + x + 1) − ( x + x +    +  x  +1)  x8 − x − x − x − x − x3 − x − x − 1, Biểu thức dấu ngoặc vuông x −1 chia hết cho tổng hệ số f ( x) − g ( x) g ( x) 268 Trước hết chứng minh chia hết cho f ( x ) − g ( x ) = x 99 − x9 + x88 − x8 + + x11 − x Ta có = x9 ( x90 − 1) + x8 ( x80 − 1) + + x( x10 − 1) Các biếu thức dấu ngoặc chia hết cho ( x + y) 269 , mà + ( x − y ) = ( x + y )  +  ( x − y )      x10 − ( x +y2 ) chia hết cho x10 − ( x + y) chia hết cho g(x) + ( x − y) , tức x +y chia hết cho , chia hết cho 270 a) Chứng minh nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia b) Đa thức bị chia ( x + l) 4n + + ( x − l) c) (x 4n+2 2n +1 +1) , chia hết cho =  ( x + l)  2n +l ( x + 1) + ( x − l )    ( x −l ) chia hết cho ( x + 1) + ( x − 1) , tức ( x + 1) chia hết cho n +1 271 Vì n hai số tự nhiên liên tiếp nên có số chẵn, số lẻ Đa thức bị chia có dạng ( x 2k − l) ( x 2k+1 − l ) = ( x − l).A ( x ) ( x − l ) B ( x ) = ( x + 1) ( x − 1) A ( x ) B ( x ) x 6m + + x 6n +2 + x2 + x +1 272 Trước hết, ta chứng minh chia hết cho Giải tương tự ví dụ 58 x 6m + + x 6n +2 + x2 + x + x2 − x + Đa thức chia hết cho chia hết cho (ví dụ 58), hai đa thức khơng có nhân tử chung bậc Do cho tích (x + x + 1) ( x − x + 1) , tức chia hết cho x4 + x2 + x 6m+ + x 6n + + chia hết n = 3k ; n = 3k + 1; n = 3k + 273 Xét Trong trường hợp đầu, số dư phép chia Trong hai trường hợp sau, số dư Vậy số cần tìm n khơng chia hết cho x+ y+ z 274 Gọi thương chia đa thứcA cho Q, ta có : 3 x + y + z + kxyz = ( x + y + z ) Q Đẳng thức với x, y , z nên với x = 1, y = 1, z =  −2 ta có: + + ( −2 ) + k ( −2 ) = ( + − ) Q ⇒ − − 2k = ⇒ k = −3 k = −3 Với ta có 2 x + y + z − xy − yz − zx Vậy k = −3 x + y + z − 3xyz chia hết cho x+ y+z (thương ) f ( x) f ( x) = ( x − a).Q( x) 275 Giả sử a nghiệm nguyên Với x, ta có Q ( x) đa thức có hệ số nguyên, f (0) = − a.Q (0), Do f (0) số lẻ nên a số lẻ, f (1) f (1) = (1 − a ).Q (1) số lẻ nên 1− a số lẻ, mâu thuẫn với ... 2003k − chia hết cho 51 công thức Niu-tơn chia hết cho 17 + 19 13 17 3663 − , chia hết cho 270 + 370 19 50 Chứng minh tồn số tự nhiên chia hết cho 18 chia hết cho , không chia hết cho 37 ... + chia hết cho x 2n + x n + x 2n + x n + với số tự Cách Biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia Ví dụ 57( 4) Chứng minh x 3m+1 + x 3n +2 + chia hết cho x2 + x +1 với. .. tỏ nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức ( *) bị chia (ta công nhận điều dẫn đến đa thức bị chia chia hết cho đa thức chia) f ( x ) = ( x + x − 1) + ( x − x + 1) − 10 Ví dụ 59(4) Cho chia hết cho