CHUYÊN đề tinh chia hết đối với da thức

Hệ thống lại kiến thức lí thuyết về tính chia hết của đa thức, các phương pháp chứng minh chia hết. Các dạng bài tập về tính chia hết của đa thức: chứng minh chia hết, tìm điều kiện để có phép chia hết, tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước, ...

CHUYÊN ĐỀ: TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC

Người thực hiện: Nguyễn Thị Thảo

Thành phần :Tổ KHTN

Ngày báo cáo:

A.Lý thuyết

I.Chia đa thức.

1.Khái niệm.

+) A B  A=B.Q

+) Với 2 da thức một biến A và B tùy ý, tồn tại duy nhất 2 đa thức Q và R sao cho:

A=B.Q+R (R=0 hoặc R có bậc nhỏ hơn bậc của B)

 R=0 ta có pép chia hết

 R 0 ta có phép chia có dư

2 Tính chất.

a) A(x)  C(x); B(x)  C(x) A(x)  B(x)  C(x)

b) A(x)  B(x)  A(x).M(x)  B(x)

c) A(x)  M(x); B(x)  N(x) A(x) B(x)  M(x) N(x)

II Tìm dư của phép chia mà không thực hiện phép chia.

1 Đa thức chia có dạng x-a (a là hằng số)

*Phương pháp:

+ Sử dụng định lí Bơdu

+Sử dụng sơ đồ Hoocne

1.1 Định lí Bơdu

a)Định lí: Số dư của phép chia đa thức f (x) cho nhị thức x-a đúng bằng f(a)

Ví dụ: Tìm số dư của phép chia da thức f(x) = x243+x27+x9+x3+1 cho x+1

Giải:

Theo định lí Bơdu ta có số dư của phép chia f(x) cho x+1 đúng băng f(-1)

Có f(-1)= (-1)243+(-1)27+(-1)9+(-1)3+1=-3

Vậy số dư của phép chia đa thức f(x) cho x+1 bằng -3

b) Hệ quả

+) f(x) (x-a)  f(a)=0

+) Đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x)  (x-1)

+) Đa thức f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x)  (x+1)

1.2 Sơ đồ Hooc-ne

a) Sơ đồ

Ví dụ1 : Tìm đa thức thương và dư cuả phép chia đa thức x3-5x2+8x-4 cho x-2 mà không cần thực hiện phép chia

GV thực hiện mẫu:

Ví dụ 2:(x3-7x+6):(x+3)

HS thực hiện VD2

GV tổng quát:

Với đa thức f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+… +an-1x+an

Ta có sơ đồ Hoocne:

a B0=a0 b1=a.b0+a1 b2=a.b1+a2 …… bn-1=a.bn-2+an-1 r=a.bn-1+an

b,Chứng minh sơ đồ (Nâng cao phát triển ) c,Áp dụng sơ đồ Hooc –ne để tính giá trị của đa thức f(x) tại x=a (Đọc SGK/68)

2 Đa thức chia có bậc từ bậc hai trở lên

*Phương pháp

Cách1: Tách ra ở đa thức bị chia những đa thức chia hết cho đa thức chia

Cách2: Xét giá trị riêng (sử dụng khi đa thức chia có nghiệm )

Ví dụ:Tìm dư khi chia f(x) =x7+x5+x3+1 cho x2-1

C1: f(x)=x7+x5+x3+1=(x7-x)+(x5-x)+(x3-x) +3x+1

=x(x6-1)+x(x4-1)+x(x2-1)+3x+1

Có x6-1 x2-1;x4-1x2-1;x2-1x2-1

 f(x): x2 -1 dư 3x+1

C2: Có f(x)=(x2-1).Q(x)+ax+b với mọi x (1)

Đẳng thức (1) đúng với mọi x ,nên

Với x=1 có f(x)=a+b=4

x=-1 có f(-1)=-a+b=-2

a=3;a=1

Vậy dư là 3x+1

*Chú ý :

+) an-bn a-b ( a b)

an+bn

a+b (n lẻ ;a -b)

+) xn-1x-1

x2n-1x2-1  x-1; x-1

x4n-1x4-1  x2-1; x2 +1

x3n-1x3-1   x2+x+1

III Chứng minh một đa thức chia hết cho 1 đa thức

* Phương pháp : có 4 cách

C1:Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có chứa đa thức chia (đ/n~ A=B.Q)

C2:Biến đổi đa thức bị chia thành tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia(t/chất)

C3:Sử dụng các biến đổi tương đương

f(x) g(x) f(x)g(x) g(x)

C4:Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia

B.Các dạng bài tập

Dạng 1:Tìm dư của phép chia (không làm tính chia)

Phương pháp: Sử dụng các pp trong phần II lí thuyết.

Bài1:Tìm dư của phép chia x 41 cho x 2 +1

Gv gợi ý để HS chọn được đúng phương pháp

HS: x41=x41-x+x=x(x40-1)+x

=x[(x4)10-1]+x

=x[(x2-1)(x2+1)]10+x

 x[(x2-1)(x2+1)]10+x:(x2+1) dư x

Bài 2.Tìm dư của phép chia f(x) =x 50 +x 49 + +x 2 +x+1 cho x 2 -1.

Gv gợi ý để HS chọn được đúng phương pháp

HS: Chọn cách xét giá trị riêng vì đa thức có nghiệm

Bài 3.Đa thức f(x) khi chia cho x+1 dư 4 , chia cho x 2 +1 dư 2x+3

Tìm phần dư khi chia f(x) cho (x+1)(x 2 +1)

HD: Có f(x)=(x+1).A(x)+4 (1)

f(x)=(x2+1).B(x)+2x+3 (2)

f(x)=(x+1)(x2+1).C(x) +ax2+bx+c (3)

=(x+1)(x2+1).C(x)+a(x2+1)+bx+c-a

=(x2+1)[C(x).(x+1)+a]+bx+(c-a) (4)

Từ (2) và (4)  b=2;c-a=3

 b=2;c= 29 ;a=23

Vậy đa thức dư là 23 x2+2x+92

Dạng 2: Tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp: Xét giá trị riêng.

Bài 1: Với giá trị nào của a và b thì đa thức f(x)= x 3 +ax 2 +bx+2 chia cho x+1 dư 5; chia cho x+2 thì dư 8.

HD:

Vì f(x)= x3+ax2+bx+2 chia cho x+1 dư 5; chia cho x+2 thì dư 8 nên ta có:

f(x)=(x+1).Q(x)+5

f(x)=(x+2).H(x)+8

Với x=-1 ta có f(-1)=-1+a-b+2=5 (1)

Với x=-2 ta có f(-2)=-8+4a-2b+2=8 (2)

Từ (1) và (2) ta có: a=3; b=-1

Bài 2: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia cho x-3 thì dư 7; chia cho x-2 thì dư 5; chia cho (x-3) (x-2) được thương là 3x và còn dư.

HD:

Theo bài ta có:

f(x)= (x-3).A(x)+7

f(x)=(x-2).B(x)+5

f(x)=3x(x-3)(x-2)+ax+b

các đẳng thức tren đúng với mọi x nên:

+Với x=2 có f(2)=5=> 2a+b=5

+Với x=3 có f(3)=7=> 3a+b=7

 a=2; b=1

Do đó dư là 2x+1

F(x)= 3x(x-2)(x-3)+2x+1+3x3-15x2+20x+1

Dạng 3: Chứng minh chia hết

Phương pháp: Sử dụng các pp trong phần III lí thuyết.

Bài 1: Chứng minh rằng: x 50 +x 10 +1 chia hết cho x 20 +x 10 +1

HD:Đặt x10=t=> cần chứng minh t5+t+1 chia hết cho t2+t+1

Có t5+t+1=t5-t2+t2+t+1=t2(t-1)(t2+t+1)+( t2+t+1)  t2+t+1

Chứng tỏ x50+x10+1 chia hết cho x20+x10+1

Bài 2: (x 2 -x 9 -x 1945 ) (x 2 -x+1)

HD:

x2-x9-x1945=(x2-x+1)+(-x9-1)+(-x1945+x)

Có x2-x+1  x2-x+1

x9+1x3+1 nên x9+1 x2-x+1

x1945-x=x(x1944-1)=x((x6)324-1) x6-1 nên x1945-x x3+1 nên x1945-x  x2-x+1

Chứng tỏ (x2-x9-x1945) (x2-x+1)

Bài tập về nhà:

Bài 1: Tìm dư khi chia các đa thức sau:

a) x43: (x2+1)

b) (x27+x9+x3+x):(x-1)

c) (x27+x9+x3+x):(x2-1)

d) (x99+x55+x11+x+7): (x+1)

e) (x99+x55+x11+x+7): (x2+1)

Bài 2: Chứng minh rằng:

a) x10-10x+9 chia hết cho (x-1)2

b) x8n+x4n +1 chia hết cho x2n+xn +1( với n là số tự nhiên)

c) x3m+1 +x3n+2 +1 chia hết cho x2+x +1( với m, n là số tự nhiên)

Bài 3: Cho đa thức f(x), các phần dư trong các phép chia f(x) cho x và cho x-1 lần lượt là

1 và 2 Hãy tìm phần dư trong phép chia f(x) cho x(x-1)

Bài 4 : T×m ®a thøc f(x) biÕt r»ng f(x) chia cho x - 3 th× dư 2, f(x) chia cho x + 4 th× dư 9,

cßn f(x) chia cho x2 +x - 12 th× ®ưîc thư¬ng lµ x2 + 3 vµ cßn dư

Duyệt của tổ chuyên môn: Văn Lâm, ngày tháng năm

Người thực hiện:

Nguyễn Thị Thảo

Đánh giá, nhận xét chuyên đề:

………

………

………

………

………