Chuyên đề về định thức

Các vectơ riêng tương ứng được cho bởi các phương trình tương ứng, được tìm thấy trong 3, ta lấy liên hợp của các phần tử của vectơ rồi tổ hợp tuyền tính lại. Nói chung, một ma trận vu[r]

Giới thiêu định thức

Với ma trận vuông cấp bất kỳ, ta tìm thấy điều kiện cần đủ để ma trận khả nghịch Thật vậy, xét ma trận:

Ma trận A khả nghịch ad - bc ≠ Ta gọi số định thức A Từ điều này, muốn có kết tương tự cho ma trận lớn (tức ma trận có cấp cao hơn) Vì vậy, ta có định nghĩa định thức tương tự cho ma trận vng bất kỳ, xác định ma trận vuông khả nghịch hay không? Để tổng quát khái niệm cho các cấp cao hơn, cần phải nghiên cứu khái niệm định thức và tính chất thỏa mãn Trước hết, sử dụng ký hiệu sau cho định thức

Định thức a  c

b

d = det 

   a c b

d = 

   a c b

d = ad - bc

Các tính chất định thức

1 Định thức ma trận A chuyển vị nhau, nghĩa

Từ tính chất ta suy sử dụng dịng hay cột để tính định thức Đặc biệt ta thấy phép biến đổi hàng hữu hiệu việc tìm định thức Do đó, ta có kết tương tự cho phép biến đổi cột

2 Định thức ma trận tam giác tích phần tử đường chéo, tức

3 Nếu ta đổi chỗ hai dịng định thức đổi dấu, tức

Đặc biệt, tất phần tử dịng số định thức

5 Nếu ta cộng vào dịng với dịng khác nhân số định thức ma trận định thức ma trận cũ, tức

6 Ta có

Đặc biệt, A khả nghịch (điều xảy det A ≠ 0),

Nếu A B tương tự,

Ta lấy ví dụ để hiểu rõ tính chất

Ví dụ Tính

Chúng ta đưa ma trận ma trận tam giác qua phép biến đổi Ta giữ lại dòng lấy

dòng nhân với

2 cộng vào dòng Ta

Vì vậy, ta có

ta dễ dàng kiểm tra lại kết

Định thức ma trận cấp cao trình bày mục

Định thức ma trận cấp cao

Như trình bày trước đó, mong muốn tính chất định thức với ma trận cấp với ma trận vng tổng qt Nói cách khác, giả định:

1 Định thức ma trận A chuyển vị nhau, tức

2 Định thức ma trận tam giác tích phần tử đường chéo

3 Nếu ta đổi chỗ hai dòng định thức đổi dấu

4 Nếu ta nhân vào dòng với số, định thức ma trận định thức ma trận cũ nhân với số

5 Nếu ta cộng vào dịng với dịng khác nhân số định thức ma trận định thức ma trận cũ

6 Ta có

Đặc biệt, A khả nghịch (điều xảy det A ≠ 0),

Vì vậy, xét ma trận cấp

Ví dụ Tính

Nếu ta lấy dòng trừ cho dòng đầu nhân với số thích hợp, ta

Ta giữ lại dòng đầu, biến đổi dòng lại Đổi dòng với dòng 3, ta

Nếu ta lấy dòng trừ cho dòng thứ nhân với số thích hợp, ta

Sử dụng tính chất trước đây, ta

Những tính tốn dường dài Sau ta thấy có cơng thức dùng để tính định thức ma trận

Ví dụ Tính

Trong ví dụ này, phép biến đổi khơng trình bày chi tiết Ta có

Ví dụ Tính

Ta có

Cơng thức chung để tính định thức Cho A ma trận vuông cấp n Ta viết A = (aij), aij

phần tử dịng i cột j, với i = 1, …, n j = 1, …, n Với i, j ta đặt Aij (gọi phần bù đại số)

định thức cấp (n-1) có từ A cách bỏ dòng i cột j nhân với (-1)i+j

Ta có

với k cố định Nói cách khác, có hai cơng thức: cơng thức khai triển theo dịng (thứ i) khai triển theo cột (thứ j) Ta khai triển theo dòng cột Bí sử dụng dịng cột có nhiều số khơng

Đặc biệt, ta có cơng thức khai triển theo dịng

Hoặc

Hoặc

Như tập, viết cơng thức khai triển theo cột

Ví dụ Tính

Ta sử dụng công thức khai triển theo dịng thứ ba Ta có

Lưu ý: Tất tính chất trường hợp tổng quát Ngoài ra, ta nên nhớ khái niệm định thức tồn cho ma trận vuông

Định thức ma trận ma trận khả nghịch

Tìm ma trận nghịch đảo đề quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học ví dụ giải mã tin nhắn ta tìm

ma trận nghịch đảo Xét ma trận vuông Ma trận A gọi khả nghịch Ngồi ra A có cấp n, Ai,j định nghĩa ma trận cấp n-1 tạo thành từ ma trận A cách bỏ phần tử

nằm dòng I cột j Nhắc lại

với I cố định

với j cố định Định nghĩa ma trận chuyển vị A, kí hiệu adj(A)

Ví dụ Cho

Ta có

Chú ý Do ta có

Định nghĩa chuyển vị ma trận A kí hiệu adj(A), ma trận mà phần tử dòng i cột j phần tử dòng j cột i ma trận ban đầu

Định lí Với ma trận A cấp n, ta có

Đặc biệt, ,

Cho ma trận vng cấp hai, ta có

Đây cơng thức dùng trang trước

Trong trang tiếp theo, thảo luận ứng dụng công thức vào hệ tuyến tính

Ứng dụng định thức tới hệ phương trình: Qui tắc Cramer

Chúng ta thấy định thức hữu ích việc tìm ma trận nghịch đảo ma trận khả nghịch Ta sủ dụng tìm kiếm việc giải hệ phương trình tuyến tính cho ma trận hể số khả nghịch

Xét hệ tuyến tính( dạng ma trận)

A X = B

trong A ma trận hệ số, B ma trận hạn cột tự do, X ma trận cột ẩn Ta có:

Dịnh lí Hệ tuyến tính AX = B có nghiệm A ma trận khả nghịch Trong trường hợp này, nghiệm cho quy tắc định thức Cramer:

trong xi nghiệm hệ phần tử X, ma trận Ai xác định từ A cách thay

cột thứ I ma trận cột B Khi đó, ta có

với bi phần tử B

Đặc biệt, hệ tuyến tính AX = B nhất, nghĩa , A khả nghịch, nghiệm hệ tầm thường , Do ta ta tìm nghiệm khác hệ, ma trận hệ số A phải khả

nghịch.Ta biết điều xảy néu Đây kết quan trọng

Ví dụ Giải hệ phương tình tuyến tính

điều ma trận hệ số khả nghịch Sử dụng công thức Cramer Ta có

và nghiệm

Chú ý rằng, dễ thấy z=0 Thật vậy, xác định cho z có hai dịng giống ( dịng dòng cuối) Ta cố gắng kiểm tra giá trị tìm x, y, z nghiệm hệ cho trước

Chú ý Quy tắc Cramer sử dụng cho hệ tuyến tính mà ma trận hệ số khả nghịch

Giá trị riêng vectơ riêng: Giới thiệu

Bài toán giá trị riêng vấn đề đáng quan tâm lí thuyết ứng dụng rộng rãi Ví dụ, vấn đề quan trọng việc giải hệ phương trình vi phân, phân tích mơ hình tăng trưởng dân số tính tốn bậc ma trận ( việc xác định lũy thừa ma trận) Các lĩnh vực khác vật lí, xã hội học, sinh học, kinh tế thống kê tập trung ý đáng kể vào giá trị riêng vectơ riêng ứng dụng tính tốn chúng Trước cung cấp khái niệm thức, chúng tơi giới thiệu khái niệm ví dụ

Ví dụ Xét ma trận

Ta có

Suy

Tiếp theo xét ma trận P có cột C1, C2, C3,

Ta có det(P) = 84 Nên ma trận khả nghịch Tính tốn đơn giản

Tiếp theo tính P-1AP

ta có

điều A đồng dạng với ma trận chéo Đắc biệt, ta có

với Chú ý khơng thể tìm A75 , cách trực tiếp từ dạng ban đầu A

Ví dụ phong phú để kết luận nhiều câu hỏi đặt cách tự nhiên.Ví dụ , cho trước ma trận vng A, làm để tìm ma trận cột đồng dạng với trên? Nói cách khác, làm để tìm ma trận cột giúp ta tìm ma trận khả nghịch P cho P-1AP ma trận chéo?

Từ bây giờ, chúng tơi gọi ma trận cột vectơ Vì cột ma trận C1, C2, C3 vectơ Chúng ta có định nghĩa

Định nghĩa Cho A ma trận vuông Một vectơ C khác gọi vectơ riêng A tồn số ( thực phức) cho

giá trị giá trị riêng A Vectơ C gọi vectơ triêng A tương ứng với giá trị riêng

Chú ý Vectơ riêng C phải khác ta có

với số

trong

Dó C1 là vectơ riêng A tương ứng với giá trị riêng C2 vectơ riêng A tương ứng với giá trị riêng -4 , C3 vectơ riêng A tương ứng với giá trị riêng

Lệu tìm tất giá trị riêng không Trong phần thảo luận điều

Tính giá trị riêng

Cho ma trận vng A có cấp n, số là giá trị riêng tồn vectơ C khác cho

Sử dụng tính chât tích hai ma trận, ta thu

Đây hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số

Chúng ta biết hệ có nghiệm ma trận hệ số khả nghịch, tức

Bởi vectơ nghiệm C không vectơ 0, nên ta phải có

Phương trình tương đương với

tương đương với phương trình bậc hai

Giải phương trình dẫn đến

Nói cách khác, ma trận A có hai giá trị riêng

Tông quát, cho ma trận vuông A cấp n, phương trình

cho nghiệm giá trị riêng A Phương trình gọi phương trình đặc trung hay đa thức đặc trưng của A Đó hàm đa thức bậc n Ta biết phương trình có nhiều n nghiệm Do ma trận vng A cấp n có khơng q n giá trị riêng

Ví dụ Xét ma trận đường chéo

Nên giá trị riêng D a a, b, c, d, phần tử đường chéo

Kết cho ma trận chéo có cấp tùy ý Nên tùy thuộc vào giá trị đường chéo, bạn có mọt, hai hay nhiều giá trị riêng

Nhận xét Thật tuyệt vời thấy ma trận A có giá trị riêng với ma trận chuyển vị AT

Cho ma trận cấp 2, A,

đa thức đặc trưng cho phương trình

Số (a+d) gọi vết A (denoted tr(A)), rõ ràng số (ad-bc) định thức A Nên đa thức đặc trưng A viết lại sau

Cho giá trị ma trận

Nói cách khác, ta có

Phương trình gọi định lí Cayley-Hamilton Nó cho ma trận vng có cấp tùy ý

trong là đa thức đặc trưng A

Ta có số tính chất giá trị riêng ma trận

Định lí Cho A ma trận vng cấp n Nếu giá trị riêng A, thì:

1

là giá trị riêng Am, với

2

Nếu A khả nghịch, là giá trị riêng A-1

3

A không khả nghịch là giá trị riêng A 4

Nếu số tùy ý, giá trị riêng

Câu hỏi tự nhiên tìm vectơ riêng Trong phần thảo luận vấn đề tìm vectơ riêng

Tính vectơ riêng

Co ma trận A vuông cấp n là giá trị riêng X vectơ riêng A ứng với Ta phải có

Đây hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số Bởi vectơ alf nghiệm, hệ có nghiệm Thật vậy, ta đề cập trang khác ccấu trúc nghiệm hệ phong phú Trong phanà ta thảo luận vần đề có tìm nghiệme

Nhận xét Khá dễ dàng để thấy X vectơ thỏa mãn , vectơ Y = c X (cho số c tùy ý) thỏa mãn phương trình Nói cách khác, ta biết X vectơ riêng, cX vectơ tương ứng với vectơ riêng

Chúng ta bắt đầu với ví dụ

Ví dụ Xét ma trận

Trước hết ta tìm giá trị riêng A Chúng nghiệm đa thức đặc trưng

Suy

Nếu ta khai triên định thức theo cột thứ ba, ta

dẫn đến giá trị rieneg A 0, -4, Tiếp theo ta tìm vectơ riêng

1

Trường hợp : Vectơ riêng tương ứng cho hệ phương trình tuyến tính

điều viết lại

Có nhiều cách để giải hệ phương trình Phương trình thứ ba đồng với phương trình đầu Vì vậy, từ phương trình thứ hai, ta có y = 6x, phương trình đầu dẫn đến 13x + z = Nên hệ tương đương với

Do vectơ X cho

Vì vậy, giá trị riêng X A tương ứng với giá trị riêng cho

trong c số tùy ý

Trường hợp : Vectơ riêng tương ứng cho hệ

điều viết lại

Trong trường hợp này, ta sử dụng phương pháp khử để giải Tước hết ta xét ma trận bổ sung

,

Ta sử dụng phép biến đỏi dòng để nhận ma trận chéo Chuyển đổi dòng cho ta

Tiếp, ta lấy dòng đầu nhân với cộng vào dòng thứ hai, nhân với cộng vào dòng ba Thu

Nếu giản ước dòng thứ hai cho 8, dòng thứ ba cho 9, ta

Tiếp, ta đặt z = c Từ dòng thứ hai, nhận y = 2z = 2c dòng đầu nhạn x = -2y+3z = -c Do

Vì thế, vectơ riêng X A tương ứng với giá trị riêng -4 cho

trong c só

2

Trường hợp : Giải chi tiết dành cho bạn đọc Sử dụng mô tả tương tự trên, vectơ riêng X of A tương ứng với cho

trong c số

Nhận xét Tổng quát, giá trị riêng ma trận tất nghiệm phân biệt phương trình đặc trưng

Ví dụ Xét ma trận

Do giá trị riêng A -1 Với giá trị riêng 8, dễ thấy vectơ riêng X cho

trong c số tùy ý Ta tập trung vào giá trị riêng -1 Vectơ riêng tương ứng cho hệ

điều viết lại

Rõ ràng, phương trình thứ ba hai tương đương với phương trình đầu Nói cách khác hệ này, hệ tương đương với mọt phương trình

2x+y + 2z=

ĐỂ giải nó, ta chọn hia số cố định trước tìm số thứ ba Ví dụ, ta ðặt , ta

Do đó, vectơ riêng X A tương ứng với giá trị riêng -1 cho

Ví dụ Xét ma trận

Phương trình đặc trưng cho

Do ma trận A có giá trị riêng -3 Ta tìm vectơ riêng tương ứng Chúng cho hệ phương trình tuyến tính

được viết lại sau

Hệ tương đương với mọt phương trình hệ

x - y =

Nên đặt x = c, vectơ riêng X A tương ứng với giá trị riêng -3 cho

Tóm tắt: Cho A ma trận vng cấp n Giả sử là giá trị riêng A Để tìm vectơ riêng tương ứng, ta làm bước sau:

1

Viết hệ phương trình tương ứng

2

Giải hệ phương trình

3

Viết lại vectơ X dạng tổ hợp tuyến tính vectơ đữ biết

Trong ví dụ trên, giả sử giá trị riêng số thực Tổng quát, this is not the case except for symmetric matrices.Chứng minh điều phức tập, dễ dàng với ma trận vuông cấp

Xét ma trận vng đối xứng

Phương trình đặc trưng

Đây phương trình bậc hai Nghiệm phụ thuộc vào dấu định thức

Biến đổi đại số ta

Do đó, số dương, suy giá trị riêng A nững số thực

TRƯỜNG HỢP GIÁ TRỊ RIÊNG PHỨC

Trước tiên, ta chứng tỏ tồn ma trận với giá trị riêng phức

Ví dụ Hãy xét ma trận

Phương trình đặc trưng cho

Phương trình bậc hai có nghiệm phức cho

Vì ma trận có giá trị riêng phức

Bí xem giá trị riêng phức số thực Nghĩa xem số làm tính tốn bình thường cho vectơ riêng Ta xem tính tốn

Với , vectơ riêng tương ứng cho hệ phương trình tuyến tính tính

A X = (1+2i) X Có thể viết lại sau

Thực ra, hai phương trình đồng (2+2i)(2-2i) = Vì vậy, hệ phương trình giảm xuống cịn phương trình

trong c số tùy ý

Nhận xét Rõ ràng mong đợi có phần tử phức vectơ riêng

Chúng ta thấy (1-2i) giá trị riêng ma trận Vì phần tử ma trận A số thực,

khi ta dễ dàng giá trị riêng phức liên hợp giá trị riêng Hơn nữa, X vectơ riêng A tương ứng với giá trị riêng , vector , có từ X

thay số phức liên hợp phần tử X, vectơ riêng ứng với giá trị riêng Vì vậy, vectơ riêng ma trận A ứng với giá trị riêng (1-2i) cho

trong c số tùy ý

Chúng ta tóm tắt lại làm ví dụ

Tóm tắt: Cho A ma trận vng Giả sử giá trị riêng phức A Để tìm vectơ riêng tương ứng, ta làm theo bước sau đây:

1 Viết hệ phương trình tuyến tính tương ứng

2 Giải hệ phương trình Các phần tử X số phức

3 Viết lại vectơ X tổ hợp tuyến tính vectơ chưa biết với phần tử số phức

4 Nếu A có phần tử số thực số phức liên hợp giá trị riêng Các vectơ riêng tương ứng cho phương trình tương ứng, tìm thấy 3, ta lấy liên hợp phần tử vectơ tổ hợp tuyền tính lại

Nói chung, ma trận vuông với phần tử số thực có giá trị riêng phức Điều bình thường Ta đặt câu hỏi liệu có tồn lớp ma trận có giá trị riêng thực Điều với ma trận đối xứng Chứng minh kỹ thuật trình bày trang khác Nhưng ma trận vuông cấp 2, chứng minh dễ Chúng ta trình bày

Phương trình đặc trưng cho

Đây phương trình bậc hai Nghiệm (là giá trị riêng A) phụ thuộc vào dấu hiệu biệt thức 

Sử dụng thao tác đại số, ta có

Vì  số dương nên ta suy giá trị riêng A số thực

Nhận xét Lưu ý ma trận A có giá trị riêng, tức phương trình đặc trưng có nghiệm kép, Nhưng điều xảy a = c b = Nói cách khác, ta có

A = a I2 Chéo hóa Ma trận

Khi giới thiệu giá trị riêng vectơ riêng , ta đặt câu hỏi ma trận vuông đồng dạng tương đương với ma trận chéo? Nói cách khác, cho trước ma trận vng A, có tồn ma trận chéo D cho ? (tức có tồn ma trận P khả nghịch cho A = P-1DP)

Nói chung, số ma trận khơng tương tự ma trận đường chéo Ví dụ, ta xét ma trận

Giả sử tồn ma trận chéo D cho A = P-1DP Ta có

Như ta có, A = P-1

DP = I2, Điều vô lý Do đó, A khơng đồng dạng với ma trận chéo Định nghĩa Một ma trận chéo hóa đồng dạng với ma trận chéo

Nhận xét Ở mục trước, ta thấy ma trận

có ba giá trị riêng khác Và ta chưng minh A chéo hóa Trong thực tế, có kết chung dọc theo dòng

Định lý Cho A ma trận vuông cấp n Giả sử A có n giá trị riêng phân biệt Khi A chéo hóa được Hơn nữa, P ma trận với cột C1, C2, , Cn n vectơ riêng A, ma trận P-1

AP ma trận chéo Nói cách khác, ma trận A chéo hóa

Bài tốn: Điều xảy với ma trận vng cấp n có ít n giá trị riêng?

Chúng ta có câu trả lời phần cho toán

Định lý Cho A ma trận vuông cấp n Để biết liệu A có chéo hóa khơng, làm bước sau:

1 Ghi lại đa thức đặc trưng

2 Phân tích thành nhân tử p( ) Trong bước này, ta có

đó, i , i = 1, …, k , số thực số phức Với i, lũy thừa ni gọi số bội

(đại số) giá trị riêng i

3 Với giá trị riêng, tìm vectơ riêng tương ứng Chẳng hạn, với giá trị riêng i, vectơ riêng tương ứng cho hệ phương trình tuyến tính

4 Nếu với giá trị riêng số bội đại số số bội hình học, ta có

điều suy ta đặt vectơ riêng Cj, tìm 3., cho tất giá trị riêng, ta có n vectơ Đặt P ma trận vuông cấp n mà cột vectơ riêng Cj Khi P khả nghịch

là ma trận chéo với phần tử đường chéo giá trị riêng A Vị trí vectơ Cj P đồng với vị trí giá trị riêng tương ứng đường chéo D Điều suy A đồng dạng với D Vì vậy, A chéo hóa

Nhận xét Nếu số bội đại số ni giá trị riêng i 1, rõ ràng có mi = Nói

cách khác, ni = mi.

5 Nếu có giá trị riêng mà số bội đại số khơng số bội hình học, A khơng chéo hóa

Ví dụ Ta xét ma trận

Để biết liệu A có chéo hóa khơng, thực theo bước

1 Đa thức đặc trưng A

Như vậy, -1 giá trị riêng với số bội -2 giá trị riêng với số bội

Vì số bội hình học -1 số bội đại số Vì vậy, ma trận A chéo hóa Để tìm P ma trận, cần phải tìm vectơ riêng ứng vơi giá trị riêng -2 Hệ phương trình tương ứng

giảm xuống thành hệ

Đặt , ta có

Đặt

Nhưng ta đặt

Đặt

khi

Do A = P D P-1 Đặt

Khi ta có

B3 = A Nói cách khác, B bậc ba A

Biên soạn: Cao Văn Tú

Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên

Email: caotua5lg3@gmail.com