Củng cố toán đại số lớp 9 tập 2

thì nh ất làm trong 4 giờ, người thứ hai làm trong 3 giờ thì được 50% công việc. Hỏi mỗi người làm m ột mình trong mấy giờ thì xong. M ột đội xe vận tải phải vận chuyển 28 tấn hàng đến [r]

(1)

Tailieumontoan.com



Sưu tầm

CỦNG CỐ TOÁN LỚP TẬP

PHẦN ĐẠI SỐ

(2)

PHẦN A ĐẠI SỐ

CHƯƠNG III HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Khái niệm phương trình bậc hai ẩn

• Phương trình bậc hai ẩn x, y phương trình có dạng:

ax by+ =c

trong a, b, c số cho trước, a≠0 b≠ 0

• Nếu số thực x y th0, ỏa mãn ax0+by0 = cc ặp số (x y 0; 0) được gọi

nghiệm phương trình ax by+ =c

• Trong mặt phẳng tọa độ Oxy nghiệm (x y c0; 0) phương trình ax by+ =c

được biểu diễn điểm có tọa độ (x y 0; 0)

2 Tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn

Phương trình bậc hai ẩn ax by+ =c ln có vơ số nghiệm Tập nghiệm phương trình biểu diễn đường thẳng d ax by: + =c

• Nếu a≠0 b= phương trình có nghiệm

c x

a y  =    ∈

 

và đường thẳng d song

song trùng với trục tung

• Nếu a=0 b≠ phương trình có nghiệm x

c y

b ∈  

 =

 

và đường thẳng d song

song trùng với trục hoành

• Nếu a≠0 b≠0 phương trình có nghiệm

x

a c

y x

b b

∈ 



 = − +





hoặc

y

b c

x x

a a

∈ 



 = − +





khi đường thẳng d cắt hai trục tọa độ

Đường thẳng d đồ thị hàm số y ax c

b b

= − +

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

(3)

Phương pháp giải: Nếu cặp số thực (x y th0; 0) ỏa mãn ax0+by0 =cthì gọi

nghiệm phương trình ax by+ =c

1A Trong cặp số (12;1 , 1;1 , 2; , 1; 2) ( ) ( − ) ( − cặp số nghiệm phương trình bậc ) hai ẩn 2x−5y=19

1B Cặp số (−2;3) nghiệm phương trình phương trình sau:

a) x− =y 1; b) 2x+3y=5;

c) 2x+ = −y 4; d) 2x− = − y 7;

2A Tìm giá trị tham số m để phương trình bậc hai ẩn m+ −1x 2y= + có m nghiệm (1; − )

2B Tìm giá trị tham số m để cặp số (2; 1− ) nghiệm phương trình

5

mx− y= m−

3A Viết phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm ( )2;0 (− −1; )

3B Cho biết (0; 2− ) (2; 5− ) hai nghiệm phương trình bậc hai ẩn Hãy tìm phương trình bậc hai ẩn

Dạng Viết công thức nghiệm tổng quát phương trình bậc hai ẩn biểu diễn tập nghiệm mặt phẳng tọa độ

Phương pháp giải: Xét phương trình bậc hai ẩn ax by+ =c

1 Để viết công thức nghiệm tổng quát phương trình, trước tiên, ta biểu diễn x theo y

(hoặc y theo x) đưa kết luận công thức nghiệm tổng quát

2 Để biểu diễn tập nghiệm phương trình mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d

có phương trình ax by+ =c

4A Viết công thức nghiệm tổng quát biểu diễn tập nghiệm phương trình sau

mặt phẳng tọa độ:

a) 2x−3y=5; b) 4x+0y=12; c) 0x−3y=6

4B Viết công thức nghiệm tổng quát biểu diễn tập nghiệm phương trình sau

mặt phẳng tọa độ:

a) 2x− =y 3; b) 5x+0y=20; c) 0x−8y=16

Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để đường thẳng ax + by = c thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải: Ta sử dụng số lưu ý sau giải dạng toán này:

(4)

Khi d song song trùng với Oy

2 Nếu a=0 b≠ thì phương trình đường thẳng d: ax by+ =c có dạng d: y c b =

Khi d song song trùng với Ox

3 Đường thẳng d: ax by+ =c qua điểm M x y ch( 0; 0) ỉ ax0+by0 = c

5A Cho đường thẳng d có phương trình:

(m−2) (x+ 3m−1)y=6m− Tìm giá trị tham số m để:

a) d song song với trục hoành;

b) d song song với trục tung;

c) d đi qua gốc tọa độ;

d) d đi qua điểm A(1; 1− ; )

5B Cho đường thẳng d có phương trình:

(2m−1)x+3(m−1)y=4m−2 Tìm giá trị tham số m để:

a) d song song với trục hoành;

b) d song song với trục tung;

c) d đi qua gốc tọa độ;

d) d đi qua điểm A( )2; ;

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

6 Trong cặp số (0; , ) (− −1; , 1; , 3;) ( ) ( −2 , 1;) ( −6 ,) cặp số nghiệm

phương trình 3x−2y=13?

7 Tìm giá trị tham số m để cặp số 1;

 

 

  nghiệm phương trình

2

2mx m 4.y m

− + + = −

8 Tìm phương trình đường thẳng d biết d qua hai điểm phân biệt M( )2;1

(5; )

N −

9 Viết công thức nghiệm tổng quát biểu diễn tập nghiệm phương trình sau mặt

phẳng tọa độ:

a) x−3y=6; b) 3y−2x=3;

(5)

10 Cho đường thẳng d có phương trình: (2m−3) (x+ 3m−1)y= + m Tìm giá trị tham số m để:

a) d // Ox; b) d // Oy;

c) d đi qua O( )0;0 ; d) d đi qua điểm A(− − 3; )

BÀI 2: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 Khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn

- Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng

' ' '

(1) (2) ax by c

a x b y c

+ =



 + =



Trong a b a b, , ', ' số thực cho trước a2+b2 ≠0; 'a2+b'2 ≠ , x y ẩn số 0

- Nếu hai phương trình (1) (2) có nghiệm chung (x y0; 0) (x y0; 0) gọi nghiệm hệ phương trình Nếu hai phương trình (1) (2) khơng có nghiệm chung hệ phương trình vơ nghiệm

- Giải hệ phương trình tìm tất nghiệm

- Hai hệ phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm

2 Minh họa hình học tập nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn

- Tập nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn biểu diễn tập hợp điểm chung của hai đường thẳng d ax by: + =c d' : 'a x b y+ ' =c'

Trường hợp d∩d'= A x y( 0; 0)⇔ Hệ phương trình có nghiệm (x y ; 0; 0) Trường hợp d // d'⇔ Hệ phương trình vơ nghiệm;

Trường hợp d ≡ d'⇔ Hệ phương trình có vô số nghiệm

* Chú ý: Với a b c', ', '≠0

Hệ phương trình có nghiệm ;

' '

a b

⇔ ≠

Hệ phương trình vơ nghiệm ;

' ' '

a b c

⇔ = ≠

Hệ phương trình có vơ số nghiệm

' ' '

a b c

(6)

Dạng Khơng giải hệ phương trình, đốn nhận số nghiệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp giải: Xét hệ phương trình bậc hai ẩn

' ' '

ax by c a x b y c

+ =



 + =



1 Hệ phương trình có nghiệm ;

' '

a b

⇔ ≠

2 Hệ phương trình vô nghiệm ;

' ' '

a b c

⇔ = ≠

3 Hệ phương trình có vơ số nghiệm

' ' '

a b c

⇔ = =

1A Dựa vào hệ số a b c a b c, , , ', ', ' dự đoán số nghiệm hệ phương trình sau:

a) ;

6

x y x y − =  − + = −

 b)

2

;

3

x y x y − + = −   − = 

c) 2 ;

3

x y x y  − =   − = −

 d)

2 11

3

x y x y − = −   − = 

1B Không giải hệ phương trình, dự đốn số nghiệm hệ phương trình sau:

a) ;

0

x y x y + =   + = −

 b)

0 11

;

2

x y x y − = −   − =  c) 2 ; 3 x y x y − + =    − + =  d)

2

2 x y x y  + =   − − = 

2A Cho hệ phương trình mx y 2

x my m

− = 

 − =

 Xác định giá trị tham số m để hệ phương

trình:

a) Có nghiệm nhất; b) Vơ nghiệm;

c) Vơ số nghiệm

2B Cho hệ phương trình

2 x y

mx y m

+ = 

 + =

 Xác định giá trị tham số m để hệ phương trình:

a) Có nghiệm nhất; b) Vô nghiệm;

(7)

Dạng Kiểm tra cặp số cho trước có phải nghiệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hay không

Phương pháp giải: Cặp số (x y 0; 0) nghiệm hệ phương trình

' ' '

+ =



 + =



và thỏa mãn hai phương trình hệ

3A Kiểm tra xem cặp số (−4;5) nghiệm hệ phương trình hệ phương trình sau đây:

a) ;

3 21

x y

+ = − 

− + =

 b)

1

2 12

2 .

1

3

x y

 − = −

 

 + = −



3B Hãy kiểm tra xem cặp số sau có nghiệm hệ phương trình tương ứng hay không?

a) ( )1; ;

2

x y

− = −



 + =

 b) (−2;5)

2 19

3

x y

− = −



− + =



4A Cho hệ phương trình 2

7

mx y m

x m y

− + = −



 − = −

 Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình nhận cặp số ( )1; làm nghiệm

1

mx y m

x my m

+ = 

 − = − −

 Tìm giá trị tham số m cặp số (−2;1) nghiệm hệ phương trình cho

Dạng Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp đồ thị

Phương pháp giải: Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn

' ' '

+ =



 + =



phương pháp đồ thị ta làm sau:

Bước Vẽ hai đường thẳng d ax by: + =c d' : 'a x b y+ ' =c'trên hệ trục tọa độ

Bước Xác định nghiệm hệ phương trình dựa vào đồ thị vẽ Bước

5A Cho hai phương trình đường thẳng: d1: 2x− = y d2:x−2y= a) Vẽ hai đường thẳng d 1 d m2 ột hệ trục tọa độ

b) Từ đồ thị d 1 d , tìm nghi2 ệm hệ phương trình:

2

x y

− = 

 − =

(8)

c) Cho đường thẳng d3:mx+(2m−1)y= Tìm giá trị tham số m để ba đường 3

thẳng d d 1, 2 d 3 đồng quy

5B Cho ba đường thẳng: d1:x+2y=5,d2: 2x+ = y d3: 2mx+(m−1)y=3m+ a) Vẽ hai đường thẳng d 1 d m2 ột hệ trục tọa độ

2 x y x y + =   + = 

c) Tìm giá trị tham số m để ba đường thẳng d d 1, 2 d 3 đồng quy

6 Khơng giải hệ phương trình, xác định số nghiệm hệ phương trình sau:

a) 3;

2 x y x y − =   − =

 b)

2

;

2

x y x y + =   + =  c)

3

;

4

x y x y + =   − =  d)

0

; 2 x y x y − =    + =

 e)

2 2

;

3 3

x y x y + =    + =

 f)

4 x y x y − =   − = 

7 Cho hệ phương trình

3

mx y m

x my m

+ = 

− − = − +

 Xác định giá trị tham số m để hệ phương trình:

c) Vô số nghiệm

8 Hãy kiểm tra xem cặp số sau có nghiệm hệ phương trình tương ứng hay không?

a) ( )1;1 ; x y x y − + =   + =

 b) (−2;1)

2 x y x y + = −   + = 

9 Cho hệ phương trình ( )

2

m x y m

m x y

 − + =



− = −

 Tìm giá trị tham số m để cặp số ( )1;3 nghiệm hệ phương trình cho

10 Cho hai phương trình đường thẳng:

1:

d x+ = y d2:x−4y=

a) Vẽ hai đường thẳng d 1 d m2 ột hệ trục tọa độ

(9)

c) Cho đường thẳng d3: 2( m+1)x+my=2m− Tìm giá trị tham số m để ba 3

đường thẳng d d 1, d 3 đồng quy

BÀI 3: GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

- Để giải hệ phương trình, ta biến đổi hệ cho thành hệ phương trình tương đương đơn giản

- Phương pháp cách biến đổi tương đương hệ phương trình, ta sử dụng quy tắc thế, bao gồm hai bước:

Bước Từ phương trình hệ phương trình cho (coi phương trình thứ nhất), ta biểu diễn ẩn theo ẩn vào phương trình thứ hai để phương trình (chỉ cịn ẩn)

Bước Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ phương trình giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta hệ phương trình tương đương với hệ phương trình cho

Dạng Giải hệ phương trình phương pháp

Phương pháp giải: Căn vào quy tắc thế, để giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp thế, ta làm sau:

Bước Từ phương trình hệ phương trình, ta biểu diễn ẩn ẩn cịn lại, sau vào phương trình cịn lại, ta phương trình cịn ẩn

Bước Giải hệ phương trình ẩn vừa có, từ suy nghiệm hệ phương trình cho

Chú ý: Để lời giải đơn giản, bước 1, ta thường chọn phương trình có hệ số có giá trị tuyệt đối không lớn (thường -1)

1A Giải hệ phương trình:

a) ;

5 23

x y x y

− = 

 + =

 b)

( )

2

;

2 1

x y

 − − =

 

+ + =



c)

0, 0,1 0,3

;

3

2

x y

+ =

 

 + =

 d)

( )

3

2 3

x y

 − + =

 

+ + = +



(10)

a) 1; x y x y + =   − = −

 b)

( )

1

;

1

x y x y  − + =   − + = 

c) ;

4

x y x y − = −   + =

 d)

2

x y x y  − − =   + = − 

Dạng Giải hệ phương trình quy hệ phương trình bậc hai ẩn

Phương pháp giải: Ta thực theo hai bước sau:

Bước Biến đổi hệ phương trình cho hệ phương trình bậc hai ẩn Bước Giải hệ phương trình bậc hai ẩn tìm

a) ( ) ( )

( ) ( )

3 ;

7 14

y x

x x y

− + − =   − + + − − =  b) ( )( ) ( )( ) ( )

1 1

2

x y x y

x y x xy

+ − = − + −



 − − = −

 2B Giải hệ phương trình:

a) 5( ) (3 ) 99

3 17

x y x y

 + − − =

 − = − −

 b)

( )( )

1 1 3

x y xy

+ − = −



 − − = −



Dạng Giải hệ phương trình cách đặt ẩn phụ

Bước Chọn ẩn phụ cho biểu thức hệ phương trình cho để hệ phương trình bậc hai ẩn dạng (Tìm điều kiện ẩn phụ có)

Bước Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp thế, từ tìm nghiệm hệ phương trình cho

a) 15 ; 35 x y x y  − =    + =  b)

4 5

1

;

3

1

x y x y

 − =  + − − +    + =  + − − + 

c) ( )

( )

2

;

3 2

x x y

 − + + =

 

− − + = −

 d)

( )

3 2

4

x x y

 + + + =



 + − + =



(11)

a) 1 ; x y x y  − =    + =  b)

2 3

;

3

21

3

x y x y

 + = −  − +    − =  + − 

c) 2 ;

2

x y x y  + − + =   + + + =

 d)

2

12

3 12

y x y x  − + =    + + = 

Dạng Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải: Ta thường sử dụng kiến thức sau:

- Hệ phương trình bậc hai ẩn

' ' '

+ =



 + =

 có nghiệm (x y 0; 0)

0

' ' '

ax by c

a x b y c

+ =



⇔  + =



- Đường thẳng d ax by: + =c qua điểm M x y ( 0; 0) ⇔ ax0+by0 = c

4A Cho hệ phương trình

4 x by bx ay + = −   − =

 Tìm giá trị a, b để hệ phương trình có nghiệm (1; − )

4B Cho hệ phương trình (3 ) (4 1) 35

4 29

a b x a b y

bx ay

 + + − + =

 + =

 Tìm giá trị a, b để hệ

phương trình có nghiệm (1; − )

5A Cho hai đường thẳng: d1:mx−2 3( n+2)y= d2: 3( m−1)x+2ny=56 Tìm giá trị tham số m n để d d 1, cắt điểm I(2; − )

5B Cho hai đường thẳng: d1: 5x−4y= d2:x+2y= + m

Tìm giá trị tham số m để d d 1, cắt điểm trục Oy Từ vẽ hai

đường thẳng mặt phẳng tọa độ

III BÀI TẬP VỀ NHÀ 6 Giải hệ phương trình:

a) ;

3

x y x y

− = 

 − =

 b)

1

2

5

(12)

7 Giải hệ phương trình:

a) ( ) ( )

( ) ( )

2

;

2

x y x y

+ + − =



 + + − =

 b)

( )( )

( 31)( 13) 13

x y xy

 + − = −

 − + = −



a)

1

2 2

;

2

1 2

x y

 + =

 − −

 

 − =

 − −



b)

1 5

2

1

2

x y x y

 + =

 + −

 

 − = −

 + −



c) 13;

2

x y

 − + =

 

− − =

 d)

1 2

4

x y

 − + + = 

 − + + =



9 Cho hệ phương trình ( ) ( )

(3 22) 32 2( 1)1 3020

a x b y

 − + + =

 + − − = −

 Tìm giá trị a, b để hệ phương

trình có nghiệm (3; − )

10 Cho hai đường thẳng: d1: 2nx−2 3( m+2)y=15+n d2: 3( m−2)x+2ny=12

a) Với n=3, hãy tìm giá trị tham số m để d d 1, 2 cắt điểm trục

Ox Từ vẽ hai đường thẳng mặt phẳng tọa độ

b) Tìm giá trị tham số m n để d d 1, cắt điểm I(1; − )

BÀI 4: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số, ta sử dụng quy tắc cộng đại số bao gồm hai bước sau:

Bước Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ phương trình cho để phương trình

Bước Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ phương trình giữ nguyên phương trình ta hệ tương đương với hệ cho

Dạng Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số

Phương pháp giải: Căn vào quy tắc cộng đại số, để giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số, ta làm sau:

(13)

Bước Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ phương trình để thu phương trình ẩn;

Bước Giải hệ phương trình ẩn vừa thu từ suy nghiệm hệ phương trình cho

1A Giải hệ phương trình sau:

a) 16 ;

4 24

x y x y + =   − = −  b)

3 15

;

2 18

x y x y  − = −   − + = 

c) ;

2 11

x y x y  + = −   − − =  d)

2 2,5

3 7,5

x y x y  − =   − = 

1B Giải hệ phương trình sau:

a) 11 ; 10 11 31

x y x y − = −   + =  b)

3

;

2 3

x y x y  − − =   + = 

c) 7;

3

x y x y  + =   + = −

 d)

2

4 10

x y x y + =   + = 

Dạng Giải hệ phương trình quy hệ phương trình bậc hai ẩn

Bước Biến đổi hệ phương trình cho hệ phương trình bậc hai ẩn

Bước Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số Dạng

a) 5( ) (3 ) 99 ; 17

x y x y

 + − − =

 − = − −

 b)

( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

1

1 = -2

x y x x y x xy

y x y y x y xy

 + − = − + + +

 − + + −



a) ; 15 14 x x y y x y −  + =   −  + = 

b) ( )( ) ( )

( 11)( 11) ( 1)(2 1)

 − + = −

 + − + −



x y y x

x y y x

=

Dạng Giải hệ phương trình cách đặt ẩn phụ

(14)

Bước Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp thế, từ tìm nghiệm hệ phương trình cho

a)

3

+ =

1 ; = x y x y   − +    −  − +  b)

7

2

;

3

2

+ =

x y x y

 − =  − + + −     − + + − 

c) 22 ;

3 18

x y x y  − + − =  − − + − =

 d)

2 3 3 x y x y  + =  − +    − =  − + 

a)

15

= ;

+ = 35

x y x y  −    

b) ;

1

3 + = 13

2 =

x y x y  −   − −  c) 1 ; 20 y x y x  − =  −    + =  − 

d) 13

2

x y x y  − + =   − − = 

Dạng Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải: Ta thường sử dụng kiến thức sau:

- Hệ phương trình bậc hai ẩn

' ' '

+ =



 + =

 có nghiệm (x y 0; 0)

0

' ' '

ax by c

a x b y c

+ =



⇔  + =



- Đường thẳng d ax by: + =c qua điểm M x y ( 0; 0) ⇔ ax0+by0 = c

4A Cho đường thẳng d y: =(2m+1)x+3n−

a) Tìm giá trị m n để d qua điểm M(− −1; 2) cắt Ox điểm có hồnh độ

b) Cho biết m, n thỏa mãn 2m− =n 1, chứng minh d ln qua điểm cố định Tìm điểm cố định

(15)

5A Cho ba đường thẳng: d1: 5x−17y=8, d2:15x+7y=82 d3: 2( m−1)x−2my= + m Tìm giá trị m để ba đường thẳng đồng quy

5B Cho đường thẳng d y: =(2m+3)x−3m+ Tìm giá trị tham số m để d qua 4 giao điểm hai đường thẳng d1: 2x−3y=12 d2: 3x+4y=

6 Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số:

a) ;

3

x y x y − = −   − + =  b) ;

3 = +

x y x y

x y + −  =     c) 15 ; y x x y  − =   − + =  d) . 2 x y x y x y x +  = + +   −  = − 

7 Giải hệ phương trình sau:

a) ( ) ( )

( ) ( )

2

;

5

x y x y

+ + − =



 + − − =

 b)

( )( )

( 12)( 31) 278 =

x y xy

 − + = +

 − + +



a)

1

+ =

; = x y x y  −    −  b) 1

3 12

; 15 x x y x x y  + =  + +    + =  + + 

c) 18;

3 10

x y

 + + =



 + + =

 d)

7

3

7

5

6 = =2 x y x y  −  − +    +  − + 

3 x by bx ay + = −   − = −

 Xác định hệ số a b, biết hệ phương trình:

a) Có nghiệm (1; 2− ) b) Có nghiệm ( 1; 2− )

10 Cho đường thẳng d mx: −2ny= −3 Tìm giá trị tham số m n để 4m−5n=3 d đi qua điểm I(−5;6)

(16)

2 1 2

3

2

2 2

4

x y x y

x y

+ + − +

 − =



 − −

 − = − + −



cũng nghiệm phương trình 6mx−5y=2m−

BÀI 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN CHỨA THAM SỐ

Cho hệ phương trình bậc hai ẩn

' ' '

+ =



 + =

 (*)

1 Để giải hệ phương trình (*), ta thường dùng phương pháp phương pháp cộng

đại số

2 Từ hai phương trình hệ phương trình (*), sau dùng phương pháp

phương pháp cộng đại số, ta thu phương trình (một ẩn) Khi số nghiệm phương trình số nghiệm phương trình cho

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Giải biện luận hệ phương trình

Phương pháp giải: Để giải biện luận hệ phương trình (*), ta làm sau:

Bước Từ hai phương trình (*), sau dùng phương pháp cộng đại số, ta thu phương trình (chỉ cịn ẩn)

Bước Giải biện luận phương trình mới, từ đến kết luận giải biện luận hệ phương trình cho

*Chú ý: Số nghiệm hệ phương trình (*) số nghiệm phương trình

1A Cho hệ phương trình

1

x my m

mx y m

+ =



 + = −

 (m là tham số)

a) Giải hệ phương trình m=

b) Tìm giá trị m để hệ phương trình:

i) Có nghiệm Tìm nghiệm đó; ii) Vô nghiệm;

iii) Vô số nghiệm

c) Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm ( )x y; : i) Hãy tìm giá trị m nguyên để x y nguyên

(17)

4

mx y m

x my m

− = 

 − = +

a) Giải hệ phương trình m=1

b) Giải biện luận hệ phương trình cho theo m

c) Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm ( )x y : ; i) Hãy tìm giá trị m nguyên để x y nguyên

ii) Chứng minh 2x+ =y với giá trị m;

iii) Tìm giá trị m để: 6x−2y=13

Dạng Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải: Một số toán thường gặp dạng toán là:

Bài tốn Tìm điều kiện ngun tham số để hệ phương trình có nghiệm ( )x y , ; trong x y số ngun

Bài tốn Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm ( )x y;

thỏa mãn hệ thức cho trước

2A Cho hệ phương trình

5

mx y

x my m

− = −



 − = −

a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

b) Tìm m ngun để hệ phương trình có nghiệm ( )x y cho x y ; nguyên

2B Cho hệ phương trình 2

2 4

mx y

x my m

+ = 

 + = −

a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

b) Tìm giá trị m ngun để hệ phương trình có nghiệm ( )x y cho x y ; nguyên

4

mx y

x my + = 

 + =

 (m tham số) Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình có nghiệm ( )x y th; ỏa mãn điều kiện x>2 y>0

3B Cho hệ phương trình

2

mx y

x my

− = 

 + =

(18)

4A Cho hệ phương trình ( 1)

2

m x my m

x y m

 − − = −

 − = +

b) Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình có nghiệm ( )x y cho ; biểu thức S =x2+y2 đạt giá trị nhỏ

3

mx y

− + =



 + =

a) Giải hệ phương trình m=1;

b) Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình có nghiệm ( )x y; thỏa mãn x− =y

Dạng Bài toán tổng hợp

5A Cho hệ phương trình: 2

8

mx y

x my m

+ = 

 + = +

a) Giải hệ phương trình m= −1

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( ) (x y; = 2; − ) c) Giải biện luận hệ phương trình theo m

d) Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm ( )x y : ; i) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc m

ii) Tìm giá trị m để 4x+3y= 7; iii) Tìm giá trị m để x− >y 0;

iv) Tìm giá trị m để biểu thức P= y2−2x đạt giá trị nhỏ

5B Cho hệ phương trình: 2

x y

mx y m

+ =



 − =

b) Tìm m để hệ phương trình nhận cặp ( ) (x y; = 2; 1− làm nghiệm ) c) Giải biện luận hệ phương trình theo m

d) Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm ( )x y; :

i) Chứng minh x+2y− = với giá trị m 2

ii) Tìm giá trị m để ( )x y; âm; iii) Tìm giá trị m để x y >0;

(19)

6 Cho hệ phương trình

1

+ = −



 + = + 

mx y m

x my m

(m là tham số) Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình;

7 Cho hệ phương trình ( 1)

4

 − + =



− = − 

x m y

x y (m tham số) Tìm giá trị m ngun để hệ phương trình có nghiệm ( )x y; sao cho x y nguyên

1

− = −



 + =



x my m

mx y

(m tham số) Tìm giá trị m ngun để hệ phương trình có nghiệm ( )x y cho x y nguyên ;

2

mx y

x my − = 

 + =

a) Giải biện luận hệ phương trình cho;

b) Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình có nghiệm ( )x y th; ỏa mãn

2

1

2 m x y

m + = −

+

10* Cho hệ phương trình

( 1) 21

mx my m

x m y

+ = +



 + + =

a) Giải biện luận hệ phương trình cho;

b) Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm ( )x y , g; ọi M x y ( ); điểm tương ứng với nghiệm ( )x y c; hệ phương trình

i) Chứng minh M nằm đường thẳng cố định m thay đổi

ii) Tìm giá trị m để M thuộc góc phần tư thứ nhất;

(20)

BÀI 6: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

Các bước giải toán cách lập hệ phương trình Bước Lập hệ phương trình:

- Chọn ẩn số đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho ẩn số;

- Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết;

- Lập hệ phương trình biểu thị tương quan đại lượng Bước Giải hệ phương trình vừa tìm

Bước Kết luận

- Kiểm tra xem nghiệm hệ phương trình, nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn

- Kết luận toán

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Bài tốn chuyển động

Phương pháp giải: Một số lưu ý giải toán chuyển động vật:

1 Với ba đại lượng tham gia quãng đường (s), vận tốc (v), thời gian (t), ta có cơng

thức liên quan ba đại lượng s, v t là:

s=v t

2 Khi vật chuyển động mặt nước ta có:

xuoi thuc nuoc

v =v +v

nguoc thuc nuoc

v =v −v

1A Một ô tô dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy nhanh

hơn 10km đến nơi sớm dự định giờ, xe chạy chậm lại 10km đến nơi chậm Tính vận tốc xe lúc đầu, thời gian dự định chiều dài quãng đường AB

1B Một ô tô quãng đường AB với vận tốc 50km/giờ, tiếp quãng đường BC với vận tốc

45km/giờ Biết quãng đường tổng cộng dài 165km thời gian ô tô qng đường AB hơn thời gian tơ quãng đường BC 30 phút Tính thời gian ô tô đoạn đường

2A Một canô chạy sông giờ, xi dịng 108km ngược dịng 63km Một lần

(21)

2B Một canô xuôi dịng theo khúc sơng ngược dòng

giờ, 380km Một lần khác, canơ xi dịng ngược dòng vòng 30 phút 85km Hãy tính vận tốc thật (lúc nước n lặng) canơ vận tốc dòng nước (biết vận tốc thật canơ vận tốc dịng nước hai lần nhau)

3A Hai người khách du lịch xuất phát đồng thời từ hai thành phố cách 38km Họ

ngược chiều gặp sau Hỏi vận tốc người, biết đến gặp nhau, người thứ nhiều người thứ hai 2km?

3B Một khách du lịch ô tô giờ, sau tiếp tàu hỏa quãng

đường dài 640km Hỏi vận tốc tàu hỏa ô tô, biết tàu hỏa nhanh ô tô 5km?

Dạng Bài toán suất lao động

Lưu ý: Tổng sản phẩm = thời gian x số sản phẩm đơn vị thời gian

4A Một tổ sản xuất theo kế hoạch phải làm 500 sản phẩm số quy định Khi làm

xong 250 sản phẩm đầu tiên, tổ định làm thêm sản phẩm so với quy định Vì tổ hồn thành cơng việc sớm so với qui định làm thêm 20 sản phẩm Tính thời gian làm số sản phẩm làm theo qui định

4B Một đội công nhân theo kế hoạch ngày làm 400 chi tiết máy Do cải tiến kĩ thuật nên

mỗi ngày làm 520 chi tiết máy đội khơng xong kế hoạch trước hai ngày mà làm thêm 40 sản phẩm Tính thời gian làm tổng số chi tiết máy mà đội công nhân phải làm theo kế hoạch

Dạng Bài toán làm chung, làm riêng công việc

Phương pháp giải: Một số lưu ý giải toán làm chung, làm riêng cơng viêc:

1 Có ba đại lượng tham gia vào tốn:

- Tồn công việc;

- Phần công việc làm đơn vị thời gian (năng suất);

- Thời gian hồn thành phần tồn cơng việc

2 Nếu đội làm xong công việc x ngày ngày đội làm 1

x công việc, a ngày làm a

x công việc

4 Thường coi tồn cơng việc

5A Hai bạn A B làm chung công việc hồn thành sau ngày Biết

làm xong cơng việc B làm lâu A ngày Hỏi a) A, B làm xong việc?

(22)

5B Hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước sau 55 phút đầy bể Nếu để

chảy vịi thứ chảy đầy bể nhanh vịi thứ hai a) Tính thời gian vịi chảy đầy bể

b) Hỏi vịi thứ chảy đóng lại vịi hai chảy đầy bể

6A Hai đội xe chở cát để san lấp khu đất Nếu hai đội làm 18 ngày xong

cơng việc Nếu đội thứ làm ngày, sau đội thứ hai làm tiếp ngày 40%

cơng việc Hỏi đội làm xong cơng việc?

6B Hai vịi nước chảy vào bể sau 48 phút bể đầy Nếu vòi I chảy

giờ, vịi II chảy hai vịi chảy

4 bể Tính thời gian vịi chảy đầy bể

Dạng Bài toán tỉ số phần trăm

Phương pháp giải: Chú ý rằng, gọi số sản phẩm x số sản phẩm vượt mức a%

là (100+a)% .x

7A Hai xí nghiệp theo kế hoạch làm tổng cộng 360 dụng cụ Trên thực tế, xí nghiệp vượt

mức 12%, xí nghiệp vượt mức 10% hai xí nghiệp làm tổng cộng 400 dụng cụ

Tính số dụng cụ xí nghiệp phải làm

7B Trong tuần đầu hai tổ sản xuất 1500 quần áo Sang tuần thứ hai, tổ A vượt mức 25%, tổ B giảm mức 18% nên tuần hai tổ sản xuất 1617 Hỏi tuần

đầu tổ sản xuất bao nhiêu?

Dạng Bài tốn có nội dung hình học

Phương pháp giải: - Với hình chữ nhật:

Diện tích = Chiều dài x Chiều rộng Chu vi = (Chiều dài + Chiều rộng) x - Với tam giác:

Diện tích = (Đường cao x Cạnh đáy) : Chu vi = Tổng độ dài ba cạnh

8A Một tam giác có chiều cao

4 cạnh đáy Nếu chiều cao tăng thêm 3dm cạnh đáy giảm 3dm diện tích tăng thêm

12dm Tính chiều cao cạnh đáy tam giác

8B Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 48m Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần

(23)

Dạng Bài toán quan hệ số

Phương pháp giải: Ta sử dụng số kiến thức liên quan sau đây:

1 Biểu diễn số có hai chữ số ab=10a+ b trong a chữ số hàng chục 0< ≤a 9,

a∈ , b là chữ số hàng đơn vị 0≤ ≤b 9,b∈ 

2 Biểu diễn số có ba chữ số abc=100a+10b+ c trong a chữ số hàng trăm

0< ≤a 9, a∈ , b là chữ số hàng chục 0≤ ≤b 9,b∈ , c là chữ số hàng đơn vị

0≤ ≤c 9, c∈ 

9A Cho số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số số lớn số

cho 63 Biết tổng số cho số tạo thành 99, tìm số cho

9B Cho số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số cho số nhỏ số

cũ 18 Biết tổng số cho số 176, tìm số cho

10A Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị 2,

viết xen chữ số vào chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị số tăng thêm 630 đơn vị

10B Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng đơn vị lớn chữ số hàng chục đơn

vị, viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục hàng đơn vị số tăng thêm 460 đơn vị

Dạng Bài toán thay đổi thừa số tích

11A Một ô tô từ A đến B với vận tốc thời gian dự định Nếu ô tơ tăng vận tốc 8km h / đến B sớm dự định Nếu ô tô giảm vận tốc 4km h / thì đến B chậm dự định 40 phút Tính vận tốc thời gian dự định

11B Trong hội trường có số băng ghế, băng ghế quy định số người

Nếu bớt băng ghế băng ghế ngồi thêm người thêm chỗ Nếu thêm băng ghế băng ghế ngồi bớt người giảm chỗ Tính số băng ghế hội trường

12 Hai xe máy khởi hành lúc từ hai tỉnh A B cách 90km, ngược chiều

gặp sau 1, (xe thứ khởi hành từ A, xe thứ hai khởi hành từ B) Tìm vận tốc mỗi xe Biết thời gian để xe thứ hết quãng đường AB thời gian để xe thứ hai hết quãng đường AB

13 Hai địa điểm A B cách 200km Cùng lúc có tơ từ A xe máy

từ B Xe máy ô tô gặp C cách A khoảng 120km Nếu ô tô khởi hành sau xe máy giờ gặp D cách C khoảng 24km Tính vận tốc xe máy ô tô

14 Một canô ngược dòng từ bến A đến bến B với vận tốc riêng 20km/giờ, sau lại xi từ

(24)

15 Có hai phân xưởng, phân xưởng I làm 20 ngày, phân xưởng II làm 15 ngày

được 1600 dụng cụ Biết số dụng cụ phân xưởng I làm ngày số dụng cụ phân xưởng II làm ngày Tính số dụng cụ phân xưởng làm

16 Hai vịi nước chảy chung vào bể khơng có nước 12 đầy bể Nếu để

vịi thứ chảy khóa lại mở tiếp vịi thứ hai chảy 15 75% thể tích bể Hỏi vịi chảy đầy bể?

17 Hai cơng nhân nếu làm chung hồn thành cơng việc ngày Người thứ

làm nửa công việc, sau người thứ hai làm nốt nửa cơng việc cịn lại tồn cơng việc hồn thành ngày Hỏi người làm riêng hồn thành cơng việc ngày?

18 Trong một kỳ thi, hai trường ,A B có tổng cộng 350 học sinh tham dự thi Kết hai trường có 338 học sinh trúng tuyển Tính trường A có 97% trường B có 96% số học sinh trúng tuyển Hỏi trường có học sinh dự

19 Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720 m2, tăng chiều dài thêm 6 m giảm chiểu rộng 4 m diện tích mảnh vường khơng đổi Tính kích thước mảnh vườn

20 Một ruộng hình chữ nhật, tăng chiều dài thêm 2 m chiều rộng 3m diện tích

tăng

100 m Nếu giảm chiều dài chiều rộng 2 m diện tích giảm 68 m Tính 2

diện tích ruộng

21 Trong một buổi văn nghệ phịng họp có 320 ghế ngồi, số người tới dự hơm

420 người Do phải đặt thêm dãy ghế thu xếp dãy ghế thêm người đủ Hỏi lúc ban đầu phịng có dãy ghế

22 Người ta trộn 4kg chất lỏng loại I 3kg chất lỏng loại II hỗn hợp có khối

lượng riêng

(25)

ÔN TẬP CHƯƠNG III

I TĨM TẮT LÍ THUYẾT

Xem phần tóm tắt lý thuyết từ Bài đến Bài chương

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN

2

x my

x y

+ =



 − =

 (m tham số)

a) Giải hệ phương trình với m=3

b) Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình:

i) Có nghiệm

ii) Vô nghiệm

3

mx y x my

− = 

 + =

 (m tham số)

a) Chứng minh hệ phương trình cho có nghiệm với giá trị tham số m

b) Gọi ( )x y nghi; ệm hệ phương trình Tìm giá trị m để:

i)

2

1

3 m x y

m + = −

+ ii)

0

0 x y

>   <



2

x my m

mx y m

+ = +



 + =

 (m tham số)

a) Giải biện luận hệ phương trình cho theo tham số m

b) Tìm giá trị nguyên m để hệ phương trình có nghiệm ( )x y v; ới x y số nguyên

c) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m

3

x y m

x my

+ =



 + =

 (m tham số)

a) Giải hệ phương trình với m= −3

b) Giải biện luận hệ phương trình cho

c) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm ( )x y th, ỏa mãn 3x+4y= −

(26)

3A Hai người làm cơng việc trịn 12 phút xong cơng việc Nếu người

thì làm giờ, người thứ hai làm 50% cơng việc Hỏi người làm xong

3B Một đội xe vận tải phải vận chuyển 28 hàng đến địa điểm quy định Vì đội

có xe phải điều làm việc khác nên xe phải chở thêm 0,7 hàng Tính số xe đội lúc đầu

4A Một cano xi dịng từ A đến B với vận tốc xi dịng 30km h/ , sau lại ngược từ B A Thời gian xi thời gian ngược 20 phút Tính khoảng cách A B biết vận tốc dòng nước 5km h/ vận tốc riêng cano xuôi ngược dòng

4B Một cano chạy dịng sơng giờ, xi dịng 81km ngược dòng 105km Một

lần khác chạy khúc sơng đó, cano chạy giờ, xi dịng54km ngược

dịng 42 km Hãy tính vận tốc xi dịng vận tốc ngược dòng cano, biết vận tốc dòng nước vận tốc riêng cano không đổi

5A Bạn Tuấn vào hàng bách hóa hỏi mua đôi giầy quần áo thể thao, giá tiền

tổng cộng 148 000 đồng Một tuần sau trở lại, giá đôi giày giảm 20% giá quần áo giảm 40% Bạn Tuấn đưa cô bán hàng 110 000 đồng; cô bán hàng trả lại bạn Tuấn

8900 đồng Hỏi giá tiền đôi giày, giá tiền quần áo thể thao chưa giảm giá bao

nhiêu?

5B Tháng thứ hai tổ sản xuẩn 900 chi tiết máy Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%,

tổ II vượt 10% so với tháng thứ Vì hai tổ sản xuất 1010 chi tiết máy Hỏi tháng thứ tổ sản xuất chi tiết máy

2

mx y

x y

+ = 

 − =

 (m tham số)

b) Tìm m để hệ có nghiệm ( )x y cho ; x y, nguyên dương

2

x y m

x y

+ =



 − =

 (m tham số)

b) Tìm m để hệ có nghiệm ( )x y cho ; x>0,y>

8 Cho hệ phương trình ( 1)

( 1)

a x y a

x a y

− + =



 + − =

 (a tham số)

(27)

b) Tìm m để hệ có nghiệm ( )x y cho ; x>0,y> b) Trong trường họp hệ có nghiệm ( )x y tìm: ,

i) Hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào a

ii) Các giá trị a để x y, thỏa mãn 6x2−19y=

2

x y m

 − = +

 

− = +

 (m tham số không âm)

b) Tìm giá trị m cho biểu thức P x y= + đạt giá trị nhỏ

10 Cho hệ phương trình 10

4

mx y m

x my

+ = −



 + =

 (m tham số)

a) Giải hệ phương trình m=

b) Giải biện luận nghiệm phương trình cho theo tham số m

c) Trong trường hợp hệ có nghiệm nhất( )x y tìm giá tr; ị m để:

i) y−5x= − ii) x<1 y>

Giải toán sau cách lập hệ phương trình

11 Một người xe máy từ A đến B cách 120 km với vận tốc định trước Sau

3 quãng đường AB người đo tăng thêm 10km h / qng đường cịn lại Tìm vận tốc dự định thời gian lăn bánh đường, biết người đến sớm dự định 24 phút

12 Một người dự định xe đạp từ A đến B cách 36 km thời gian định Sau nửa quãng đường người dừng lại nghỉ 18 phút Do đó, để đến B hẹn

người tăng thêm 2km h / qng đường cịn lại Tính vận tốc ban đầu thời gian xe lăn bánh đường

13 Một công nhân dự định làm 150 sản phẩm thời gian định Sau làm

2 với suất dự tính, người tăng suất sản phẩm người hồn thành 150 sản phẩm sớm dự tính 30 phút Hãy tính suất dự kiến ban đầu

14 Để hoàn thành công việc, hai tổ phải làm việc chung giờ, sau tổ hai bị

điều làm việc khác, tổ hoàn thành nốt cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ làm riêng sau hồn thành cơng việc

15 Co hai loại quặng chứa 75% sắt 50% sắt Tính khối lượng loại quặng đem trộn

(28)

16 Một ruộng hình tam giác 180 m Tính chi2 ều dài cạnh đáy ruộng, biết tăng cạnh đáy thêm 4 m chiều cao giảm 1m diện tích khơng đổi

17 Một ruộng hình chữ nhật có diện tích 100 m 2 Tính độ dài cạnh ruộng, biết tăng chiều rộng ruộng thêm 2 m giảm chiều dài ruộng

5 m diện tích ruộng tăng thêm 5 m 2

18 Tìm hai số biết tổng chúng 17 tổng bình phương số 157

19 Có ba thùng dầu chứa tất 80 lít dầu thùng thứ chứa nhiều thùng thứ hai 10 lít

Nếu đổ 26 lít từ thùng thứ sang thùng thứ 3, số dầu từ thùng thứ hai thùng thứ ba Hỏi số dầu thùng thứ thùng thứ hai?

20 Trong một phịng học có số ghế dài Nếu xếp ghế người có người khơng có

(29)

ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG III

Thời gian làm 45 phút

ĐỀ SỐ

PHẦN I TRẮC NGHIỆM

Khoanh tròn vào câu trả lời

Câu 1: Tập nghiêm tổng quát phương trình 5x+0y=4 là:

A x

y =   ∈

  B

4 x y

= −   ∈

  C

x y

∈   = 



D

4 x y

∈   = − 



Câu 2: Phương trình kết hợp với phương trình x− = y để hệ phương trình bậc ẩn có vơ số nghiệm

A 2y=2x− B y= + x C 2y= −2 2x D y=2x−

Câu 3: Hệ phương trình

4

x y x y

− = 

 − =

 có nghiệm là:

A (2; 3− ) B ( )2;3 C ( )0;1 D (−1;1)

Câu 4: Phương trình sau gọi phương trình bậc hai ẩn:

A xy+ = x B 2x− = y C x2+2y= 1 D x+ =3

PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)

Bài 1: (2đ) Giải hệ phương trình sau:

a)

2 15

x y

− =



 + =

 b)

3

4

1

2

3

1

x y

 + =

 + −

 

 + =

 + −



Bài 2: (2, 5đ) Giải toán cách lập hệ phương trình:

Tìm số tự nhiên gồm hai chữ số, biết tổng chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số số nhỏ số cho 18 đơn vị

Bài 3: (3, 5đ) Cho phương trình x+my= + với m m tham số

a) Với m=1, tìm nghiệm tổng quát vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình hệ trục tọa độ

b) Tìm m để phương trình cho phương trình 2x− = khơng có nghiy ệm chung

(30)

ĐỀ SỐ

PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2Đ)

Câu 1: Cho hai đường thẳng :d y=2x+ :5 d y′ =ax+ Ta có / /5 d d′ d′ có phương trình là:

A y=3x+ B y=5x+51 C y= − + 2x D Cả sai Câu 2: Phương trình 4x−3y= −1 nhận cặp số sau nghiệm:

A (1; 1− ) B (− − 1; 1) C ( )1;1 D (−1;1)

Câu 3: Với giá trị k phương trình x−ky = − nh1 ận cặp số ( )1; làm nghiệm

A k= B k = C k= − 1 D k =

Câu 4: Với giá trị a hệ phương trình

2

y ax y

= +



 + =

 vô nghiệm

A a= B a= C a= 2 D a=

PHẦN II TƯ LUẬN (8Đ)

Bài 1: (3, 0đ) Giải hệ phương trình sau:

a) ( )( )

( )( )

1 1

3 3

x y xy

+ − = −

 

− − = −

 b)

( )

2

2 1

x y

 − − =

 

+ + =



c)

15

9

4

35

x y

x y  − = 



 + = 

Bài 2: (3đ) Giải toán cách lập hệ phương trình:

Hai đội xe chở cát để san lấp khu đất Nếu hai đội làm 18 ngày xong cơng việc Nếu đội làm ngày, sau đội thứ hai làm ngày 40% cơng việc Hỏi đội làm xong công việc?

Bài 3: (2đ) Cho hệ phương trình ( )

( )

1

a x y a

x a y

− + =

 

+ − =

 có nghiệm ( )x y (; a tham số)

a) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào a

(31)

CHƯƠNG IV HÀM SỐ 2( )

0

= ≠

y ax a

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

BẦI HÀM SỐ y=ax2(a≠0) VÀ ĐỒ THỊ

1A a) Với 3, = −

m ta có hàm số y= −2 x 2

i) Tìm f ( )− = −2 8; f ( )0 =0; f (3 2− )= − +34 24

ii) Ta có f a( )= − +6 2⇔ = ±a ( − )

iii) Ta có f b( )≥4b+ ⇒ −6 2b2 ≥4b+6 Từ tìm b∈∅

b) i) Thay toạ độ điểm A với =

x

3 =

y vào phương trình y=(2m+1)x 2 Tìm

1 = m

ii) Do (−2;1) nghiệm HPT

2

+ = − 



− =

 x y

x y nên thay x= −2 y=1 vào phương trình

hàm số ta = − m

1B Tương tự 1A

a) i) Tìm f ( )− =3 27;f ( )2 =24,f (1 3− )=39 12 3.−

ii) Ta có a= ±( + ) iii) Ta có b≥ +1 b≤ −1

b) Tìm

2 = −

m

c) i) 5; =

m ii) m=1

2A a) Tính S( )3 =36 ;m S( )5 =100m

⇒ Vật cách mặt đất sau thời gian giây 100−S( )3 =64m sau thời gian giây m

b) Ta có 4t2 =100 Tìm t =5(s)

(32)

a) Ta có S( )4 =130( )m b) t =5( )s

3A a) Ta có 3m+ <2 Từ tính < − m

b) Ta có 3m+ >2 Từ tính > − m

a)

3 <

m b)

3 <

m

4A a) Ta có a= −m2−2m− = −3 (m+1)2− < ∀ ⇒2 0, m ĐPCM

b) Ta có ( 2 3)1 11

4

−m − m− = − Tìm m∈ −{ 4; }

4B a) Ta có

2

 − − >

 

− ≥ 

m

m Từ tìm

7 > m

b) Ta có 2m− − =3 2 Tìm 19 =

m

5A a) Từ A(− 2; 4)∈( )P , tìm a=2

b) i) Đồ thị hàm số

2 =

y x HS tự vẽ hình

ii) Thay toạ độ điểm PT ( )P ta điêu A C, thuộc ( )P ; điểm B không thuộc ( )P

iii) Các điểm nằm ( )P có tung độ nên ta có 2=2x2 ⇒ = ±x

Tìm hai điểm ( ) (1; , −1; )

iv) Có ( ) ( )

0; ∈ ⇒ =2

M x y P y x M các Ox Oy, nên ta có

2 = ⇒ = ±2

x y x x Tìm 0 0; ;1

2

 

∈ − 

 

x

Vậy điểm cần tìm 1( )0;0 , 2 1; 2

 

 

 

M M 3 1;

2

− 

 

 

M

(33)

a) = m

b) i) HS tự vẽ

ii) Điểm A C, không thuộc ( )P ; điểm B thuộc ( )P

iii) 1;1

 

 

  iv) ( ) (0;0 , 6;12 )

6A a) Đồ thị ( )P d HS tự vẽ hình

b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( )P d : 2x2 = +x Tìm x=0

=

x Vậy giao điểm ( )1; , 1; 2

− 

 

 

c*) Dựa đồ thị, ta thấy 1

− < <x nghiệm bất phương trình 2x2− − <x

a) HS tự làm b) Ta có ( )0;0 , 1;

 

 

  c

*)

0 ≤

x ≥ x

7A.Tương tự 5A

a) HS tự làm

b*) Ta có 2x2 =2m−3.Đường thẳng d y: =2m−3 song song với trục hoành Dựa vào đồ thị, ta có:

 Với

2

m= : Phương trình có nghiệm x=0

 Với

2

m> : Phương trình có hai nghiệm 1,2 m

x = ± −

 Với

2

m< : Phương trình vơ nghiệm

a) HS tự vẽ đồ thị hàm số 2 y= x

(34)

Với m>2 : Phương trình có hai nghiệm x1,2 = ± 2m−

Với m<2 :Phương trình vơ nghiệm

8 Tương tự 1A

a) i) Tìm m=5 ii) Tìm 13

m= ± iii) Tìm

3 m= ±

b) Tìm

4 m= −

9 Tương tự 2B

a) Ta có S( ),5 =2, 25( )m ⇒ heo cách mặt nước sau 1,5 giây 1, 75 mét b) Tính t =2 giây

a) Ta có m2+2m+ > =3 (m+1)2+ > (ln đúng)

b) Ta có m2+2m+ =3 Tìm

1

m m

 = − + 

= − −



a) Tìm

3 m

− ≤ < b) Tìm

3 m>

a) HS tự làm

b) Toạ độ giao điểm ( )P d ( )0;0 9;

 

 

 

c*) Tính x

≤ ≤

13 a) Hai giao điểm O( )0;0 1; M 

 

b) Tìm N( )1;1 c) Khơng tồn giao điểm

d) Ta có

2

4;

2 m

K− −m − − m− 

 

2

4 ;

2 m

H −m − + m− 

(35)

14 a) Tìm a=1

b) Ta có d qua O nên d y: =mx. Vì d qua N( )2; nên 4=2 m Tìm m=2

Vậy d y: =2 x

d) Xét phương trình hồnh độ giao điểm

2

x = x Tìm

2 x x

=   =

 Vậy toạ độ giao điểm

( )P d là: ( )0;0 ( )2;

BÀI CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1A a) Ta có 5x2−7x= ⇔0 x x(5 −7)= Tìm 0;7 x∈  

 

b) Ta có −3x2+ = ⇔9 x2 =3 Tìm x= ±

c) Ta có x2−6x+ = ⇔5 (x−1)(x− = Tìm 5) x∈{ }1;5

d) Ta biến đổi thành x ( + 2)2 = 11 Tìm 33 x=− ±

e) Ta có: ( )

2

4 12

x + x+ = ⇔ x+ =

Tìm x= −2

g) Ta có ( )

2

x + x+ = ⇔ x+ = − ( vơ lí)

PT vơ nghiệm

a) Tìm x={2 3;0} b) Vơ nghiệm

c) Tìm x= − d) Tìm 37

2 x= ±

e) Tìm 11

2

x= − ± g) Vô nghiệm

2A Thay x = 2vào phương trình ta có x=4 2m 2− −2 10m2 =0 Tìm 11 x= ±

(36)

3A a) Ta có a = 2, b = −3, c = −5 Tính D 49 0= >

Phương trình có hai nghiệm phân việt: 1,2

5 1;

2

b

x x

a

− ± ∆  

= ⇒ ∈ − 

 

b) ta có a = 4, b =4 3, c= Tính ∆ = Ta tìm x= −

c) Ta có a=2, b=2, c= −1 Tính ∆ =

Phương trình có nghiệm phân biệt 1,2

2

4

x = − ± = − ±

d) Ta có a = 1, b = 3, c = Tính ∆ = − 17 < Phương trình vơ nghiệm

3B Tương tự 3A

a) Tìm x∈{6; 5− } b) Tìm x = −

c) Tìm 1,2

1

x = ± d) Tìm x ∈∅

4A Tương tự 3A

a) Tìm 5;

2

x∈  − − − 

 

  b) Tìm

2 x=

c) Tìm

3

,

3

x = x = − d) Tìm x ∈∅

4B Tương tự 3A, 4A

a) Tìm 1,2

11

x =− ± b) Tìm x ∈∅

c) Tìm x∈{ }2; b) Tìm

3 x=

5A a) Ta có a=4, b= −4, b '= −2, c= −

Tính ' 16 0.∆ = > Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1,2

' '

; 2 b

x x

a

− ± ∆  

= ⇔ ∈ − 

(37)

b) Ta có a=1, b=8 3, b '=4 3, c=48 Tính ' 0∆ =

Phương trình có nghiệm kép x1=x2 = −4

c) Ta có a =1, b=2 2, 'b = 2,c=6 Tính ' 8.∆ =

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x∈{ 2; − }

d) Tìm x ∈∅

a)

3

x= b) x= c) x∈{ }4; d) x∈∅

6A Tương tự 5A

a)x∈ +{4 5; 4− +2 5} ) b x= −

3

) 1;3

3 c x∈ − − − 

 

  d x) ∈∅

6B Tương tự 5A

a) x∈{ 5−3 5} b) x= −2

c) x∈ − − −{ 1; 5} d) x∈∅

7A Xét ∆ =' (m−1)2− −m m( − = + 3) m

a) Phương trình có nghiệm phân biệt 0 m≠ 

⇔ ∆ >

 Tìm m≠0,m> −

b) Xét m≠ Phương trình có nghiệm kép

'

m

m ≠



⇔ = −

∆ = 

c) Tương tự, ta tìm m< − d) Tìm m 0; m= = −

e) Tìm m≥ −

(38)

a) Tìm 1,

m> − m≠ b) Tìm m= −

c) Tìm

4

m< − d) Tìm 2;

m= m= −

e) Tìm

4 m≥ −

8A Ta có ∆ =(b− −c a b)( − +c a b)( + +c a) Từ chứng minh ∆ <

8B Ta có 2

2 2

a b c ab bc ca

∆ = + + − − −

Vì a< + ⇒b c a2 <ab+ca Tương tự ta có b2<ab+bcvà c2 <ca+bc

Từ suy ∆ <

9A a) Gọi x0 nghiệm chung hai phương trình

Ta biến đổi (1 m x+ ) 0 =m 1+ Tìm m= − m 21 =

b) Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Hai phương trình vơ nghiệm 2,

m −

⇒ − <

Trường hợp 2: Hai phương trình có nghiệm tập nghiệm giống

1 m

⇒ = − Vậy

4

m −

− < < hai phương trình tương đương

a) Tìm a ∈∅ b) Tìm

4< <a

a) Tìm 17

2 x∈  ± 

 

  b) Tìm

4 x= ±

c) Tìm 1;

2

x∈ − 

  d) Tìm

2003 1;

2018 x∈ − 

 

11 Tương tự 2A Tìm 2; 18 m∈ − 

 

(39)

a) i) 17 24

m> − ii) 17 24

m= − iii) 17

24 m< −

iv) m∈∅ v) 17

25 m≥ −

b) Ta có ∆ =24m+17

* 17

24 m

∆ < ⇔ < − , PT vô nghiệm

* 17

24 m

∆ = ⇔ = − , PT có nghiệm kép 1 2

4 m x =x = +

* 17

24 m

∆ > ⇔ > − , PT có hai nghiệm phân biệt 1,2 24 17

m m

x = + ± +

13 Gọi x nghi0 ệm hai phương trình Ta có: (a−c x) o = − d b

Nếu a≠cthì x0 d b a c

− =

− Thay x0vào phương trình ta ĐPCM

Nếu a =c b=d⇒ĐPCM

14 Ta có ∆ + ∆ =1 2 a2+b2−4(a+b) Từ 1 1

2 a b 2ab

a+ = ⇒ + =b

Từ ta có ∆ + ∆ =1 2 (a b− )2 ≥ ⇒ ĐPCM

15 Tương tự 9A

a) Tìm m 2= m = − b) Tìm 13 < <m 2

BÀI 3: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

1A Ta có: ∆ =13> ⇒Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x x 1, 2

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có

1

5

x x

x x

+ =



 =



a) Ta có : A=x12+x22 =(x1+x2)2−2x x1 2 =52−2.3 19=

b) Ta có : B=x13+x23=(x1+x2)3−3x x1 2(x1+x2)=53−3.3.5=80

c) Ta có : C = x1 + x2

2 2

( ) 2 25

C x x x x x x x x x x C

(40)

d) Ta có D= x1−x2 = (x1+x2)2−4x x1 2 = 52−4.3 = 13

1B Tương tự 1A

a) Ta có : 25

6

M = − b) Ta có : 13

14 N =

c) Ta có : 49

4

P= − d) Ta có : 17

12 Q= −

2A a) Ta có ∆ =' (m−3)2 ≥ ∀ ⇒ Phương trình có hai nghiệm 0, m x x v1, 2 ới m

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

1

2

x x m

x x m

+ = −



 = −



Biểu thức liên hệ x x không ph1, 2 ụ thuộc vào m : x1+ −x2 x x1 2 =

Phương trình có hai nghiệm x x v1, ới m

Biểu thức liên hệ x x không ph1, 2 ụ thuộc vào m : 2(x1+x2)+x x1 2 = −

3A a) Ta có: 15 ( 17) 1 1, 2 ; 15

a+ + =b c + − + = ⇒x = x =

b) Ta có : 1230 ( 4) ( 1234) 1 1, 2 1234;

1230

a b− + =c − − + − = ⇒ x = − x =

c) Ta có : a+ + =b c (2− 3)+2 3+ − −( 3)= ⇒0 x1 =1,x2 = − −7 3;

d) Ta có : ( 5) ( 2) 1 1, 2

5

a b− + =c − − + + − = ⇒ x = − x =

a) Ta có 1 1, 2 2;

x = x = b) Ta có 1 1, 2 32;

23 x = − x =

c) Ta có 1 1, 2 1979; 1975

x = x = − d) Ta có 1 1, 2 198

311 x = x =

4A a) Thay x= − vào phương trình ta tìm được: m= −

Với m= − , ta có 2

2 x

x x

x = 

+ − = ⇔  = −

(41)

b) Ta thấy a+ + =b c (m− + −2) ( 2m− + + = 5) m

⇒ Phương trình ln có nghiệm x= không phụ thuộc vào m 1

c) Với m= : Phương trình có nghiệm x=

Với m≠ : Phương trình có hai nghiệm x= m x

m + =

−

4B a) Tìm

9

m= tìm nghiệm x x

=   = −



b) Thay x= − vào phương trình cho, ta có:

2

(2m− −1)( 2) +(m−3)( 2) 6− − m− = (luôn đúng) ⇒ ĐPCM

c) Với

m= : Phương trình có nghiệm x= −

Với

2

m≠ : Phương trình có hai nghiệm 2;3

2

m x

m +

 

∈ − 

−

 

5A a) Ta có ,u v hai nghiệm phương trình sau:

{ }

2 12

15 36 ( , ) (12;3), (3;12)

3 X

X X u v

X = 

− + = ⇔  = ⇒ ∈



b) Ta có: ( )2 2 13 2.6 25

5 u v

u v u v uv

u v + = 

+ = + + = + = ⇔ 

+ = − 

* Với u+ = ta có ,v u v hai nghiệm phương trình sau:

2

5

3 X

X X

X = 

− + = ⇔ 

= 

* Với u+ = ta có ,v u v hai nghiệm phương trình sau:

2

5

3 X

X X

X = − 

+ + = ⇔ 

= − 

Vậy ( , )u v ∈{(2;3), (3; 2), ( 2; 3), ( 3; 2) − − − − }

(42)

b) Tìm ( , )u v ∈ − −{( 2; 10), ( 10; 2) − − }

6A Ta có: (2+ 3) (+ 2− 3)= (2+ 3)(2− 3)=

Do đó, 2+ 2− hai nghiệm phương trình sau:

2

4

X − X + =

6B Tương tự 6A Tìm phương trình X2+4X −77=

7A a) Ta có: 25 12 25

12

m m

∆ = + ≥ ⇔ ≥ −

b) Ta có ( )

( )

2 2

1 2

2

2 50 12

9

x x m

S

x x x x m

+ +

= + = =

( )2

2 2

1 2

2 4

9 P

x x x x m

= = =

Với ĐK: 25

12 m

≠ ≥ − ta có 2

1

2

x 22

2

x hai nghiệm phương trình bậc hai

2

50 12

0

9

m

X X

m m

+

− + = hay: 2

9m X −2(6m+25)X + =

7B Tương tự 7A Điều kiện: 25

12

m≥ − Phương trình tìm là:

2 10

0

3

m m

X X

m m

+

+ + =

+ + (Điều kiện:

25

12 m

− ≠ ≥ − )

8A a) Ta có: x2−7x+ =6 (x−1)(x− 6)

b) Ta có: 30 34 30( 1) 17

15 x − x− = x+ x− 

 

c) Ta có: x−5 x+ =6 ( x−2)( x−3 ;)

d) Ta có: 2( 1)

2 x− x+ = x−  x− 

 

a) Ta có 4( 1)

4 x − x+ = x− x− 

 

b) Ta có 21 26 21( 1) 26 ;

21 x − x− = x+ x− 

(43)

c) Ta có 4( 1) ; x− x+ = x−  x− 

 

d) Ta có 12 12( 1)

12 x− x− = x−  x+ 

 

9A a) Phương trình có nghiệm trái dấu ⇔ ac< ⇔ > m b) Phương trình có nghiệm phân biệt âm

2

0

2

0 2( 3)

1

0

m m

m

S m

m

P m

′ 

∆ > − + >



<  



⇔ < ⇔ − < ⇔  ≠



 >  − >

 

c) Phương trình có nghiệm dương:

TH1: Phương trình có nghiệm kép nhận giá trị dương

Xét ∆ = ⇔ =′ m 1, thay vào PT ta có: x2+4x+ = ⇔ = − < (lo4 x ại) TH2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm dương

0

ac m m

⇔ < ⇔ − < ⇔ >

d) Phương trình có nghiệm x x tho1; ả mãn

1

0

3

( 3)( 3)

x x

∆ >  < < ⇔ 

− − <



Giải ta

3 m

m  <    ≠ 

0 32

1

0

2

0

m

S m

P m

∆ > − >

 

−

 

⇔ > ⇔ > ⇔ < <

 >  + >

 

9B Tương tự 9A.

a) Tìm m< b) Tìm m>

c) Tìm m< d) Tìm

2 m m

<   ≠



10A Ta có ∆ =52−4(m+4)= −9 m

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

4 m ⇔ ∆ > ⇔ <

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1

5

4

x x

x x m

+ =



 = +



(44)

( ) ( )

1

2 m

2

m

m m

 ≥ 

⇔ + = − ⇔  ⇔ ∈∅

 + = ± −



b) Ta có 3x1+4x2− ⇔6 3(x1+x2)+x2 = ⇔6 x2 = − Vì x= − nghiệm phương trình nên ta có

( )2 ( )

9 m m 130

− − − + + = ⇔ = − Ta tìm m= −130

c) Ta có ( )2

1 2

2

3

x x

x x x x

x + x = − ⇔ + + =

Tìm m= − 29

d) Ta có x1(1 )− x2 +x2(1 )− x1 =m2−23

2

1 23

x x x x m

⇔ + − = − Tìm m= − ±3 13

10B Tương tự 10A

Ta có ∆ =(2m−1)2 ≥ ∀ phương trình ln có hai nghiệm với m 0, m,

a) Tìm

2 m= ±

b) Tìm m=

c) Để hai nghiệm độ dài hai cạnh tam giác vuông có độ dài cạnh huyền

1

2

1

0

4

32

x x

x x

x x

+ > 



⇔  >

 + =



Giải hệ thu m= d) Tìm m∈∅

11 Tương tự 1A

a) Ta có 11

9

A= − b) Ta có 16

87 B=

c) Ta có C= d) Ta có D= − 41

a) Ta có 1 1, 2 16

x = x = b) Ta có x1 = −1,x2 =

c) Ta có x1 =1,x2 =19 d) Ta có 1 1, 2 247

246 x = − x =

13 a) Ta có ∆ =4(m−3)2 ≥ ∀ ∈  0, m b) Tìm m>

(45)

a) Tìm (u, v)∈{(7; 15 ,− ) (−15;7)} b) Tìm (u, v)∈{(15; ,− ) (−6;15)}

15 a) Tìm m= ±

b) PT : ( )( )

( ) ( ()( ) )

2 4

0

2 4

m m m m

X X

m m

+ − − − +

+ + =

− −

c) Ta có hệ thức x1+ +x2 2x x1 2 = − 17 d) Ta có Amin =33⇔ = m

a) Tìm 2− < < m b) Tìm

4

9

2

m

m >   −

 < < − 

c) Tìm 2− < < − m d) Tìm m∈∅

17 Tương tự 9A 10A

a) Ta có ∆ =25> ∀ ∈  0, m b) Tìm m< −

c) Ta có min 25

2

A = ⇔ =m − d) Tìm

0 m m

= −   = 

BÀI PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1A a) Đặt

0

x = ≥ , ta có: t t2+ − = 5t

Giải ta t = (TM) t = − (Loại) Từ tìm x= ±

b) Đặt ( )2

1

x+ = ≥ t

Sau tìm t ta tìm x= − ±1

1B a)x∈∅ b) x= ±

2A a) ĐK : x≠ x≠

Quy đồng mẫu thức, giải : x= ± 9− b) Tìm x= − 17 x= − ±1 31 c) Tìm x=

2B a)

4

x=− x= b)x= c)

x= x=

3A a) Đưa PT dạng: (x− 2)(x+ 2)(x+3)=

(46)

b) Tìm x=

3B a) x= 33

x= ± b) 1;

2

x= x= 10

3 x=

4A a) Đặt y=x2+3x+ Giải ta y= ±

Từ tìm 17

2 x= − ±

b) Xét hai trường hợp:

Trường hợp Với x= , thay vào thấy không nghiệm

Trường hợp Với x≠ , chia hai vế PT cho

x sau đặt x 16 60 y x

+ + =

Giải ta y= y= − Từ tìm x= − 15 x= −

c) Trường hợp Xét x= , thay vào thấy không nghiệm

Trường hợp Xét x≠ , chia tử mẫu cho x sau đặt 0 y 3x x

= +

Giải ta y= − 11 y=

Từ tìm 11 97

6 x= − ±

4B a) 37

2

x= ±

2 x= ±

b) x= x= −

c)

4

x=− x= −

5A a) Đk: x≥ ; Biến đổi phương trình ta

3 3 0

x− = − x ⇔ x− ≤ ⇔ ≤ ≤ x

b) PT

2

3

3 8

8

7

1

7 x x

x x

x x x x

≤  − ≥

 

⇔  ⇔ ⇔ =

=

+ + = − +

 

5B a) x= b) x= x=

6 a) Thêm

4x ở hai vế PT, ta (x2+2)2 =(2x+6)2 Giải ta x= ±1

b)Tìm 13

1

(47)

c)Tìm x=− ±

7 a) ĐK:

0≤ ≤ ⇒x 1− ≥ − x x

x ≥ x

1

VT x x VP

⇒ ≥ − + = =

Dấu “=” xảy 1

1

x x

− = =

 

⇔  ⇒

− = =

 

Kết luận

b) Tìm x=

8 a) Đặt 2x− =1 t(t≥0)⇒ − + =t2 6t 0 Tìm t từ tìm x∈ −{ 2;0;1;3}

b) PT

2

5

2 11

5

x x

 

⇔ −  + =

+ +

 

Đặt x

t

x+ = , tìm t = − 11 t =

Từ tìm 21 x= ±

10 a) x= ±2 b) x= x= −

11 a)

x= b) Vô nghiệm

12 a) x= ±1 3hoặc x= ±1 b) 21 x= − ±

c) 17

2

x= − ± d) x= ±2

13 a)x= − x= ±1 b)

3

1 x=

−

Bài 5: GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

1A Gọi số thảm phân xưởng phải dệt ngày theo kế hoạch x x( ∈N*)

Theo ta có phương trình: 3000 3000 10

x

x x

− − = −

+

Giải phương trình ta x=100 (TMĐK) Kết luận

(48)

2A Gọi suất tổ x(x> phần công việc/giờ); Năng suất tổ là: 2− x (phần công việc/giờ)

Thời gian tổ làm xong cơng việc x

Thời gian tổ làm xong công việc 1 2−x

Theo có phương trình: 1

2 x

x

= −

−

Giải phương trình ta x=

Vậy thời gian tổ 1, tổ hoàn thành cơng việc

2B Người thứ hoàn thành cơng việc 40 giờ,

Người thứ hai hồn thành cơng việc 60

3A Gọi thời gian đội thứ làm xong nửa công việc x ngày (ĐK: 6< <x 25 )

Thời gian đội thứ hai làm xong nửa công việc 25 x− ngày

Trong ngày đội thứ làm

2x cv đội thứ hai làm

2(25−x) cv

Trong ngày hai đội làm cv

Ta có PT: 1

2x+2(25−x) =12

Giải PT ta tìm 15 10 x x

=   =

 (TM)

Kết luận

3B Đáp số

4A Gọi số lớn a ; Số bé là: 2 a−

(49)

Ta có

2

119

a

a − −  =

  Giải PT ta a=12

Vậy số lớn 12, số bé

4B Gọi số thứ a ; số thứ hai 17 a− Theo đề ta có phương trình: 3

(17 ) 1241

a + −a =

Giải phương trình ta có a= a=

5A Chiều rộng khu vườn 60m ; Chiều dài khu vườn 80m

5B Đáp số: Chiều rộng 12m ; Chiều dài : 19m

6A Gọi quãng đường AB x km x( > 0)

Thời gian xe máy thứ chạy 30

x

giờ; thời gian xe máy thứ hai chạy

2

36x + (giờ) 3

Theo đề ta có phương trình:

30 36

x = x +

Giải phương trình ta x=120

Vậy quãng đường AB 120km

6B Vận tốc người từ A đến B 12km h c/ ủa người từ B đến A 9km h /

7A Gọi thời điểm hai người gặp lúc x (giờ) (x> ; 0)

Theo ta có phương trình: 10( 7) 30 26 x− = x− 

  ;

Giải phương trình ta x=9,5 ; hay lúc 30 phút Hai người gặp lúc 30 phút

7B Đoàn tàu từ Hà Nội Thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc 40km h / ; đoàn tàu từ Nam Định Thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc 35km h /

8A Gọi vận tốc riêng canô (v km h x/ ; > 3)

Theo đề ta có phương trình: 4( 3) 2( 3)

(50)

Giải phương trình ta x=15(km h/ )

8B Vận tốc canô nước yên lặng 16km h /

9A Gọi số học sinh lớp 8A (x x>21); Số học sinh lớp 8B 94 x−

Theo đề ta có phương trình: 25 20 (94 ) 21 100x+100 −x =

Giải phương trình ta có x =44

Vậy số học sinh lớp 8A 44 em, 8B 50 em

9B Số học sinh lớp 8A 33 em, 8B 27 em

10 Đơn vị thu hoạch 350 thóc; Đơn vị thu hoạch 250 thóc

11 Theo quy định ngày tổ sản xuất phải làm 40 sản phẩm

12 Người thứ làm xong cơng việc,

Người thứ hai làm xong cơng việc

13 Đáp số: 23 32

14 Độ dài cạnh tam giác vuông 5; 12 13 cm

15 Thời gian xe lăn bánh đường

16 Vận tốc máy bay cánh quạt 600 km/h; Vận tốc máy bay phản lực 900 km/h

17 Vận tốc canô xi dịng 180

11 km/h

18 Khối lượng riêng hai chất 0,8 g/cm3; 0,6 g/cm3

BÀI 6: BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARAPOL

1A.a) Với n= , ta : 1

d y= x+

i) HS tự làm

ii) Xét PT hoành độ giao điểm d ( )P : 1

2

x

− − =

Giải ta x1= − x2 =

Từ tìm 1;1 ; ( )2; 2

A−  B

(51)

iii) Tính

AOB

S = cách sau:

Cách Gọi ,H K lần lượt hình chiếu vng góc ,A B trục Ox Khi SAOB =SAHKB −SAHO −SBKO

Cách Gọi I giao điểm d ; ;Oy M N lần lượt hình chiếu vng góc ,A B lên

trục Oy Khi đó:

2

AOB AOI BOI

S =S +S = AM OI+ BN OI

Cách Gọi T hình chiếu vng góc O d Khi đó:

AOB

S = OT AB

b) PT hoành độ giao điểm d ( )P :x2− −x 2n=

i) d tiếp xúc với ( )P ⇔ ∆ = T0 tìm n= −

ii) d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt ⇔ ∆ =

Từ tìm n> −

iii) d cắt ( )P tại hai điểm nằm hai phía trục Oy⇔ac<

Từ tìm n>

1B a) Với m= ,ta :3 d y= − +

i) HS tự làm

ii) Xét PT hoành độ giao điểm d ( )P : x2+2x− =

Giải ta xm = − xn =

Từ tìm ( 3;9); (1;1)M − N

Độ dài ( ) (2 )2

4

= N − M − N − M =

MN x x y y

b) PT hoành độ giao điểm d ( )P : x2+2x− = m

i) d tiếp xúc với ( )P ⇔ ∆ = T0 tìm m= −

ii) d khơng cắt ⇔ ∆ < Từ tìm m< −

(52)

0 0 S P ∆ >   ⇔  <

 > 

Từ tìm 1− < < m

2A a) Gọi PT đường thẳng d có dạng y ax b= +

Theo đề ta có : ,A B∈( )P ⇒ A( 2;1); (4; 4)− B

Do

1

2 1

, 2:

4

2 

− + = =

 

∈ ⇒ ⇔  = +

+ =

  =

a b a

A B d y x

a b

b

b) PT đường thẳng d có dạng y= − + v2x b ới b≠

PT hoành độ giao điểm d ( )P là: x2+2x b− =

d tiếp xúc với ( )P ⇔ ∆ = + = ⇔ = − ⇒ = − − ' b b y 2x

c) Gọi PT đường thẳng d có dạng y ax b= +

PT hoành độ giao điểm d ( )P là:

2

0

x

ax b

− − = ,với

3

a b

∆ = +

Để d tiếp xúc với ( )P điểm (3;3)C :

0

:

3 3

a

d y x

a b b

∆ = =

 ⇔ ⇒ = =

 + =  = −

 

2B Gọi PT đường thẳng d có dạng : y ax b= +

Vì ( ) 1;

2 M ∈ P ⇒M 

 

Do

0

, 1 1

2

b

O M d

a b =   ∈ ⇒ 

+ =

 Tìm

1 a b

=   =



Từ :d y = x

Vì d ⊥ nên d có dd' ạng y= − + 3x b

PT hoành độ giao điểm d ( )P làx2+6x−2b=

(53)

Từ tìm : d y = − − x

PT hoành độ giao điểm d ( )P 3x2−ax b− =

Vì d tiếp xúc với ( )P điểm (1;3)N nên a b ∆ = 

 + =



Từ tìm :d y=6x−

3A a) Ta có d y: =kx−

PT hồnh độ giao điểm d ( )P :x2+kx− =

Ta có: ∆ =k2+ > với k ⇒ ĐPCM 4

b) Ta có : x1−x22 =k2+ ≥ ⇒4 x1−x2 ≥

c) Sử dụng đính lý Pitago đảo

3B a) Tìm ':d y= − + 3x b) Tìm

4 m

− < <

4A a) Thay tọa độ điểm A vào PT ( )P tìm

3 m=

Khi ta parabol ( )

: P y= x

b) Tìm A( 3; 4)− B(2 3; 4)⇒ AB=4

Từ

2

AOB

S = AB = (đvdt)

4B a) Tìm

y= − x

b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( )P d

2

x + mx− + = có m ∆ =m2 + − m

Với ∆ > ⇔ > m m< − d cắt 2 ( )P hai điểm phân biệt

Với ∆ = ⇔ = m m= − d tiếp xúc 2 ( )P

(54)

5 a) ( 2; 1)A − − b)

a= − ( ):

4

P y= − x c) y= + x

6 a) HS tự vẽ hình b) Tìm m= −

c) d luôn qua (2; 1)A − thuộc ( )P

7 a) PT hoành độ giao điểm d ( )P : 2 2x +mx− =

Vì ,a c trái dấu (hoặc ∆ =m2+ > ) m4 ∀ nên ta có ĐPCM

b) Gọi x x hai nghi1, 2 ệm PT hoành độ giao điểm

1 2

( ; ), ( ; )

A x mx B x mx

⇒ − − x1+x2 = −2 , m x x1 2 = −

2

(4 16)( 1)

AB m m

⇒ = + +

min AB

⇒ = m=

Từ SAOB =

8 a) PT hoành độ giao điểm d ( )P có ,a c trái dấu

b) Sử dụng định lý Pitago đảo

9 a) m= − m= b)m=10 10

9 m=

10 a)

4

y= − x b)

16 m= −

11 a) ( 2; ) (− 2; 2) c)

2 m

− < <

b) ∆ =' (m−1)2+ > m2 ∀

ÔN TẬP CHƯƠNG IV

1A a) 1;

2

m> − m≠ b) 1;

2

m= − m=

c)

2

m< − e)

2 m≥ −

(55)

c) a >2; d) a < -6

2A Chứng minh ∆ + ∆ + ∆ > ⇒1' '2 3' ĐPCM

2B Ta có ∆ =' a2+b2+c2−ab bc− −ca

Chứng minh ' 0∆ ≥ ⇒ ĐPCM

3A a) Biến đổi phương trình thành 35− = −x 1 32+ x.

Sau lập phương hai vế đặt 2+ = x t.

Khi phương trình trở thành

2

t − − = Giải ta t t = − t =

Từ tìm x = -3 x =

b) Cách Dễ thấy x = x = nghiệm PT

Đặt 2018 2018

( 1) ( 2)

A= x− + x− Ta nhận thấy x > x < A>

Khi 1< < x A<

Cách Đặt a= − Phương trình trở thành x 2018 2018

( 1)

a + a− =

Nhận xét PT có nghiệm 0≤ ≤ a

và 2018 2018 2

( 1) ( 1) (1 )

a + a− ≤a + a− = − a −a

Vậy phương trình có nghiệm

1

a x

= =

 

⇔

 =  =

 

Kết luận: Phương trình có tập nghiệm S ={ }1;

3B a) Biến đổi phương trình

(x+1) =2019

Từ tìm x= − +1 2019;

b) Biến đổi phương trình 2

(x −2x−1)(x − − = x 1)

1

1 2,

2 x= ± x= ±

4A a) d y: =kx+ − k 2;

b) Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) là:

2

x +kx+ − = k

(56)

c) max 15

4

S = − ⇔ = (TM k k < )

4B a) Khi m= :1 d y= + HS tx ự vẽ hình b) d ln qua điểm cố định M(0;1)

Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) có a, c trái dấu có

1

m

∆ = + >

m ∀

c) m= ±2

5A a) Với m = phương trình có nghiệm kép x1=x2 = − 2;

Với m≠ phương trình có nghiệm phân biệt x1= − x2 = − m;

b) m= − nghiệm lại x= − 2;

c) m= 2;

d) m= − 2;

e) m> hai nghiệm âm;

g) i) A=m2−8m− 8; ii) m= 0; iii) Amin = − ⇔8 m= 4;

h) P= −

5B a) ∆ =(2a+3)2+ > a4 ∀ ∈ ; b) min 1; A = ⇔m= −

c) 3;

4

a> − d) a∈∅

6 a) ∆ =(2m−7)2+39> ∀ ∈0, m  ;

b) max 471 27;

16

A = − ⇔ m=

c) m =

7 a) Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) có a, c trái dấu;

b) 2017

m=

(57)

9 a) Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) có nghiệm kép x= ⇒ = y 2;

b) m>

b) m= ±

11 a) y= −x2 b) m= −20

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG IV ĐỀ SỐ

Câu C Câu D Câu A Câu C

PHẦN II TỰ LUẬN

Bài 1: Giải ta được:

5

)

-4;-2

 

∈  

 

a x b) x∈{-1+ 3;3+ 3}

Bài a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương

8

2

( 1)

∆ = + > 



⇔  = + >

 = − >



m

S m

P m m

Giải ta m>

Từ kết luận: PT khơng có hai nghiệm phân biệt dương ⇔ ≤ m

Gọi chữ số hàng chục hàng đơn vị a b(a∈*,a≤9;b∈,b≤9)

Theo đề bài, ta có: 2 25 13 + = 



+ =

 a b

a b

Giải ta a=2,b= ho3 ặc a=3,b=

Kết luận

Bài a) HS tự làm

b)Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P):

2

x − mx− =

(58)

Cách Vì ac = − < nên phương trình ln có hai nghiệm trái dấu chúng phân biệt (ĐPCM)

c) i) Từ giả thiết theo hệ thức Vi-ét, ta có:

1

4

2

x x

x x

= − 

 − =



Giải ta x1=1,x2 = − ho4 ặc 1 8, 2

x = x = −

Mặt khác, x1+x2 =2m nên tìm

m= − 15 m=

ii) Ta có A=2(x1+x2) (− x1+x2)2+2x x1 2

Áp dụng hệ thức Vi-ét biến đổi ta được:

(2 1)

A= − m− −

Từ tìm max

2

A = − ⇔m=

ĐỀ SỐ

Câu B Câu B Câu D Câu A

Phần II TỰ LUẬN

Bài a) 1; ;

 

 

  b) {− −1 2; 2− }

Bài a) Tìm ( 1; )1

A − (2; 2)B tọa độ giao điểm d (P)

b) HS tự vẽ d (P) hệ trục tọa độ Oxy

Cách Gọi H, K hình chiếu vng góc A, B trên trục Ox Khi đó: SAOB =SAHKB −SAHO −SBKO

Từ tìm

2

AOB

S = (đvdt)

Cách Gọi I giao điểm d Oy; M, N hình chiếu vng góc A, B lên trục Oy

Khi đó:

2

AOB AOI BOI

(59)

Từ ta tìm

AOB

S = (đvdt)

Cách Gọi T hình chiếu vng góc O d

T đồng thời thuộc đường thẳng qua O vng góc với d

Từ tính OT AB áp dụng cơng thức

AOB

S = OT AB ta tìm

AOB

S =

(đvdt)

Bài a) PT có hai nghiệm x x trái d1, 2 ấu ⇔ac< Từ tìm m<

b) Với m = , phương trình có dạng 2x2−9x+ =

Cách Áp dụng công thức nghiệm PT bậc hai, tìm nghiệm x x thay vào M tìm 1, 2

được 61

4 M =

Cách Biến đổi M =(x1+x2)2−2x x1 2 áp dụng hệ thức Vi-ét, ta tìm 61 M =

c)Vì ∆ =m2+16>0∀ nên PT ln có hai nghiệm phân biệt Xét ba trường hợp: m

Trường hợp Ta có

1

0

x x

x x m

x x + > 

< < ⇔  ⇔ >

>



Trường hợp Ta có x1< <0 x2 ⇔ac< ⇔ < m

1

(0)

0

0 f

x x m

x x

= 

= < ⇔ + > ⇔ =



Kết luận

d) Ta có 1 2 1 2

1

0

1 ( 1)( 1)

( 1) ( 1)

x x x x m

x x

∆ >  

< < ⇔ − − > ⇔ ∈∅

 − + − >



Kết luận

(60)

PHẦN C ĐÁP ÁN

CHƯƠNG III HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1A * Với cặp số (12;1 , thay ) x=12;y= vào 21 x−5y=19 ta có: 2.12 15.1 19− = (luôn đúng)

Vậy (12;1 nghi) ệm phương trình 2x−5y=19

* Với cặp số ( )1;1 , thay x=1;y= vào 21 x−5y=19 ta có: 2.1 5.1 19− = (vơ lí)

Vậy ( )1;1 khơng nghiệm phương trình 2x−5y=19

* Tương tự trên, ta có cặp số (2; 3− nghiệm, ) (1; 2− không nghiệm ) phương trình

Ta có (2; 3− nghiệm phương trình b) d) )

2A Vì (1; 1− nghiệm phương trình nên ) m+ = − m

( )2

1

3

1

m

m m

− ≥ 

⇔ ⇔ =

+ = −



2B Tương tự 2A Để cặp số (2; 1− nghiệm phương trình ) mx−5y=3m− ta ph1 ải có:

( )

2m−5 − =1 3m− ⇔ = 1 m

Vậy với m= (2; 1− nghiệm phương trình cho )

3A Gọi phương trình cần tìm có dạng: ax+by = c

Thay nghiệm ( )2;0 (− − vào ax by c1; 2) + = ta được:

0 2

2

4 c a

a b c

b c

 = 

+ =

 ⇒

− − =  −

  =



Chọn 2

3 a

c x y

b = 

= ⇒ = − ⇒ − =



(61)

• Nếu chọn 0 a c

b = 

= ⇒ = ⇒

 loại

• Nếu c≠ ta có th0, ể chọn c tùy ý Tuy nhiên, nên cân nhắc chọn c hợp lí để tìm ,

a b những số “đẹp”

3B Tương tự 3A Đáp số: 3− −x 2y= 4

4A a) 2 5;

3

x

y x

∈  

 = −

 

b) x ;

y =   ∈

  c)

x y

∈   = − 



Chú ý: Học sinh tự biểu diễn tập nghiệm phương trình cách vẽ

các đường thẳng có phương trình 5;

3

y= x− x= y= − m2 ặt phẳng tọa độ

a) ;

2

x

y x

∈ 

 = − 



b) x ;

y =   ∈

  c)

x y

∈   = − 



5A a) d song song với

2

3

6

m

Ox m m

m − = 



⇔ − = ⇔ =

 − ≠



b) d song song với

2

3

6

m

Oy m m

m − ≠ 



⇔ − = ⇔ ∈∅

 − ≠



c) d đi qua ( )0;0 ( )

3

O ⇔ ∈O d ⇔ m− = ⇔m=

d) d qua (1; 1) ( 2) (3 1)

8 A − ⇔ m− − m− = m− ⇔m=

a) m∈∅ ; b) m= 1; c) 1;

2

m= d) m=

6 Tương tự 1A Đáp số: (− −1; , 3; ) ( − )

7 Tương tự 2A Đáp số: m= ±2

(62)

a) ;

2 x

x y

∈  

 = −

 

b) 2 ;

1 x

y x

∈  

 = +

 

c) x ;

y =   ∈

  d)

x y

∈   = − 



a) 3;

2

m= b) 1;

3

m= c) m= − 2; d)

13 m=

BÀI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1A a) Ta có: a=3;b= −2;c=4;a′= −6;b′=4;c′= −

1

a b c

−

⇒ = = = ⇒

′ ′ ′ HPT có vơ số nghiệm

b) Ta có: a b

a′≠ b′⇒ HPT có nghiệm

c) Ta có = ≠ ⇒

′ ′ ′

a b c

a b c Hệ phương trình vơ nghiệm

d) Vì b′= nên ta xét: 3; 0

2

a b a b

′ ′ ′ ′

= = = ⇒ ≠

⇒ HPT có nghiệm

1B Tương tự 1A Hệ phương trình:

a) Có nghiệm nhất; b) Có nghiệm nhất;

c) Vơ số nghiệm; d) Vô nghiệm

2A * Xét m= HPT có nghiêmụ :

* Xét m≠0 : Xét tỉ số:

2

1

; ;

1

a b m c m

m

a m b c

′ = ′ = − ′= =

− hệ phương trình:

a) Có nghiệm a b m

a b

′ ′

⇔ ≠ ⇔ ≠ ±

b) Vô nghiệm

2

1

1 m

a b c

m

a b c m m

= ± 

′ ′ ′

⇔ = ≠ ⇔  ⇔ = −

≠

(63)

2

1

1 m

a b c

m

a b c m m

= ± 

′ ′ ′

⇔ = = ⇔ ⇔ =

=



2B Xét tỉ số ; 1;

a m b c

m

a b c

′ ′ ′

= = = Hệ phương trình:

a) Có nghiệm a b m

a b

′ ′

⇔ ≠ ⇔ ≠

b) Vô nghiệm 1

2 m

a b c

m

m m

a b c

=

′ ′ ′ 

⇔ = ≠ ⇔  ≠ ⇔ =



2 m

a b c

m

m m

a b c

=

′ ′ ′ 

⇔ = = ⇔ = ⇔ ∈∅



3A a) Thay x= − y= vào 35 − +x 2y=21 ta có:

( )

3 2.5 21

− − + = (Vơ lí)

( 4;5)

⇒ − khơng nghiệm hệ phương trình

b) Thay x = − y= vào PT c5 HPT thấy thỏa mãn Vậy (−4;5) nghiệm HPT cho

a) Có; b) Khơng

4A Thay x= y= vào HPT, ta được:

2

1

m m

− + = − 

⇔ = − 

− = −



4B Tương tự 4A m=

5A a) Học sinh tự vẽ hình

b) Từ đồ thị ( )d 1 ( )d2 , ta xác định tọa độ giao điểm ( )d 1 ( )d2

( ) ( )3;1 3;1

M ⇒ nghiệm hệ phương trình cho

c) ( ) ( )d1 , d2 ( )d 3 đồng quy ( ) ( )3

4

3;1

5

M d m

⇔ ∈ ⇔ =

(64)

6 Tương tự 1A HPT:

a) Có nghiệm nhất; b) Vơ nghiệm;

c) Có nghiệm nhất; d) Có nghiệm nhất;

e) Vơ số nghiệm; g) Có nghiệm nhất;

a) m≠ ± 1; b) = − 1; c) m= 1; d) m= −

8 Tương tự 3A a) Khơng; b) Có

9 Tương tự 4A Đáp số: m= 1

a) HS tự vẽ hình; b) (2; ;− ) c) m= −

BÀI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

1A Từ PT đầu ⇒ =y 3x− Thay vào PT tìm x=

Thay x= vào y=3x− tìm y=

Vậy nghiệm HPT ( )3;

b) Tương tự ý a), nghiệm HPT 3;

2

 + 

−

 

 

c) Từ PT đầu⇒ = −y x Thay vào PT lại ta

2 = (vô lý)

Vậy HPT vô nghiệm

d) Từ PT đầu ⇒ = −y ( − )x Thay vào PT lại ta 0= (ln đúng) Vậy HPT có vơ số nghiệm

a) (−3; ;) b) (2− 3− ;)

(65)

2A a) HPT cho 21

10 45

x y

+ =



⇔  + =

 Từ tìm nghiệm HPT là: ( )3;5

b) HPT cho

4 x y x y − =  ⇔  + =

 Từ tìm nghiệm HPT là:

17 ; 11 11      

a) ( )4;7 b) ( )2;

3A a) ĐK: x≠ y≠

Đặt u x =

1 , v

y = ta HPT:

15

4 35

u v u v − =   + = 

Giải ta u v =   =

 Từ nghiệm HPT ban đầu 1 ;      

b) Tương tự ý a), ta nghiệm HPT 10 19;

3

− 

 

 

c) ĐK: y≥ −

Đặt

2

x − x= u y+ =1 v v( ≥0 ,) ta HPT:

3

u v u v + =   − = − 

Giải ta

( ) u v TM = −   =

 Từ tìm ( )

1 x y tm =   = 

d) Đặt x+ =1 u u( ≥0) x+2y= v, ta HPT:

4 u v u v + =   − = 

Giải ta 2( ) u tm v  =   = −

 Từ tìm ( ) (x y; ∈ −{ 3;1 , 1; ) ( − )}

a) 7;

 

 

  b)

7

;

66 11

 

 

  c) (1; − ) d) (1; 12 − )

4A Thay x= y= − vào HPT dã cho ta 2

(66)

Giải ta

a= b=

4B Tương tự 4A Tìm a= − b=

5A Vì d d c1, 2 điểm I(2; 5− nên )

2

I d I d ∈   ∈



Từ ta tìm m= n= −

5B Ta có giao điểm d tr1 ục Oy A(0; − )

Vì A∈ d2 nên tìm m= − HS t5 ự vẽ hình

6 a) (10;7 ) b) 3;3

2

 

 

 

c) Vô nghiệm d) Vô số nghiệm

7 a) 1; 13

2

− − 

 

  b) Vô nghiệm

8 a) 19 4;

 

 

  b)

18

;

5

 

 

  c) (10; )

d) HPT có cặp nghiệm: ( ) (x y; ∈{ 2; , 2; , 0; , 0; − ) ( − ) ( − ) ( − )}

9 Tìm a= b= −

10 a) Với n= ta có: ( )

( )

1

2

: 18

: 12

d x m y

d m x y

 − + =

 

− + =



Ta có giao điểm d v1 ới trục Ox A( )3;0 Tìm m=

b) Tương tự tìm 12,

m= 17

5 n= −

BÀI GIẢI HPT BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

1A a) Lấy hai PT trừ cho ta y=

Thay y= vào m4 ột hai PT hệ tìm x= −

(67)

b) Tương tự câu a), tìm nghiệm HPT 5;

 

 

 

c) Nhân hai vế phương trình thứ với -2 ta được:

2 4 11

2 11

x y

− − = −

 ⇒ − =



− − =

 (vô lý)

Suy HPT vô nghiệm

d) Nhân hai vế PT thứ với ta được:

7,5 0

3 7,5

x y

 − =

 ⇒ =



− =

 (luôn đúng)

Suy HPT có vơ số nghiệm 5 2

2 y

x y

∈   

= +

 

a) (2;1); b) ( 3; 2);

c) Vô nghiệm; d) Vô số nghiệm

5

2

x y

y  = − 

  ∈

 

2A a) HPT cho 13 99

6 17

x y

+ =



⇔  − =

 Từ tìm

4 x y

=   =



b) HPT cho 2

3

x

x y

= − 

⇔  + =

 Từ tìm

1

1 x

y = −   

=



a) (12; 3);− b) ( 1; 1).− −

3A a) ĐK: x≠ y≠ − Đặt ,

1 a b

x− = y+ = , ta được:

2

a b a b

+ = 

 − =

(68)

Giải ta 1 a b

=   =

 Từ tìm

1 x y

=   = −



b) Tương tự ý a), đặt ,

2 a b

x− +y = x+ −y =

Từ tìm nghiệm HPT ( , ) (1;2).x y =

c) Tương tự ý a), đặt x− =2 a y, − =1 b a b( , ≥ 0)

Từ tìm nghiệm HPT là: ( ; )x y ∈{(12;13), (12; 11), ( 8;13), ( 8; 11)− − − − }

d) Tương tự ý a) đặt ; ( , 0)

2 a b a b

x− = y+ = >

Từ tìm nghiệm HPT ( ; ) (3; 2)x y = −

a) 1;

 

 

  b) (10; 4) c) (69; 2)− d) ( ; )x y ∈{(4; 4), ( 2; 4)− }

4A a) Theo đề ta có d qua ( 1; 2)M − − cắt Ox (2;0)N Từ ta thay tọa độ điểm M, N vào d tính được:

6

m= −

9 n= −

b) Từ 2m− = ⇒ =n n 2m− ⇒1 d y: =(2m+1)x+6m−

Gọi I x y( ;0 0) điểm cố định d

0 0 0

0

2

(2 6) ( 4)

4

x

x m x y m

x y

+ = 

⇒ + + − − = ∀ ⇔ 

− − =



Giải ta

0

3

7 x y

= −   = −



4B Tương tự 4A Đáp số: a= 25 b= −

5A Gọi M = ∩d1 d2 Tìm (5;1)M

Để d d1, 2 d3 đồng quy M(5;1)∈d3 Từ tìm m=

Thử lại thấy m= thỏa mãn điều kiện d d1, d3 đồng quy

(69)

6 a) (14;11); b) 5;

2

 − 

 

 

c) Vô nghiệm d) Vô số nghiệm

7 a) (2;1); d) (10;0)

8 a) 1; ;

 − 

 

  b)

1 ;17 ;

 

 

 

c) ( ; ) 1; , 3; ;

2

x y ∈   − 

   

  d) (100;0)

9 a) 3;

− 

 

 ; b)

3 2

;

2

 − − − 

 

 

10 Tìm 51,

73 73

m= n= −

11 Tìm 11;7

 

 

  nghiệm HPT cho

Thay vào PT 6mx−5y=2m− ta thu m=

BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN CHỨA THAM SỐ

1A Từ PT thứ ta có x=2m−my

Thay vào PT cịn lại, ta được: (m2−1)y=2m2+ − (*) m

Số nghiệm hệ phương trình ban đầu số nghiệm (*)

a) Khi hệ phương trình:

i) Có nghiệm ⇔ ≠ ± Nghiệm là: m

( ; ) ;2

1

m m

x y

m m

− −

 

=  − − 

ii) Vô nghiệm

2

1

2

m

m m

 − =



⇔ ⇔ =

+ − ≠



2

1

2

m

m m

 − =



⇔  ⇔ = −

(70)

b) Với m≠ ± , h1 ệ phương trình có nghiệm

( ; ) ;2

1

m m

x y

m m

− −

 

=  − − 

i) Ta có:

{ }

1

1 0;

2 1

2

1

−

 = = − − ∈

 − − ⇒ − = ± ⇒ ∈

 −

 = = + ∈

 − −





 m

x

m m

m y

m m

ii) Hệ thức không phụ thuộc vào m x+ = y

1B a) Với m≠ ± ⇒ HPT có nghiệm nhất: ( ; ) 3;

2

m m

x y

m m

+ −

 

=  + + ;

Với m= − ⇒ HPT vô nghiệm;

Với m= ⇒ HPT vô số nghiệm

b) Với m≠ ± ,

i) Tìm m∈ − − { 1; 3}

ii) Thay 3;

2

m m

x y

m m

+ −

= =

+ + vào 2x+ = ⇒y ĐPCM

iii) 13 6.2 13

2

m m

x y m

m m

+ −

− = ⇔ − = ⇔ =

+ +

2A Từ PT thứ ta có 2

5 mx

y= + Thay vào PT lại ta được:

(25 4− m x2) =15 6− m (*)

Với 0

2

m= − ⇒ x= ⇒ (*) vô nghiệm ⇒ HPT vô nghiệm

Với

2

m= ⇒ HPT ⇔ − = − ⇒x y HPT vô nghiệm

Với

2

m≠ ± : HPT có nghiệm nhất: ( ; ) ;1

2 5

x y

m m

 

= − 

+ +

 

(71)

⇒ ∈ − − − − m { 4; 3; 2; 1}

Các cặp nghiệm nguyên ( 1;2);( 3;4);(3; 2)− − − (1;0)

2B Tương tự 2A ( ; ) ; { 1;0}

2

x y m

m m

 

= − ⇒ ∈ −

+ +

 

* Với m= − ⇒ HPT vô số nghiệm

* Với m= : HPT có dạng 22 x+ = , mà y x>2,y>

⇒2x+ > ⇒ HPT vô nghiệm y

* Với m≠ ± : HPT có nghi2 ệm ;

2

m m

 

 + + 

 

Khi 2

0

x

m y

> 

⇔ − < < −  >



3B Tương tự 3A 10

15 m

− < <

Với m≠ − : HPT có nghiệm (1 m+1;m− 3)

Khi S =x2+y2 =2(m−1)2+ ≥ 8

Smin =8 m=

4B a) ( ; )x y = −( 2;1); b) Tương tự 1A m= −

a) m≠ ± 1; b) m= − 1; c) m=

6 Tương tự 2A m∈ −{ 1;0}

2

4

( ; ) ;

1

m m

x y

m m

 − + 

=  + + 

 

Đáp số: x y nguyên với m∈ −{ 1;0;1}

(72)

a) Với giá trị m, HPT có nghiệm nhất:

( , ) 22 5; 2

2

m m

x y

m m

+ −

 

=  + + ;

b)

7 m=

9* a) Tương tự 2A

Với m≠ m≠ : HPT có nghi1 ệm m 1;

m m

−

 

 

 

Với m= : HPT vô nghi0 ệm

Với m= : HPT vô số nghiệm (2 ; )1 − y y với y ∈ 

b) i) Gợi ý: Từ ( ; )x y m 1;

m m

−

 

=  

  ta khử m để tìm hệ thức x, y không phụ thuộc m Đáp án: M chạy đường thẳng có phương trình y= − + x

ii) M x y thu( ; ) ộc góc phần tư thứ ⇔ > x y>

Đáp số: m> 1;

iii) Gợi ý: (0; 5) 1;1

2

M ∈ ⇔OM = ⇒ ∈ −m  

 

BÀI GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1A Gọi thời gian ô tô đoạn đường AB, AC x, y (giờ) (ĐK: y> > ) x

Ta có HPT 50 45 165

0,5

x y

y x

+ =



 − =

 Giải HPT tìm

1,5

2 x y

=   =



1B Gọi chiều dài AB cần tìm x (x> , km) vận tốc theo dự định y (0 y>10, km/giờ)

Ta có HPT

3 10

5 10

x x

y y

x x

y y

 = −

 +  

 = +

 − 

Giải HPT thu 600 40 x y

=   =

(73)

Vậy vận tốc xe lúc đầu 40 km/giờ, thời gian dự định 15 giờ, quãng đường AB dài 600 km

2A Gọi vận tốc riêng canơ vận tốc dịng nước x, y (km/h) (ĐK: x> > ) y

Ta có HPT

108 63

7

81 84

7

x y x y

 + =

 + −

 

 + =

 + −



Giải HPT thu 24 x y

=   =



Vậy vận tốc dòng nước vận tốc canô km/h 24 km/h

2B Gọi vận tốc riêng canơ vận tốc dịng nước x, y (km/h) (ĐK: x> > ) y

Ta có HPT

3( ) 4( ) 380

1

( ) ( ) 85

2

x y x y

+ + − =

 

 + + − =



Giải HPT ta 55 x y

=   =



3A Gọi vận tốc ngưới A B x, y (km/h) (x> > ) y

Sau người A quãng đưỡng 4x (km), người B quãng đường 4y

(km) Theo ta có HPT: 4 38

4

x y

+ =



 − =



Giải HPT ta 4,5 x y

=   =

 (TMĐK)

3B Gọi vận tốc ô tô x (km/h) vận tốc tàu hỏa y (km/h) (y> > ) x

Ta có hệ phương trình sau: 640

x y

y x

+ =



 − =



Giải HPT ta 55

60 x y

=   =

 (TMĐK)

4A Gọi thời gian số sản phẩm làm theo quy định x (giờ) y (sản phẩm/giờ)

(ĐK: x>1,y>20,x∈  )

Theo đề ta có HPT:

500

1 ( 5) 270

2 x y x

y =  

 −  + =

 

 

(74)

Giải HPT ta 20 25 x y

=   =

 (TMĐK)

4B Gọi thời gian tổng số chi tiết máy đội công nhân phải làm theo ké hoạch x (ngày)

y (chi tiết máy) (ĐK: ,x y∈,y>1040,x>2)

Theo đề ta có HPT: 400

520.( 2) 40

x y

= 

 − = +



Giải HPT ta 3600 x

y =   =

 (TMĐK)

5A a) Gọi thời gian A, B làm xong cơng việc x, y (ngày) (ĐK: ,x y > )

Mỗi ngày bạn A, B làm x

1

y (cơng việc)

Ta có HPT

1 1

6 x y y x  + = 



 − = 

=   =

 (TMĐK)

b) A làm ngày

9 = công vi3 ệc

⇒ B phải làm

3 công việc lại

2

: 12

3 18 = ngày

a) Vòi thứ thứ hai chảy đầy bể

b) 12 phút

6A Gọi thời gian xe I, xe II làm xong cơng việc x, y (ngày) (ĐK:

, 18

x y> )

Ta có HPT

1 1

18

6 40

100 x y

x y  + = 



 + = 

=   =

 (TMĐK)

(75)

Ta có HPT

1

24

4 3

4 x y

x y  + = 



 + = 

=   =

 (TMĐK)

7A Gọi số dụng cụ xí nghiệp I II làm x, y ( ,x y∈  ) *

Ta có HPT 360

112% 110% 400

x y

+ = 

 + =



Giải HPT ta 200 160 x y

=   =

 (TMĐK)

7B Gọi số quần áo tổ A B sản xuất tuần đầu x, y ( ,x y∈  ) *

Ta có HPT 1500

125% 82% 1617

x y

+ = 

 + =



=   =

 (TMĐK)

8A Gọi chiều cao chiều dài đáy tam giác x, y (dm) (x>0,y> )

Ta có HPT

3

1

( 3)( 3) 12

2

x y

x y xy

 =  

 + − − =



=   =

 (TMĐK)

8B Gọi chiều dài chiều rộng khu vườn x, y (m) ( ,x y > )

Ta có HPT 24

4 81

x y

+ = 

 + =



=   =

 (TMĐK)

9A Gọi số cần tìm ,ab a∈*,b∈, ;a b≤9

Ta có HPT 63

99 ba ab ab ba

 − =

 

+ =

(76)

Giải HPT thu ab=18,ba=81

Từ ta có số cần tìm 18

9B Tương tự 8A Ta có HPT 63

176 ab ba ab ba

 − =

 

+ =

 Tìm ab =79

10A Gọi số cần tìm ,ab a∈*,b∈, ;a b≤9

Ta có HPT

90 630

a b a − = 

 =

 Từ thu số cần tìm 75

10B Tương tự 8A Ta có HPT

1 460

b a a b ab

− = 



− =

 Tìm ab=58

11A Gọi vận tốc dự định thời gian dự định ô tô x (km/h), y (giờ)

(x>4,y> )

Ta có HPT

( 8)( 1)

2

( 4)

3

x y xy

+ − =

 

 −  + =

 

  



Giải HPT ta thu 40 x y

=   =

 (TMĐK)

11B Gọi số băng ghế x (ghế) số chỗ ngồi băng ghế y (chỗ)

(x>2,y>1, ,x y∈  )

Số người ban đầu xy (người)

Sau bớt băng ghế cịn lại x− ghế Mỗi ghế ngồi thêm người số chỗ ngồi băng ghế y+ Khi thêm người so với ban đầu, ta có phương trình (x−2)(y+ =1) xy+

Lập luận tương tự ta có HPT: ( 2)( 1)

( 3)( 1)

x y xy

− + = +



 + − = −



Giải HPT ta thu 20 x y

=   =

 (TMĐK)

(77)

Ta có HPT

1, 1, 90

90 90

1

x y

y x

+ =

 

 − =



Giải HPT ta thu 45 30 x y

=   =

 (TMĐK)

13 Gọi vận tốc xe ô tô xe máy x, y (km/h) ( ,x y> )

Ta có HPT

120 80

96 104

1

x y

 =

 

 + =



=   =

 (TMĐK)

14 Gọi thời gian canơ ngược dịng từ A đến B xi dòng từ B A x, y (giờ)

(x> > ) y

Ta có HPT

8

15 25

x y

 − = 



 =



Giải HPT ta thu

20 x

y  =    = 

(TMĐK)

Vậy khoảng cách AB 25.4 100= km

15 Gọi số dụng cụ phân xưởng làm ngày x, y (dụng cụ)

(x> >y 0, ,x y∈  ) *

Ta có HPT 20 15 1600

4

x y

+ =



 =



=   =

 (TMĐK)

Vậy số dụng cụ phân xưởng I II phải làm 20.50 1000= (dụng cụ) 15.40=600 (dụng cụ)

(78)

Ta có HPT

1 1

12

5 15 75

100 x y x y  + =    + = 

Giải HPT ta thu 20 30 x y =   =  (TMĐK)

17 Gọi thời gian người thứ người thứ hai làm x, y (ngày)

( ,x y > )

Ta có HPT

1 1

4 1 2 x y x y  + =    + = 

Giải HPT ta thu 12 x y =   =



12 x y =   =  (TMĐK)

18 Gọi số học sinh trường x, y (học sinh) ( ,x y∈  ) *

Ta có HPT

350 97 96 338 100 100 x y x y + =    + = 

Giải HPT thu 200 150 x y =   =  (TMĐK)

19 Gọi chiều dài chiều rộng khu vườn x, y (m) (x>0,y> )

Ta có HPT 720

( 6)( 4) 720

xy x y =   + − = 

Giải HPT thu 30 24 x y =   =  (TMĐK)

20 Gọi chiều dài chiều rộng hình chữ nhật x, y (m) (x>2,y> )

Ta có HPT ( 2)( 3) 100

( 2)( 2) 68

x y xy

+ − = +



 − − = −



(79)

21 Gọi số dãy ghế phòng lúc đầu x (dãy) (x∈  ) Gọi số ghế dãy y * (ghế) (y∈  ) *

Ta có HPT 320

( 1)( 4) 420

xy

x y

= 

 + + =



Giải HPT thu

80 x y

=   =



20 16 x y

=   =

 (TMĐK)

22 Gọi khối lượng riêng chất lỏng loại I loại II x, y (kg/m3) ( ,x y > )

4kg chất lỏng loại I 3kg chất lỏng loại II có khối lượng riêng 3;

x y (kg/m

3

),

hỗn hợp sau trộn có khối lượng riêng

4

x+ y

(kg/m3);

Ta có HPT

700

4

200 x y x y

 =

 +  

− = 

=   =

 (TMĐK)

ÔN TẬP CHƯƠNG III

1A a) Học sinh tự giải: ( ; ) 17 1; 5 x y =  

 

b)

i) HPT có nghiệm

1

m m

⇔ ≠ ⇒ ≠ −

−

ii) HPT vô nghiệm

1

m

⇔ = ≠ ⇒ = −

−

iii) HPT có vơ số nghiệm

1

m

⇔ = =

−

⇒ Không tồn m thỏa mãn

1B a) Ta có

3 m

m m −

(80)

b) Sử dụng phương pháp (hoặc cộng đại số) tìm

2

2 5

( ; ) ; 3 m m x y m m + −   =  + +   

Khi đó:

i)

2

2 2

2 5

1

3 3

m m m m

x y m

m m m m

+ − + = − ⇔ + = − ⇔ = + + + + ii) 2

0

0 m x m m y m m +  >  >

 ⇔  + ⇔ − < <

 <  −

  <

 +



2A a) Đưa hệ phương trình

( 1)( 1) ( 1)

x my m

m m y m m

= − + +



 − + = −



+ Nếu m= − HPT vô nghiệm;

+ Nếu m= HPT vô s1 ố nghiệm;

+ Nếu m≠ m≠ − HPT có nghiệm

2 1 m x m m y m +  =  +   =  +  ;

b) Theo ý a, ta có

2 1

2 1 , 1 1 +  ∈  − ∈    +  + ∈ ⇔  ⇔   ∈  − ∈  +  +        m m m x y m m m

Từ tìm m={0, − }

c) Ta có

1 1 1  = −  + ⇒ − =   = −  +  x m x y y m

2B a) Học sinh tự giải: ( ), ; 12

11 11

 

= − − 

 

x y

b) Đưa HPT -

(2 - ) -

(81)

+ Nếu =

m HPT vô nghiệm

+ Nếu

3 ≠

m HPT có nghiệm

2

6

2 .

9  =− +  −  −  =  −  m x m m y m

c) Theo ý b ta có

2

3 18 36

3 5

2 3

1  = − − + −  + = − ⇔ + = − ⇔  − − = −  m m m x y m m m

3A Gọi thời gian người thứ thứ hai làm xong cơng việc ,x y (giờ) (ĐK: x y, >7)

Mỗi người thứ thứ hai làm x

1

y (cơng việc)

Ta có HPT:

1

36 50%  + =    + =  x y y

Giải HPT thu 12 18 =   =  x y

3B Gọi số xe lúc đầu lúc sau ,x y (xe)

(ĐK: *

, ∈ , , >2 x y x y )

Ta có HPT:

28 28 0,  − =    − =  y x x y

Giải HPT thu 10 =   =  x y

4A Gọi quãng đường AB vận tốc riêng ca nô x km( ) (,y km h/ ) (ĐK:

0,

> >

x y )

Ta có HPT:

4

5

5 30  − =  − +   + =  x x y y y

Giải HPT thu 80 25 =   =  x y

(82)

Ta có HPT:

81 105

8

54 42

4

 + =

 + −

 

 + =

 + −



x y x y

Giải HPT thu 24(TM)

=   = 

x

y

5A Gọi giá tiền đôi giày quần áo trước giảm giá ,x y (đồng) (ĐK: x; y>0)

Ta có HPT: 148000

80% 60% 101100

+ = 

 + =

 x y

x y

Giải HPT thu 61500 86500 =

  = 

x

y (TMĐK)

5B Gọi số chi tiết máy tổ I tổ II làm tháng thứ ,x y (chi tiết) (ĐK:

, >0

x y )

Ta có HPT: 900

115% 110% 1010

+ = 

 + =

 x y

x y

Giải HPT thu 400 500 =   = 

x y

6 a) Học sinh tự giải ( ); 12;

5

 

= − 

 

x y

b) HPT có nghiệm

2 ≠ − ⇔3 ≠ −3 m

m

Giải HPT tìmd

12

3

6

3

 =

 +

 − +

 =

 +

 x

m m y

m

Ta có , * 12 *

3

∈ ⇒ ∈ ⇒ =

+

 

x y m

m thử lại thoả mãn

7 a) Học sinh tự giải ( ); 13; ; 17 17

 

(83)

b) Giải HPT tìm

3 17

5

17 +  = 

 −

 = 

m x

m y

Ta có ,

5 > ⇒ >

x y m

8 a) Đưa HPt ( )

( ) ( )( )

1

2

 = − − +

 

− = − +



y a x a

a a x a a

+ Nếu a=0 HPT vô nghiệm

+ Nếu a=2 HPT vô số nghiệm

+ Nếu a≠0 a≠2 HPT có nghiệm

1

+  =    = 

a x

a y

a

b) i) Ta có

1

+

 = = +

 ⇒ − =

  = 

a x

a a

x y y

a

ii) Ta có

2

2 1

6 19 19

6 = 

 

− = ⇔  +  − = ⇔ =

  

a

x y

a

a a

9 a) HS tự giải ( ) (x y; = 2; − )

b) Với m≥0 : HPT có nghiệm ( )x y; =( m; − )

min

2 2

⇒ =P m− ≥ − ∀ ≥ ⇒m P = − m=0

10 a) HS tự giải ( ); 2;10 2

 − 

= − 

 

x y

b) Đưa HPT ( )( )

2 10

= − +



 − + = −



x my

m m y m

+ Nếu m= −2 HPT vô nghiệm

(84)

+ Nếu m≠ ±2 HPT có nghiệm −  =  +   =  +  m x m y m

c) Với m≠ ±2 HPT có nghiệm ;

2 −    + +    m

m m giải u cầu tốn ta tìm

i) m=3 ii) m>3

11 Gọi vận tốc thời gian dự định x (km h ), y (gi/ ờ) (ĐK x y; >0)

Ta có HPT:

120

40 80

10 =    + + =  +  xy y x x

Vận tốc dự định 40 (km h/ ), thời gian lăn bánh đường 40 80 2,

40+40 10+ = (giờ)

12 Gọi vận tốc thời gian dự định x (km h y (gi/ ), ờ) (ĐK x y; >0)

Ta có HPT:

36

18 18

10 =    + + =  +  xy y x x

Giải HPT thu

10 18 =    =  x y

Vận tốc dự định 10 (km h th/ ), ời gian lắn bánh đường 18 18 3,3

10+10+2= (giờ)

13 Gọi suất làm công nhân x (sản phẩm)

Gọi thời gian dự định làm xong việc y (giờ) (ĐK x∈*;y>0)

Ta có HPT:

150

2 2 =    + − + =  +  xy x y x

Giải HPT thu

20 15 =    =  x y

Năng suất dự đinh làm 20 sản phẩm

14 Gọi thời gian tổ I II làm xong cơng việc ,x y (giờ) (ĐK x y; >6)

Trong tổ làm 1;

(85)

Ta có HPT:

1 1

6

2 10

1  + =    + + =  x y

x y x

Giải HPT thu 15 10 =   =  x y

15 Gọi khối lượng loại quặng ,x y (tấn) (ĐK 0<x y; <25)

66% sắt có 25 quặng chiếm 16,

Ta có HPT: 25

75% 50% 16,5

+ =   + =  x y x y

16 Gọi chiều cao chiều dài cạnh đáy ruộng ,x y ( )m (ĐK x>1;y>0)

Ta có HPT:

( )( ) 180

1 180

2  =    − + =  xy x y

Giải HPT thu 10 36 =   =  x y

17 Gọi chiều dài chiều rộng ruộng ,x y ( )m (ĐK x>5;y>0;x> y)

Ta có HPT:

( )( )

100

5 105

= 

 − + =

 xy

x y Giải HPT thu

20 =   =  x y

18 Gọi số cần tìm ,x y (ĐK x y; ∈ )

Ta có HPT:

2 17 157 + =   + =  x y x y

Giải HPT thu 11 =   =  x

y

11 =   =  x y

19 Gọi số dầu ban đầu thùng ,x y (lít) (ĐK x>10,y>0) Số dầu thùng (x−10) (lít)

Ta có HPT: ( 10) 80

10 26  + − + =   − = + 

x x y

x y Giải HPT thu

(86)

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG III

ĐỀ SỐ

Câu A Câu A Câu B Câu B

Bài a) Sử dụng phương pháp cộng phương pháp ta tìm được: =   = 

x y

b) Điều kiện x≠ −1;y≠2

Đặt

1 =

+ a

x

1 , =

− b

y ta

3

2

+ = 

 + =

 a b a b

Giải ta a= =b Từ tìm =   = 

x y

Bài Gọi số cần tìm là: ab a; ∈*;b∈; ,a b≤9

Theo ta có:

18 + = 



− =

 a b ab ba

Giải ta số cần tìm 42

Bài a) Với m=1, phương trình có nghiệm tổng quát là:  ∈= −2

 

y x

x

HS tự biểu diễn tập nghiệm hệ trục toạ độ

b) Ta có hệ phương trình

2

+ = +



 − =



x my m

x y

Để PT khơng có nghiệm chung HPT vơ nghiệm

1 1

2

+

⇔ = − ≠m m ⇒ = −m

c) Xét HPT

3

x my m

mx y m

+ = −



 + = −



Với m≠ ±1, HPT có nghiệm ( ); 1;

1

m m

x y

m m

+ −

 

(87)

Ta có: ( )

( ) (( ) () )

2

2 2

3 8 1

3 1

1 1 1

m m m

m m

x y

m m m m m

+ + +

+ −

= = − +

+ + + + +

Từ tìm x y có giá trị nhỏ -1 m=0

ĐỀ SỐ

Câu D Câu B Câu B Câu A

Bài a) Ta biến đổi hệ phương trình

− = 

⇔ = =  + =

 x y

x y x y

b) Biến đổi, ta

( 2 1) 2

2 .

3 1

2 2

 +

 = − −  =

 ⇔

 + 

 =  = −

 

y x x

x y

c) Điều kiện x y, ≠0 Đặt a= 1;b= 1,

x y ta HPT:

1

15 2

4 35

3  = 

− = =

 ⇔ ⇔

 + =  = 

   =

 x

a b a

a b b

y

Bài Gọi thời gian để đội đội làm xong cơng việc x y (ngày) với (x>0;y>0)

Mỗi ngày đội đội làm 1;

x y (công việc)

Theo ta có:

1 1

45 18

6 30

40%  + =

  =

 ⇔

  =

  + =



x x y

y x y

Vậy đội làm hết 45 ngày xong công việc

(88)

Bài Với a≠0 a≠2 HPT có nghiệm là: ( ); =  +1 1; 

 

a x y

a a

a) Từ x= a+1= +1 1;y= ⇒ − =1 x y

a a a

b) Thay x= a+1;y=

a a vào

2

6x −17y=5 ta thu

( )( )

2

5

3 = 

− + = ⇔ − − = ⇔ 

= 

a

a a a a

a

Kết hợp với điều kiện a≠ ⇒ =2 a 3( )tm

(89)

CHƯƠNG IV HÀM SỐ 2( )

0

= ≠

y ax a

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

BẦI HÀM SỐ y=ax2(a≠0) VÀ ĐỒ THỊ

1A a) Với 3, = −

m ta có hàm số y= −2 x2

i) Tìm f ( )− = −2 8; f ( )0 =0;f (3 2− )= − +34 24

ii) Ta có f a( )= − +6 ⇔ = ±a ( − )

iii) Ta có f b( )≥4b+ ⇒ −6 2b2≥4b+6 Từ tìm b∈∅

b) i) Thay toạ độ điểm A với =

x

3 =

y vào phương trình y=(2m+1)x 2 Tìm

1 = m

ii) Do (−2;1) nghiệm HPT

2

+ = − 



− =

 x y

x y nên thay x= −2 y=1 vào phương trình

hàm số ta = − m

a) i) Tìm f ( )− =3 27;f ( )2 =24, f (1 3− )=39 12 3.−

ii) Ta có a= ±( + ) iii) Ta có b≥ +1 b≤ −1

b) Tìm

2 = −

m

c) i) 5; =

m ii) m=1

2A a) Tính S( )3 =36 ;m S( )5 =100m

⇒ Vật cách mặt đất sau thời gian giây 100−S( )3 =64m sau thời gian giây m

b) Ta có 4t2 =100 Tìm t =5(s)

(90)

a) Ta có S( )4 =130( )m b) t =5( )s

3A a) Ta có 3m+ <2 Từ tính < − m

b) Ta có 3m+ >2 Từ tính > − m

a)

3 <

m b)

3 <

m

4A a) Ta có a= −m2−2m− = −3 (m+1)2− < ∀ ⇒2 0, m ĐPCM

b) Ta có ( 2 3)1 11

4

−m − m− = − Tìm m∈ −{ 4; }

4B a) Ta có

2

 − − >

 

− ≥ 

m

m Từ tìm

7 > m

b) Ta có 2m− − =3 2 Tìm 19 =

m

5A a) Từ A(− 2; 4)∈( )P , tìm a=2

b) i) Đồ thị hàm số

2 =

y x HS tự vẽ hình

ii) Thay toạ độ điểm PT ( )P ta điêu A C, thuộc ( )P ; điểm B không thuộc ( )P

iii) Các điểm nằm ( )P có tung độ nên ta có 2=2x2⇒ = ±x

Tìm hai điểm ( ) (1; , −1; )

iv) Có M x y( 0; 0) ( )∈ P ⇒ y0 =2 x M 02 Ox Oy, nên ta có

2 = ⇒ = ±2

x y x x Tìm 0 0; ;1

2

 

∈ − 

 

x

Vậy điểm cần tìm 1( )0;0 , 2 1; 2

 

 

 

M M 3 1;

2

− 

 

 

M

(91)

a) = m

b) i) HS tự vẽ

ii) Điểm A C, không thuộc ( )P ; điểm B thuộc ( )P

iii) 1;1

 

 

  iv) ( ) (0;0 , 6;12 )

6A a) Đồ thị ( )P d HS tự vẽ hình

b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( )P d : 2x2 = +x Tìm x=0

=

x Vậy giao điểm ( )1; , 1; 2

− 

 

 

c*) Dựa đồ thị, ta thấy 1

− < <x nghiệm bất phương trình 2x2− − <x

a) HS tự làm b) Ta có ( )0;0 , 1;

 

 

  c

*

)x≤0 ≥ x

7A.Tương tự 5A

a) HS tự làm

b*) Ta có 2x2 =2m−3.Đường thẳng d y: =2m−3 song song với trục hoành Dựa vào đồ

thị, ta có:

 Với

2

m= : Phương trình có nghiệm x=0

 Với

2

m> : Phương trình có hai nghiệm 1,2

m

x = ± −

 Với

2

m< : Phương trình vơ nghiệm

a) HS tự vẽ đồ thị hàm số 2 y= x

(92)

Với m>2 : Phương trình có hai nghiệm x1,2 = ± 2m−4

Với m<2 :Phương trình vô nghiệm

a) i) Tìm m=5 ii) Tìm 13

m= ± iii) Tìm

3 m= ±

b) Tìm

4 m= −

9 Tương tự 2B

a) Ta có S( ),5 =2, 25( )m ⇒ heo cách mặt nước sau 1,5 giây 1, 75 mét

b) Tính t=2 giây

a) Ta có m2+2m+ > =3 (m+1)2+ > (ln đúng)

b) Ta có m2+2m+ =3 Tìm

1

m m

 = − + 

= − −



a) Tìm

3 m

− ≤ < b) Tìm

3 m>

a) HS tự làm

b) Toạ độ giao điểm ( )P d ( )0;0 9;

 

 

 

c*) Tính x

≤ ≤

13 a) Hai giao điểm O( )0;0 1;

M 

 

b) Tìm N( )1;1 c) Khơng tồn giao điểm

d) Ta có

2

4;

2 m

K− −m − − m− 

 

2

4 ;

2 m

H −m − + m− 

(93)

14 a) Tìm a=1

b) Ta có d đi qua O nên d y: =mx. Vì d đi qua N( )2; nên 4=2 m Tìm m=2

Vậy d y: =2 x

d) Xét phương trình hồnh độ giao điểm

2

x = x Tìm

2 x x

=   =

 Vậy toạ độ giao điểm

( )P d là: ( )0;0 ( )2;

BÀI CƠNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1A a) Ta có 5x2−7x= ⇔0 x x(5 − =7) Tìm 0;7 x∈  

 

b) Ta có 2

3x x

− + = ⇔ = Tìm x= ±

c) Ta có x2−6x+ = ⇔5 (x−1)(x− =5) Tìm x∈{ }1;5

d) Ta biến đổi thành x ( + 2)2 = 11 Tìm 33 x= − ±

e) Ta có: ( )

2

4 12

x + x+ = ⇔ x+ =

Tìm x= −2

g) Ta có ( )

2

x + x+ = ⇔ x+ = − ( vơ lí)

PT vơ nghiệm

a) Tìm x={2 3;0} b) Vơ nghiệm

c) Tìm x= −3 d) Tìm 37

2 x= ±

e) Tìm 11

2

x= − ± g) Vô nghiệm

2A Thay x = vào phương trình ta có x=4 2m 2− −2 10m2 =0 Tìm 11

5 x= ±

(94)

3A a) Ta có a = 2, b = −3, c = −5 Tính D= 49 >

Phương trình có hai nghiệm phân việt: 1,2

5 1;

2

b

x x

a

− ± ∆  

= ⇒ ∈ − 

 

b) ta có a = 4, b =4 3, c= Tính ∆ = Ta tìm

2 x= −

c) Ta có a=2, b=2, c= −1 Tính ∆ =

Phương trình có nghiệm phân biệt 1,2

2

4

x = − ± = − ±

d) Ta có a = 1, b = 3, c = Tính ∆ = − 17 < Phương trình vơ nghiệm

3B Tương tự 3A

a) Tìm x∈{6; 5− } b) Tìm x = −

c) Tìm 1,2

1

x = ± d) Tìm x∈∅

4A Tương tự 3A

a) Tìm 5;

2

x∈  − − − 

 

  b) Tìm

2 x=

c) Tìm

3

,

3

x = x = − d) Tìm x∈∅

4B Tương tự 3A, 4A

a) Tìm 1,2

11

x = − ± b) Tìm x∈∅

c) Tìm x∈{ }2; b) Tìm

3 x=

5A a) Ta có a=4, b= −4, b '= −2, c= −3

Tính ∆ =' 16>0.Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1,2

' '

; 2 b

x x

a

− ± ∆  

= ⇔ ∈ − 

(95)

b) Ta có a=1, b=8 3, b '=4 3, c=48 Tính ∆ ='

Phương trình có nghiệm kép x1=x2 = −4

c) Ta có a =1, b=2 2, 'b = 2,c=6 Tính ∆ ='

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x∈{ 2; − }

d) Tìm x∈∅

a)

3

x= b) x= c) x∈{ }4; d) x∈∅

a)x∈ +{4 5; 4− +2 5} ) b x= −

3

) 1;3

3 c x∈ − − − 

 

  d x) ∈∅

6B Tương tự 5A

a) x∈{ 5−3 5} b) x= −2

c) x∈ − − −{ 1; 5} d) x∈∅

7A Xét ∆ =' (m−1)2− −m m( −3)= + m

a) Phương trình có nghiệm phân biệt 0 m≠ 

⇔ ∆ >

 Tìm m≠0,m> −

b) Xét m≠0 Phương trình có nghiệm kép

'

m

m ≠

 ⇔ = −

∆ = 

c) Tương tự, ta tìm m< − d) Tìm m 0; m= = −

e) Tìm m≥ −1

(96)

a) Tìm 1,

m> − m≠ b) Tìm m= −

c) Tìm

4

m< − d) Tìm 2;

m= m= −

e) Tìm

4 m≥ −

8A Ta có ∆ =(b− −c a b)( − +c a b)( + +c a) Từ chứng minh ∆ <0

8B Ta có 2

2 2

a b c ab bc ca

∆ = + + − − −

Vì

a< + ⇒b c a <ab+ca Tương tự ta có b2 <ab+bcvà

c <ca+bc Từ suy ∆ <0

9A a) Gọi x0 nghiệm chung hai phương trình

Ta biến đổi (1 m x+ ) 0 = +m Tìm m= − ho1 ặc m 2=

b) Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Hai phương trình vơ nghiệm 2,

m −

⇒ − <

Trường hợp 2: Hai phương trình có nghiệm tập nghiệm giống

1 m

⇒ = − Vậy

m −

− < < hai phương trình tương đương

a) Tìm a∈∅ b) Tìm

4< <a

a) Tìm 17

2 x∈  ± 

 

  b) Tìm

4 x= ±

c) Tìm 1;

2

x∈ − 

  d) Tìm

2003 1;

2018 x∈ − 

 

11 Tương tự 2A Tìm 2; 18 m∈ − 

 

(97)

a) i) 17 24

m> − ii) 17 24

m= − iii) 17

24 m< −

iv) m∈∅ v) 17

25 m≥ −

b) Ta có ∆ =24m+17

* 17

24 m

∆ < ⇔ < − , PT vô nghiệm

* 17

24 m

∆ = ⇔ = − , PT có nghiệm kép 1 2

4 m x =x = +

* 17

24 m

∆ > ⇔ > − , PT có hai nghiệm phân biệt 1,2 24 17

m m

x = + ± +

13 Gọi x nghi0 ệm hai phương trình Ta có: (a−c x) o = − d b

Nếu a≠cthì x0 d b a c − =

− Thay x0vào phương trình ta ĐPCM

Nếu a =c b=d⇒ĐPCM

14 Ta có ∆ + ∆ =1 2 a2+b2−4(a+ Từ b) 1 1

2 a b 2ab

a+ = ⇒ + =b

Từ ta có ∆ + ∆ =1 2 (a b− )2 ≥ ⇒0 ĐPCM

15 Tương tự 9A

a) Tìm m 2= m= −3 b) Tìm 1< <m 2

BÀI 3: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

1A Ta có: ∆ =13> ⇒0 Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x x 1, 2

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có

1

5

3

x x

x x

+ =



 =



a) Ta có : A=x12+x22 =(x1+x2)2−2x x1 2 =52−2.3 19=

b) Ta có : B=x13+x23 =(x1+x2)3−3x x1 2(x1+x2)=53−3.3.5=80

c) Ta có : C = x1 + x2

2 2

( ) 2 25

C x x x x x x x x x x C

(98)

d) Ta có D= x1−x2 = (x1+x2)2−4x x1 2 = 52−4.3 = 13

a) Ta có : 25

6

M = − b) Ta có : 13

14 N =

c) Ta có : 49

4

P= − d) Ta có : 17

12 Q= −

2A a) Ta có ∆ =' (m−3)2 ≥ ∀ ⇒0, m Phương trình có hai nghiệm x x v1, 2 ới m

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

1

2

x x m

x x m

+ = −



 = −



Biểu thức liên hệ x x không ph1, 2 ụ thuộc vào m : x1+x2−x x1 2 =

Phương trình có hai nghiệm x x v1, ới m

Biểu thức liên hệ x x không ph1, 2 ụ thuộc vào m : 2(x1+x2)+x x1 2 = −

3A a) Ta có: 15 ( 17) 1 1, 2 ; 15

a+ + =b c + − + = ⇒ x = x =

b) Ta có : 1230 ( 4) ( 1234) 1 1, 2 1234;

1230

a b− + =c − − + − = ⇒ = −x x =

c) Ta có : a+ + =b c (2− 3)+2 3+ − −( 3)= ⇒0 x1=1,x2 = − −7 3;

d) Ta có : ( 5) ( 2) 1 1, 2

5

a b− + =c − − + + − = ⇒ x = − x =

a) Ta có 1 1, 2 2;

x = x = b) Ta có 1 1, 2 32;

23 x = − x =

c) Ta có 1 1, 2 1979; 1975

x = x = − d) Ta có 1 1, 2 198

311 x = x =

4A a) Thay x= −2 vào phương trình ta tìm được: m= −1

Với m= −1, ta có

2

2 x

x x

x = 

+ − = ⇔  = −

(99)

b) Ta thấy a+ + =b c (m−2)+ −( 2m− + + =5) m

⇒ Phương trình ln có nghiệm x=1 khơng phụ thuộc vào m

c) Với m=2: Phương trình có nghiệm x=1

Với m≠2: Phương trình có hai nghiệm x=1 m x

m + =

−

4B a) Tìm

9

m= tìm nghiệm x x

=   = −



b) Thay x= −2 vào phương trình cho, ta có:

2

(2m− −1)( 2) +(m−3)( 2) 6− − m− =2 (luôn đúng) ⇒ ĐPCM

c) Với

m= : Phương trình có nghiệm x= −2

Với

2

m≠ : Phương trình có hai nghiệm 2;3

2

m x

m +

 

∈ − 

−

 

5A a) Ta có u v hai nghi, ệm phương trình sau:

{ }

2 12

15 36 ( , ) (12;3), (3;12)

3 X

X X u v

X = 

− + = ⇔  = ⇒ ∈



b) Ta có: 2

( ) 13 2.6 25

5 u v

u v u v uv

u v + = 

+ = + + = + = ⇔ 

+ = − 

* Với u+ =v ta có u v hai nghi, ệm phương trình sau:

2

5

3 X

X X

X = 

− + = ⇔ 

= 

* Với u+ =v ta có ,u v hai nghiệm phương trình sau:

2

5

3 X

X X

X = − 

+ + = ⇔ 

= − 

Vậy ( , )u v ∈{(2;3), (3; 2), ( 2; 3), ( 3; 2) − − − − }

a) Khơng tồn ,u v thỏa mãn

(100)

b) Tìm ( , )u v ∈ − −{( 2; 10), ( 10; 2) − − }

6A Ta có: (2+ 3) (+ 2− 3)= (2+ 3)(2− 3)=

Do đó, 2+ 2− hai nghiệm phương trình sau:

2

4

X − X + =

6B Tương tự 6A Tìm phương trình

4 77

X + X − =

7A a) Ta có: 25 12 25

12

m m

∆ = + ≥ ⇔ ≥ −

b) Ta có ( )

( )

2 2

1 1 2

2

2 50 12

9

x x m

S

x x x x m

+ +

= + = =

( )2

2 2

1 1 2

2 4

9 P

x x x x m

= = =

Với ĐK: 25

12 m

≠ ≥ − ta có 2

1

2

x 22

x hai nghiệm phương trình bậc hai

2

50 12

0

9

m

X X

m m

+

− + = hay: 2

9m X −2(6m+25)X + =4

7B Tương tự 7A Điều kiện: 25

12

m≥ − Phương trình tìm là:

2 10

0

3

m m

X X

m m

+

+ + =

+ + (Điều kiện:

25

12 m

− ≠ ≥ − )

8A a) Ta có: x2−7x+ =6 (x−1)(x− 6)

b) Ta có: 30 34 30( 1) 17

15 x − x− = x+ x− 

 

c) Ta có: x−5 x+ =6 ( x−2)( x−3 ;)

d) Ta có: 2( 1)

2 x− x+ = x−  x− 

 

a) Ta có 4( 1)

4 x − x+ = x− x− 

 

b) Ta có 21 26 21( 1) 26 ;

21 x − x− = x+ x− 

(101)

c) Ta có 4( 1) ; x− x+ = x−  x− 

 

d) Ta có 12 12( 1)

12 x− x− = x−  x+ 

 

9A a) Phương trình có nghiệm trái dấu ⇔ ac< ⇔ >0 m b) Phương trình có nghiệm phân biệt âm

2

0

2

0 2( 3)

1

0

m m

m

S m

m

P m

′ 

∆ > − + >



<  



⇔ < ⇔ − < ⇔  ≠



 >  − >

 

c) Phương trình có nghiệm dương:

TH1: Phương trình có nghiệm kép nhận giá trị dương

Xét ∆ = ⇔′ m=1, thay vào PT ta có: x2+4x+ = ⇔ = − <4 x (loại) TH2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm dương

0

ac m m

⇔ < ⇔ − < ⇔ >

d) Phương trình có nghiệm x x tho1; ả mãn

1

0

3

( 3)( 3)

x x

∆ >  < < ⇔ 

− − <



Giải ta

3 m

m  <    ≠ 

0 32

1

0

2

0

m

S m

P m

∆ > − >

 

−

 

⇔ > ⇔ > ⇔ < <

 >  + >

 

9B Tương tự 9A.

a) Tìm m<1 b) Tìm m>1

c) Tìm m<1 d) Tìm

2 m m

<   ≠



10A Ta có ∆ =52−4(m+4)= −9 m

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

4 m ⇔ ∆ > ⇔ <

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1

5

4

x x

x x m

+ =



 = +



(102)

( ) ( )

1

2 m

2

m

m m

 ≥ 

⇔ + = − ⇔  ⇔ ∈∅

 + = ± −



b) Ta có 3x1+4x2− ⇔6 3(x1+x2)+x2 = ⇔6 x2 = − Vì x= −9 nghiệm phương trình nên ta có

( )2 ( )

9 m m 130

− − − + + = ⇔ = − Ta tìm m= −130

c) Ta có ( 1 2)2 1 2

2

3

x x

x x x x

x + x = − ⇔ + + =

Tìm m= −29

d) Ta có x1(1 )− x2 +x2(1 )− x1 =m2−23

2

1 23

x x x x m

⇔ + − = − Tìm m= − ±3 13

10B Tương tự 10A

Ta có ∆ =(2m−1)2≥ ∀0, m,do phương trình ln có hai nghiệm với m

a) Tìm

2 m= ±

b) Tìm m=2

c) Để hai nghiệm độ dài hai cạnh tam giác vng có độ dài cạnh huyền

1

2

1

0

4

32

x x

x x

x x

+ > 



⇔  >

 + =



Giải hệ thu m=3 d) Tìm m∈∅

a) Ta có 11

9

A= − b) Ta có 16

87 B=

c) Ta có C =9 d) Ta có D= − 41

a) Ta có 1 1, 2 16

x = x = b) Ta có x1= −1,x2 =

c) Ta có x1 =1,x2 =19 d) Ta có 1 1, 2 247

246 x = − x =

13 a) Ta có ∆ =4(m−3)2 ≥ ∀ ∈ 0, m

b) Tìm m>1

(103)

a) Tìm (u, v)∈{(7; 15 ,− ) (−15;7)}

b) Tìm (u, v)∈{(15; ,− ) (−6;15)}

15 a) Tìm m= ±4

b) PT : ( )( )

( ) ( ()( ) )

2 4

0

2 4

m m m m

X X

m m

+ − − − +

+ + =

− −

c) Ta có hệ thức x1+x2+2x x1 2 = − 17 d) Ta có Amin =33⇔ m=

a) Tìm − < <2 m b) Tìm

4

9

2

m

m >   −

 < < − 

c) Tìm − < < −2 m d) Tìm m∈∅

17 Tương tự 9A 10A

a) Ta có ∆ =25> ∀ ∈  0, m b) Tìm m< −3

c) Ta có min 25

2

A = ⇔ =m − d) Tìm

0 m m

= −   = 

BÀI PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1A a) Đặt

0

x = ≥t , ta có:

5

t + − =t

Giải ta t =1 (TM) t = −6(Loại)

Từ tìm x= ±1

b) Đặt ( )2

1

x+ = ≥ t

Sau tìm t ta tìm x= − ±1

1B a)x∈∅ b) x= ±1

2A a) ĐK : x≠1 x≠2

Quy đồng mẫu thức, giải : x= ± 9−3

b) Tìm x= −17 x= − ±1 31

c) Tìm x=5

2B a)

4

x= − x=5 b)x=1 c)

2

x= x=5

3A a) Đưa PT dạng: (x− 2)(x+ 2)(x+3)=

(104)

b) Tìm x=4

3B a) x=1 33

x= ± b) 1;

2

x= x= 10

3 x=

4A a) Đặt y=x2+3x+1 Giải ta y= ±

Từ tìm 17

2 x= − ±

b) Xét hai trường hợp:

Trường hợp Với x=0, thay vào thấy không nghiệm

Trường hợp Với x≠0, chia hai vế PT cho

x sau đặt x 16 60 y x

+ + =

Giải ta y= y= − Từ tìm x= −15 x= −4

c) Trường hợp Xét x=0, thay vào thấy không nghiệm

Trường hợp Xét x≠0, chia tử mẫu cho x sau đặt y 3x x

= +

Giải ta y= − 11 y=

Từ tìm 11 97

6 x=− ±

4B a) 37

x= ±

2 x= ±

b) x=4 x= −5

c)

4

x= − x= −

5A a) Đk: x≥0; Biến đổi phương trình ta

3 3 0

x− = − x ⇔ x− ≤ ⇔ ≤ ≤ x

b) PT 2 2

3

3 8

8

7

7 x x

x x

x x x x

≤  − ≥

 

⇔  ⇔  ⇔ =

=

+ + = − +

 

5B a) x=1 b) x=1 x=5

6 a) Thêm 4x2 hai vế PT, ta (x2+2)2 =(2x+6)2

Giải ta x= ±1

b)Tìm 13

1

(105)

c)Tìm x= − ±

7 a) ĐK: 0≤ ≤ ⇒x 41− ≥ −x xvà x ≥ x

1

VT x x VP

⇒ ≥ − + = =

Dấu “=” xảy 1

1

x x

− = =

 

⇔  ⇒ 

− = =

 

Kết luận

b) Tìm

2 x=

8 a) Đặt 2x− =1 t(t≥0)⇒ − + = Tìm t từ tìm t2 6t x∈ −{ 2;0;1;3}

b) PT

2

5

2 11

5

x x

 

⇔ −  + =

+ +

 

Đặt x

t

x+ = , tìm t = −11 t =1

Từ tìm 21 x= ±

10 a) x= ±2 b) x=1 x= −3

11 a)

x= b) Vô nghiệm

12 a) x= ±1 3hoặc x= ±1 b) 21 x= − ±

c) 17

2

x= − ± d) x= ±2

13 a)x= −1hoặc x= ±1 b)

3

1 x=

−

Bài 5: GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

1A Gọi số thảm phân xưởng phải dệt ngày theo kế hoạch *

( )

x x∈N

Theo ta có phương trình: 3000 3000 10

x

x x

− − = −

+

Giải phương trình ta x=100 (TMĐK) Kết luận

(106)

2A Gọi suất tổ x(x>0 phần công việc/giờ); Năng suất tổ là:

2−x

(phần cơng việc/giờ)

Thời gian tổ làm xong công việc

x

Thời gian tổ làm xong cơng việc 1 2−x

Theo có phương trình: 1

2

x = −x−

Giải phương trình ta

3

x=

Vậy thời gian tổ 1, tổ hồn thành cơng việc

2B Người thứ hồn thành cơng việc 40 giờ,

Người thứ hai hồn thành cơng việc 60

3A Gọi thời gian đội thứ làm xong nửa công việc x ngày (ĐK: 6< <x 25 )

Thời gian đội thứ hai làm xong nửa công việc 25−x ngày

Trong ngày đội thứ làm

2x cv đội thứ hai làm

1

2(25−x) cv

Trong ngày hai đội làm

2 cv

Ta có PT: 1

2x+2(25−x) =12

Giải PT ta tìm 15 10 x x

=   =

 (TM)

Kết luận

3B Đáp số

4A Gọi số lớn a ; Số bé là:

3

a−

(107)

Ta có

2

119

a

a − −  =

  Giải PT ta a=12

4B Gọi số thứ a ; số thứ hai 17 a− Theo đề ta có phương trình: 3

(17 ) 1241

a + −a =

Giải phương trình ta có a=9 a=8

5A Chiều rộng khu vườn 60m ; Chiều dài khu vườn 80m

5B Đáp số: Chiều rộng 12m; Chiều dài : 19m

6A Gọi quãng đường AB x km x( >0)

Thời gian xe máy thứ chạy

30

x

giờ; thời gian xe máy thứ hai chạy

2

36x + (giờ)

Theo đề ta có phương trình:

30 36

x = x +

Giải phương trình ta x=120

Vậy quãng đường AB 120km

6B Vận tốc người từ A đến B 12km h c/ ủa người từ B đến A 9km h /

7A Gọi thời điểm hai người gặp lúc x (giờ) (x>0);

Theo ta có phương trình: 10( 7) 30 26

x− = x− 

  ;

Giải phương trình ta x=9,5 ; hay lúc 30 phút Hai người gặp lúc 30 phút

7B Đoàn tàu từ Hà Nội Thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc 40km h / ; đoàn tàu từ Nam Định Thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc 35km h /

8A Gọi vận tốc riêng canô v km h x( / ; >3)

(108)

Giải phương trình ta x=15(km h/ )

8B Vận tốc canô nước yên lặng 16km h /

9A Gọi số học sinh lớp 8A x x( >21); Số học sinh lớp 8B 94−x

Theo đề ta có phương trình: 25 20 (94 ) 21 100x+100 −x =

Giải phương trình ta có x =44

Vậy số học sinh lớp 8A 44 em, 8B 50 em

9B Số học sinh lớp 8A 33 em, 8B 27 em

10 Đơn vị thu hoạch 350 thóc; Đơn vị thu hoạch 250 thóc

11 Theo quy định ngày tổ sản xuất phải làm 40 sản phẩm

12 Người thứ làm xong cơng việc,

Người thứ hai làm xong cơng việc

13 Đáp số: 23 32

14 Độ dài cạnh tam giác vuông 5; 12 13 cm

15 Thời gian xe lăn bánh đường

16 Vận tốc máy bay cánh quạt 600 km/h; Vận tốc máy bay phản lực 900 km/h

17 Vận tốc canô xuôi dòng 180

11 km/h

18 Khối lượng riêng hai chất 0,8 g/cm3; 0,6 g/cm3

BÀI 6: BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARAPOL

1A.a) Với n=1 , ta : 1

d y = x+

i) HS tự làm

ii) Xét PT hoành độ giao điểm d và( )P :

2

1

1 2

x

− − =

Giải ta x1= − x2 =

Từ tìm 1;1 ; ( )2; 2

A−  B

(109)

iii) Tính

2

AOB

S = cách sau:

Cách Gọi ,H K lần lượt hình chiếu vng góc ,A B trục Ox Khi SAOB =SAHKB −SAHO −SBKO

Cách Gọi I giao điểm d ; ;Oy M N lần lượt hình chiếu vng góc ,A B lên

trục Oy Khi đó:

2

AOB AOI BOI

S =S +S = AM OI + BN OI

Cách Gọi T hình chiếu vng góc O d Khi đó:

AOB

S = OT AB

b) PT hoành độ giao điểm d ( )P :

2

x − −x n=

i) d tiếp xúc với ( )P ⇔ ∆ =0 Từ tìm

8

n= −

ii) d cắt ( )P hai điểm phân biệt ⇔ ∆ =0

Từ tìm

8

n> −

iii) d cắt ( )P hai điểm nằm hai phía trục Oy⇔ac<

Từ tìm n>0

1B a) Với m=3 ,ta d y: = − +2

i) HS tự làm

ii) Xét PT hoành độ giao điểm d ( )P : x2 +2x− =3

Giải ta xm = − xn =

Từ tìm M( 3;9);− N(1;1)

Độ dài ( ) (2 )2

4 = N − M − N − M =

MN x x y y

b) PT hoành độ giao điểm d ( )P :

2

x + x− =m

i) d tiếp xúc với ( )P ⇔ ∆ =0 Từ tìm m= −1

ii) d không cắt ⇔ ∆ <0 Từ tìm m< −1

(110)

0 0 S P ∆ >   ⇔  <

 > 

Từ tìm − < <1 m

2A a) Gọi PT đường thẳng d có dạng y=ax+b Theo đề ta có : A B, ∈( )P ⇒ A( 2;1); (4; 4)− B

Do

1

2 1

, 2:

4

2 

− + = =

 

∈ ⇒ ⇔ = +

+ =

  =

a b a

A B d y x

a b

b

b) PT đường thẳng d có dạng y= −2x+b với

2

b≠

2

x + x− =b

d tiếp xúc với ( )P ⇔ ∆ = + = ⇔ = − ⇒ = − − ' b b y 2x

c) Gọi PT đường thẳng d có dạng y =ax+b

2

0

x

ax b

− − = ,với

a b

∆ = +

Để d tiếp xúc với ( )P điểm C(3;3) :

0

:

3 3

a

d y x

a b b

∆ = =

 

⇔ ⇒ = =

 + =  = −

 

2B Gọi PT đường thẳng d có dạng : y=ax+b

Vì ( ) 1;

2

M ∈ P ⇒M 

 

Do

0

, 1 1

2

b

O M d

a b =  

∈ ⇒  + =

 Tìm

1 a b

=   =



Từ d y: =x

Vì d ⊥ nên d có dd' ạng y= − +3x b PT hoành độ giao điểm d ( )P

6

x + x− b=

(111)

Từ tìm :

d y= − −x

PT hoành độ giao điểm d ( )P

3x −ax− =b

Vì d tiếp xúc với ( )P điểm N(1;3) nên a b ∆ = 

 + =



Từ tìm d y: =6x−3

3A a) Ta có d y: =kx−1

PT hoành độ giao điểm d ( )P :

1

x +kx− =

Ta có: ∆ =k2+ >4 với k ⇒ ĐPCM

b) Ta có : x1−x2 =k2+ ≥ ⇒4 x1−x2 ≥

c) Sử dụng đính lý Pitago đảo

3B a) Tìm d' :y= − +3x b) Tìm

4 m

− < <

4A a) Thay tọa độ điểm A vào PT ( )P tìm

3

m=

Khi ta parabol ( ) :

3

P y= x

b) Tìm A( 3; 4)− B(2 3; 4)⇒ AB=4

Từ

2

AOB

S = AB = (đvdt)

4B a) Tìm

y= −x

b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( )P d

2

x + mx− + =m có

2

m m

∆ = + −

Với ∆ > ⇔ >0 m m< −2 d cắt ( )P hai điểm phân biệt

Với ∆ = ⇔ =0 m 1hoặc m= −2 d tiếp xúc ( )P

(112)

5 a) A( 2; 1)− − b)

4

a= − ( ) :

4

P y= − x c) y= + x

6 a) HS tự vẽ hình b) Tìm m= −1

c) d luôn qua A(2; 1)− thuộc ( )P

7 a) PT hoành độ giao điểm d ( )P :

2

2x +mx− =

Vì a c trái d, ấu (hoặc

4

m

∆ = + > ) ∀m nên ta có ĐPCM

b) Gọi x x hai nghi1, 2 ệm PT hoành độ giao điểm

1 2

( ; ), ( ; )

A x mx B x mx

⇒ − − x1+x2 = −2 , m x x1 2 = −

2

(4 16)( 1)

AB m m

⇒ = + +

min AB

⇒ = m=0

Từ SAOB =

8 a) PT hoành độ giao điểm d ( )P có ,a c trái dấu

b) Sử dụng định lý Pitago đảo

9 a) m= −2 m=4 b)m=10 10

9

m=

10 a)

y= − x b)

16

m= −

11 a) ( 2; ) (− 2; 2) c)

2 m

− < <

b)

' (m 1)

∆ = − + > ∀m

ÔN TẬP CHƯƠNG IV

1A a) 1;

2

m> − m≠ b) 1;

2

m= − m=

c)

2

m< − e)

2

m≥ −

(113)

c) a >2; d) a < -6

2A Chứng minh ∆ + ∆ + ∆ > ⇒1' '2 '3 ĐPCM

2B Ta có 2

' a b c ab bc ca

∆ = + + − − −

Chứng minh ∆ ≥ ⇒' ĐPCM

3A a) Biến đổi phương trình thành 35− = −x 1 2+x.

Sau lập phương hai vế đặt 2+ =x t.

Khi phương trình trở thành

2

t − − =t Giải ta t= −1 t =2 Từ tìm x = -3 x =

b) Cách Dễ thấy x = x = nghiệm PT

Đặt 2018 2018

( 1) ( 2)

A= x− + x− Ta nhận thấy x > x < A>1

Khi 1< <x A<1

Cách Đặt a= −x Phương trình trở thành 2018 2018

( 1)

a + a− = Nhận xét PT có nghiệm 0≤ ≤a

và 2018 2018 2

( 1) ( 1) (1 )

a + a− ≤a + a− = − a −a

Vậy phương trình có nghiệm

1

a x

= =

 

⇔

 =  =

 

Kết luận: Phương trình có tập nghiệm S ={ }1;

3B a) Biến đổi phương trình

(x+1) =2019

Từ tìm x= − +1 2019;

b) Biến đổi phương trình 2

(x −2x−1)(x − − =x 1)

1

1 2,

2 x= ± x= ±

4A a) d y: =kx+ −k 2;

b) Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) là:

2

(114)

c) max 15

4

S = − ⇔ =k (TM k< )

4B a) Khi m=1 d y: = +x HS tự vẽ hình b) d ln qua điểm cố định M(0;1)

Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) có a, c trái dấu có

1

m

∆ = + >

m ∀

c) m= ±2

5A a) Với m = phương trình có nghiệm kép x1=x2 = − 2;

Với m≠2 phương trình có nghiệm phân biệt x1= − x2 = − m;

b) m= −3 nghiệm lại x= − 2;

c) m= 2;

d) m= − 2;

e) m>0 hai nghiệm âm;

g) i)

8 8;

A=m − m− ii) m= 0; iii) Amin = − ⇔8 m= 4;

h) P= −8

5B a)

(2a 3)

∆ = + + > ∀ ∈a ; b) min 1;

2

A = ⇔m= −

c) 3;

4

a> − d) a∈∅

6 a)

(2m 7) 39 0, m ;

∆ = − + > ∀ ∈

b) max 471 27;

16

A = − ⇔ m=

c) m =3

b) 2017

m=

8 a) m≠ − 2; b) m=0;m= − 4; c) m< −1;m≠ −

(115)

b) m>8

b) m= ±1

11 a)

y= −x b) m= −20

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG IV ĐỀ SỐ

Câu C Câu D Câu A Câu C

PHẦN II TỰ LUẬN Bài 1: Giải ta được:

5 )

-4;-2

 

∈  

 

a x b) x∈{-1+ 3;3+ 3}

Bài a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương

8

2

( 1)

∆ = + > 



⇔  = + >

 = − >



m

S m

P m m

Giải ta m>1

Từ kết luận: PT khơng có hai nghiệm phân biệt dương ⇔ ≤m

Gọi chữ số hàng chục hàng đơn vị a b *

(a∈ ,a≤9;b∈,b≤9)

Theo đề bài, ta có: 2 25 13 + = 



+ =

 a b

a b

Giải ta a=2,b=3 a=3,b=2

Kết luận

Bài a) HS tự làm

b)Xét phương trình hoành độ giao điểm d (P):

2

x − mx− = Cách Vì ∆ =' m2+ >4 0∀m nên ta có ĐPCM

Cách Vì ac = − <4 nên phương trình ln có hai nghiệm trái dấu chúng phân biệt

(116)

c) i) Từ giả thiết theo hệ thức Vi-ét, ta có:

1

4

2

x x

x x

= − 

 − =



Giải ta x1=1,x2 = − ho4 ặc 1 8, 2

x = x = −

Mặt khác, x1+x2 =2m nên tìm

2

m= − 15

m=

ii) Ta có A=2(x1+x2) (− x1+x2)2+2x x1 2

Áp dụng hệ thức Vi-ét biến đổi ta được:

(2 1)

A= − m− −

Từ tìm max

2

A = − ⇔ m=

ĐỀ SỐ

Câu B Câu B Câu D Câu A

Phần II TỰ LUẬN

Bài a) 1; ;

 

 

  b) {− −1 2; 2− }

Bài a) Tìm ( 1; )1

A − B(2; 2) tọa độ giao điểm d (P)

b) HS tự vẽ d (P) hệ trục tọa độ Oxy

Cách Gọi H, K hình chiếu vng góc A, B trên trục Ox Khi đó: SAOB =SAHKB −SAHO −SBKO

Từ tìm

2

AOB

S = (đvdt)

Cách Gọi I giao điểm d Oy; M, N hình chiếu vng góc A, B lên trục Oy

Khi đó:

2

AOB AOI BOI

S =S +S = AM OI+ BN OI

Từ ta tìm

2

AOB

S = (đvdt)

(117)

T đồng thời thuộc đường thẳng qua O vng góc với d

Từ tính OT AB áp dụng công thức

AOB

S = OT AB ta tìm

2

AOB

S =

(đvdt)

Bài a) PT có hai nghiệm x x trái d1, 2 ấu ⇔ac<0 Từ tìm m<0

b) Với m = , phương trình có dạng

2x −9x+ =5

Cách Áp dụng công thức nghiệm PT bậc hai, tìm nghiệm x x thay vào M tìm 1, 2

được 61

4

M =

Cách Biến đổi M =(x1+x2)2−2x x1 2 áp dụng hệ thức Vi-ét, ta tìm 61

M =

c)Vì

16

m

∆ = + > ∀m nên PT ln có hai nghiệm phân biệt Xét ba trường hợp:

1

0

x x

x x m

x x + > 

< < ⇔  ⇔ >

>



Trường hợp Ta có x1< <0 x2 ⇔ac< ⇔ < m

1

(0)

0

0 f

x x m

x x

= 

= < ⇔ + > ⇔ =



Kết luận

d) Ta có 1 2 1 2

1

0

1 ( 1)( 1)

( 1) ( 1)

x x x x m

x x

∆ >  

< < ⇔ − − > ⇔ ∈∅

 − + − >



Kết luận

Định dạng
Số trang	117
Dung lượng	1,65 MB