tom tat ly thuyet mon toan dai so lop 9

tom tat ly thuyet mon toan dai so lop 9 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả c...

Trang 1

1.a" =a.a a 2.a20=1Vaz0 3a%=— m thừa số : 4.an,am = an+m s,2—= am-n 6.a".b" = (a.b)" n n m 7 = 2) 8,(an)m = ạnm 9 Vam =an 10 ã = "Ä/a Mag wks La = oe

: : Nam l |a| với n = 2k

(a + b)* = a° + 2ab + bể (a — b)* = a? — 2ab + bể

a° — bỶ = (a— b)(a + b) (a+b)? = a* + 3a*b + 3ab* +b’ (a —b)* = a* — 3a*b + 3ab“ — bỶ a? — b? = (a — b)(a* + ab +b’) a? + bỶ = (a + b)(a? — ab + bỶ}§

WYvndeo (a+b+c)* =a* +b* +c? + 2ab + 2be + 2ac

(a+b—c) =a* +b* + c* + 2ab — 2be — 2ac

(a+b+c)? =a* +b? +c? + 3(a+b)(b + c)(c +a)

e Đơn thức:

Đơn thức: Là biểu thức chỉ gồm một số, một biến hoặc tích các số và các biến: 3; 3xy; .(trong biểu thức không có phép tốn cơng trừ)

Bậc của đơn thức là tống số mũ của các biến: 3xy?z3: bậc 6

Đơn thức đồng dạng: là đơn thức giống nhau phần biến nhưng khác hê số: 2xy; -3xy; 5xy

Cộng, trừ đơn thức đồng dạng ta công hệ số còn giữ nguyên phần biến: 2xy+5xy = 7xy

Nhân 2 đơn thức: Nhân hệ số với hệ số, biến với biến: 3xy” 2xy”" = 6x4y’ Chia hai đơn thức: Ta chia hệ số cho hệ số, biến cho biến: —12xỶy°: 2x°y = —6xy

e Đathức:

Đa thức: là tống các đơn thức (trong biểu thức có phép toán cộng trừ) : 2x+3y-5;

Bậc của đa thức là bậc của đơn thức cao nhất: 3xy° — xỶ + 12xy” : Bậc 8 ( vì đơn thức có bậc cao

nhất là 12xy”)

Công trừ đa thức ta công các đơn thức đồng dạng với nhau: 3xy° + xy — 2xy° + 6xy = xy” + 7xy

Nhân đơn thức với đa thức: Ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức:

Trang 2

VnDoc.com VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phi Nhân hai đa thức: ta lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia:

(x — 2)(x? + 3y) = x.x? +x 3y — 2.x? — 2.3y = x? + 3xy — 2x? — 6y

Chia đa thức cho đơn thức: Ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức:

(2xy? + 4xỶy? — 6xỶy):xy = 2xy?: xy + 4xỶy°: xy — 6xỶy: xy = 2y + 4x°y — 6x?

|f(&«)| + Ig(x)| + |k()J = L@&) :

Cách 1: Xét dấu trên các khoảng rồi phá dấu GTTĐ

Cách 2: Điều kiện L(x) > 0 rồi dùng điều kiện của x tìm được đế phá dấu GTTD

Trang 3

ee A>0 A>0 VÃ<vBs[E>o VA>bB%|(B>0 A<B |a>9 > B? A>0 VA<bB® Ịn >0 Vf(x) + Vg(x) = h(x) # < B* Điều kiện

Chuyển vế( để hai vế dương) ra

Bình phương hai vế vn OoG

Bat đẳng thức AM-GM :

a; tap ++a, > nÑ2¡.3; a„ ( Tổng quát) Dấu bang xay ra khi: a, = a, = «+a, a+b > 2Vab Dau bang xay ra khi: a = b

a+b+c > 3Vabc Dấu bằng xảy ra khi: a = b = c at Ban Dau bang xay ra khi: a = b

~ + fete? =yc : Dấu bằng xay ra khi: a = b = c 2 +b? oe Dấu bằng xảy ra khi: a = b Bất đắng thức Cauchy-Schwarz (Bunyakovsky):

Téng quat: (a,b, + a,b, + -a,b,)* < (af +a$+ a2)(bj + b§+ b2) Dau bang xay ra khi:

ay — 43 ân

hị ee bạ XU

(a,b, + ab)? < (af + a3)(b? + b3), Dấu bằng xảy ra khi: + a2

Bat dang thirc Schwarz

“i $34 a a, 8 => Srey? Dg bằng xây ra khi: = <2 = ++." ay ay tagtray dạ ap

Bất đẳng thức Trê- bư-sép:

ị >4; 2 aạ

<b; < aibi+azbz+-‹‹anb ai†aa tan bị +ba +b

Với Boe thị “2T nee > Senne 2L 02-272, Dấu bằng xảy ra:

bị > bạ > bụ

Trang 4

VnDOGC.COM vao r:: ›¡ liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí Bất đẳng thức Bernoulli Với x > —1;r > 1 hoặc r <0 => (1+x)' >1+rx Với 0<r< 1 =>(1+x)' <X1+rx Bất đẳng thức Netbitt : —-+-4+— 3° Dấu bằng xảy ra khi x = y = z > 0 v+z x‡z x+y x y z ~ 4244 +4— 52 Dau bang xayrakhi x =y=z=t>0 yt2 z+t x‡t x+y Bất đẳng thức cớ bình cộng: a1 ta2.taq > wot Dau bang xảy ra khi: a; = a2 " #vndoo

Bất đắng thức giá trị tuyệt đối:

|x| + ly| z lx + y| Dấu bằng xảy ra khi: xy > 0

|x| — lyÌ < [x — y| Dau bang xảy ra khi: (x — y)y > 0

Bất đẳng thức Mincopxki

Va{ +bƒ+Va? + bộ + - Va¿ + bệ > V(a¡ + a; + -:an)2 + (bị + bạ + - bạ)?

Vabc + ŸÍxyz < I(a + x)(b + y)(c€ + 2)

Vac + vbd s ,/(a + b)(c + d)

Số dương a có hai can bac hai la va va —Va Số đương a có hai căn bậc hai số học là va

3~ _ í(ÍAnếuAz0

VA? = [Al = Lô nkrá ai

VÃ-VB = VAB ; Š = |Ê ; VAFB = |A|.vB

, SA -AVE, C CW3#V8,

Trục căn thức: ve B ‘'vVAtvB A-B ’

Va? =a; (Va) = a: Biểu thức trong căn bậc 3 không cần điều kiện

Trang 5

A có nghĩa ® A>0 +f co nghia ® A>0 f(x) e« 52 có nghĩa khi g(x)# 0 e |“ có nghĩa khi Ịm g(x) —

B(x) BCX) g(x) #0

e Nếu |f(x)| > a thì lại = HÀ ( với a>0)

e Nếu |f(x)| < a thì -a < ca < a ( với a>0) f(x) > e Nếu f2(x) > a thì | f(x) < ` 2 d e Nếu f(x) < a thì -va < f(x) < va vn OG e (x —a)(x— b) > 0; —— 2 0 : Ta kẻ bảng xét dấu Bước 1: Tìm ĐKXĐ

Bước 2: Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử ( có thể rút gọn nếu tử và mẫu có nhân tử chung)

Bước 3: Tìm MSC rồi quy đồng, rút gọn

Chú ý: ax + bvX + c = 0 có hai nghiệm là x;x; thì ax + bvX + ¢ = a(Vx — xị)(VX - xạ)

xvx~ 1= vVx - 1= (vX~ 1)(x + vX + 1)

A-a>Q0thìA>a

Để so sánh A với a ta xét hiệu a ta xét hiệu A = a rồi đánh giá: Nếu Sean

Để so sánh A; VÃ ( với A>0) ta so sánh A với 1: Nếu |_ Â> 1thìA 0< A< 1thì > vÃ A < VÀ A >0 thì A = |A| A <0thì A < |A| Hàm số bậc nhất y= ax+b: La ham số bậc nhất nếu a # 0 Hệ số góc là a và a = tana (a la géc tạo hởi đt với trục Ox, góc tạo hởi đường thẳng với trục Oy là 90 — œ )

Để so sánh A; |A| ta so sánh A với 0: Nếu

Trang 6

VnDoc.com VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phi

Giao điểm của hai đồ thị y= f(x) và y = g(%): Xét phương trình hoành độ giao điểm : f(x)=g(x) => x

=>ÿ,

Vị trí tương đối của hai đường thẳng: y = a¡x + bạ; y = azx + b,

Cất nhau: a; #a; Song song: fn + b Trùng nhau: le s b Vuông góc: d¡.8ạ = —]

Hai đường thẳng y = a¡x + bạ và y = a;x +b; cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành Ox - Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau : a¿ # a;

- Tìm giao điểm của đường thẳng thứ nhất với Ox: y = 0; x= — = suy ra A(— - = ;0)

vn ; x= v 0)

Ad96 -: nên : {bị

- Tìm giao điểm của đường thẳng t

- Đế hai đường thẳng cắt nhau tại

Hai đường thẳng cắt nhau tại một điếm thuộc trục tung Oy - Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau : a # a;

- Tìm giao điểm của đường thẳng thứ nhất với Oy: x= 0; y = bị suy ra A(0; bạ ) - Tìm giao điểm của đường thẳng thứ nhất với Oy: x = 0; y = bạ suy ra B(0; bạ ) - Để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc Oy thì A = B nên : hi bs

Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có hoành độ m: - Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: a: # a;¿

- Thay x =m vào đường thẳng thứ nhất để tìm y

-Thay x= m và y tìm được ở bước 2 vào đường thẳng thứ 2 để tìm m - Kết hợp các điều kiện để kết luận

Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tung độ y=m

- Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: a; # a;

- Thay y =m vào đường thắng thứ nhất để tìm x

- Thay y= m và x tìm được ở bước 2 vào đường thắng thứ 2 để tìm m - Kết hợp các điều kiện để kết luận

Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(x,,y;); B(X2, Vạ) Gọi phương trình đường thẳng là y=a.x+b (1)

- Thay tọa độ của A(%x¡, y;); B(xz,yz) vào (1) ta được hệ phương trình:

Trang 7

ee =a.x, +b từ hệ phương trình trên tìm được a,b thay vào (1) ta được phương trình đường

2 = 4.X2 +b

thang

Lập phương trình đường thẳng qua A(%x, y¡) và có hệ số góc là k: Gọi đường thẳng là y=ax+b Vì hệ

số góc là k nên a=k Vì đường thắng qua A(%¡, y¡) nên thay tọa độ A vào đường thang để tìm b Lập phương trình đường thẳng biết 1 điều kiện K và tiếp xúc với Parabol:

Gọi đường thẳng là y = ax+b Dựa vào điều kiện K để tìm mối liên hệ giữa a và b

Dùng điều kiện tiếp xúc : A= 0 để tìm 1 phương trình liên quan giữa a và b Kết hợp hai phương

trình ở trên để tìm a, b ấy vdoeo

Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng:

Để tính khoảng cách từ điểm O(0;0) đến một đường thẳng, ta tìm giao điểm của đường thẳng với hai

trục Ox và Oy là A và B Từ O kẻ OH vuông góc AB rồi tính OH dựa vào tam giác vuông OAB

Tìm điểm cố định của y= f(x,m) (chứng minh đồ thị luôn đi qua điểm cố định hoặc tìm điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi m ):

Bước 1: Chuyển y= f(x,m) về dạng: f(x,m)-y=0

Bước 2: Nhóm các số chứa m lại với nhau: m.f(x)+g(x,y)=0

= =7

Bước 3: Gọi I(x,y) là điểm cố định, suy ra Lối a => b _> Suy ra điểm cố định I

Chứng minh 3 điếm trên tọa độ không thẳng hàng (thẳng hàng) Tìm m đế 3 điểm thẳng hang: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm, thay tọa độ điểm thứ 3 vào, nếu thỏa mãn thì 3 điểm

thẳng hàng, nếu không thỏa mãn thì 3 điểm không thắng hàng

Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy ( cùng đi qua 1 điểm): Tìm giao điểm của 2 đường thẳng ( 2 đường thẳng không chứa m) để 3 đường thẳng đồng quy thì giao điểm đó phải thuộc đường thẳng

thứ 3, Thay tọa độ giao điểm vào đường thẳng thứ 3 tìm được m

Hàm số y = ax? (a # 0)

e Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0 e Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

Trang 8

Vẽ đồ thị hàm số y= ax? ( a# 0): Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng, Các em kẻ bảng các giá trị tương ứng x, y, tìm 5 điểm đồ thị đi qua rồi vẽ

Giao điểm hàm số bậc nhất y=f(x)=mx+n và bậc hai y=g(x)=ax?+bx+c:

- Xét hoành độ giao điểm của 2 đồ thị thỏa mãn phương trình: f(x)=g(x)

- Dua phirong trinh vé dang: Ax? +#Bx+C=0 (1)

- Đế hai đồ thị tiếp xúc nhau thì phương trình (1) có nghiệm kép: | A= B* —4AC =0 A#0 - Để hai đồ thị không cắt nhau thì phương trình (1) vô nghiệm:

+ Xét A=0

+ Xét A# 0 Phương trình vô nghiệm khi: A= B° — 4AC < 0

- Để hai đồ thị cắt nhau tại 2 điếm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:

{ Az#0

A= B? ~ 4AC > 0 & undoo

Hậphrơngtinh [Số thuy oes

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế: Rút x hoặc y từ một phương trình rồi thế vào phương trình còn lại

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng: Nhân thêm vào hai phương trình các hệ số phụ ( của cùng một ấn) rồi cộng hoặc trừ hai phương trình cho nhau

Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ: Khi đặt ẩn phụ cần chú ý điều kiện cho ẩn phụ

Giải và biện luận hệ phương trình: lee H ye zi 2

Cách 1 : Dùng vị trí tương đối của hai đường thẳng

- Nếu = + A Hệ phương trình có nghiệm duy nhất 2 2 -Néu =" 32 be 4 cy Hệ phương trình vô nghiệm CỊ -Néu += = == Hệ phương trình vô số nghiệm a2 <

Cách 2: Dùng phương pháp thế đưa về phương trình bậc nhất ax=b (1)

Xét a =0; b=0 Phương trình (1) có vô số nghiệm nên hệ phương trình có vô số nghiệm Xét a=0; h # 0 Phương trình (1) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm

Xét a + 0 Phương trình (1) có nghiệm duy nhất nên hệ có nghiệm duy nhất

Trang 9

aaxX + bạy = Œ có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện K Tìm m để hệ phương trình |

bị

by"

- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: Pa #

- Dùng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế để tính x, y theo m - Thay x, y vào điều kiện K để tìm m, đối chiếu với điều kiện và kết luận

Bước 1: Lập phương trình

~ Chọn ấn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ấn và các đại lượng đã biết - Lập phương trình biếu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Kết luận: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận Cáccông hức vndoo Quãng đường - vận tốc - thời gian : S = v.t Vindi = Van + Chuyến động trên dòng nước: hy eee Ngược TT Tor n : _ Téng sin phim

Nẵng suất: Năng suất = ike

Diện tích hình vuông : a° Chu ví hình vuông: 4a Diện tích hình chữ nhật: ab Chu vi hình chữ nhật : 2(a + b}

Diện tích tam giác : : x đáy x chiều cao

Diện tích tam giác vuông : : tích hai cạnh góc 0uông

a? VF

4

Diện tích tam giác đều :

1 Cách giải phương trình bậc hai: ø+” + 6x +c =0 (ø #0) Tính 4= b—4ac:

2kwjT cudn

2a - 2a

e Nếu A > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x, =

e Nếu Á = 0 thì phương trình có nghiệm kép x; = x; = “—

e Nếu A < 0 thi phương trình vô nghiệm

Trang 11

+ Xét a=0 suy ra giá trị của m, với m tìm được thay vào phương trình để kiếm tra xem có nghiệm không

+ Xét a#0, tính A = bÝ — 4ac ( hoặc tính A')

- Nếu A < 0, suy ra điều kiện của m, suy ra phương trình vô nghiệm; - Nếu A = 0, suy ra m, suy ra phương trình có nghiệm kép x= -=;

-b†VÀ „ _ -b-vVÃ - Néu A > 0, suy ra m, suy ra phương trình có hai nghiệm xạ = ag

5 Tim điều kiện m để phương trình có nghiệm

- Xét a=0 Suy ra m, thay m lại phương trình để kiểm tra xem có nghiệm không - Xét a # 0 Để phương trình có nghiệm thì A > 0 rồi tìm m

6 Tìm m để phương trình vô nghiệm: gt VvNdoo

- Xét a=0 Suy ra m, thay m lại phương trình để kiếm tra xem vô nghiệm không

- Xét a # 0 Để phương trình vơ nghiệm thì Ấ < 0 rồi tìm m 7 Tìm m đế phương trình có hai nghiệm phân biệt (^ Ý n từ đó tìm m a #0 tir dé tim m A=0 8 Tìm m để phương trình có nghiệm kép: { 9 Tìm m để phương trình có 1 nghiệm:

- Xét a =Ũ suy ra m, thay m vào phương trình để kiểm tra lại - Xét a # 0 Phương trình có 1 nghiệm khi Á = 0 suy ra m

10 Tìm m để phương trình có nghiệm xo Tìm nghiệm còn lại : Thay xa vào phương trình để tìm m

Thay m tìm được vào phương trình để giải phương trình bậc 2, tìm được nghiệm còn lại

11: Tìm hai số khi biết tống a+b và tích a.b: Dùng tính chất: Nếu a+b =S và a.b=P thì a và b là

nghiệm phương trình: X?-Sx +P =0 Giải phương trình đế tìm a, b

12 Giải phương trình ax*+bx?+c=0: Đặt t=x? (t > 0) Suy ra at2+bt+c=0 rồi giải

13 Tìm m để phương trình ax++bx2+c=0 (1) có 4 nghiệm: Đặt t=x? (t > 0) Suy ra at?+bt+c=0 (2)

Trang 12

a#0; A>0

— 20 =>m

14 Tìm m dé phương trình ax*+bx?+c=0 (1) c6 3 nghiém: Đặt t=x? (t > 0) Suy ra at?+bt+c=0 (2) Để phương trình (1) có 3 nghiệm thì phải có một nghiệm bằng 0 Thay x = 0 vào phương trình ta tìm được m, thay m trả lại phương trình rồi giải để kiểm tra

15 Tìm m để phương trình axf+bx?+c=0 (1) có 2 nghiệm: Đặt t=x? (t > 0) Suy ra at?+bt+c=0 (2) Để phương trình (1) có 2 nghiệm thì phương trình (2) phải có :

TH1: Xét a = 0 suy ra m, thay mì trả lại kiểm tra a#0;A=0 -b TH2: Cé nghiém kép duong: ¢ | 7% =>m <0, & #fndoo TH3: C6 hai nghiém trai dau: ¢ 4> 0 =>m _<0

15 Tìm m để phương trình ax3+bx?+cx+d=0 (1) có 3 nghiệm: Các em nhẩm được nghiệm xo rồi

tách phương trình 1 về dạng: (x-xo)(ax?+bx+c) =0 Để phương trình (1) có 3 nghiệm thì phương a#0; trình g(x) = ax?+bx+c=0 phải có hai nghiệm phân biệt khác xo Suy ra: A>0 suyram, g(xạ) # 0 17 Tìm m để phương trình có hai nghiệm đương( hai nghiệm nằm bên phải trục tung) qa +0; A>0 S=x, +x,=—>0 P= xx, =->0 18 Tim m dé phwong trinh cé hai nghiém 4m phan biét( hai nghiém nam bén trai truc tung) a #0;A>0 —b S=% += <0 c P = XX» SS 19 Tim m để phương trình có hai nghiệm trái dấu(( hai nghiệm nằm hai phía trục tung): | a #0; A>O P=x,x,=-<0 a #0; A>0

20 Tim m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu.: P =xịx; = ‘ >0

Trang 13

21.Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương :

THI: Xét a =0

TH2: Phương trình có hai nghiệm trái dấu

TH3: Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

22 Tìm m để phương trình có 1 nghiệm dương: TH: a =0 a # 0; TH2: Xét 4 > 0 phương trình có hai nghiệm trái dấu -< 0; a ; off VNGOG & =0 phương trình có 1 nghiệm kép dương —>0 2a TH3: Xét

TH4: Phương trình có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương

23 Tìm m đế phương trình có ít nhất một nghiệm âm :

TH: Xét a =0

TH2: Phương trình có hai nghiệm trái dấu TH3: Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt

Trang 14

25 Tìm m để ax?+bx+c=0 có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn a #0; 4>0 =<0;—<0 26 Tìm m để ax?+bx+c=0 có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn: ba Bundoo _ 27 Tìm m để phương trình ax”+bx+c=0 có hai nghiệp đối nhau: 4>0 S=0;P <0 a#0 28 Tìm m để ax?+bx+c=0 có hai nghiệm là nghịch đảo nhau h >0 P=di

29 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện K:

- Phần 1: Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm : {‘ a : S= Xj + X= - Phần 2: - Dựa vào định lý Viet : c `" theom P= Xịi.X; =- a Thay x, +X; X,.X) vao diéu kién K để tìm m, sau đó kết hợp điều kiện để kết luận 30 Lập phương trình bậc 2 có các nghiệm X; =f(x:); X2 =f(x2)

Với xị; xz là nghiệm của phương trình ax? +bx+c=0 Tính S= X: + X;¿ =f(x:¡)+f(x:); P= Xi X2

=f(x1).f(x:) suy ra Xi ; X¿ là nghiệm phương trình: X?-SX+P<0

31 Chứng minh rằng a;xÊ + b;x + c; = 0 và a;x” + bạx + cạ = 0 có ít nhất một phương trình có

nghiệm

- Tinh A,; A>

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	0,95 MB