TÓM TẮT LÝ THUYẾT MÔN TOÁN LỚP 12

TỐN HỌC BẮC NAM TĨM TẮT LÍ THUYẾT TỐN 12 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định K ta có: • Hàm số y = f ( x ) gọi đồng biến (tăng) K nếu: ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) • Hàm số y = f ( x ) gọi nghịch biến (giảm) K nếu: ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K Nhận xét: f ( x2 ) − f ( x1 ) > ∀x1 , x2 ∈ K , x1 ≠ x2 • Hàm số f ( x ) đồng biến K ⇔ x2 − x1 Khi đồ thị hàm số lên từ trái sang phải • Hàm số f ( x ) nghịch biến K ⇔ f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1 < ∀x1 , x2 ∈ K , x1 ≠ x2 Khi đồ thị hàm số xuống từ trái sang phải • Nếu f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ ( a; b ) ⇒ hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( a; b ) • Nếu f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ ( a; b ) ⇒ hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng ( a; b ) • Nếu f ′ ( x ) = 0, ∀x ∈ ( a; b ) ⇒ hàm số f ( x ) không đổi khoảng ( a; b ) • Nếu f ( x ) đồng biến khoảng ( a; b ) ⇒ f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( a; b ) • Nếu f ( x ) nghịch biến khoảng ( a; b ) ⇒ f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ( a; b ) • Nếu thay đởi khoảng ( a; b ) mợt đoạn nửa khoảng phải bở sung thêm giả thiết “hàm số f ( x ) liên tục đoạn hoặc nửa khoảng đó” Quy tắc cơng thức tính đạo hàm Quy tắc tính đạo hàm: Cho u = u ( x ) ; v = v ( x ) ; C số • Tổng, hiệu: ( u ± v )′ = u′ ± v′ • Tích: ( u.v )′ = u′.v + v′.u ⇒ (C u )′ = C.u′  u  u′.v − v′.u  C ′ C u′ • Thương:   = , v ≠ ⇒ ( )   =− 2 v u v u • Đạo hàm hàm hợp: Nếu y = f ( u ) , u = u ( x ) ⇒ y′x = yu′ ux′ Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức • • y= y= ax + b  ax + b ′ ad − bc ⇒ y′ =   = cx + d  cx + d  ( cx + d )  ax + bx + c ′ ax + bx + c ′ ⇒ y =   = a′x2 + b′x + c ′  a′x + b′x + c′  Toán học Bắc Trung Nam a b a c b c x +2 x+ a′ b′ a′ c′ b′ c′ ( dx + ex + f ) (anh bạn-ăn cháo-bỏ cơm) Trang TĨM TẮT LÍ THUYẾT TỐN 12 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 Bảng cơng thức tính đạo hàm Hàm sơ cấp Hàm hợp (C )′ = ( C : số) ( x )′ = α x ( x )′ = α x ( u )′ =α u α α −1 α α ( tan x )′ = cos1 α −1 α −1 Hàm sơ cấp u′ Hàm hợp ′ ( tan u)′ = cosu x u ′ ( cot x )′ = − sin1 x ( cot u )′ = − sinu ( e )′ = u′.e 2 u  ′   = − ( x ≠ 0) x  x u′  ′   = − (u ≠ ) u u ( e )′ = e ( x )′ = x ( x > ) ( u )′ = 2u′u (u > ) ( a )′ = a ln a ( a )′ = u′.a ln a ( sin x )′ = cos x ( sin u)′ = u′.cos u ( ln x )′ = 1x ( ln u )′ = uu ( cos x )′ = − sin x ( cos u)′ = −u′.sin u ( log x )′ = x ln1 a u ( log u )′ = u.ln a ( sin x )′ = n.sin n n −1 x x u x x u ( sin u)′ = n.sin n n −1 ( cos x )′ = n.cos n −1 x ( cos u )′ = n.cos ( tan x )′ = n.tan n −1 x ( tan u )′ = n.tan n n ( cot x )′ = n.cot n n −1 n n ( cot u)′ = n.cot n u ′ ′ a x u a u ( sin u )′ u ( cos u )′ n −1 n−1 n −1 u ( tan u )′ u ( cot u )′ Đạo hàm cấp a Định nghĩa: f ′′ ( x ) =  f ′ ( x ) ′ b Ý nghĩa học: Gia tốc tức thời chuyển động s = f ( t ) thời điểm t0 là: a ( t0 ) = f ′′ ( t0 ) ′ n n −1 c Đạo hàm cấp cao: f ( ) ( x ) =  f ( ) ( x )  , ( n ∈ ℕ , n ≥ ) (chứng minh qui nạp)   Một số ý: • Nếu hàm số f ( x ) g ( x ) đồng biến (nghịch biến) K hàm số f ( x ) + g ( x ) đồng biến (nghịch biến) K Tính chất khơng hiệu f ( x ) − g ( x ) • Nếu hàm số f ( x ) g ( x ) hàm số dương đồng biến (nghịch biến) K hàm số f ( x ) g ( x ) đồng biến (nghịch biến) K Tính chất khơng hàm số f ( x ) , g ( x ) khơng hàm số dương K • Cho hàm số u = u ( x ) , xác định với x ∈ ( a; b ) u ( x ) ∈ ( c; d ) Hàm số f u ( x )  xác định với x ∈ ( a; b ) Ta có nhận xét sau: • Giả sử hàm số u = u ( x ) đồng biến với x ∈ ( a; b ) Khi đó, hàm số f u ( x )  đồng biến với x ∈ ( a; b ) ⇔ f ( u ) đồng biến với u ∈ ( c; d ) • Giả sử hàm số u = u ( x ) nghịch biến với x ∈ ( a; b ) Khi đó, hàm số f u ( x )  nghịch biến với x ∈ ( a; b ) ⇔ f ( u ) nghịch biến với u ∈ ( c; d ) Toán học Bắc Trung Nam Trang TĨM TẮT LÍ THUYẾT TỐN 12 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Giả sử hàm số f có đạo hàm K • Nếu f ′ ( x ) ≥ với x ∈ K f ′ ( x ) = số hữu hạn điểm x ∈ K hàm số f đồng biến K • Nếu f ′ ( x ) ≥ với x ∈ K f ′ ( x ) = số hữu hạn điểm x ∈ K hàm số f nghịch biến K Chú ý: • Đối với hàm phân thức hữu tỉ y = ax + b  d  x ≠ −  dấu " = " xét dấu đạo hàm y′ cx + d  c khơng xảy • Giả sử y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ⇒ f ′ ( x ) = 3ax + 2bx + c Hàm số đồng biến ℝ Hàm số nghịch biến ℝ  a >   ∆ ≤ ⇔ f ′ ( x ) ≥ 0; ∀x ∈ ℝ ⇔  a =   b =   c >  a <   ∆ ≤ ⇔ f ′ ( x ) ≤ 0; ∀x ∈ ℝ ⇔  a =   b =   c < Trường hợp hệ số c khác a = b = c = f ( x ) = d (Đường thẳng song song trùng với trục Ox khơng đơn điệu) • Với dạng tốn tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu chiều khoảng có độ dài l ta giải sau: Bước 1: Tính y′ = f ′ ( x; m ) = ax + bx + c ∆ > Bước 2: Hàm số đơn điệu ( x1 ; x2 ) ⇔ y′ = có nghiệm phân biệt ⇔  (* ) a ≠ Bước 3: Hàm số đơn điệu khoảng có độ dài l ⇔ x1 − x2 = l ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = l2 ⇔ S − P = l ( * * ) Bước 4: Giải ( * ) giao với ( * * ) để suy giá trị m cần tìm II CỰC TRỊ HÀM SỐ Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định tập K x0 ∈ K Ta nói: • x0 điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng ( a; b ) chứa x0 cho ( a; b ) ⊂ K f ( x ) > f ( x0 ) , ∀x ∈ ( a; b ) \{x0 } Khi f ( x0 ) gọi giá trị cực tiểu hàm số f • x0 điểm cực đại hàm số f tồn khoảng ( a; b ) chứa x0 cho ( a; b ) ⊂ K f ( x ) < f ( x0 ) , ∀x ∈ ( a; b ) \{x0 } Khi f ( x0 ) gọi giá trị cực đại hàm số f • Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị • Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị • Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải điểm tập hợp K Tốn học Bắc Trung Nam Trang TĨM TẮT LÍ THUYẾT TỐN 12 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 • Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực trị) hàm số ( ) • Nếu x0 điểm cực trị hàm số điểm x0 ; f ( x0 ) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f Nhận xét: • Giá trị cực đại (cực tiểu) f ( x0 ) nói chung khơng phải giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f tập D; f ( x0 ) giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f khoảng ( a; b ) chứa x0 hay nói cách khác x0 điểm cực đại ( cực tiểu) tồn khoảng (a;b) chứa x0 cho f ( x0 ) giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f khoảng ( a; b ) • Hàm số f đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm tập K Hàm số khơng có cực trị tập cho trước Minh họa đồ thị Với ( a; b ) khoảng chứa tất số thực thỏa a < x < b y f (c ) y ( c; f ( c ) ) O c f (c ) x Hàm số f đạt cực đại x = c O ( c; f ( c ) ) c x Hàm số f đạt cực tiểu x = c Một số điểm cần lưu ý a) Hàm số f có cực trị ⇔ y′ đổi dấu y Điểm cực đại đồ thị Giá trị cực đại (cực đại) hàm số yC Đ b) Hàm số f khơng có cực trị ⇔ y′ khơng đổi dấu c) Hàm số f có cực trị ⇔ y′ đổi dấu lần d) Hàm số f có cực trị (cực đại cực tiểu) ⇔ y′ đổi dấu lần Điểm cực tiểu hàm số Điểm cực đại hàm số xCT e) Hàm số f có cực trị ⇔ y′ đổi dấu lần f) Chú ý: Đối với hàm số bất kì, hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm triệt tiêu đạo hàm không xác định g) Cách gọi tên: cực trị, điểm cực trị hàm số, điểm cực trị đồ thị hàm số,… xCĐ Giá trị cực tiểu (cực tiểu) hàm số O x yCT Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Điểm cực tiểu đồ thị Định lí 1: Giả sử hàm số y = f ( x ) đạt cực trị điểm x0 Khi đó, y = f ( x ) có đạo hàm điểm x0 f ′ ( x0 ) = Chú ý: • Đạo hàm f ′ ( x ) điểm x0 hàm số f không đạt cực trị điểm x0 • Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm • Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số hàm số khơng có đạo hàm Tốn học Bắc Trung Nam Trang TĨM TẮT LÍ THUYẾT TỐN 12 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2: Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi đó, hàm số f có đạo hàm điểm x0 f ′ ( x0 ) = • Nếu f ′ ( x ) > khoảng ( x0 − h; x0 ) f ′ ( x ) < khoảng ( x0 ; x0 + h ) x0 mợt điểm cực đại của hàm sớ f ( x ) • Nếu f ′ ( x ) < khoảng ( x0 − h; x0 ) f ′ ( x ) > khoảng ( x0 ; x0 + h ) x0 một điểm cực tiểu hàm số f ( x ) Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1: • Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f ′ ( x ) • Bước 2: Tìm điểm xi ( i = 1; 2; ) mà đạo hàm hàm số hàm số liên tục khơng có đạo hàm • Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu f ′ ( x ) Nếu f ′ ( x ) đổi dấu qua xi hàm số đạt cực trị xi Định lí 3: Giả sử y = f ( x ) có đạo hàm cấp khoảng ( x0 − h; x0 + h ) với h > Khi đó: • Nếu f ′ ( x0 ) = 0, f ′′ ( x0 ) < hàm số f đạt cực đại x0 • Nếu f ′ ( x0 ) = 0, f ′′ ( x0 ) > hàm số f đạt cực tiểu x0 Từ định lí trên, ta có quy tắc khác để tìm cực trị hàm số Quy tắc 2: • Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f ′ ( x ) ( i = 1; 2; ) phương trình f ′ ( x ) = Tính f ′′ ( x ) tính f ′′ ( x ) Nếu f ′′ ( x ) < hàm số f đạt cực đại điểm x Nếu f ′′ ( x ) > hàm số f đạt cực tiểu điểm x • Bước 2: Tìm nghiệm xi • Bước 3: i i i i i III MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ Cực trị hàm đa thức bậc ba y = ax + bx + cx + d a Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước Bài tốn tởng quát: Cho hàm số y = f ( x; m ) = ax + bx + cx + d Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu x1 , x2 thỏa mãn điều kiện K cho trước Phương pháp: • Bước 1: Tập xác định: D = ℝ Đạo hàm: y′ = 3ax2 + 2bx + c = Ax + Bx + C Toán học Bắc Trung Nam Trang TĨM TẮT LÍ THUYẾT TỐN 12 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 • Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại cực tiểu) ⇔ y′ = có hai nghiệm phân biệt y′ đổi dấu qua nghiệm ⇔ phương trình y′ = có hai nghiệm phân biệt  A = 3a ≠ a ≠ ⇔ ⇔ ⇒ m ∈ D1 2 b − 3ac > ∆ y′ = B − AC = 4b − 12ac > • Bước 3:  B 2b  x1 + x2 = − A = − 3a Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình y′ = Khi đó:   x x = C = c  A 3a • Bước 4: Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S tích P Từ giải tìm được m ∈ D2 • Bước 5: Kết luận giá trị m thỏa mãn: m = D1 ∩ D2 Chú ý: Hàm số bậc ba: y = ax + bx2 + cx + d ( a ≠ ) Ta có: y′ = 3ax + 2bx + c • Hàm số khơng có cực trị: b2 − 3ac ≤ • Hàm số có hai điểm cực trị: b2 − 3ac > Điều kiện để hàm số có cực trị dấu, trái dấu Hàm số có cực trị trái dấu ⇔ phương trình y′ = có hai nghiệm phân biệt trái dấu ⇔ A.C = 3ac < ⇔ ac < Hàm số có hai cực trị dấu ∆ y′ >  ′ ⇔ phương trình y = có hai nghiệm phân biệt dấu ⇔  C  P = x1 x2 = >  A Hàm số có hai cực trị dấu dương   ∆ y′ >  B  ⇔ phương trình y′ = có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ S = x1 + x2 = − > A  C   P = x1 x2 = A > Hàm số có hai cực trị dấu âm  ∆ y ' >  B  ⇔ phương trình y′ = có hai nghiệm âm phân biệt ⇔ S = x1 + x2 = − < A  C   P = x1 x2 = A > x1 < α < x Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1 , x thỏa mãn: x1 < x2 < α α < x1 < x Hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1 < α < x2 Toán học Bắc Trung Nam Trang TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 TĨM TẮT LÍ THUYẾT TỐN 12 ⇔ ( x1 − α )( x2 − α ) < ⇔ x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α < Hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1 < x2 < α ( x − α )( x2 − α ) >  x x − α ( x1 + x2 ) + α > ⇔ ⇔  x1 + x2 < 2α  x1 + x2 < 2α Hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn α < x1 < x2 ( x − α )( x2 − α ) >  x x − α ( x1 + x2 ) + α > ⇔ ⇔  x1 + x2 > 2α  x1 + x2 > 2α b Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm phía, khác phía so với đường thẳng Vị trí tương đối giữa điểm với đường thẳng: Cho điểm A ( xA ; y A ) , B ( xB ; y B ) và đường thẳng ∆ : ax + by + c = Nếu ( ax A + by A + c )( axB + by B + c ) < thì hai điểm A , B nằm về hai phía so với đường thẳng ∆ Nếu ( ax A + by A + c )( axB + by B + c ) > thì hai điểm A , B nằm cùng phía so với đường thẳng ∆ Một số trường hợp đặc biệt: • Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Oy ⇔ hàm số có cực trị dấu ⇔ phương trình y′ = có hai nghiệm phân biệt dấu • Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Oy ⇔ hàm số có cực trị trái dấu ⇔ phương trình y′ = có hai nghiệm trái dấu • Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox ⇔ phương trình y′ = có hai nghiệm phân biệt yCĐ yCT > Đặc biệt : • Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox  y y > ⇔ phương trình y′ = có hai nghiệm phân biệt  CĐ CT  yCĐ + yCT > • Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox  y y > ⇔ phương trình y′ = có hai nghiệm phân biệt  CĐ CT  yCĐ + yCT < • Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox ⇔ phương trình y′ = có hai nghiệm phân biệt yCĐ yCT < (áp dụng khơng nhẩm được nghiệm viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số) • Hoặc: Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục ⇔ đồ thị cắt trục Ox điểm phân biệt (khi nhẩm nghiệm) ⇔ phương trình hồnh đợ giao điểm f ( x ) = có nghiệm phân biệt c Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị  2c 2b  y′.y′′ y′.y′′ bc g (x) =  − g ( x ) = y − g ( x ) = y − x + d− y′′′ 18a 9a  9a  Tốn học Bắc Trung Nam Trang TĨM TẮT LÍ THUYẾT TỐN 12 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 d Khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc AB = b2 − 3ac 4e + 16 e với e = a 9a (a ≠ 0) Cực trị hàm bậc trùng phương y = ax + bx + c , a Một số kết cần nhớ • Hàm số có cực trị ⇔ ab ≥ • Hàm số có ba cực trị ⇔ ab < a > • Hàm số có cực trị cực trị cực tiểu ⇔  b ≥ a < • Hàm số có cực trị cực trị cực đại ⇔  b ≤ a > • Hàm số có hai cực tiểu cực đại ⇔  b < a < • Hàm số có cực tiểu hai cực đại ⇔  b > b Một số cơng thức tính nhanh  b ∆ Giả sử đồ thị hàm số y = ax4 + bx + c có điểm cực trị là: A(0; c) , B  − − ; −  ,  a a    b ∆ C  − ; −  tạo thành tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: ab <  2a 4a   Đặt: BAC = α cot α = −b3 8a a > 0, b < y x1 = − − A x1 x2 x O B a < 0, b > Công thức C b b , x2 = − , A(0; c) , 2a 2a   b b ∆ ∆ B − − ; −  , C  − ; −    a a  2a 4a    Đặt BAC = α cot α = B y C O x1 x2 x A −b3 8a MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH LIÊN QUAN ĐẾN BA ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG Dữ kiện STT Công thức thỏa mãn ab < c ≠ Tam giác ABC vuông cân A b = −8a Tam giác ABC b3 = −24 a Tam giác ABC có diện tích S∆ABC = S0 32a (S0 )2 + b = Tam giác ABC có diện tích max(S0 ) S0 = − Toán học Bắc Trung Nam b5 32a Trang TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 TĨM TẮT LÍ THUYẾT TỐN 12 r= b2  b3   a 1 + 1−  8a    Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r∆ABC = r0 Tam giác ABC có bán kính đường trịn ngoại tiếp R∆ABC = R R= Tam giác ABC có độ dài cạnh BC = m0 am02 + 2b = Tam giác ABC có độ dài AB = AC = n0 16 a n02 − b4 + 8ab = Tam giác ABC có cực trị B , C ∈ Ox b = ac 10 Tam giác ABC có góc nhọn b 8a + b3 > 11 Tam giác ABC có trọng tâm O b = ac 12 Tam giác ABC có trực tâm O b3 + a − 4ac = 13 Tam giác ABC điểm O tạo thành hình thoi b = ac 14 Tam giác ABC có O tâm đường tròn nội tiếp b − 8a − abc = 15 Tam giác ABC có O tâm đường trịn ngoại tiếp b − 8a − abc = 16 Tam giác ABC có cạnh BC = kAB = kAC b3 k − a k − = 17 Trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích b − 8a 8ab ( ) ( ) b2 = ac b = ac 18 Tam giác ABC có điểm cực trị cách trục hoành 19 2 ∆  2 ∆  Phương trình đường trịn ngoại tiếp ∆ABC x + y −  − + c y + c −  =  b 4a   b 4a  IV GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) xác định tập D  f ( x) ≤ M , ∀x ∈ D • Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f ( x ) D nếu:  ∃x0 ∈ D , f ( x0 ) = M Kí hiệu: M = max f ( x) x∈D  f ( x) ≥ m , ∀x ∈ D • Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) D nếu:  ∃x0 ∈ D , f ( x0 ) = m Kí hiệu: m = f ( x) x∈D Phương pháp tìm GTLN, GTNN a Tìm GTLN, GTNN hàm số cách khảo sát trực tiếp • Bước 1: Tính f ′ ( x ) tìm điểm x1 , x2 , , xn ∈ D mà f ′ ( x ) = hàm số khơng có đạo hàm • Bước 2: Lập bảng biến thiên từ suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số b Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn • Bước 1: ∗ Hàm số cho y = f ( x ) xác định liên tục đoạn  a; b  Toán học Bắc Trung Nam Trang TĨM TẮT LÍ THUYẾT TỐN 12 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 Để tìm toạ độ tiếp điểm ta thực sau: ( ) ( ) Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I S vng góc với α ( ) ( ) ( ) Tìm toạ độ giao điểm H d α H tiếp điểm S với α • (α ) cắt (S ) theo đường tròn ⇔ d (I ,(α )) < R Để xác định tâm H bán kính r đường trịn giao tuyến ta thực sau: ( ) ( ) Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I S vng góc với α ( ) Tìm toạ độ giao điểm H d α Với H tâm đường tròn giao tuyến (S ) với (α ) Bán kính r đường tròn giao tuyến: r = R2 − IH ĐƯỜNG THẲNG 3.1 Phương trình đường thẳng 3.1.1 Vectơ phương đường thẳng 3.1.1.1 Ðịnh nghĩa Cho đường thẳng d Nếu vectơ a ≠ có giá song song trùng với đường phẳng d a gọi vectơ phương đường phẳng d Kí hiệu: a = (a1; a2 ;a ) 3.1.1.2 Chú ý • a VTCP d k a (k ≠ 0) VTCP d • Nếu d qua hai điểm A, B AB VTCP d • Trục Ox có vectơ phương a = i = (1; 0;0) • Trục Oy có vectơ phương a = j = (0;1; 0) • Trục Oz có vectơ phương a = k = (0;0;1) 3.1.2 Phương trình tham số đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng (∆) qua điểm M (x ; y0 ; z ) nhận a = (a1 ; a ;a ) z a làm VTCP : (∆) M0 x = x + ta  (∆) : y = y + ta2 z = z + ta  M ( x, y, z ) y O x (t ∈ R ) 3.1.3 Phương trình tắc đường thẳng Phương trình tắc đường thẳng (∆) qua điểm M (x ; y ; z ) nhận a = (a1 ; a ;a ) làm VTCP (∆) : x − x y − y0 z − z a1, a2, a ≠ = = a1 a2 a3 Toán học Bắc Trung Nam ( ) Trang 74 TĨM TẮT LÍ THUYẾT TOÁN 12 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 3.2 Vị trí tương đối 3.2.1 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng M a (∆) a n n M a (∆) n a a (∆) M a 3.2.1.1 Phương pháp hình học Định lý x = x + a t (1)  Trong không gian (Oxyz ) cho đường thẳng (∆) : y = y0 + a2t (2) có VTCP a = (a1 ; a ;a ) z = z + a t (3)  qua M (x ; y0 ; z ) mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = có VTPT n = (A; B;C ) Khi : • (∆) ∩ (α ) ⇔ a.n ≠ ⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 ≠ a   Aa1 + Ba2 + Ca3 = a.n = ⇔ • (∆) / / (α) ⇔     Ax0 + By0 + Cz0 ≠ M ∉ ( P)   a.n =  Aa1 + Ba2 + Ca3 =  ⇔ • (∆) ⊂ (α) ⇔     Ax0 + By0 + Cz0 = M ∈ ( P)   n a Đặc biệt ( ∆ ) ⊥ ( α ) ⇔ a n phương ⇔ a1 : a2 : a = A : B : C 3.2.1.1 Phương pháp đại số pt (∆) Muốn tìm giao điểm M ( ∆ ) (α ) ta giải hệ phương trình:  tìm x, y, z Suy ra: pt ( α )  ( ) Thế (1) , ( ) , ( ) vào phương trình mp ( P ) rút gọn dưa dạng: at + b = (*) M x , y, z • d cắt mp ( P ) điểm ⇔ pt (*) có nghiệm t • d song song với ( P) ⇔ pt (*) vơ nghiệm • d nằm (P ) ⇔ Pt ( *) có vơ số nghiệm t • d vng góc ( P ) ⇔ a n phương 3.2.2 Vị trí tương đối hai đường thẳng ∆1 M ' a M0 b u' ∆2 M0 Toán học Bắc Trung Nam u M ' M0 ∆1 ∆2 ' ∆1 M M u u' ∆2 M 0' u ∆1 u' ∆2 Trang 75 TĨM TẮT LÍ THUYẾT TỐN 12 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 3.2.2.1 Phương pháp hình học Cho hai đường thẳng: ∆1 qua M có vectơ phương u1 ∆ qua N có vectơ phương u2 • ∆1 ≡ ∆2 ⇔  u1 , u2  =  u1 , MN  =    u , u  =   • ∆1 // ∆ ⇔   u1 , MN  ≠  u , u  ≠  2 ⇔ ∆ ∆ •  cắt u u MN  ,  =    • ∆1 ∆ chéo ⇔ u1 , u2  MN ≠ 3.2.2.2 Phương pháp đại số pt (∆1 ) Muốn tìm giao điểm M (∆1 ) va ( ∆2 ) ta giải hệ phương trình :  tìm x, y, z pt (∆ ) Suy ra: M (x , y, z ) 3.2.3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu x = x + a t (1)  Cho đường thẳng d : y = y0 + a2t (2) mặt cầu S : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 có tâm z = z + a t (3)  I (a; b; c ) , bán kính R 3.2.3.1 Phương pháp hình học • Bước 1: đến đường thẳng d Tính khoảng cách từ tâm I mặt cầu S ( ) ( ) h = d(I , d ) = IM a    a • Bước 2: So sánh d (I , d ) với bán kính R mặt cầu: Nếu d (I , d ) > R d khơng cắt (S ) ( ) Nếu d(I , d ) = R d tiếp xúc S ( ) Nếu d (I , d ) < R d cắt S hai điểm phân biệt M , N MN vng góc với đường kính (bán kính) mặt cầu 3.2.2.2 Phương pháp đại số Thế (1) , ( ) , ( ) vào phương trình ( S ) rút gọn đưa phương trình bậc hai theo t ( * ) • Nếu phương trình (*) vơ nghiệm d khơng cắt ( S ) • Nếu phương trình ( * ) có nghiệm d tiếp xúc ( S ) • Nếu phương trình ( * ) có hai nghiệm d cắt ( S ) hai điểm phân biệt M , N Chú ý: Ðể tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d Tốn học Bắc Trung Nam Trang 76 TĨM TẮT LÍ THUYẾT TỐN 12 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 3.3 Góc khơng gian 3.3.1 Góc hai mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Định lý Trong không gian (Oxyz ) cho hai mặt phẳng α , β xác định phương trình : (α ) : A1x + B1y + C 1z + D1 = (β ) : A2x + B2y + C 2z + D2 = Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (α ) & ( β ) ta có cơng thức: cos ϕ = A1A2 + B1B2 + C 1C A12 + B12 + C 12 A22 + B22 + C 22 3.3.2 Góc đường thẳng mặt phẳng Nội dung Cho đường thẳng (∆) : x − x0 = y − y0 a b mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = Hình vẽ = z − z0 c Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (∆) & (α ) ta có cơng thức: sin ϕ = Aa + Bb + Cc A2 + B + C a + b2 + c2 3.3.3 Góc hai đường thẳng Nội dung Hình vẽ Cho hai đường thẳng : x − x y − y0 z − z = = a b c x − x 0′ y − y 0′ z − z ′0 (∆ ) : = = a' b' c' Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (∆1 ) & (∆2 ) ta có cơng (∆1 ) : thức: cos ϕ = aa ' + bb ' + cc ' a + b + c a '2 + b '2 + c '2 3.4 Khoảng cách 3.4.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Cho mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = điểm M (x ; y ; z ) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α ) tính : d(M ; ∆) = Ax + By0 + Cz + D A2 + B + C Tốn học Bắc Trung Nam Trang 77 TĨM TẮT LÍ THUYẾT TỐN 12 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 3.4.2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Nội dung Hình vẽ Cho đường thẳng (∆) qua điểm M (x ; y0 ; z ) có VTCP u = (a;b;c ) Khi khoảng cách từ điểm M1 đến (∆) tính công thức: d(M 1, ∆) = M M ; u    u 3.4.3 Khoảng cách đường thẳng chéo Nội dung Hình vẽ Định lý: Trong không gian ( Oxyz ) cho hai đường thẳng chéo : (∆1) co VTCP u = (a;b;c) va qua M0 (x0; y0; z ) (∆2 ) co VTCP u' = (a ' ;b' ;c' ) va qua M0' (x0' ; y0' ; z0' ) Khi khoảng cách (∆1 ) va ( ∆2 ) tính u, u '  M M '   0 công thức d (∆1, ∆2 ) = u; u '    3.5 Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d VTCP 3.5.1 Dạng x = x + a t o  d qua điểm M (x ; y0 ; z ) có VTCP a = (a1;a2 ; a ) (d) : y = yo + a2t z = z + a t o  (t ∈ R) 3.5.2 Dạng d qua hai điểm A, B : Một VTCP d AB 3.5.3 Dạng d qua điểm M 0(x ; y ; z ) song song với đường thẳng ∆ cho trước: Vì d / /∆ nên VTCP ∆ VTCP d 3.5.4 Dạng ( ) ( ) d qua điểm M 0(x ; y ; z ) vng góc với mặt phẳng P cho trước: Vì d ⊥ P nên ( ) VTPT P VTCP d 3.5.5 Dạng d giao tuyến hai mặt phẳng ( P) , (Q) : • Cách 1: Tốn học Bắc Trung Nam Trang 78 TĨM TẮT LÍ THUYẾT TỐN 12 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 Tìm điểm VTCP (P ) Tìm toạ độ điểm A ∈ d : cách giải hệ phương trình  (với việc chọn giá (Q ) trị cho ẩn) Tìm VTCP d : a = nP , nQ  • Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , viết phương trình đường thẳng qua hai điểm 3.5.6 Dạng d qua điểm M 0(x ; y ; z ) vng góc với hai đường thẳng d1, d2 : Vì d ⊥ d1, d ⊥ d2 nên VTCP d là: a = ad , ad   2 3.5.7 Dạng d qua điểm M 0(x ; y ; z ) , vng góc cắt đường thẳng ∆ • Cách 1: H ∈ ∆ Gọi H hình chiếu vng góc M đường thẳng ∆ Thì  Khi M 0H ⊥ u∆ đường thẳng d đường thẳng qua M , H • Cách 2: ( ) ( ) Gọi P mặt phẳng qua A vng góc với d ; Q mặt phẳng qua A ( ) ( ) chứa d Khi d = P ∩ Q 3.5.8 Dạng d qua điểm M (x ; y0 ; z ) cắt hai đường thẳng d1, d2 : • Cách 1: Gọi M ∈ d1, M ∈ d2 Từ điều kiện M , M 1, M thẳng hàng ta tìm M 1, M Từ suy phương trình đường thẳng d • Cách 2: ( ) ( ) ( ) ( ) Gọi P = (M , d1 ) , Q = (M , d2 ) Khi d = P ∩ Q Do đó, VTCP d chọn a = n P , nQ  3.5.9 Dạng ( ) Tìm giao điểm A = d ∩ ( P ) , d nằm mặt phẳng P cắt hai đường thẳng d1, d2 : ( ) B = d2 ∩ P Khi d đường thẳng AB 3.5.10 Dạng 10 ( ) ( ) Viết phương trình mặt phẳng P chứa ∆ d1, mặt phẳng Q chứa ∆ d2 ( ) ( ) Khi d = P ∩ Q Toán học Bắc Trung Nam Trang 79 TĨM TẮT LÍ THUYẾT TỐN 12 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 3.5.11 Dạng 11 d đường vng góc chung hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau: • Cách 1: MN ⊥ d1 Gọi M ∈ d1, M ∈ d2 Từ điều kiện  , ta tìm M , N Khi đó, d đường MN ⊥ d2 thẳng MN • Cách 2: Vì d ⊥ d1 d ⊥ d2 nên VTCP d là: a = ad , ad   2 Lập phương trình mặt phẳng ( P ) chứa d d1, cách: Lấy điểm A d1 Một VTPT ( P ) là: n P = a , ad    Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q ) chứa d d2 Khi d = ( P ) ∩ (Q ) 3.5.12 Dạng 12 d hình chiếu đường thẳng ∆ lên mặt phẳng ( P ) ta Lập phương trình mặt phẳng (Q ) chứa ∆ vng góc với mặt phẳng (P ) cách: • Lấy M ∈ ∆ • Vì (Q ) chứa ∆ vng góc với ( P ) nên nQ = a ∆ , nP  • Khi d = ( P ) ∩ (Q ) 3.5.13 Dạng 13 d qua điểm M , vuông góc với d1 cắt d2 : • Cách 1: Gọi N giao điểm d d2 Từ điều kiện MN ⊥ d1, ta tìm N Khi đó, d đường thẳng MN • Cách 2: ( ) Viết phương trình mặt phẳng (Q ) chứa M Khi d = ( P ) ∩ (Q ) Viết phương trình mặt phẳng P qua M vng góc với d1 d2 3.6 Vị trí tương đối 3.6.1 Vị trí tương đối hai đường thẳng Để xét VTTĐ hai đường thẳng, ta sử dụng phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP điểm thuộc đường thẳng • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng Tốn học Bắc Trung Nam Trang 80 TĨM TẮT LÍ THUYẾT TỐN 12 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 3.6.2 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Để xét VTTĐ đường thẳng mặt phẳng, ta sử dụng phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP đường thẳng VTPT mặt phẳng • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt phẳng 3.6.3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Để xét VTTĐ đường thẳng mặt cầu ta sử dụng phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng bán kính • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt cầu 3.7 Khoảng cách 3.7.1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d • Cách 1: M M , a    Cho đường thẳng d qua M có VTCP a d(M , d ) = a • Cách 2: Tìm hình chiếu vng góc H M đường thẳng d ( ) d M , d = MH • Cách 3: Gọi N ( x ; y; z ) ∈ d Tính MN theo t (t tham số phương trình đường thẳng d) Tìm t để MN nhỏ Khi N ≡ H Do d ( M , d ) = MH 3.7.2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo d1 d2 Biết d1 qua điểm M1 có VTCP a , d2 qua điểm M có VTCP a d(d1, d2 ) = a1, a2  M1M a1, a2  Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng (α ) chứa d2 song song với d1 3.7.3 Khoảng cách hai đường thẳng song song Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng 3.7.4 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song ( ) Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng α song song với khoảng cách từ ( ) điểm M d đến mặt phẳng α Tốn học Bắc Trung Nam Trang 81 TĨM TẮT LÍ THUYẾT TỐN 12 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 3.8 Góc 3.8.1 Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP a1, a2 Góc d1, d2 bù với góc a1, a2 là: cos (a1, a2 ) = a1.a2 a1 a2 3.8.2 Góc đường thẳng mặt phẳng ( ) Cho đường thẳng d có VTCP a = (a1;a2 ; a ) mặt phẳng α có VTPT n = (A; B;C ) Góc đường thẳng d mặt phẳng (α ) góc đường thẳng d với hình chiếu d ' ( Aa1 + Ba2 + Ca3 ) (α ) là: sin d , (α ) = A + B + C a12 + a2 + a32 MẶT CẦU 4.1 Phương trình mặt cầu 4.1.1 Phương trình tắc Phương trình mặt cầu S tâm I a ;b; c , bán kính R là: ( ) ( ) () (S ) : (x − a )2 + (y − b )2 + (z − c )2 = R () Phương trình gọi phương trình tắc mặt cầu Đặc biệt: Khi I ≡ O (C ) : x + y + z = R 4.1.2 Phương trình tổng quát Phương trình : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = với a + b + c − d > phương trình ( ) ( ) mặt cầu S có tâm I a ;b; c , bán kính R = a + b + c − d 4.2 Giao mặt cầu mặt phẳng ( ) Cho mặt phẳng (α ) mặt cầu S có phương trình : (α ) : Ax + By + Cz + D = (S ) : (x − a )2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R ( ) Gọi d (I ; α ) khoảng cách từ tâm mặt cầu S đến mặt phẳng α Cho mặt cầu S ( I ; R ) mặt phẳng ( P ) ( ) Gọi H hình chiếu vng góc I lên ( P ) ⇒ d = IH = d I , ( P) d >R Mặt cầu mặt phẳng khơng có điểm chung Toán học Bắc Trung Nam d =R Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu: d