Tóm tắt lý thuyết môn toán 12

MỤC LỤC A Phần I: GIẢI TÍCH Trang 02 I Chương I: Ứng dụng đạo hàm Trang 02 II Chương II: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit Trang III.Chương III: Nguyên hàm tích phân Trang 11 Nguyên hàm Trang 11 Tích phân Trang 13 Ứng dụng tích phân Trang 14 IV.Chương IV: Số phức Trang 15 B Phần II: HÌNH HỌC Trang 16 I.Chương I: Khối đa diện Trang 16 II Chương II: Khối tròn xoay Trang 17 III.Chương III: Phương pháp tọa độ không gian .Trang 18 Mặt cầu Trang 19 Mặt phẳng Trang 20 Đường thẳng Trang 21 C Phần III: Các phím thường dùng máy tính FX 570VN Plus Trang 24 Phần I: GIẢI TÍCH CHƯƠNG I : ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM BÀI 1: SỰ ĐỒNG BIẾN−NGHỊCH BIẾN A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1/ Sự đồng biến, nghịch biến hàm số: Cho hàm sô y = f ( x ) có tập xác định miền D − f(x) đồng biến D ⇔ f ' ( x ) ≥ , ∀x ∈ D − f(x) nghịch biến D ⇔ f ' ( x ) ≤ , ∀x ∈ D (chỉ xét trường hợp f / (x) = số hữu hạn điểm miền D) 2/ Thường dùng kiến thức xét dấu tam thức bậc hai: f ( x ) = ax + bx + c Nếu ∆ < f(x) dấu với a Nếu ∆ = f(x) có nghiệm x = − b b f(x) dấu với a x ≠ − 2a 2a Nếu ∆ > f(x) có hai nghiệm, khoảng nghiệm f(x) trái dấu với a, khoảng nghiệm f(x) dấu với a 3/ So sánh nghiệm tam thức với số ∆ >  * x1 < x2 < ⇔  P > S <  ∆ >  * < x1 < x2 ⇔  P > S >  * x1 < < x2 ⇔ P < 4/ Hàm số đồng biến ( nghịch biến ) R Cho hàm số y = f (x) Nếu f / (x) = ax2 + bx + c ( a ≠ ) ∆ ≤ a > ∆ ≤ Hàm số f (x) nghịch biến ¡ ⇔  a < • Hàm số f (x) đồng biến ¡ ⇔  • BÀI 2: CỰC TRỊ A/Tóm tắt lý thuyết: • Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trị x0 có đạo hàm x0 f/(x0)=0 • Dấu hiệu đủ thứ I : Cho sử hàm số y = f(x) có đạo hàm (x0 – h; x0 + h) với h > +Nếu y/ đổi dấu từ dương sang âm qua x0 hàm số đạt cực đại x0, +Nếu y/ đổi dấu từ âm sang dương qua x0 hàm số đạt cực tiểu x0 Qui tắc tìm cực trị = dấu hiệu I : + MXĐ D=? + Tính : y/ = , tìm nghiệm ptr y/ = Tính giá trị hàm số nghiệm vừa tìm (nếu có) + BBT : (sắp nghiệm PT y/ = giá trị không xác định hàm số từ trái sang phải tăng dần) + Kết luận cực trị ? Chú ý: 1) Nếu hàm số tăng ( giảm) (a;b) khơng có cực trị (a;b) 2) Số cực trị hàm số số nghiệm đơn phương trình y/ =  y / ( x ) = 3) Nếu f(x) có đạo hàm x0 đạt cực trị x0   / i dấ u qua x0  y ( x)  đổ •Dấu hiệu II: Cho hàm f(x) có đạo hàm tới cấp II (a;b), x0 ∈ (a;b)  y / (x ) = +Nếu  // hàm số đạt cực tiểu x0  y (x )  > y / ( x ) = +Nếu  / / hàm số đạt cực đại x0 y ( x0 )  < Qui tắc tim cực trị = dấu hiệu II: + MXÐ + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = => nghiệm x1 , x2 … ( có ) + Tính y// = ? y//(xi), i = 1, n Nếu y//(xi) > hàm số đạt CT xi Nếu y//(xi) < hàm số đạt CĐ xi Chú ý : dấu hiệu II dùng cho / trường hợp mà y khó xét dấu *Cực trị hàm hữu tỉ : Nếu h/s y = u ( x) đạt cực trị x0 y/(x0)= giá trị cực trị y(x0) = v( x) u′(x ) v′(x ) * Điều kiện để hàm bậc có cực trị (có cực đại,cực tiểu): a ≠ ∆ > y’= có hai nghiệm phân biệt ⇔  *Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trị (có cực đại, cực tiểu): y’= có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm mẫu * Điều kiện để hàm bậc có cực trị : y/ = có nghiệm phân biệt BÀI 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Định nghĩa : Cho hàm số f xác định D ( D ⊂ R) a) Nếu ∃x0 ∈ D : f ( x) ≤ f ( x0 ), ∀x ∈ D số M=f(x0) gọi GTLN hàm số f D Ký hiệu M = maxf(x) x∈D b) Nếu ∃x0 ∈ D : f ( x) ≥ f ( x0 ), ∀x ∈ D số M=f(x0) gọi GTNN hàm số f D Ký hiệu m = minx∈f(x) D 2) Cách tìm GTLN-GTNN D - Lập bảng biến thiên hàm số D Dựa vào BBT để kết luận ( Nếu bảng biến thiên có cực trị cực đại( cực tiểu) giá trị cực đại (cực tiểu) GTLN(GTNN) hàm số D) 3) Cách tìm GTLN-GTNN hàm số f liên tục đoạn [a,b] + Tìm điểm x1,x2, , xn thuộc (a;b) đạo hàm khơng có đạo hàm + Tính f(x1), f(x2), , f(xn), f(a )và f(b) + Tìm số lớn M số nhỏ m số M = max f ( x ) ; m = f ( x ) [ a ,b ] [ a ,b ] BÀI 4: TIỆM CẬN A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Tiệm cận đứng : x = x0 tiệm cận đứng có giới hạn sau lim f (x) = +∞ ; lim+ f (x) = −∞ ; lim− f (x) = +∞ ; lim− f (x) = −∞ x →x 0+ x →x x →x x →x Chú ý : Tìm x0 điểm hàm số khơng xác định 2.Tiệm cận ngang : f (x) = y ; lim f (x) = y y = y0 tiệm cận ngang có giới hạn sau: xlim →+∞ x →−∞ Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( đưa dạng phân thức ) bậc tử ≤ bậc mẫu có tiệm cận ngang BÀI 5: ĐỒ THỊ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN I.DẠNG ĐỒ THỊ HÀM BẬC : y=ax3+bx2+cx+d II D Ạ N G ĐỒ THỊ HÀM BẬC TRÙNG PHƯƠNG :y=ax4+bx2+c III DẠNG ĐỒ THỊ HÀM NHẤT BIẾN (B1/B1) : y = ax + b cx + d 4 2 -5 -5 -2 -2 -4 -4 -6 -6 y/ >0, ∀x y/ 0 m a n = n am a>0 m∈ Z,n ∈ N* * a α = lim a rn α = lim rn (rn ∈ Q, n ∈ N ) 2.Các tính chất lũy thừa: a, b>0; x, y∈R a x ⋅  a a = a  y = a x y x+y x− y x x x a   ÷ b x  (a.b) =a b a  a>1 a >a ⇔ x>y ;  0 (0 ; + ∞) y' = α.xα-1> 0,∀x > y = xα, α< (0 ; + ∞) y' = α.xα-1< 0, ∀x > * Sự biến thiên: Hàm số đồng biến (0 ;+∞) Hàm số nghịch biến (0 ;+∞) *Tiệm cận: Khơng có *Đồ thị Đồ thị hàm số y = x α qua Trục Ox tiệm cận ngang Trục Oy tiệm cận đứng đồ thị Đồ thị hàm số y = x α qua điểm điểm A(1 ;1), nằm trục ox A(1 ;1), nằm trục ox Dạng đồ thị y α>1 α=1 0 logay ⇔ x>y *0 b) logab > ⇔   < a, b < logab < ⇔Trong số a b số lớn số lại thuộc (0;1) 3/ Các qui tắc biến đổi: với a, B, C > ; a ≠ ta có:  B • log a  ÷ = log a B − log a C C 4/ Công thức đổi số: với a, b, c > ; a, c ≠ ta có: • log a (B.C) = log a B + log a C log c a.log a b = log c b log a b = •loga Bβ = β log a B log c b log c a Hệ quả: *0 < a, b ≠ log a b = log b a *0 < a ≠ 1, b>0 log α b = a ; logab ; α logaα bβ  = β logab α Bài 4: HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT 1/ Hàm số mũ: a) Định nghĩa: Hàm số mũ hàm số cho biểu thức y = b) Giới hạn lim x→ a x với a > ; a ≠ e −1 =1 x x c) Đạo hàm hàm số mũ (ex) / = ex (ax) / = ax.lna (eu)/ = u/.eu (au)/ = u/.au.lna d) Tóm tắt tính chất hàm số y=ax a>1 00) (u>0)•(ln x x )/ = / = u′ u x (x≠0)•(logax) / = (u≠0)• (logau)/ = x ln a u′ u ln a (x>0)•(loga (u>0)•(loga u x ) /= ) /= x ln a u/ u ln a (x≠0) (u≠0) c) Tóm tắt tính chất hàm số y=logax *TXĐ: *TGT: *Đạo hàm: *Chiều biến thiên: *Tiệm cận: *Dạng đồ thị a>1 D=(0;+∞) T=R (logax) / = 00 (logax) / = x ln a 0 Hàm số luôn đồng biến Hàm số luôn nghịch biến Trục oy tiệm cận đứng Trục oy tiệm cận đứng Đồ thị hàm số mũ qua điểm (1;0) (1;a), nằm phía trục hồnh Bài 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1/ Phương trình bản: Phương trình mũ bản: ax = b (0 < a ≠ 1  ) • Nếu b>0, ta có ax = b ⇔ x = loga b • Nếu b≤ phương trình vơ nghiệm Tổng quát: a f (x) = b (với 0 0)⇔ f(x) = log a b Phương trình loga bản: • log a x = b (0 < a ≠ 1) ⇔ x = a b Tổng quát: log a f (x) = b (0 < a ≠ 1) ⇔ f (x) = a b 2/ Một số phương pháp giải phương trình mũ loga: a)Đưa số: Chú ý: • a f (x) = a g(x) ⇔ f(x) = g(x) f (x) > g(x) > •log a f(x) = log a g(x) ⇔  f (x) = g(x) b) Đặt ẩn phụ: Dạng 1:α a 2f (x) +β a f (x) + γ = ; Dạng 2: α a b + f (x) +β a b−f (x) + γ = ; Đặt: t = a Đặt: t = f (x) a Dạng 3: α a f (x) +β b f (x) + γ = a.b = 1; Đặt: t = Đk t > f (x) Đk t > f (x) ; = f (x) b t f (x) a a Dạng 4:α a 2f (x) +β ( a.b ) f (x) + γ b 2f (x) = ; Đặt t =  ÷ b Dạng 5: α (loga x)2 + β loga x + γ = +β a f (x) ; Đặt: t = logax Dạng 6:α.logax+β logxa+γ = Đặt: t = logax logxa= c)Logarit hố, mũ hố: a f (x) =b g(x) t ⇔ f (x) = g(x) log b a Bài 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1/ Bất phương trình bản: Bất phương trình mũ bản: Bất phương trình mũ có dạng ax >b (hoặc ax < b, ax ≤ b, ax ≥ b) với 0b • Nếu b≤ 0, tập nghiệm phương trình R  x > loga b neu a>1 x • Nếu b>0, a >b⇔  01 Tổng quát: với b > 0, a >b⇔  f(x) 0 0, a ≠ ( hoaë ,loga x ≤ b ) Giải bất phương trình mũ dạng: loga x > b  x > ab neu a>1 • loga x > b⇔  b 01 Tổng quát: loga f (x) > b⇔  b 0 a g ( x ) ⇔ f ( x) > g ( x) 10 • Nếu < a < a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x) < g ( x) • Nếu a > log a f ( x ) > log a g ( x) ⇔ f ( x) > g ( x) > • Nếu < a < log a f ( x) > log a g ( x) ⇔ < f ( x) < g ( x) Chương III: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN I/ NGUYÊN HÀM 1) Một số kiến thức đạo hàm a) Qui tắc tính đạo hàm: (u + v) ' = u '+ v ' ; (u + v) ' = u '+ v '  u ′ u ' ( ku) ' = ku ' ;  ÷ = k k (u.v) ' = u 'v + uv ' ; ( với k số) b)Đạo hàm hàm số sơ cấp bản: Đạo hàm hàm số sơ cấp (C)’ = ; (x)’=1 (x ) α / = / n xn−1 /  ax2 + bx + c  adx2 + 2aex + be− cd  ÷ = ( dx + e)  dx + e  ( sin x ) / = cos x ( cos x ) / = − sin x ( sin u ) / = u / cos u ( cos u ) / = −u / sin u = + tan x cos x ( cot x ) / = − 12 = − + cot x sin x ( tan u ) / = ( ( ) x ′ / ( ) n / e u / ( ) ad − bc  ax + b    = ( cx + d )  cx + d  ( tan x ) / α −1 k.v  k  v ÷ = − v2   / u/ u = u / u' n u = n n−1 n u ( ) / ( u = u( x ) Đạo hàm hàm số hợp α / / n ( với k số) (u ) α u = α x α −1 k  k  x ÷ = − x2   / x = x ( x) kv'  u ′ u 'v− uv'  k ′ = ;  ÷  ÷ =− 2 v v v v ) x =e (a ) x / = a x ln a 1 / / ( lnx) = ( x>0) ; ( ln x ) = (x ≠ 0) x x / (x>0) ; ( loga x) = x.lna ( log a x ) / = (x ≠ 0) x ln a ( ) ′ u (a ) u / ) ( ( cot u ) / e ( u/ = u / + tan u cos u u/ = − = −u / + cot u sin u = ) u =u'.e = a u u / ln a u/ u/ / (u ≠ 0) ( u>0) ; ( ln u ) = u u u/ / (u>0) ( loga u) = u.lna / ( log a u ) / = u (u ≠ 0) u ln a ( lnu) = / 2) Bảng nguyên hàm: 11 Nguyên hàm Nguyên hàm hàm số hợp ∫ dx = ∫ 1dx = x + C ∫ xα dx = ∫ kdx = kx + C xα +1 + C (α ≠ 1) α +1 n+ m n x dx = x n n+m ∫ ∫ x dx = ln x + C n m ∫ ( ax + b) ∫ ∫ ∫ +C ∫ x2 dx = − x + C ∫ x dx = x + C x x ∫ e dx = e + C ∫ dx = akx+ bdx = ax + b + C a ax+ b e +C a akx+ b +C k ln a 1 ∫ sin2(ax + b) dx = − a cot(ax + b) + C 1 x− a dx = ln +C −a 2a x + a ∫ tan xdx = − ln cos x + C ( x − x1 ) ∫ ( x − x ) ( x − x ) dx = ( x − x ) ln ( x − x ) ax + b dx = 2 ∫ cot xdx = ln sin x + C +C CÁC TÍNH CHẤT ∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C ; ∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx ∫ k f ( x ) dx =k ∫ f ( x ) dx ( k ≠ ) ; 4 PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM ∫ f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx B1: Đặt: t=u(x) lấy vi phân hai vế: dt=u’(x)dx ⇒ B2: Tính: ∫ f  u ( x )  u ' ( x ) dx = ∫ f (t )dt ∫ f ( t ) dt = F ( t ) + C 12 ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx =∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx 4.1.Phương pháp đổi biến số: Nguyên hàm dạng +C ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C ∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C 1 ∫ cos2(ax + b) dx = a tan(ax + b) + C dx = − cot x + C n+ m (a > 0, a ≠ 1) ∫ cos xdx = sin x + C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos2 x dx = tanx + C ∫x ax+ b ∫ + C (α ≠ 1) n (ax + b) dx = (ax + b) n a n+m 1 dx = ln ax + b + C ax + b a 1 dx = − +C a ax + b ( ax + b) ∫e ax a dx = + C (a > 0, a ≠ 1) ln a ∫ sin2 x α +1 ( ax + b) dx = a α +1 m n ∫ x α B3: Thay t=u(x) vào F(t) được: ∫ f  u ( x )  u ' ( x ) dx = F (u ( x)) + C 4.2 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN: công thức nguyên hàm phần ∫ u( x).v '( x)dx = u( x).v( x) − ∫ v( x).u'(x)dx Áp dụng tính: I= ∫ udv = uv − ∫ vdu Vắn tắt: ∫ f ( x ) g ( x)dx  u = f (x) ⇒ du = f'(x)dx ⇒ I = f (x).G(x) − ∫ G(x) f '(x)dx Đặt:   dv = g(x)dx v = G(x) nguyên hàm g(x) Tính ∫ G(x) f '(x)dx , suy I * Chú ý: Vận dụng để tính dạng nguyên hàm sau: Dạng 1: ∫ P ( x ) g ( x)dx ( P(x): hàm số đa thức , g ( x) hàm số lượng giác hàm số mũ)  u = P ( x) ⇒ du = P '(x)dx  dv = g(x)dx ⇒ v = G(x) nguyên hàm g(x) t: Dng 2: ∫ P ( x ) hs log aritdx ( P(x): hàm số đa thức) Đặt :  u = hs log arit   dv = P( x)dx Chú ý : 1/ Thường sử dụng pp phần ngun hàm có dạng tích dạng hàm số khác có hàm số logarit 2/ Thứ tự ưu tiên đặt u: “Nhất lôgarit, nhì đa thức, tam mũ, tứ lượng” II TÍCH PHÂN 1.ĐN:Cho hàm số f(x) liên tục [a;b] F(x) nguyên hàm f(x) b ∫ f ( x ) dx = F ( x ) a b a = F ( b) − F ( a) Chú ý: b b b b a a a a ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( u ) du = ∫ f ( y ) dy 2.Tính chất: a 1/ ∫ f ( x ) dx = ; 2/ a b 4/ b a a b ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx ; b b ∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx ; a a 3/ 5/ a b b a a ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ( k ≠ 0) b c b a a c ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx 3.Phương pháp đổi biến số: b 3.1 Đổi biến số dạng I : Tính tích phân dạng B1: Đặt: t=u(x) ⇒ dt=u’(x)dx B2: Đổi cận: x a b α β t ∫ f  u ( x )  u ' ( x ) dx a 13 b β a α β B3: ⇒ ∫ f  u ( x )  u ' ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = F ( t ) α = F ( β ) − F (α ) , với F(t) nguyên hàm f(t) b 3.2 Đổi biến số dạng II : ∫ f ( x ) dx a B1: Đặt: x=u(t) ⇒ dx = u '(t )dt B2: Đổi cận: x a b α β t b ∫ B3: Tính: a β β α α β f ( x ) dx = ∫ f  u ( t )  u ' ( t ) dt = ∫ g ( t ) dt = G ( t ) α với G(t) nguyên hàm g(t) II Phương pháp tích phân phần: cơng thức TPTP: b b b b b u ( x ) v '( x ) dx = u ( x ) v ( x ) − v( x).u'(x)dx b ∫a udv = uv − a ∫a ∫a vdu a , vắn tắt: ∫ a Chú ý : 1/ Thường sử dụng pp phần tích phân có dạng tích dạng hàm số khác có hàm số logarit 2/ Thứ tự ưu tiên đặt u là: “Nhất lơgarit, nhì đa thức, tam mũ, tứ lượng giác” III ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Cho (C); (C1); (C2) đường cong liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng S giới hạn :  (C) : y =f(x)  S Truïc Ox: y=0  dt :x =a; x =b (a0) phương trình có hai nghiệm thực phân biệt −b ± ∆ ∆>0 z1,2 = • 2a • •  −b / ± ∆ /   z1,2 = ÷  ÷ a   / −b −b / Nếu ∆ = ( ∆ =0) phương trình có nghiệm kép thực z1 = z2 = = 2a a / Nếu ∆ < ( ∆ 0) Khối cầu: Phần không gian giới hạn mặt cầu, kể mặt cầu gọi khối cầu – Điểm ngồi: điểm khơng thuộc khối cầu – Điểm trong: điểm thuộc khối cầu khơng thuộc hình cầu 7.THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY 7.1: Khối trụ: 7.2: Khối nón 7.3.Khối cầu: R : bá n kính đá y Sxq = 2π Rl vớ i  ngsinh l : đườ R : bá n kính đá y Vtrụ = π R2h vớ i  ng cao h: đườ R h l R : bá n kính đá y Sxq = π Rl vớ i  ngsinh l : đườ R : bá n kính đá y Vnón = π R2h vớ i  ng cao h: đườ l h R S = 4π R2vớ i R : bá n kính mặ t cầ u Vcầu = π R3 vớ i R : bá n kính khố i cầ u R CHƯƠNG III: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN OXYZ TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VECTƠ I.TỌA ĐỘ VECTƠ r r r r r Định nghĩa: u = ( x;y;z) ⇔ u = xi + yj + zk TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA VECTƠ r r ĐN: kg Oxyz cho a = ( x1 ; y1 ; z1 ) , b = ( x2 ; y2 ; z2 ) Công thức: r r Trong kg Oxyz,cho: a = (a1;a2;a3), b = (b1;b2;b3) 1/ Tọa độ vectơ tổng: r r r  y v =  a; b  =   y2 z1 z1 ; z2 z x2 x1 ; x2 x2 y1  ÷ y2  Tính chất: r r a ± b = ( a1 ± b1;a2 ± b2;a3 ± b3 ) r r r r r r r r r r r r • [a, b] ⊥ a • [a, b] ⊥ b • [a, b] = a b sin( a, b) r r r r r • a, b phương ⇔ [a, b] = • Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: r r r r r r a, bvà c đồng phẳng ⇔ [a, b].c = II TỌA ĐỘ ĐIỂM uuuu r r r r a Định nghĩa: M ( x;y;z) ⇔ OM = xi + yj + zk 2.Tích số thực k với véc tơ: r ka = (ka1; ka2;ka3) ( k ∈ R ) Hai vectơ nhau: a1 =b1 r r  a =b ⇔ a2 =b2 a =b 3 4.Điều kiện vectơ phương: r r r r r r a , b phương ⇔ a = kb ; b ≠ M ∈ Ox ⇒ M ( x;0;0 ) ; M ∈ ( Oxy ) ⇒ M ( x; y;0 ) M ∈ Oz ⇒ M ( 0;0; z ) ; M ∈ ( Oxz ) ⇒ M ( x;0; z ) M ∈ Oy ⇒ M ( 0; y;0 ) ; a1 = kb1  ⇔∃k ∈ R : a2 = kb2  a3 = kb3 M ∈ ( Oyz ) ⇒ M ( 0; y; z ) b Công thức: Cho điểm A(xA; yA; zA ), B(xB; yB; zB ) ,… 5.Biểu thức toạ độ tích vơ hướng rr a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 uuu r 1.Tọa độ vectơ: AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA ) 2.Khoảng cách điểm A,B (độ dài đoạn thẳng AB) 6.Độ dài vec tơ: 18 uuur r a = a12 + a22 + a32 AB = AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 3.Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng: M trung điểm của đoạn AB Điều kiện 2vectơ vng góc rr r r a ⊥ b ⇔ ab = ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 =  x + xB yA + yB zA + zB  M A ; ; ÷ 2   r r r r r r 8.Góc vectơ a ≠ 0, b ≠ : Gọi ϕ = a,b ( ) rr r r a1b1 + a2b2 + a3b3 a.b cos a, b = r r = a.b a12 + a22 + a23 b12 + b22 + b23 4.Tọa độ trọng tâm tam giác G trọng tâm tam giác ABC ( )  x + x B + x C yA + yB + yC z A + z B + zC  G A ; ; ÷ 3   MỘT SỐ ỨNG DỤNG CÔNG THỨC Chứng minh điểm A,B,C thẳng uuur hàng; uuur không thẳng hàng:  điểm A,B,C thẳng hàng ⇔ AB = k AC uuur uuur r hoặc: điểm A,B,C thẳng hàng ⇔  AB, AC  = uuur uuu r 3 điểm A,B,C không thẳng hàng ⇔ AB ≠ k AC uuur uuur r hoặc:3 điểm A,B,C không thẳng hàng ⇔  AB, AC  ≠ uuur uuu r D ( x;y;z) đỉnh hình bình hành ABCD ⇔ AD = BC uuu r uuur 3.Diện tích hình bình hành ABCD: SY ABCD =  AB, AD  uuur uuur hoặc: SY ABCD = 2S ∆ABC  AB, AC  4.Diện tích tam giácABC: S∆ABC = uuur uuur  AB, AC   2 Chứng minh điểm A,B,C,D đồng phẳng, không đồng phẳng uuur uuur uuur 4 điểm A,B,C,D đồng phẳng ⇔  AB, AC  AD = uuur uuur uuur 4 điểmA,B,C,D không đồng phẳng ⇔  AB, AC  AD ≠ (A,B,C,D đỉnh tứ diện ABCD) 6.Thể tích tứ diện ABCD: VABCD = uuur uuur uuur  AB, AC  AD  6 7.Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: uuu r uuur uuur VABCD A' B 'C ' D' =  AB, AD  AA' PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU I Phương trình mặt cầu: 2 Dạng 1:Mặt cầu (S), tâm I(a;b;c), bán kinh r có phương trình: ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = r Mặt cầu tâm O, bán kính r: x + y + z = r Dạng 2:Phương trình dạng x + y + z − 2ax − 2by − 2cz = ; điều kiện a + b + c − d > phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính r = a + b + c − d II Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu: Trong k.g Oxyz Cho : mặt cầu (S),tâm I(a;b;c), bán kinh r mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = a/ Gọi H(x;y;z) hình chiếu vng góc tâm I(a;b;c) m ( α ) Ta có: IH = d ( I , ( α ) ) = Aa + Bb + Cc + D A2 + B + C a/ IH > R : mp ( α ) mặt cầu (S) điểm chung 19 b/ IH = R : mp ( α ) mặt cầu (S) có điểm chung ( mp ( α ) tiếp xúc mặt cầu (S) điểm H )  H : Gọi tiếp điểm b/  mp ( α ) : Gọi tiếp diện Điều kiện mp ( α ) : Ax + By + Cz + D = tiếp xúc mặt cầu (S), tâm I(a;b;c), bán kinh r: d ( I , ( α ) ) = r c/ IH < R : mp ( α ) cắt mặt cầu (S) theo đường trịn (C) có  x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = phương trình: (C):  Ax + By + Cz + D =  (C) có tâm H, bán kính r ' = r − IH c/  Khi IH = d ( I , ( α ) ) = : mp ( α ) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn lớn tâm H ≡ I , bán kính r ' = r PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG r r r 1/ Vectơ n ≠ gọi VTPT mp ( α ) ⇔ n ⊥ ( α ) r r r r r 2/ Nếu a , b cặp vectơ không phương có giá nằm ( α ) song song với ( α ) : n =  a; b  VTPT mp ( α ) r 3/ Mặt phẳng ( α ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) ,VTPT n = ( A; B; C ) có phương trình tổng quát dạng A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = ⇔ Ax + By + Cz + D = : phương trình tổng quát mặt phẳng 4/ Chú ý: Các trường hợp đặc biệt phương trình mặt phẳng Tính chất mặt phẳng (P) Phương trình mặt phẳng (P) r Phương trình mặt phẳng tọa độ mp ( Oxy ) : z = - VTPT k = ( 0;0;1) r mp ( Oxz ) : y = - VTPT j = ( 0;1;0 ) r mp ( Oyz ) : x = - VTPT i = ( 1;0;0 ) (P) qua gốc O Ax + By + Cz = (P) // Ox hay (P) chứa Ox By + Cz + D = (P) // Oy hay (P) chứa Oy Ax + Cz + D = (P) // Oz hay (P) chứa Oz Ax + By + D = (P) // mp(Oxy) Cz + D = (C.D ≠ 0) hay z = m (P) // mp(0xz) By + D = (B.D ≠ 0) hay y = n (P) // mp(0yz) Ax + D = (A.D ≠ 0) hay x = p x y z (P) qua điểm A(a ; ; 0), B(0 ; b ; 0),C(0 ; ; c) + + =1 (abc ≠ 0) a b c 5/ Vị trí tương đối mặt phẳng: ur Cho mặt phẳng (P): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = có VTPT n1 = ( A1 ; B1; C1 ) 20 ur (Q): A2 x + B2 y + C2 z + D2 = có VTPT n1 = ( A2 ; B2 ; C2 ) ur uu r a (P) cắt (Q) ⇔ n1 ≠ k n2 ⇔ ( A1 ; B1 ; C1 ) ≠ ( A2 ; B2 ; C2 ) ur uu r  n1 = k n2 A B C D ⇔ = = ≠ ( A2 ; B2 ; C2 khác 0) b (P) P (Q) ⇔  A2 B2 C2 D2  D1 ≠ kD2 ur uu r  n1 = k n2 A B C D ⇔ = = = ( A2 ; B2 ; C2 khác 0) c (P) ≡ (Q) ⇔  A2 B2 C2 D2  D1 = kD2 ur uu r ur uu r Chú ý: (P) ⊥ (Q) ⇔ n1 ⊥ n2 ⇔ n1.n2 = 6/ Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = d ( M , (α ) ) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C Nếu ( α ) / / ( β ) ⇒ d ( (α ), ( β ) ) = d ( M ∈ (α ), ( β ) ) = d ( N ∈ ( β ), (α ) ) ĐƯỜNG THẲNG r r 1/ Vec tơ phương: Vec tơ u ≠ có giá song song nằm đường thẳng ∆ gọi vectơ phương đường thẳng ∆ r r Nếu u vectơ phương ∆ k u ( k ≠ ) VTCP ∆ 2/ Phương trình tham số đường thẳng:  x = x0 + u1t r  Đường thẳng ∆ qua điểm M0(x0;y0;z0),VTCP u = (u1 ; u2u3 ) có phương trình tham số:  y = y0 + u2t (t ∈ ¡ ) z = z + u t  x − x0 y − y0 z − z0 = = 3/Phương trình tắc đường thẳng ∆ là: với u1 , u2 , u3 khác u1 u2 u3 4/ Vị trí tương đối đường thẳng : Cách : ( đưa đt phương trình tham số ) Cách : r ur uu r ur uu r  qua M  qua M  d1   uu r ; d2  uu r Tính n = [u1 , u2 ] Cho d1  a/ d1//d2 ⇔ u1 = ku2  vô nghiệm VTCP u1 VTCP u2   d2 ur uu r r ur uu r  Nếu [u1 , u2 ] =  d1 ur uuuuuur r b/ d1≡ d2 ⇔ u1 = ku2  có vơ số nghiệm [u1 , M M ] ≠ d1//d2 d2 ur uuuuuur r ur uu r  d1 [u1 , M 1M ] = d1≡ d2 ' c/ d1 cắt d2 ⇔ u1 ≠ ku2  có nghiệm ( t ; t ) ur uu r r d2  Nếu [u1 , u2 ] ≠ ur uu r uuuuuur ur uu r  d1 [ u , u d1 cắt d2 ].M 1M = d/ d1,d2 chéo ⇔ u1 ≠ ku2  vô nghiệm ur uu r uuuuuur d  [u1 , u2 ].M 1M ≠ d1 d2 chéo ur uu r Chú ý : d1⊥d2 ⇔u1.u2 = 4/ Vị trí tương đốigiữa đường thẳng mặt phẳng:  x = x0 + u1t  r   qua M r mp(P): Ax + By + Cz + D = có VTPT n Cho đường thẳng d:  y = y0 + u2t ( t ∈ ¡ ) , d :   VTCP u z = z + u t  rr   d  u.n = Cách 1: Giải hệ:  P Cách 2:+ d // (P) ⇔  ( )   M ∉ ( P ) 21 rr  u.n = ⇒ A ( x0 + u1t ) + B ( y0 + u2t ) + C ( z0 + u3t ) + D = ( 1)  + d ⊂ (P) ⇔  + Nếu (1) vơ nghiệm d //(P)  M ∈ ( P ) rr + Nếu (1) có vơ số nghiệm d ⊂ (P) + d cắt (P) ⇔ u.n ≠ + Nếu (1) có nghiệm t = t0 d cắt (P) Chú ý : Nếu đề yêu cầu tìm giao điểm đường Thay t = t0 vào (d) ta tìm (x;y;z) thẳng mặt phẳng giải hệ (cách 1) Kết luận d cắt (P) điểm M (x;y;z) KHOẢNG CÁCH 5.Khoảng cách điểm A,B (độ dài đoạn thẳng AB): uuur AB = AB = (xB − xA )2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2 Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = d ( M , (α ) ) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C  Nếu mp song song: ( α ) / / ( β ) ⇒ d ( (α ), ( β ) ) = d ( M ∈ (α ), ( β ) ) = d ( N ∈ ( β ), (α ) )  Nếu đường thẳng song song mp: ∆ / / mp ( α ) ⇒ d ( ∆;(α ) ) = d ( M ∈ ∆;(α ) ) = 7.Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến đường thẳng ∆:  qua M r VTCP u Đường thẳng ∆ :  r r r r r r 9.Góc 2vectơ a ≠ 0, b ≠ : Gọi ϕ = a,b ( ) ( ) uuuuuu r r M M , u    d ( M ;∆) = r u uu r uu r u1.u2 cosdϕ( =∆ u u r uu r 1; ∆2 ) = u1 u2 10.Góc 2mặt phẳng: uu r uu r uu r uu r n1,n2 VTPT mặt phẳng Gọi ϕ = n1,n2 uu r uur n1.n2 cosϕ = uu r uur n1 n2 A2 + B + C 11.Góc 2đường thẳng: uu r uu r uu r uu r u1,u2 VTCP đường thẳng Gọi ϕ = u1,u2 rr rr a1b1 + a2b2 + a3b3 a.b cosϕ = cos a,b = r r = a b a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 ( Ax0 + By0 + Cz0 + D ) uu r uu r uuuuuur u1 , u2  M 1M   uu r uu r u1 , u2    ( ) 12.Góc đường thẳng; mặt phẳng: r r r r n VTPT mp; u VTCP đường thẳng Gọi ϕ = n,u rr n.u sinϕ = r r n u ( )  Nếu đường thẳng song song : ∆1 / / ∆ ⇒ d ( ∆1 ; ∆ ) = d ( M ∈ ∆1 ; ∆ ) = d ( M ∈ ∆ ; ∆1 ) 8.Khoảng cách đường thẳng chéo nhau:    qua M  qua M uu r ∆2 :  uu r   VTCP u1 VTCP u2 Đường thẳng ∆1 , ∆ chéo ∆1 :  CÔNG THỨC GÓC Một số cách xác định vectơ phương đường thẳng: r uuur  Đường thẳng d qua hai điểm phân biệt A B d có vtcp u = AB uur r uur  Cho đường thẳng ∆ có vtcp u∆ Nếu d//∆ vtcp đường thẳng d u = u∆ uuur r uuur  Cho mp(P) có vtpt n( P ) , đường thẳng d⊥(P) d có vtcp là: u = n( P ) r r r r Cho vectơ a , b không phương Đường thẳng d vng góc với giá vectơ a b d có vtcp là: 22 r r r u = [ a, b] uuur uur  Đương thẳng ∆ có vtcp u∆ , mp(P) có vtpt n( P ) đường thẳng d song song với (P) d vng góc với ∆ r uu r uuur d có vtcp u = [u ∆ , n( P ) ] uur uur  Cho hai mp (P) (Q) có vtpt nP , nQ Nếu d giao tuyến mp (P), (Q) d có vtcp là: r uuur uuur u = [n( P ) , n(Q ) ] CÁC PHÍM THƯỜNG DÙNG TRÊN MÁY TÍNH 570 VN PLUS MODE : Trạng thái tính tốn MODE : Trạng thái tính tốn với số phức MODE 1: Giải hệ phương trình bậc ẩn MODE 2: Giải hệ phương trình bậc ẩn MODE 3: Giải phương trình bậc MODE 4: Giải phương trình bậc MODE ∇ 1: Giải bất phương trình bậc MODE ∇ 1 1: Giải bất phương trình bậc 2: a.x2+b.x+c>0 MODE ∇ 1 2: Giải bất phương trình bậc 2: a.x2+b.x+c0 MODE ∇ 2: Giải bất phương trình bậc 2: a.x3+b.x2+cx+d Shift Sto Xố nội dung nhớ: -Xóa nội dung nhớ Ans, nhớ độc lập tất biến nhớ Ấn phím shift CLR = Để huỷ hoạt động xóa ấn (Cancel) -Xóa nội dung nhớ nhấn: Shift Sto 13 Xóa tất cài đặt trở cài đặt ban đầu Thực thao tác sau để lập cài đặt ban đầu: Sh CLR(9) = = 24 ...Phần I: GIẢI TÍCH CHƯƠNG I : ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM BÀI 1: SỰ ĐỒNG BIẾN−NGHỊCH BIẾN A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1/ Sự đồng biến, nghịch biến hàm số: Cho hàm sô y = f ( x ) có tập xác định miền D... ∆ ≤ Hàm số f (x) nghịch biến ¡ ⇔  a < • Hàm số f (x) đồng biến ¡ ⇔  • BÀI 2: CỰC TRỊ A /Tóm tắt lý thuyết: • Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trị x0 có đạo hàm x0 f/(x0)=0 • Dấu hiệu đủ thứ I... Tìm số lớn M số nhỏ m số M = max f ( x ) ; m = f ( x ) [ a ,b ] [ a ,b ] BÀI 4: TIỆM CẬN A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Tiệm cận đứng : x = x0 tiệm cận đứng có giới hạn sau lim f (x) = +∞ ; lim+ f (x)