Đề thi học sinh giỏi lớp 9, lớp 12 và Tin học trẻ các năm - Phòng Khảo thí và Kiểm định chất lượng giáo dục - Sở Giáo dụ...
Trang 1` ` BỘ GIÁO ĐỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THIKHU VỰC GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CÀM TAY - 2 ý NĂM 2010
DE THI CHINH THUC
Mơn:Tốn Lớp: 9 Cấp Trung học cơ sé Thời gian thi: 150 phút (không kẻ thời gian giao dé) Ngày thi: 19/3/2010
DIEM CUA TOAN BAI THI Cac giám khảo SỐ PHÁCH
(Họ, tên và chữ k0 (Do Chủ tịch Hội đồng thi khu vực ghỉ)
Bảng sô Bằng chữ
Chú ý: - Đề thi gôm 06 trang
- Thi sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này
- Kết quả bài toán tính chính xác đến 5 chữ số sau dẫu phả)
Bài 1 (5 điểm) Tính giá trị của các biêu thức sau: 1 1 1 1 A= + + + + : “+43 3+5 V54V7 /2009 +/2011 1 1 1 1 1 1 b T11 11.7 |? z3 2009? 2010? € C=|291945+-|831910+.2631931+./322010:-/1981945 : Kết quả: = _—_ n HklbseemayaD = TC g7 Bai 2 (5 điểm)
a Một người gửi tiết kiệm 250.000.000(đồng) loại kì hạn 3 tháng vào ngân hàng với lãi suất 10,45% một năm Hỏi sau 10 năm 9 tháng người đó nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó
b Nếu với số tiên ở câu a, người đó gửi tiết kiệm loại kì hạn ố tháng vào ngân
hàng với lãi suất J 0,52% một năm thì sau 10 năm 2 tháng người đó nhận được bao nhiêu tiên cả vốn lẫn lãi Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định
Trang 2
c Một người bàng tháng gửi tiết kiệm 10.000 000(đồng) vào ngân hàng với lãi
suất 0,84 % một tháng Hỏi sau 5 năm người đó nhận được bao nhiêu tiền cả vốn
lẫn lãi Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó
Kết quả:
a Số tiền người đó nhận được sau J0 năm 9 tháng là : —
b Số tiền người đó nhận được sau 70 năm 9 tháng là : -¬-
Trang 4Bài 5 (5 điểm) |
a Cho a=11994 ; 6=153923 ; ¢=129935 Tìm ƯCLN(a;b;c) và BCNN(4;b;©);
b Tính giá trị của biêu thức: 3 2 2, P(x,y)=3#2~42y +ầx y—1x với x=1,23456; y=3,121235 : xhy`+x?y?+x°y+7 Kết quả: a ƯCLN(q;b;e) = BNN(q,b;@)= - Bài 6 (5 điểm)
a Viết giá trị của biểu thức sau dưới dạng số thập phân
_ sin? 33°12 +sin56°48.sin33°12 —sin?56°48 A 1 i 2sin? 33°12 +sin?56°48 +1 b Tinh cdc tich sau: B= 26031931x 26032010; _ C = 2632655555 x 2632699999 Két qua: a Á= ì— - ĐỂ L1 eerrrr.rrrrree
Bài 7 (5 điểm) Tìm tứ giác có diện tích lớn nhất nội tiêp trong đường tròn (O,R)
cô dinh (trinh bay cả cách giải)
Tính chu vi và diện tích của tứ giác đó biết R = 5,2358 (cm)
Trang 5
Bài 8 (5 diém) Cho da thitc P(x) =x° + ax‘ +bx’ +x’ +dx+6
a Xác định các hé s6 a, b, ó, đ biết P(-1)=3; P(1)=21; P(2)=120; P(3)=543;
b Tính giá trị của đa thức tại x=-2,468; x=5,555;
c Tìm số dư trong phép chia đa thức P(x) cho x+3 và 2x-5 Kết quả: a q= D = ;c= a= 8
c Số dư trong phép chia đa thức P(x) cho x+3 là -
Số dư trong phép chia đa thức P{x) cho 2x-5 là -
Bài 9 (5 điểm) Cho dãy số U, _P-# -6+1J, với n=0; 1; 2; 3; 21
a Tính 5 sé hang Uo; U1; U2; Us; Us; |
b Trình bày cách tìm công thức truy hội tính Ứ„„ ; theo Ưa„; và ›;
Trang 6c Viết quy trình và tính Us; Uso
Bài 10 (5 điểm) Cho hình chữ nhật 4BCD chứa vừa khít 3 đường tròn trong nó
(hình v), biết bán kính của đường tròn bằng 20 cm | 3
a, Tính diện tích phần hình phẳng nằm ở phía ngoài các hình tròn trong hình vế ;
''b/ Chơ hình chữ nhật 4BCD quay một vòng xung quanh trục là đường thắng di
Trang 7BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỈ THI KHU VỰC GIẢI TORN, TREN MAY TINH CAM TAY NAM 2010
DE CHÍNH THỨC :
Mơn:Tốn Lớp: 9 Cấp Trung học cơ SỞ HƯỚNG DẪN GIẢI, ĐÁP SỐ
ét qua bài toán tính chính xác đến 5 chữ số sau dẫu phảy)
Bai 1 (5 tiệm) Tính giá trị của các biểu nh sau 1 + + + + —— |: TE V3 +5 EF 2009 + /2011 a A= b Ba fede be ieee eet ple —L + ——; r 2 2° 3 2009? 2010 c C=|291945+x|831910:-|2631931+-J322010:-/1981545 ` 1 1 1 ] = + + Pet Vi+V3 345 V5 47 22009 +-/2011 _3-v1,v5-3,V7-5, „v2011-42009 3-1 5-3 7-5 ` 2011-2009 =2(Vä~Vi+J5~—3 + V7 — 5 + +J2011~-J2009) 2011-1 2 = 21,92209 1 1 1 1 1 1 B=,lI+—+—+.ll+—+ + +.,jl+ +—— \ r = \ 2? 3? i 20097 2010? 1 1 1 1 1 1 =l+ —+l+— —+ +l+————— The 21.3 2009 2010 =2010-—— 2010 = 2009,9995 C =541,16354 Bai 2 (5 diém)
a Một người gửi tiết kiệm 250.000.000(đồng) loại kì hạn 3 tháng vào ngân hàng
với lãi suất 10,452 một năm Hỏi sau 70 năm 9 tháng người đó nhận được bao
nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó
b Nếu với số tiền ở câu a, người đó gửi tiết kiệm loại kì hạn ố tháng vào ngân
hàng với lãi suất J 0,52% một năm thì sau 1Ø năm 9 tháng người đó nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định
Trang 8kỳ trước và nếu rút tiền trước thời hạn thì ngân hàng trả lãi suất loại không kì
hạn là 0,015 một ngày (1 thang tính bằng 30 ngày)
c Một người hàng tháng gửi tiết kiệm 70.000 000(đồng) vào ngân hàng với lãi suất 0,84% một tháng Hỏi sau 5 năm người đó nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi Biết răng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó
a Gọi ø là số tiên ban đầu của người gửi, r là lãi suất của một kì hạn và z là số kì hạn thì số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn là : 4=a(1+r)”
Lãi suất một kì hạn 3 tháng là : Sc 70 3 = 2,6125%
10 nam 9 thang bang 129 tháng và bằng 43 kì hạn
Do đó sau 70 năm 9 tháng số tiền người đó nhận được sẽ là :
A= 250000000 ( + 26125) =757794696,8 đồng
9
10,5% «_s 25%
b Lãi suất một kì hạn 6 thang 1a :
10 nam 9 thang bang 129 thang va bằng 27 kì hạn cộng với 90 ngày
Do đó sau 70 năm 6 thang số tiền người đó nhận được sẽ là :
B= 250000000( 1 + ni = 732156973,7 đồng
Số tiền này được tính lãi suất không kì hạn trong 90 ngày tiếp theo, nên số tiền lãi trong 90 ngày là:
C = 732156973, 7 TH 90 =98841191,45
Vậy số tiền người đó nhận được sau J0 năm 9 tháng là :
732156973,7 + 98841191,45 = 8309981 65,15 đồng
c Gọi lãi suất hàng tháng là x, số tiền gốc ban đầu là a đồng
Số tiền gốc cuôi thang / là: a đồng Số tiền lãi cudi thang I laax đồng
Số tiền cả gốc và lãi cuối tháng l là: a + a.x = a I +3) đồng
Số tiền cả gốc và lãi của cuỗi tháng 1 lại là tiền gốc của đầu tháng 2, nhưng vi
Trang 10550? =850(mod2011) => 550° = 850° = 1798(mod 2011) = 550! =1798” =1269(mod 2011) = 550” =1269” = 74(mod 2011) Mà 550? =1798? =1127(mod 2011) Nên 550” =74.1127.550 =1(mod 2011) Do đó 2009””"° =1(mod2011)
Số dư trong phép chia 2009?"° cho 2077 là 1
b Ta có số đư trong phép chia 200920102 cho 2020 là 802
số dư trong phép chia 802011201 cho 2020 là 501
số dư trong phép chia 5012 cho 2020 là 972
Vậy số đư trong phép chia 2009201020112012 cho 2020 là 972
c Tương tự số dư trong phép chia 1234567890987634321 cho 2010 là 471
Bài 5 (5 điểm)
a Cho a=11994 ; b=153923 ; c=129935 Tim UCLN(a;b;c) va BCNN(a;5;¢);
b Tính giá trị của biểu thức: _ 3x *y`-4x°y°+3x”y-Tx P(x.y)=——————~————— VỚI x=l,23456; ( y) Pyexey +x y+ y y=3,121235 a - Dùng máy tính tính được a =e Do d6 UCLN (a,b) =a:6=11994:6=1999 UCLN (1999,c) = 1999 Vay UCLN (a,b,c) = 1999 - BCNN (a,b) = @.77 =11994,77 = 923538 923538 462 Ta có =_ c 65 Nén BCNN (923538, c) = 923538.65 = 60029970 do dé BCNN(a;b;c)= 60029970 b 1,23456 Ex 3,121235 [yi
Ghi vào màn hình máy tính
(3x*y? -4x°y? +3x?y~7z) : (x*y° +xy? +z?y+7)
An dấu = được kết qua 2,313486662 P= 2,31349
Trang 11
ˆ Bài 6 (5 điểm)
a Viết giá trị của biểu thức dưới dạng số thập phân
A= sin? 3312 +sin56°48.sin 33912 —sin?56°48 2sin?33°12 +sin?56°48 +1
b Tinh cac tich sau: B= 26031931x 26032010;
a Biên đôi
A= sin? 33°12 +sin56°48.sin33°12
2sin? 33°12 +sin?56°48 +1 —sin?56°48
_ sin ? 33°12’ + cos33°12.sin 33°12 — cos 23392 3sin?33912 +2cos?33°12 _#g”33)12 +íg33'12 ~l 3/g?33°12 +2 An 13312 SHIFT) STO] BỊ Ghí vào may: (x? +x-1)+(3x?+2) va ấn đấu = được 0,0251464 Nên 4 = 0,02515 b - Đặt x = 2603 ; y = 1931 ta có P = &.10” + y)&.10” + y + 79)
Trang 12Bai 7 (5 điểm) Tìm tứ giác có điện tích lớn nhất nội tiếp trong đường tròn (O,R)
cố định trình bày cả cách giải)
Tính chu vi và diện tích của tứ giác đó biết R = 5,2358 (cm)
Vẽ tứ giác MNPQ nội tiếp trong đường tròn (O,R)
Dựng hình vuông ABCD nội tiệp đường tròn sao cho MP vuông góc với BD Ta chứng minh :
5p lớn nhật khi MNPQ là hình vuông Trước hết chứng minh S „re < Sa
Thật vậy, gọi độ dài đường cao của AMNP là h
Độ dài tường sao cua AMBP lah’ thi h<h' Ssun = SMP <—h' MP = Sum Dau bing xảy ra khí N trùng với B là điểm chính giữa của cung MP Do đó ta có :
Sang = Sưạp + ưpo Š Šưap + Sepp = Šwpp = Sưạp + Span $ Sap + Scan = Sanco
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi MNPQ trùng với ABCD, tức là MNPQ là hình vuông Vậy một tử giác nội tiếp trong một đường tròn sẽ có diện tích lớn nhất khi nó là hình vuông co = = AC.BD = 2R? =2.(5, 2358) = 54,82720328 Vậy S„„„= 54,8272 (cm) p(4BCD) = 4AB =4.R-Í2 =4.5,2358.^l2 = 29,61815748 Vậy p(ABCD)= 29,61816 (cm) Bài 8 (5 điểm) Cho đa thức P(x)= x” +ax"+bx? +ex? + dv + 6 a Xác định các hệ số a, b, c, đ biết P(-1)=3; P(1)=21; P(2)=120; P(3)=543; b Tính giá trị của đa thức tại x=-2,468; x= 5,555;
Trang 13
Ía—b+c—d=~2 c=6-a c=6-a
Jatb+e+d=14 = a+b+c+d=14 c b+đ=8§()
l6a+§b+ 4c +24 = 82 8a+4b+2c+đ =41 6a + 4b + ä =29(2) (81a +27 +9c +34 = 294 27a+9b+3c+d =98 24a +9b +d = 80(3)
Dùng máy tính giải hệ gồm 3 phương trình (1), (2) và (3) tìm được: a=2 a=2 , |o=3 4b=3 nền : C= d=5 d=5 Do dO P(x)=x° +2x'+3x? +.4x7 +5x+6 b Tính giá trị của đa thức Ấn -2468 SHIET] STO] Bi vao man hinh x5+2xz4+3x23+4x?+5x+6 Và ấn dấu = được -44,43691403 Do sare P(-2,468) = - 44,43691 Tiép tục tìm được P(5,555) = 7865,46086
c Số dư trong phép chia đa thức P(zx) cho x+3 bằng P(-3)=-135
Số dư trong phép chia đa thức P(x) cho 2x—5 bằng (3 )- =266,15625
Bai 9 (5 điểm) Cho đấy số U, _§-wj -§+4H} 211
a Tinh 5 sé hang Ug; Uj; U2; Us; Us
b Trinh bày cách tìm công thức truy héi tinh U,, +2 theo Ứ„.; và Ứ›
Trang 14
c Quy trình bấm phim lién tuc tinh U, +2 trên máy Casio 570MS , Casio 570ES
Đưa U; vào 4, tinh U2 roi dua U2 vao B
Lị SHIET|STO|A|jM I8H70N0ESETIETOIB, H 18170 LPBAIIEEPIETTOjU n+2 VỚI n = 2, 3,
(
kj 18 H 70 ALPHAI|A|SHFT|STO||A| (được U;) kj 18 H 70 [ALPHA] [B| SHFT|STO|B| duoc Us) Do đó, tính được ; = - 41836 Dùng máy tính, tính được dén Up = -982396816 sau đó dùng giấy nháp tính được ;ạ = - 12105999648
Bai 10 (5 diém) Cho hình chữ nhật 4BCD chứa vừa khít 3 đường tròn trong nó
(hình vẽ), biết bán kính của đường tròn bằng 20 cm
a Tính diện tích phần hình phẳng nằm ở phía ngoài các hình tròn trong hình vẽ ; b Cho hình chữ nhật 4BCD quay một vòng xung quanh trục là đường thắng qua
tâm của các đường tròn Tính thê tích vật thể được tạo nên bởi phân hình phẳng tìm được ở câu a a Dé thay BC = 2R = 40 cm 8 ` AB = 6R = 120 cm / Diện tích của hình chữ nhật 4BC?) là : S = AB.BC = 4800 cm? Diện tích của mỗi hình tròn là : s=zR?=400z cmẺ Diện tích cần tìm là: §—3s =4800—3.400z =1030,088816 cm? Kết quả: S=1030,08881 (cmˆ )
b Khi cho hinh trén quay m6t vong xung quanh trục là ‘vf đường thẳng qua tâm của các đường tròn thì hình chữ A D
nhat sé tao nên một hình trụ có bán kính đường tròn ở
đáy bằng bán kính của đường tròn đã cho
Trang 15` w ⁄ we ¥ BQGIAODUC VADAOTAO KITHIKHU VUC GIAI TOAN TREN MAY TÍNH CẢM TAY aa › , NĂM 2010 DE CHÍNH THỨC Mơn: Tốn Lớp: 9 Câp Trung học cơ sở ĐÁP ÁN VÀ THANGĐIẺM (Kế quả bài toán tính chính xác đến 5 chữ số sau dẫu phay) Bài 1 (5 điểm) a A = 21,92209 2,0 b B = 2009,9995 2,0 c C = 541,16354 1,0 Bài 2 (5 điểm) 0
a Số tiền người đó nhận được sau 10 năm 9 tháng là : 757794696,8 đ L,
b Số tién ngudi dé nhan duge sau 10 nam 9 thang 1a: 830998165,154 | 1,5
c Số tiền người đó nhận được sau 5 năm là : 782528635,8 đ 245 Bài 3 (5 điểm) a x=~2,5796] 3,0 b x=7;y=6 2,0 Bài 4 (5 điểm) (rình bày cả cách giải)
a Số dư trong phép chia 2009°'° cho 2011 là 1 3,0 b S6 du trong phép chia 2009201020112012 cho 2020 14972 1,5
Trang 16Bài 6 (5 điểm) a 4=0,02515 1,5 b B= 677663488111310 1,75 C = 693099227701 5844445 1,75 Bai 7 (5 diém)
Chứng minh được : một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn có | 3,0
diện tích lớn nhật khi nó là hình vuông ộ S seco = 54,8272 (cm) 1,0 P(ABCD) = 29,61816 (cm) 1,0 Ghi chú : nếu học sinh không chứng minh mà biết được một tứ giác nội tiếp trong một đường toán Bài 8 (5 điểm) tròn có diện tích lớn nhát khi nó là hình vuông và tính đúng S và V thì vẫn cho điểm phần tính a=2;b=3;c=4;d=5 a 2,0 | b P(-2,468) =~ 44,43691 0,75 P(5,555) = 7865,46086 0,75 c P(-3) =-135 0,75 P(5,555) = 266,15625 0,75 Bai 9 (5 diém) aU) = 0; U, =-1; U2 = -18; U; = -254; U, = -3312 1,0 b Lập được hệ phương trình 1,0
Giải hệ tìm được a = 18, b = -70, c = 0 Vay Ữ,.„ =18U,„„—70U, | 1,0
