DỰ ÁN GẦN 200 BÀI HÌNH LUYỆN THI VÀO 10 và BDHSG

WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ 37 BÀI HÌNH ĐẦU TIÊN – DỰ ÁN GẦN 200 BÀI HÌNH ƠN THI VÀO 10 VÀ BDHSG Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O  , điểm D thuộc cung nhỏ AB Kẻ dây DE vng góc với OA Gọi M giao điểm BD CA , N giao điểm BA CE Chứng minh MN song song với DE Giải N M A I D E O B C Gọi I giao điểm DE AB OA  DE  OA qua trung điểm dây DE (Liên hệ đường kính dây)  DE đường trung trực DE  AD  AE (Tính chất đường trung trực)  AD   AE (Liên hệ dây cung) Theo tính chất góc có đỉnh bên ngồi đường trịn ta có:   s®  s® AE  BNC   s® BC   s® AD   s® BC   s® AE  (Vì  AD   AE ) BMC 2   BNC   BMC  Tứ giác BMNC tứ giác nội tiếp (hai góc đỉnh M N nhìn cạnh BC góc)   MCB  (Cùng chắn cung MB  đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC )  MNB         s®    s®  Mà MCB AB  s® BD AD (Tính chất góc nội tiếp) 1 2   s® AE  (Tính chất góc có đỉnh bên ngồi đường trịn) Mặt khác:  AIE  s® BD    s®  AD   AE ) AIE  s® BD AD (   2  AIE Từ 1    MNB        MN //DE (Cặp góc so le nhau) (đpcm) Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) AB  BD Tiếp tuyến  O  A cắt đường thẳng BC Q Gọi R giao điểm hai đường thẳng AB CD Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ a) Chứng minh AQ  QB.QC b) Chứng minh AQRC nội tiếp c) Chứng minh AD //QR Q A B R O C D a) Xét AQB CQA có:  AB )  BAQ ACQ (góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn chắn  AQB góc chung  AQB ∽ CQA (g.g) AQ CQ   AQ  BQ.CQ  BQ AQ   BDA  b) Ta có: AB  BD  ABD cân  BAD   QCR  (góc ngồi góc đối tứ giác ABCD nội tiếp) BAD   BDA  (góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn góc nội tiếp chắn  QAB AB )   QCR   QAB  Tứ giác AQRC nội tiếp (hai góc nhìn cạnh) c) Xét tứ giác AQRC nội tiếp có:  AQR   ACR  180o (tổng hai góc đối 180o ) (1)  Cần CM:  ACR  QAD   QCR  (chứng minh phần b) Thật vậy: BAD  QAB ACB (góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn góc nội tiếp chắn  AB )   QAB   QCR   BAD ACB  (2)  ACR  QAD Từ (1) , (2) ta được: Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/    180o  AD //QR (trong phía) AQR  QAD  Từ điểm A tia Bx kẻ AH vng góc với By H kẻ AD vng góc Bài 2: Cho góc nhọn xBy  D , Chứng minh tứ giác ABHD nội tiếp đường tròn xác định tâm với đường phân giác góc xBy O đường trịn a) Chứng minh OD  AH b) Tiếp tuyến A với đường tròn  O  cắt By C Đường thẳng BD cắt AC E Chứng minh tứ giác HDEC nội tiếp Lời giải: x A 1 O B D E H C y a) Ta có: ADB vng D nên ba điểm A, D, B thuộc đường trịn đường kính AB 1 ABH vng H nên ba điểm A, B, H thuộc đường tròn đường kính AB   Từ 1    Tứ giác ABHD nội tiếp đường trịn đường kính AB  Tâm O trung điểm đoạn AB b) Tứ giác ABHD nội tiếp nên:    B 1 A2   sd AD     H    sd  B AD   2 1   B  ( BE phân giác  ABH ) Mà B  3   AD  HD   sd  A2  H Từ 1 ,  2  3   AD  sd HD  D thuộc đường trung trực HA   Mặt khác OA  OH  O thuộc đường trung trực HA   Từ   ,  5  OD đường trung trực AH  OD  AH  góc ngồi tam giác ABE nên BEC   90  B  c) Ta có: BEC Ta lại có: OD  AH  cmt       OD / / BH  DHC  ODH (So le trong) BH  AH  gt   Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/   OAD  (hai cạnh tương ứng) OHD  ODA  c.c.c   ODH   ODH  (Chứng trên)  OHC   OAD  Mà DHC     sd    90     90  B  Mặt khác OAD A1  AB AD   OAD 1     90  B   OHC   OHC   90  B   90  B   180 Xét tứ giác HDEC có: BEC 1 Mà hai góc vị trí đối nên HDEC nội tiếp Bài 4: Cho đường tròn  O  ; đường kính AB  R ; tiếp tuyến Ax Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm F cho BF cắt đường tròn C ; tia phân giác  ABF cắt đường tròn E cắt tiếp tuyến Ax D a)Chứng minh OD // BC b)Chứng minh BD.BE  BC.BF c)Chứng minh : tứ giác CDEF nội tiếp ABC để tứ giác AOCD hình thoi.Tính diện tích tứ giác AOCD theo R d)Xác định số đo  Lời giải : a)Chứng minh : OD / / BC  ; DBA  góc nội tiếp chắn cung   Ta có CBD AD; DC Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/   DBA     AD  DC kết hợp với OA  OC  R  OD  AC ( OD AD  DC Maf CBD đường trung trực AC ) ACB  90  AC  CB  CB / / OD Mà C  đường trịn đường kính AB   b)Ta có : D thuộc đường trịn đường kính AB  AD  DB  AD  BE Tam giác AEB vuông A có đường cao AD  AB  BD.BE ( hệ thức lượng ) Tương tự ta có : tam giác ABF vuông A đường cao AC  AB  BC.BF ( hệ thức lượng ) Vậy nên BD.BE  BC.BF BD BC  BF BE Xét tam giác BDC tam giác BFE ta có :  : chung B   BD BC  BDC ∽ BFE (c.g.c)  BDC  BFE  tgCDFE nt ( góc ngồi góc  BF BE c)Do BD.BE  BC BF  đỉnh đối diện )  AOD ( đồng vị ) d)Do OD / / BC  ABC Do OA  OC ; DA  DC  OADC hình thoi OA  AD hay OA  OD  AD AOD  60   ABC  60 tam giác AOD tam giác nên  Trong tam giác vuông ABC ( vuông C ): sin  ABC  AC  AC  R.s in60  R R AB 1 S AOCD  OD AC  R 3R  R 2 Bài 5: Cho ba điểm A; B; C thẳng hàng ( B nằm A C ).Vẽ đường trịn  O  đường kính BC ; vẽ tiếp tuyến AT Từ tiếp điểm T vẽ đường thẳng vng góc với BC ; đường thẳng cắt BC H cắt đường tròn  O  T ' Đặt OB  R a)Chứng minh OH OA  R ATH b)Chứng minh TB phân giác góc  c)Từ B kẻ đường thẳng song song TC Gọi D; E giao điểm đường thẳng vừa vẽ với TT ' TA Chứng minh TED cân d)Chứng minh HB AB  HC AC Lời giải : T E A B H C O D Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính T' WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ a)Chứng minh : OH OA  R Do AT tiếp tuyến đường tròn  O   AT  OT  AOT vng T có đường cao TH  OH OA  OT  R ATH b)Chứng minh : TB đường phân giác góc     ATB  OTB  OTA  90 Ta có   OBT   90 BTH maf   OTB   OB  OT  OBT ATB  BTH Vậy TB đường phân giác góc  ATH c)Chứng minh : tam giác TED cân +)Do T thuộc đường trịn đường kính BC  BT  TC  TB  ED ( DE / /TC )   TED cân T ( đường cao đồng Mà theo câu (a) ta có TB đường phân giác góc ETD thời đường phân giác ) d)Chứng minh : HB AB  HC AC Ta có TB đường phân giác tam giác ATH mà TC  TB  TC đường phân giác tam giác ATH AB AT CA TA AB AC AB BH ( đpcm )       BH TH CH TH BH CH AC HC Bài 6: Cho đường tròn  O  ; dây cung AB ; điểm C nằm đường trịn nằm Vậy nên ta có : tia BA Từ điểm P cung lớn AB kẻ đường kính PQ đường trịn cắt dây AB D Tia CP cắt đường tròn  O  điểm thứ hai I Các dây AB QI cắt K a)Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp b)Chứng minh : CI CP  CK CD c)Chứng minh IC phân giác góc ngồi đỉnh I tam giác AIB d)Giả sử ba điểm A; B; C cố định ; chứng minh đường tròn  O  thay đổi qua A; B đường thẳng QI ln qua điểm cố định Q Lời giải A B K C D O I P Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ a)Cm : Tứ giác PDKI nội tiếp   90  PIK   90 Ta có PQ đường kính đường trịn  O   PIQ   90  PDK   PIK   90  90  180  tg PDKI nt ( hai góc đối bù Do PQ  AB  PDK ) b) Xét tam giác CIK tam giác CDP ta có :  : chung C CI CK  CIK ∽ CDP( g.g )    CI CP  CD.CK    CDP   90 CD CP CIK c)Ta có PQ  AB; PA=PB  QA=QB hay điểm Q điểm cung nhỏ   AB   AQ  BQ  ( hai góc nội tiếp chắn hai cung ) AIQ  BIQ Do    90) nên IC Hay IK đường phân giác tam giác AIB ; lại có IK  IC ( PIQ đường phân giác góc ngồi đỉnh I tam giác AIB d) Ta chứng minh K điểm cố định Ta có điểm D trung điểm AB ( OD  AB) Do tứ giác nội tiếp ABPI   CPB   CAI ∽ CPB ( g g )  CA  CI  CA.CB  CI CP  CAI CP CB AB  AB   CA.CB  CK CD   CI CP   CK CD   CD  DA  CD  DB    CD   CD      Vậy nên  CD  AB AB AB AB  CD.KD   KD   const  4 4CD A; B; C ; D bốn điểm cố định nên K điểm cố định Ta có đpcm  CD  CK CD  AB Trên cung Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nằm cung   AM lấy điểm N  N  A, N  M  Đường thẳng AM cắt đường thẳng BN H Đường thẳng MN cắt đường thẳng AB I Gọi K hình chiếu H AB Chứng minh rằng: a) Tứ giác KHMB nội tiếp  b) MA tia phân giác NMK c) MN MI  MB Lời giải Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ M N H A I  a) Ta có: HK B  900 B K O  gt  ;  AMB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  Xét tứ giác KHMB có: HKB AMB  900  900  1800   HMB   1800 Hay HKB  HMB  hai góc đối tứ giác KHMB nội tiếp (đpcm) Mà HKB   HBK  (do tứ giác KHMB nội tiếp) b) Ta có: HMK  Hay  AMK  NBA   NBA  (hai góc nội tiếp chắn cung  Mà NMA AN )     AMK  NMA  MA tia phân giác NMK (đpcm) c) Dễ thấy MA  MB  MAB vuông cân   1800  450  1350  MAI Tứ giác ABMN nội tiếp   ANM  1350 M   MBA   450  MAB  ANM  MAI Từ ta có:    MNA ∽ MAI AMI chung  ANM  MAI Xét MNA MAI có:  g  g MN MA   MN MI  MA2  MB (đpcm) MA MI Bài Tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường trịn  O  đường kính AD , E giao điểm AC  BD , kẻ EF  AD F ; M trung điểm DE Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ABEF , DCEF nội tiếp  b) Tia CA phân giác BCF c) Tứ giác BCMF nội tiếp Lời giải B C E M A O AFE  900 a) Ta có:  D F  gt  ;  ABE  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  Xét tứ giác ABEF có:  AFE  A BE  900  900  1800 Mà  AFE  ABE hai góc đối tứ giác ABEF nội tiếp (đpcm)    900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Ta có: DFE  900  gt  ; DCE   Xét tứ giác DCEF có: D FE  D CE  900  900  1800 Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/  hai góc đối tứ giác DCEF nội tiếp (đpcm)  DCE Mà DFE   FDE  (do tứ giác DCEF nội tiếp) b) Ta có: ECF ACF   ADB Hay  AB ) Mà  ADB   ACB (hai góc nội tiếp chắn cung   (đpcm)  ACF   ACB  CA tia phân giác BCF   BFC   2CFE   2CDM  c) Chứng minh tương tự ta có EF tia phân giác BFC   CME  hay 2CDM   BMC  Ta có  2CDM B   BFC MC tứ giác BCMF nội tiếp (đpcm) Bài Cho đường tròn  O; R  hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M  M  O  , đường thẳng CM cắt đường tròn  O  điểm thứ hai N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N với đường tròn  O  điểm P a) Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp đường trịn b) Tứ giác CMPO hình gì? c) Chứng minh tích CM CN khơng đổi d) Chứng minh M di động đoạn thẳng AB P chạy đường thẳng cố định Lời giải C M A O B N P D   900 ( NP tiếp tuyến  O  ); OMP   900 (gt) a) Ta có: ONP   OMP   900  ONP Xét tứ giác ABEF có hai đỉnh M ; N nhìn đoạn OP góc vng Do tứ giác OMNP nội tiếp đường tròn (đpcm)   DOP  b) Dễ thấy OC // MP  MPO   MNO  (do tứ giác OMNP nội tiếp c/m câu a) Mà MPO   MNO  (vì OC  ON  R ) Lại có MCO   DOP   CM // PO Từ điều ta có MCO OC // MP Xét tứ giác CMPO có   Tứ giác CMPO hình bình hành CM // PO    CMO CDN DCN C OM  CN D  900 ; c) Xét có  CMO ∽ CDN g  g  chung CM CO   CM CN  CD.CO  R khơng đổi CD CN d) Ta có MP  AB Lại có tứ giác CMPO hình bình hành (c/m câu b)  MP  CO  R không đổi  P cách AB khoảng R không đổi Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/  P thuộc đường thẳng song song với AB cách AB khoảng R không đổi Vậy M di động đoạn thẳng AB P chạy đường thẳng cố định Ta suy kết PD tiếp tiếp D  O  Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O; R  có AB  AC  R Tính độ dài BC theo R a) Gọi M điểm di động cung nhỏ AC ( M khác A C ) tia AM cắt BC D Chứng minh tích AM AD khơng đổi b) Tìm vị trí M cung nhỏ AC để tổng 2.AM  AD có giá trị nhỏ c) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD Chứng minh I di động đường cố định M di động cung nhỏ AC Lời giải A M I O B C D K   45 suy tam giác ABC vuông cân A từ a) Kẻ OH  BC tính BAH tính BC  2R b) AMC ∽ ACD  g  g   AM AD  AC  R không đổi M di chuyển c) Theo bất đẳng thức Cô-si : AM  AD  2 AM AD  R2 giá trị nhỏ 4R2 xảy 2AM  AD  AM  R ACK  90 (1) mặt khác AM AD  AC nên AC d) Kẻ đường kính AK (O)   ACI  90 (2) tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD   Từ (1) (2) suy K , C , I thẳng hàng mà C , K cố định nên I thuộc đường hẳng CK cố định Bài 11 : Cho đường trịn  O  đường kính AB , dây CD vng góc với AB P Trên cung nhỏ BC lấy điểm M ( M khác C B ) đường thẳng AM cắt CD Q a) Chứng minh tứ giác PQMB nội tiếp; b) Chứng minh APQ ∽ ABM suy AC  AQ AM ; c) Gọi giao điểm CB AM S , MD với AB T chứng minh ST / / CD Lời giải Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ b) Tiếp tuyến nửa đường tròn  O  M cắt đường thẳng  a  N Chứng minh NK  ND c) Chứng minh K chuyển động đoạn thẳg CI tâm đường trịn ngoại tiếp AKD nằm đường thẳng cố định K D N M D I N I M 1 E A C K1 B O Lời giải: a)   900 AMB  900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn) Hay KMB     900 (gt) KCB N E A C O   KCB   1800 Do đó: KMB Vậy tứ giác CKMB nội tiếp đường trịn đường kính KO  ACK ∽ AMB (g.g) AC AK    AM AK  AC AB mà AC AB cố định nên AM AK không đổi AM AB B  ( Tứ giác CKMB nội tiếp) B  (  sđ  b) Ta có M AM ) ; NKM   NKM   NKM cân N  NK  NM Suy M M K D   900 Ta có: M 1 K  nên M D   NM  ND Mà M 1 Vậy NK  ND c) Gọi E giao điểm BA đường tròn ngoại tiếp tam giác DKA B  ( K  )  DBN cân, có DC đường cao nên đường trung tuyến Ta có N  C trung điểm NB  N đối xứng B qua C  N cố định B, C cố định Tứ giác DKAN nội tiếp  đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD qua A E Mà A, E cố định nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD di động đường trung trực AE đường cố định Cách Gọi E điểm đối xứng B qua C  N cố định B, C cố định B  DNB cân  N B K N   Tứ giác DKAN nội tiếp Ta có K 1 Suy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm đường trung trực AE đường thẳng cố định Bài 26 Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB Một điểm M cố định thuộc đoạn thẳng OB ( M khác B O) Đường thẳng d vng góc với AB M cắt nửa đường tròn (O) N Trên cung NB Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính B ... vào tam giác AJB vuông J đường cao JR suy : BK BC  BR.BA  BJ AK AD  AR AB  AJ Từ suy AK AD  BK BC  AJ  BJ  AB   R   const Vậy AK.AD + BK.BC không phụ thuộc vào hai điểm C D Bài. ..  D a) Chứng minh rằng: Tứ giác BCKM nội tiếp; tích AK AM khơng phụ thuộc vào vị trí điểm K Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức... sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/