DỰ án gần 200 bài HÌNH LUYỆN THI vào 10 và BDHSG

WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ 37 BÀI HÌNH ĐẦU TIÊN – DỰ ÁN GẦN 200 BÀI HÌNH ƠN THI VÀO 10 VÀ BDHSG Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O  , điểm D thuộc cung nhỏ AB Kẻ dây DE vng góc với OA Gọi M giao điểm BD CA , N giao điểm BA CE Chứng minh MN song song với DE Giải N M A I D E O B C Gọi I giao điểm DE AB OA  DE  OA qua trung điểm dây DE (Liên hệ đường kính dây)  DE đường trung trực DE  AD  AE (Tính chất đường trung trực)  AD   AE (Liên hệ dây cung) Theo tính chất góc có đỉnh bên ngồi đường trịn ta có:   s®  s® AE  BNC   s® BC   s® AD   s® BC   s® AE  (Vì  AD   AE ) BMC 2   BNC   BMC  Tứ giác BMNC tứ giác nội tiếp (hai góc đỉnh M N nhìn cạnh BC góc)   MCB  (Cùng chắn cung MB  đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC )  MNB         s®    s®  Mà MCB AB  s® BD AD (Tính chất góc nội tiếp) 1 2   s® AE  (Tính chất góc có đỉnh bên ngồi đường trịn) Mặt khác:  AIE  s® BD    s®  AD   AE ) AIE  s® BD AD (   2  AIE Từ 1    MNB        MN //DE (Cặp góc so le nhau) (đpcm) Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) AB  BD Tiếp tuyến  O  A cắt đường thẳng BC Q Gọi R giao điểm hai đường thẳng AB CD Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ a) Chứng minh AQ  QB.QC b) Chứng minh AQRC nội tiếp c) Chứng minh AD //QR Q A B R O C D a) Xét AQB CQA có:  AB )  BAQ ACQ (góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn chắn  AQB góc chung  AQB ∽ CQA (g.g) AQ CQ   AQ  BQ.CQ  BQ AQ   BDA  b) Ta có: AB  BD  ABD cân  BAD   QCR  (góc ngồi góc đối tứ giác ABCD nội tiếp) BAD   BDA  (góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn góc nội tiếp chắn  QAB AB )   QCR   QAB  Tứ giác AQRC nội tiếp (hai góc nhìn cạnh) c) Xét tứ giác AQRC nội tiếp có:  AQR   ACR  180o (tổng hai góc đối 180o ) (1)  Cần CM:  ACR  QAD   QCR  (chứng minh phần b) Thật vậy: BAD  QAB ACB (góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn góc nội tiếp chắn  AB )   QAB   QCR   BAD ACB  (2)  ACR  QAD Từ (1) , (2) ta được: Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/    180o  AD //QR (trong phía) AQR  QAD  Từ điểm A tia Bx kẻ AH vng góc với By H kẻ AD vng góc Bài 2: Cho góc nhọn xBy  D , Chứng minh tứ giác ABHD nội tiếp đường tròn xác định tâm với đường phân giác góc xBy O đường trịn a) Chứng minh OD  AH b) Tiếp tuyến A với đường tròn  O  cắt By C Đường thẳng BD cắt AC E Chứng minh tứ giác HDEC nội tiếp Lời giải: x A 1 O B D E H C y a) Ta có: ADB vng D nên ba điểm A, D, B thuộc đường trịn đường kính AB 1 ABH vng H nên ba điểm A, B, H thuộc đường tròn đường kính AB   Từ 1    Tứ giác ABHD nội tiếp đường trịn đường kính AB  Tâm O trung điểm đoạn AB b) Tứ giác ABHD nội tiếp nên:    B 1 A2   sd AD     H    sd  B AD   2 1   B  ( BE phân giác  ABH ) Mà B  3   AD  HD   sd  A2  H Từ 1 ,  2  3   AD  sd HD  D thuộc đường trung trực HA   Mặt khác OA  OH  O thuộc đường trung trực HA   Từ   ,  5  OD đường trung trực AH  OD  AH  góc ngồi tam giác ABE nên BEC   90  B  c) Ta có: BEC Ta lại có: OD  AH  cmt       OD / / BH  DHC  ODH (So le trong) BH  AH  gt   Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/   OAD  (hai cạnh tương ứng) OHD  ODA  c.c.c   ODH   ODH  (Chứng trên)  OHC   OAD  Mà DHC     sd    90     90  B  Mặt khác OAD A1  AB AD   OAD 1     90  B   OHC   OHC   90  B   90  B   180 Xét tứ giác HDEC có: BEC 1 Mà hai góc vị trí đối nên HDEC nội tiếp Bài 4: Cho đường tròn  O  ; đường kính AB  R ; tiếp tuyến Ax Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm F cho BF cắt đường tròn C ; tia phân giác  ABF cắt đường tròn E cắt tiếp tuyến Ax D a)Chứng minh OD // BC b)Chứng minh BD.BE  BC.BF c)Chứng minh : tứ giác CDEF nội tiếp ABC để tứ giác AOCD hình thoi.Tính diện tích tứ giác AOCD theo R d)Xác định số đo  Lời giải : a)Chứng minh : OD / / BC  ; DBA  góc nội tiếp chắn cung   Ta có CBD AD; DC Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/   DBA     AD  DC kết hợp với OA  OC  R  OD  AC ( OD AD  DC Maf CBD đường trung trực AC ) ACB  90  AC  CB  CB / / OD Mà C  đường trịn đường kính AB   b)Ta có : D thuộc đường trịn đường kính AB  AD  DB  AD  BE Tam giác AEB vuông A có đường cao AD  AB  BD.BE ( hệ thức lượng ) Tương tự ta có : tam giác ABF vuông A đường cao AC  AB  BC.BF ( hệ thức lượng ) Vậy nên BD.BE  BC.BF BD BC  BF BE Xét tam giác BDC tam giác BFE ta có :  : chung B   BD BC  BDC ∽ BFE (c.g.c)  BDC  BFE  tgCDFE nt ( góc ngồi góc  BF BE c)Do BD.BE  BC BF  đỉnh đối diện )  AOD ( đồng vị ) d)Do OD / / BC  ABC Do OA  OC ; DA  DC  OADC hình thoi OA  AD hay OA  OD  AD AOD  60   ABC  60 tam giác AOD tam giác nên  Trong tam giác vuông ABC ( vuông C ): sin  ABC  AC  AC  R.s in60  R R AB 1 S AOCD  OD AC  R 3R  R 2 Bài 5: Cho ba điểm A; B; C thẳng hàng ( B nằm A C ).Vẽ đường trịn  O  đường kính BC ; vẽ tiếp tuyến AT Từ tiếp điểm T vẽ đường thẳng vng góc với BC ; đường thẳng cắt BC H cắt đường tròn  O  T ' Đặt OB  R a)Chứng minh OH OA  R ATH b)Chứng minh TB phân giác góc  c)Từ B kẻ đường thẳng song song TC Gọi D; E giao điểm đường thẳng vừa vẽ với TT ' TA Chứng minh TED cân d)Chứng minh HB AB  HC AC Lời giải : T E A B H C O D Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính T' WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ a)Chứng minh : OH OA  R Do AT tiếp tuyến đường tròn  O   AT  OT  AOT vng T có đường cao TH  OH OA  OT  R ATH b)Chứng minh : TB đường phân giác góc     ATB  OTB  OTA  90 Ta có   OBT   90 BTH maf   OTB   OB  OT  OBT ATB  BTH Vậy TB đường phân giác góc  ATH c)Chứng minh : tam giác TED cân +)Do T thuộc đường trịn đường kính BC  BT  TC  TB  ED ( DE / /TC )   TED cân T ( đường cao đồng Mà theo câu (a) ta có TB đường phân giác góc ETD thời đường phân giác ) d)Chứng minh : HB AB  HC AC Ta có TB đường phân giác tam giác ATH mà TC  TB  TC đường phân giác tam giác ATH AB AT CA TA AB AC AB BH ( đpcm )       BH TH CH TH BH CH AC HC Bài 6: Cho đường tròn  O  ; dây cung AB ; điểm C nằm đường trịn nằm Vậy nên ta có : tia BA Từ điểm P cung lớn AB kẻ đường kính PQ đường trịn cắt dây AB D Tia CP cắt đường tròn  O  điểm thứ hai I Các dây AB QI cắt K a)Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp b)Chứng minh : CI CP  CK CD c)Chứng minh IC phân giác góc ngồi đỉnh I tam giác AIB d)Giả sử ba điểm A; B; C cố định ; chứng minh đường tròn  O  thay đổi qua A; B đường thẳng QI ln qua điểm cố định Q Lời giải A B K C D O I P Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ a)Cm : Tứ giác PDKI nội tiếp   90  PIK   90 Ta có PQ đường kính đường trịn  O   PIQ   90  PDK   PIK   90  90  180  tg PDKI nt ( hai góc đối bù Do PQ  AB  PDK ) b) Xét tam giác CIK tam giác CDP ta có :  : chung C CI CK  CIK ∽ CDP( g.g )    CI CP  CD.CK    CDP   90 CD CP CIK c)Ta có PQ  AB; PA=PB  QA=QB hay điểm Q điểm cung nhỏ   AB   AQ  BQ  ( hai góc nội tiếp chắn hai cung ) AIQ  BIQ Do    90) nên IC Hay IK đường phân giác tam giác AIB ; lại có IK  IC ( PIQ đường phân giác góc ngồi đỉnh I tam giác AIB d) Ta chứng minh K điểm cố định Ta có điểm D trung điểm AB ( OD  AB) Do tứ giác nội tiếp ABPI   CPB   CAI ∽ CPB ( g g )  CA  CI  CA.CB  CI CP  CAI CP CB AB  AB   CA.CB  CK CD   CI CP   CK CD   CD  DA  CD  DB    CD   CD      Vậy nên  CD  AB AB AB AB  CD.KD   KD   const  4 4CD A; B; C ; D bốn điểm cố định nên K điểm cố định Ta có đpcm  CD  CK CD  AB Trên cung Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nằm cung   AM lấy điểm N  N  A, N  M  Đường thẳng AM cắt đường thẳng BN H Đường thẳng MN cắt đường thẳng AB I Gọi K hình chiếu H AB Chứng minh rằng: a) Tứ giác KHMB nội tiếp  b) MA tia phân giác NMK c) MN MI  MB Lời giải Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ M N H A I  a) Ta có: HK B  900 B K O  gt  ;  AMB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  Xét tứ giác KHMB có: HKB AMB  900  900  1800   HMB   1800 Hay HKB  HMB  hai góc đối tứ giác KHMB nội tiếp (đpcm) Mà HKB   HBK  (do tứ giác KHMB nội tiếp) b) Ta có: HMK  Hay  AMK  NBA   NBA  (hai góc nội tiếp chắn cung  Mà NMA AN )     AMK  NMA  MA tia phân giác NMK (đpcm) c) Dễ thấy MA  MB  MAB vuông cân   1800  450  1350  MAI Tứ giác ABMN nội tiếp   ANM  1350 M   MBA   450  MAB  ANM  MAI Từ ta có:    MNA ∽ MAI AMI chung  ANM  MAI Xét MNA MAI có:  g  g MN MA   MN MI  MA2  MB (đpcm) MA MI Bài Tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường trịn  O  đường kính AD , E giao điểm AC  BD , kẻ EF  AD F ; M trung điểm DE Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ABEF , DCEF nội tiếp  b) Tia CA phân giác BCF c) Tứ giác BCMF nội tiếp Lời giải B C E M A O AFE  900 a) Ta có:  D F  gt  ;  ABE  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  Xét tứ giác ABEF có:  AFE  A BE  900  900  1800 Mà  AFE  ABE hai góc đối tứ giác ABEF nội tiếp (đpcm)    900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Ta có: DFE  900  gt  ; DCE   Xét tứ giác DCEF có: D FE  D CE  900  900  1800 Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/  hai góc đối tứ giác DCEF nội tiếp (đpcm)  DCE Mà DFE   FDE  (do tứ giác DCEF nội tiếp) b) Ta có: ECF ACF   ADB Hay  AB ) Mà  ADB   ACB (hai góc nội tiếp chắn cung   (đpcm)  ACF   ACB  CA tia phân giác BCF   BFC   2CFE   2CDM  c) Chứng minh tương tự ta có EF tia phân giác BFC   CME  hay 2CDM   BMC  Ta có  2CDM B   BFC MC tứ giác BCMF nội tiếp (đpcm) Bài Cho đường tròn  O; R  hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M  M  O  , đường thẳng CM cắt đường tròn  O  điểm thứ hai N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N với đường tròn  O  điểm P a) Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp đường trịn b) Tứ giác CMPO hình gì? c) Chứng minh tích CM CN khơng đổi d) Chứng minh M di động đoạn thẳng AB P chạy đường thẳng cố định Lời giải C M A O B N P D   900 ( NP tiếp tuyến  O  ); OMP   900 (gt) a) Ta có: ONP   OMP   900  ONP Xét tứ giác ABEF có hai đỉnh M ; N nhìn đoạn OP góc vng Do tứ giác OMNP nội tiếp đường tròn (đpcm)   DOP  b) Dễ thấy OC // MP  MPO   MNO  (do tứ giác OMNP nội tiếp c/m câu a) Mà MPO   MNO  (vì OC  ON  R ) Lại có MCO   DOP   CM // PO Từ điều ta có MCO OC // MP Xét tứ giác CMPO có   Tứ giác CMPO hình bình hành CM // PO    CMO CDN DCN C OM  CN D  900 ; c) Xét có  CMO ∽ CDN g  g  chung CM CO   CM CN  CD.CO  R khơng đổi CD CN d) Ta có MP  AB Lại có tứ giác CMPO hình bình hành (c/m câu b)  MP  CO  R không đổi  P cách AB khoảng R không đổi Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/  P thuộc đường thẳng song song với AB cách AB khoảng R không đổi Vậy M di động đoạn thẳng AB P chạy đường thẳng cố định Ta suy kết PD tiếp tiếp D  O  Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O; R  có AB  AC  R Tính độ dài BC theo R a) Gọi M điểm di động cung nhỏ AC ( M khác A C ) tia AM cắt BC D Chứng minh tích AM AD khơng đổi b) Tìm vị trí M cung nhỏ AC để tổng 2.AM  AD có giá trị nhỏ c) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD Chứng minh I di động đường cố định M di động cung nhỏ AC Lời giải A M I O B C D K   45 suy tam giác ABC vuông cân A từ a) Kẻ OH  BC tính BAH tính BC  2R b) AMC ∽ ACD  g  g   AM AD  AC  R không đổi M di chuyển c) Theo bất đẳng thức Cô-si : AM  AD  2 AM AD  R2 giá trị nhỏ 4R2 xảy 2AM  AD  AM  R ACK  90 (1) mặt khác AM AD  AC nên AC d) Kẻ đường kính AK (O)   ACI  90 (2) tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD   Từ (1) (2) suy K , C , I thẳng hàng mà C , K cố định nên I thuộc đường hẳng CK cố định Bài 11 : Cho đường trịn  O  đường kính AB , dây CD vng góc với AB P Trên cung nhỏ BC lấy điểm M ( M khác C B ) đường thẳng AM cắt CD Q a) Chứng minh tứ giác PQMB nội tiếp; b) Chứng minh APQ ∽ ABM suy AC  AQ AM ; c) Gọi giao điểm CB AM S , MD với AB T chứng minh ST / / CD Lời giải Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ b) Tiếp tuyến nửa đường tròn  O  M cắt đường thẳng  a  N Chứng minh NK  ND c) Chứng minh K chuyển động đoạn thẳg CI tâm đường trịn ngoại tiếp AKD nằm đường thẳng cố định K D N M D I N I M 1 E A C K1 B O Lời giải: a)   900 AMB  900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn) Hay KMB     900 (gt) KCB N E A C O   KCB   1800 Do đó: KMB Vậy tứ giác CKMB nội tiếp đường trịn đường kính KO  ACK ∽ AMB (g.g) AC AK    AM AK  AC AB mà AC AB cố định nên AM AK không đổi AM AB B  ( Tứ giác CKMB nội tiếp) B  (  sđ  b) Ta có M AM ) ; NKM   NKM   NKM cân N  NK  NM Suy M M K D   900 Ta có: M 1 K  nên M D   NM  ND Mà M 1 Vậy NK  ND c) Gọi E giao điểm BA đường tròn ngoại tiếp tam giác DKA B  ( K  )  DBN cân, có DC đường cao nên đường trung tuyến Ta có N  C trung điểm NB  N đối xứng B qua C  N cố định B, C cố định Tứ giác DKAN nội tiếp  đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD qua A E Mà A, E cố định nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD di động đường trung trực AE đường cố định Cách Gọi E điểm đối xứng B qua C  N cố định B, C cố định B  DNB cân  N B K N   Tứ giác DKAN nội tiếp Ta có K 1 Suy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm đường trung trực AE đường thẳng cố định Bài 26 Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB Một điểm M cố định thuộc đoạn thẳng OB ( M khác B O) Đường thẳng d vng góc với AB M cắt nửa đường tròn (O) N Trên cung NB Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính B WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ lấy điểm E ( E khác B N), tia BE cắt đường thẳng d C, đường thẳng AC cắt nửa đường tròn D Gọi H giao điểm AE với đường thẳng d a) Chứng minh tứ giác BMHE nội tiêp b) Chứng minh ba điểm B, H, D thẳng hàng c) Tính giá trị biểu thức BN  AD AC theo R d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC cắt AB K Chứng minh E di động cung NB độ dài đoạn thẳng BK không đổi Hướng dẫn giải:   900 ( gt ) ; BEH   900 ( nội tiếp chắn nửa đường trịn) a) Ta có: BMH   BAH   1800  BMH  Tứ giác BMHE nội tiếp đường trịn đường kính BH b) CAB có hai đường cao CM AE cắt H  H trực tâm CAB  BH  AC (1) ADB  900 ( nội tiếp chắn nửa đường trịn) Lại có  C N D E (2)  BD  AC Từ (1) (2) suy ra: B, H, D thẳng hàng H c) ANB vng N có NM đường cao nên: BN  BM AB AD AB ADB # AMC (g.g)    AD AC  AM AB AM AC 1 (3) A K O M B (4) Từ (3) (4) suy ra: BN  AD AC  BM AB  AM AB  AB.( BM  AM  AB  R  C  d) Tứ giác AKHC nội tiếp  K 1 )  B  ( phụ CAB Mà C 1  B   HKB cân H, có HM đường cao đồng thời đường trung trực Do đó: K 1  K đối xứng với B qua M  K cố định ( B, M cố định)  BK khơng đổi Bài 27 Cho đường trịn (O; R) đường kính AB cố định Trên tia đối tia AB lấy điểm C cho AC = R Kẻ đường thẳng d vng góc với BC C Gọi D trung điểm OA, qua D vẽ dây EF đường trịn (O;R), ( EF khơng đường kính) Tia BE cắt d M tia BF cắt d N a) Chứng minh tứ giác MCAE nội tiếp b) Chứng minh BE.BM = BF.BN c) Khi EF vng góc với AB, tính đồ dài đoạn thẳng MN theo R d) Chứng minh tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN nằm đường thẳng cố định dây cung EF thay đổi Hướng dẫn giải: d AEB  900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn) a) Ta có :   AEM  900 ( kề bù) ACM  900 ( gt ) Lại có:  Do đó:  AEM   ACM  1800  Tứ giác MCAE nội tiếp đường trịn đường kính MA b) Ta có BE.BM = BA.BC (1) ( hai cát tuyến kẻ từ điểm đến đường tròn) M E Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTD Đặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn TínJ Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính C A I O B WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ Tứ giác CAFN nội tiếp đường trịn đường kính AN  BF.BN = BA.BC (2) Từ (1) (2) suy ra: BE.BM = BF.BN  AE  AF c) EF  AB  DE  DF  Ta có: DA = DO; DE = DF; OA  EF D  Tứ giác OEAF hình thoi   300  B   300  AOE  600  B   3R.tan 300  R Ta có: MC  BC tan B   3R.tan 300  R NC  BC tan B Do đó: MN = MC + CN = R d) Gọi J giao điểm BC với đường trịn (I) MC ME Ta có MC MN  ME MB (  MA.MF )   MB MN MC ME  MCE MBN , có: ; NMB : chung  MB MN   MNB  Do đó: MCE # MBN  MEC  (Tứ giác JMBN nội tiếp);   ( Tứ giác MCAE nội tiếp) A1  MEC Lại có: J1  MNB Do đó: J   A  MJA cân M; có MC đường cao đồng thời đường trung trực 1  J đối xứng với A qua C  J cố định ( A, C cố định)  I nằm đường thẳng d cố định đường trung trực đoạn thẳng JB Vậy tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác BMN ln nằm đường thẳng d cố định dây cung EF thay đổi Bài 28 Cho đường tròn (O; R), hai điểm C D thuộc đường tròn , B điểm cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA Trên tia đối tia AB lấy điểm S Nối SC cắt đường tròn (O) M; MD cắt AB K; MB cắt AC H Chứng minh rằng:   BAC  Từ suy tứ giác AMHK nội tiếp a) BMD b) HK // CD c) OK.OS = R2 Hướng dẫn giải:   BD   BMD   BAC  ( hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) a) Ta có: BC   BAC  hay HMK   HAK   Tứ giác AMHK nội tiếp Ta có BMD AKH  1800   AMH  1800  900  900 b) Tứ giác AMHK nội tiếp    HK  AB Mà AB  CD Do HK // CD C c) MOD cân O     180  MOD  900  MOD  900  MCD   OMK 2 Gọi J giao điểm CD AB   BD   OJ  CD J Ta có BC   900  SCJ  Hay OS   SCJ vuông J  JSC M  900  MCD   OS  Do đó: OMK M B D O H M K A Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh S Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ Từ suy ra: OMK # OSM ( g.g )  OK OS  OM  R Bài 29 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M , vẽ đường trịn đường kính MC cắt BC D Các đường thẳng BM AD cắt đường tròn điểm thứ hai E F Chứng minh rằng: a) AB.MC  AC MD; b) Tứ giác ABDM AECB nội tiếp đường tròn c) AB //EF ; d) Các đường thẳng AB , CE , MD đồng quy Bài 30 Cho  O  Lấy điểm A ngồi đường trịn  O  , đường thẳng AO cắt đường tròn  O  hai điể m B, C  AB  AC  Qua A vẽ đường thẳng không qua O cắt đường tròn  O  hai điểm phân biệt D, E  AD  AE  Đường thẳng vng góc với AB A cắt đường thẳng CE F a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp b) Gọi M giao điểm thứ hai đường thẳng FB với  O  Chứng minh MD vng góc với AC c) Chứng minh CE.CF  AD AE  AC Bài 31 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M , vẽ đường trịn đường kính MC cắt BC D cắt đường thẳng BM E , ( E khác M ) Đường thẳng AE cắt đường tròn S (S khác E) Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABDM nội tiếp b) MA.MC  MB.ME c) MD  MS HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 29 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M , vẽ đường trịn đường kính MC cắt BC D Các đường thẳng BM AD cắt đường tròn điểm thứ hai E F Chứng minh rằng: a) AB.MC  AC MD; b) Tứ giác ABDM AECB nội tiếp đường tròn c) AB //EF ; d) Các đường thẳng AB , CE , MD đồng quy Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ K E A M F B C D a )Chứng minh: AB.MC  AC.MD;  góc nội tiếp chắn nửa đường trịn nên MDC   900 ; Xét đường trịn đường kính MC có MDC    ABC  MD C  900 Xét ABC DMC có    chung C AB AC Suy ABC  DMC (g.g)    AB.DC  AC DM (hai cạnh tương ứng tỉ lệ) DM DC b) Tứ giác ABDM AECB nội tiếp đường trịn Xét tứ giác ABDM có:   BDM   900  900  1800 DAB  ; BDM  đối Hai góc DAB Nên tứ giác ABDM nội tiếp đường tròn   900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính MC ) + Ta có CEM + Xét tứ giác AECB có   CAB   900 CEB Hai đỉnh A, E kề Nên tứ giác AECB nội tiếp đường tròn c)Chứng minh: AB //EF ; ABM   ADM (hai góc nội tiếp chắn cung Theo câu b) Tứ giác ABDM nội tiếp đường tròn nên   AM ) (1) ABC   ACE (hai góc nội tiếp chắn cung  AE ) + Tứ giác AECB nên nên    ECM  Từ (1) (2) suy FDM (2)   FCM  (hai góc nội tiếp chắn cung MD ) Mà FDM   ECM  Nên FCM  CM đường kính nên CM  EF Suy CM phân giác FCE Lại có AB  AC ( gt ) Suy AB //EF d) Các đường thẳng AB , CE , MD đồng quy Gọi K giao điểm AB; CE Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ Xét KBC có: CA  KB; BE  CK Nên CA, BE đường cao KBC cắt M Do M trực tâm KBC Nên KM  BC Lại có MD  BC (cmt) Suy ba điểm K , M , D thẳng hàng Hay đường thẳng AB , CE , MD đồng quy K Bài 30 Cho  O  Lấy điểm A ngồi đường trịn  O  , đường thẳng AO cắt đường tròn  O  hai điể m B, C  AB  AC  Qua A vẽ đường thẳng không qua O cắt đường tròn  O  hai điểm phân biệt D, E  AD  AE  Đường thẳng vng góc với AB A cắt đường thẳng CE F a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp b) Gọi M giao điểm thứ hai đường thẳng FB với  O  Chứng minh MD vng góc với AC c) Chứng minh CE.CF  AD AE  AC F E D A O B C M a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp   900  BEF   BAF   1800  tứ giác ABEF nội tiếp BEC b) Gọi M giao điểm thứ hai đường thẳng FB với  O  Chứng minh MD vng góc với AC  ADM  MCE Tứ giác DECM nội tiếp     MCE  Tứ giác BECM nội tiếp  FBE   FAE  Tứ giác ABEF nội tiếp  FBE  Suy  FAE ADM  FA  DM  DM  AE c) Chứng minh CE.CF  AD AE  AC CE CB CEB ∽ CAF  g  g     CE.CF  CB.CA (1) CA CF ADB   ACE  ADB ∽ ACE  g  g  Tứ giác BDEC nội tiếp   Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ AB AD    AD AE  AB AC (2) AE AC Từ (1) (2)  CE.CF  AD AE  AC  AB  BC   AC Bài 31 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M , vẽ đường tròn đường kính MC cắt BC D cắt đường thẳng BM E , ( E khác M ) Đường thẳng AE cắt đường tròn S (S khác E) Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABDM nội tiếp b) MA.MC  MB.ME c) MD  MS B D A M O C E S a) Tứ giác ABDM nội tiếp   90  MDB   90  MDB   MAB   180  tứ giác ABDM nội tiếp MDC b) chứng minh: MA.MC  MB.ME   90 (góc nội tiếp chắn nửa MEC  MAB ∽ MEC  g  g   đường tròn) MA MB   MA.MC  ME.MB ME MC c) Chứng minh MD  MS   MCD  Có MA.MC  ME.MB  MAE ∽ MBC  c  g  c   MEA   MCS   MCS   MCD   MS   MD   MD  MS Tứ giác MESC nội tiếp  MEA Bài 32: Cho đường trịn tâm O đường kính AB , nửa đường tròn  O  lấy hai điểm G E (theo thứ tự A, G , E , B ) cho tia EG cắt tia BA D Đường thẳng vng góc với BD D cắt BE C , đường thẳng CA cắt đường tròn  O  điểm thứ hai F a) Chứng minh tứ giác DFBC nội tiếp b) Chứng minh: BF  BG DA DG.DE c) Chứng minh:  BA BE.BC Giải Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/   900  BFC   BDC   900 AFB  900  BFC a) Vì F   O  đường kính AB    BDCF tứ giác nội tiếp b) Gọi P giao điểm CD BF Ta có A trực tâm CPB  PA  CB AEB góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Mà AE  CB (vì   P , A, E thẳng hàng  D, E nhìn đoạn PB cố định góc 900  Tứ giác PDEB nội tiếp   DBP   sd PD   DEP   GBA   sdGA  Mà DEP   GBA   DBP AGB   AFB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Lại có:  AB cạnh chung  AGB  AFB (ch - gn)  BG  BF ADC  900 (GT) c) Ta có:    900 (chứng minh trên) CEA   1800  ADC  CEA  DAEC nội tiếp  BE.BC  BA.BD (vì BED ∽ BAC )  DA.BE.BC  DA.BA.BD DA DA.DB   BA BE BC Mà DA.DB  DG.DE (vì DGB ∽ DAE ) DA DG.DE   BA BE BC Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ Bài 33: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn  O  ( AB  BC  AC ) Các đường cao AD, BE , CF cắt H a) Chứng minh tứ giác BFHD, DHEC nội tiếp b) Tia FD cắt đường tròn  K  ngoại tiếp tứ giác DHEC I Chứng minh IE∥AB c) Đường tròn  K  cắt đường tròn  O  điểm thứ hai M Chứng minh BF BA  BI BM Giải   BDH   900  BFH   BDH   1800 a) Ta có BFH  BFHD tứ giác nội tiếp   HEC   900  HDC   HEC   1800 Ta có HDC  DHEC tứ giác nội tiếp   DCE  (cùng chắn DE ) b) Ta có FIE  ADC  900 Mặt khác AFC  AFDC (2 góc chắn cung)   BFD ACD (góc ngồi tứ giác)    FIE  ACD mà góc vị trí so le  IE∥AB AFC   ADC  900  AFDC tứ giác nội tiếp (2 góc chắn cung) c) Ta có    BFI ACB ACB   AMB (góc nội tiếp) Mà     BFI  AMB   BAM  Tương tự BIF  BFI ∽ BMA BF BM  BI BA  BF BA  BM BI  Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ Bài 34: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn  O  Kẻ đường cao BB ' CC ' ( B ' thuộc cạnh AC , C ' thuộc cạnh AB ) Đường thẳng B ' C ' cắt đường tròn  O  hai điểm M N (theo thứ tự N , C ', B ', M ) a) Chứng minh tứ giác BC ' B ' C nội tiếp b) Chứng minh AM  AN c) Chứng minh AM  AC AB Giải   ' C  BB ' C  900 a) Ta có BC  BC ' B ' C nội tiếp (2 góc chắn cung) AC ' B '   ACB b) Vì BC ' B ' C nội tiếp   '    NAC ANC '   ACB   NAB ANM   ACB 1 1 1   NB  AM  AB  AN  NB 2 2 1   AM   AN 2  AM  AN c) Xét AMC ' ABM có:  A chung  AMC '   ABM   ANM       AMC ' ∽ ABM (g- g) AM AB   AC ' AM  AM  AC ' AB Bài 35 Cho tam giác ABC nhọn ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn  O; R  Các đường cao AD , BE , CF cắt H a).Chứng minh EH BD  ED.HF b).Chứng minh OA  EF Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ c).Đường thẳng EF cắt đường trịn  O  M N ( F nằm E M ) Chứng minh AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MDH  d).Giả sử EF  R Tính số đo BAC Lời giải A N x T F E H M O B D I C K a).Chứng minh EH BD  ED.HF   BFC   90  BCEF nội tiếp đường trịn đường kính BC Có BEC   EBD   sñEC  1  EFH   HCD   sñHD  , mà FEB   HCD   sđEB  Tương tự có CDH F nội tiếp  HED 2   FEB   2 Suy HED Từ 1   suy EHF ∽ EDB  EH H F  EH ED  HF BD  ED DB Vậy EH ED  HF BD b).Chứng minh OA  EF Vẽ tiếp tuyến Ax tiếp xúc với đường tròn  O  A ACB   AFE (do BCEF nội tiếp đường trịn đường kính BC ) Có  xAB   ACB  sđ  AB ,    xAB AFE , chúng lại có vị trí so le  Ax // EF , mà Ax  OA  EF  OA Vậy EF  OA c).Đường thẳng EF cắt đường tròn  O  M N ( F nằm E M ) Chứng minh AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MDH   BAM  (góc chung),  Có MAF AMF   ABM (hai góc chắn hai cung nhau) AM AF Suy AM F ∽ ABM   AM  AB AF  3  AB AM Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/   (góc chung)  AFH ∽ ADB AFH   ADB  90 , F AH  DAB Ta có   Từ AF AH  AF AB  AH AD    AD AB  3  4 AM  AH AD suy  AM AD , có  AH AM   DAM  MAH  AMH ∽ ADM   sñMH  Suy  AMH  HDM Vậy AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MDH  d).Giả sử EF  R Tính số đo BAC Vẽ đường kính AK đường trịn  O  , gọi I trung điểm BC Có CH // KB (do vng góc AB ), BH // KC (do vng góc AC ) Suy BHCK hình bình hành Có I trung điểm đường chéo BC , nên I trung điểm HK Có O trung điểm AK Suy OI đường trung bình AKH , nên AH  2OI Có  AEH   AFH  90  AEH F nội tiếp đường trịn đường kính AH Hay AEF nội tiếp đường trịn đường kính AH Có ABC nội tiếp đường trịn đường kính AK EF AF AH Có AEF ∽ ACB  g.g    BC AH  R ,   BC AB AK Mà AH  2OI , BC  OB  OI  R  OI   Ta có phương trình: R  OI 2OI  R  R  OI OI  R    4OI  R OI  R   2OI  R   OI  R   45   OI   BOI , có cos BOI OB 2   90 (do OI trung trực BC )  BOC   BOC   45 Vậy BAC Bài 36 Cho tam giác ABC nhọn ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn  O; R  , kẻ hai đường cao AD , BE cắt H a).Chứng minh CE.CA  CD.CB CH vng góc AB F b).Gọi M trung điểm BC Chứng minh tứ giác EFMD nội tiếp c).Qua D vẽ đường thẳng song song với EF cắt AB R , cắt AC kéo dài Q Gọi P giao điểm hai đường thẳng EF BC Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR qua M   30 Tính diện tích tứ giác BCEF d).Giả sử diện tích tam giác ABC 1, BAC Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ A F E H O R C P D M B Q Lời giải a).Chứng minh CE.CA  CD.CB CH vng góc AB F   BCA  (góc chung),    90  ACD ∽ BCE ADC  BEC Có ECD AC CD  CA.CE  CD.CB  BC CE ABC có hai đường cao AD BE cắt H Suy H trực tâm ABC Suy CH  AB F b).Gọi M trung điểm BC Chứng minh tứ giác EFMD nội tiếp   BFC   90  BCEF BEC Có nội tiếp đường trịn đường kính  BC   FCB   sñEB   FEB   BED   sđHD  Tương tự có CDHE nội tiếp đường trịn đường kính CH  FCB   FM    BED   FED  , mà FEB   FMB   EFD B Suy FEB 2 Suy tứ giác EFMD nội tiếp (do có góc góc đối ngoài) c).Qua D vẽ đường thẳng song song với EF cắt AB R , cắt AC kéo dài Q Gọi P giao điểm hai đường thẳng EF BC Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR qua M   PFB  (đồng vị),  Có QRB AFE   ACB (do tứ giác BCEF nội tiếp)   QFB   QRB  (do bù với hai góc nhau) Do QCB   RDB  (đối đỉnh) Mà CDQ Suy CDQ ∽ RDB  CD DQ  CD.DB  RD.DQ 1  RD DB Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/  , EB  EC , nên EC tia phân giác PED  Có EB tia phân giác FED CD BD ED  DB.CP  CD.BP   CP BP EP  DB.CP  DB  DP  CD   DB.DP  DB.CD Có  CD.BP  CD  DB  DP   CD.DB  CD.DP  DB.DP  DB.CD  CD.DB  CD.DP  DB.CD  DB.DP  CD.DP  DB.CD  DP  DB  CD  , có DB  CM  DM , CD  CD  DM   DB.CD  2.DP.DM  DB.CD  DP.DM   Từ 1   suy RD.DQ  DP.DM  RD MD   PDQ  (đối đỉnh) , có RDB  PD QD   MRD   RDP ∽ MDQ  QPD  PQMR nội tiếp (do có hai đỉnh kề nhìn cạnh đối diện qua hai góc nhau)   30 Tính diện tích tứ giác BCEF d).Giả sử diện tích tam giác ABC 1, BAC  AE      cos BAC  , S ABC  S ABC  AB   S AEF  , có S BCEF  S ABC  S AEF  4 Vậy S BCEF  Bài 37 Cho tam giác vuông cân ABD ( DA  DB ) nội tiếp đường trịn  O  Dựng hình bình hành Có AEF ∽ ABC  S AEF   ABCD Gọi H chân đường vng góc kẻ từ D đến AC , K giao điểm AC với đường tròn  O  Chứng minh rằng: a).Tứ giác HBCD nội tiếp   2.BDH  b) DOK c) CK CA  2.BD Lời giải C D K H A O B a).Tứ giác HBCD nội tiếp Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/    90  HBCD nội tiếp đường tròn đường ADB  90 (cặp góc so le), DHC Có DBC kính CD   2.BDH  b) DOK   BCH   sđBH  ( HBCD nội tiếp đường trịn đường kính CD ) BDH   DAK  (so le) DAK   DOK  (góc nội tiếp góc tâm chắn cung) Mà BCH    DOK  2.BDH c) CK CA  2.BD Có CD  OD , OD bán kính  O  , nên CD tiếp xúc đường tròn  O  D Có ABD nên CD  BD    DAK   sñDK  , DCK ACD (góc chung)  CDK ∽ CAD Có CDK CD CK  CD  CA.CK , mà CD  BD  CA.CK  BD   CA CD Vậy CA.CK  BD Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính ... vào tam giác AJB vuông J đường cao JR suy : BK BC  BR.BA  BJ AK AD  AR AB  AJ Từ suy AK AD  BK BC  AJ  BJ  AB   R   const Vậy AK.AD + BK.BC không phụ thuộc vào hai điểm C D Bài. ..  D a) Chứng minh rằng: Tứ giác BCKM nội tiếp; tích AK AM khơng phụ thuộc vào vị trí điểm K Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức... sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/