Thông tin tài liệu
WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ 37 BÀI HÌNH ĐẦU TIÊN – DỰ ÁN GẦN 200 BÀI HÌNH ƠN THI VÀO 10 VÀ BDHSG Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O , điểm D thuộc cung nhỏ AB Kẻ dây DE vng góc với OA Gọi M giao điểm BD CA , N giao điểm BA CE Chứng minh MN song song với DE Giải N M A I D E O B C Gọi I giao điểm DE AB OA DE OA qua trung điểm dây DE (Liên hệ đường kính dây) DE đường trung trực DE AD AE (Tính chất đường trung trực) AD AE (Liên hệ dây cung) Theo tính chất góc có đỉnh bên ngồi đường tròn ta có: s® s® AE BNC s® BC s® AD s® BC s® AE (Vì AD AE ) BMC 2 BNC BMC Tứ giác BMNC tứ giác nội tiếp (hai góc đỉnh M N nhìn cạnh BC góc) MCB (Cùng chắn cung MB đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC ) MNB s® s® Mà MCB AB s® BD AD (Tính chất góc nội tiếp) 1 2 s® AE (Tính chất góc có đỉnh bên ngồi đường tròn) Mặt khác: AIE s® BD s® AD AE ) AIE s® BD AD ( 2 AIE Từ 1 MNB MN //DE (Cặp góc so le nhau) (đpcm) Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) AB BD Tiếp tuyến O A cắt đường thẳng BC Q Gọi R giao điểm hai đường thẳng AB CD Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ a) Chứng minh AQ QB.QC b) Chứng minh AQRC nội tiếp c) Chứng minh AD //QR Q A B R O C D a) Xét AQB CQA có: AB ) BAQ ACQ (góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn chắn AQB góc chung AQB ∽ CQA (g.g) AQ CQ AQ BQ.CQ BQ AQ BDA b) Ta có: AB BD ABD cân BAD QCR (góc ngồi góc đối tứ giác ABCD nội tiếp) BAD BDA (góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn góc nội tiếp chắn QAB AB ) QCR QAB Tứ giác AQRC nội tiếp (hai góc nhìn cạnh) c) Xét tứ giác AQRC nội tiếp có: AQR ACR 180o (tổng hai góc đối 180o ) (1) Cần CM: ACR QAD QCR (chứng minh phần b) Thật vậy: BAD QAB ACB (góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn góc nội tiếp chắn AB ) QAB QCR BAD ACB (2) ACR QAD Từ (1) , (2) ta được: Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ 180o AD //QR (trong phía) AQR QAD Từ điểm A tia Bx kẻ AH vng góc với By H kẻ AD vng góc Bài 2: Cho góc nhọn xBy D , Chứng minh tứ giác ABHD nội tiếp đường tròn xác định tâm với đường phân giác góc xBy O đường tròn a) Chứng minh OD AH b) Tiếp tuyến A với đường tròn O cắt By C Đường thẳng BD cắt AC E Chứng minh tứ giác HDEC nội tiếp Lời giải: x A 1 O B D E H C y a) Ta có: ADB vng D nên ba điểm A, D, B thuộc đường tròn đường kính AB 1 ABH vng H nên ba điểm A, B, H thuộc đường tròn đường kính AB Từ 1 Tứ giác ABHD nội tiếp đường tròn đường kính AB Tâm O trung điểm đoạn AB b) Tứ giác ABHD nội tiếp nên: B 1 A2 sd AD H sd B AD 2 1 B ( BE phân giác ABH ) Mà B 3 AD HD sd A2 H Từ 1 , 2 3 AD sd HD D thuộc đường trung trực HA Mặt khác OA OH O thuộc đường trung trực HA Từ , 5 OD đường trung trực AH OD AH góc ngồi tam giác ABE nên BEC 90 B c) Ta có: BEC Ta lại có: OD AH cmt OD / / BH DHC ODH (So le trong) BH AH gt Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ OAD (hai cạnh tương ứng) OHD ODA c.c.c ODH ODH (Chứng trên) OHC OAD Mà DHC sd 90 90 B Mặt khác OAD A1 AB AD OAD 1 90 B OHC OHC 90 B 90 B 180 Xét tứ giác HDEC có: BEC 1 Mà hai góc vị trí đối nên HDEC nội tiếp Bài 4: Cho đường tròn O ; đường kính AB R ; tiếp tuyến Ax Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm F cho BF cắt đường tròn C ; tia phân giác ABF cắt đường tròn E cắt tiếp tuyến Ax D a)Chứng minh OD // BC b)Chứng minh BD.BE BC.BF c)Chứng minh : tứ giác CDEF nội tiếp ABC để tứ giác AOCD hình thoi.Tính diện tích tứ giác AOCD theo R d)Xác định số đo Lời giải : a)Chứng minh : OD / / BC ; DBA góc nội tiếp chắn cung Ta có CBD AD; DC Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ DBA AD DC kết hợp với OA OC R OD AC ( OD AD DC Maf CBD đường trung trực AC ) ACB 90 AC CB CB / / OD Mà C đường tròn đường kính AB b)Ta có : D thuộc đường tròn đường kính AB AD DB AD BE Tam giác AEB vuông A có đường cao AD AB BD.BE ( hệ thức lượng ) Tương tự ta có : tam giác ABF vuông A đường cao AC AB BC.BF ( hệ thức lượng ) Vậy nên BD.BE BC.BF BD BC BF BE Xét tam giác BDC tam giác BFE ta có : : chung B BD BC BDC ∽ BFE (c.g.c) BDC BFE tgCDFE nt ( góc ngồi góc BF BE c)Do BD.BE BC BF đỉnh đối diện ) AOD ( đồng vị ) d)Do OD / / BC ABC Do OA OC ; DA DC OADC hình thoi OA AD hay OA OD AD AOD 60 ABC 60 tam giác AOD tam giác nên Trong tam giác vuông ABC ( vuông C ): sin ABC AC AC R.s in60 R R AB 1 S AOCD OD AC R 3R R 2 Bài 5: Cho ba điểm A; B; C thẳng hàng ( B nằm A C ).Vẽ đường tròn O đường kính BC ; vẽ tiếp tuyến AT Từ tiếp điểm T vẽ đường thẳng vng góc với BC ; đường thẳng cắt BC H cắt đường tròn O T ' Đặt OB R a)Chứng minh OH OA R ATH b)Chứng minh TB phân giác góc c)Từ B kẻ đường thẳng song song TC Gọi D; E giao điểm đường thẳng vừa vẽ với TT ' TA Chứng minh TED cân d)Chứng minh HB AB HC AC Lời giải : T E A B H C O D Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính T' WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ a)Chứng minh : OH OA R Do AT tiếp tuyến đường tròn O AT OT AOT vng T có đường cao TH OH OA OT R ATH b)Chứng minh : TB đường phân giác góc ATB OTB OTA 90 Ta có OBT 90 BTH maf OTB OB OT OBT ATB BTH Vậy TB đường phân giác góc ATH c)Chứng minh : tam giác TED cân +)Do T thuộc đường tròn đường kính BC BT TC TB ED ( DE / /TC ) TED cân T ( đường cao đồng Mà theo câu (a) ta có TB đường phân giác góc ETD thời đường phân giác ) d)Chứng minh : HB AB HC AC Ta có TB đường phân giác tam giác ATH mà TC TB TC đường phân giác tam giác ATH AB AT CA TA AB AC AB BH ( đpcm ) BH TH CH TH BH CH AC HC Bài 6: Cho đường tròn O ; dây cung AB ; điểm C nằm đường tròn nằm Vậy nên ta có : tia BA Từ điểm P cung lớn AB kẻ đường kính PQ đường tròn cắt dây AB D Tia CP cắt đường tròn O điểm thứ hai I Các dây AB QI cắt K a)Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp b)Chứng minh : CI CP CK CD c)Chứng minh IC phân giác góc ngồi đỉnh I tam giác AIB d)Giả sử ba điểm A; B; C cố định ; chứng minh đường tròn O thay đổi qua A; B đường thẳng QI ln qua điểm cố định Q Lời giải A B K C D O I P Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ a)Cm : Tứ giác PDKI nội tiếp 90 PIK 90 Ta có PQ đường kính đường tròn O PIQ 90 PDK PIK 90 90 180 tg PDKI nt ( hai góc đối bù Do PQ AB PDK ) b) Xét tam giác CIK tam giác CDP ta có : : chung C CI CK CIK ∽ CDP( g.g ) CI CP CD.CK CDP 90 CD CP CIK c)Ta có PQ AB; PA=PB QA=QB hay điểm Q điểm cung nhỏ AB AQ BQ ( hai góc nội tiếp chắn hai cung ) AIQ BIQ Do 90) nên IC Hay IK đường phân giác tam giác AIB ; lại có IK IC ( PIQ đường phân giác góc ngồi đỉnh I tam giác AIB d) Ta chứng minh K điểm cố định Ta có điểm D trung điểm AB ( OD AB) Do tứ giác nội tiếp ABPI CPB CAI ∽ CPB ( g g ) CA CI CA.CB CI CP CAI CP CB AB AB CA.CB CK CD CI CP CK CD CD DA CD DB CD CD Vậy nên CD AB AB AB AB CD.KD KD const 4 4CD A; B; C ; D bốn điểm cố định nên K điểm cố định Ta có đpcm CD CK CD AB Trên cung Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nằm cung AM lấy điểm N N A, N M Đường thẳng AM cắt đường thẳng BN H Đường thẳng MN cắt đường thẳng AB I Gọi K hình chiếu H AB Chứng minh rằng: a) Tứ giác KHMB nội tiếp b) MA tia phân giác NMK c) MN MI MB Lời giải Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ M N H A I a) Ta có: HK B 900 B K O gt ; AMB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét tứ giác KHMB có: HKB AMB 900 900 1800 HMB 1800 Hay HKB HMB hai góc đối tứ giác KHMB nội tiếp (đpcm) Mà HKB HBK (do tứ giác KHMB nội tiếp) b) Ta có: HMK Hay AMK NBA NBA (hai góc nội tiếp chắn cung Mà NMA AN ) AMK NMA MA tia phân giác NMK (đpcm) c) Dễ thấy MA MB MAB vuông cân 1800 450 1350 MAI Tứ giác ABMN nội tiếp ANM 1350 M MBA 450 MAB ANM MAI Từ ta có: MNA ∽ MAI AMI chung ANM MAI Xét MNA MAI có: g g MN MA MN MI MA2 MB (đpcm) MA MI Bài Tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn O đường kính AD , E giao điểm AC BD , kẻ EF AD F ; M trung điểm DE Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ABEF , DCEF nội tiếp b) Tia CA phân giác BCF c) Tứ giác BCMF nội tiếp Lời giải B C E M A O AFE 900 a) Ta có: D F gt ; ABE 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét tứ giác ABEF có: AFE A BE 900 900 1800 Mà AFE ABE hai góc đối tứ giác ABEF nội tiếp (đpcm) 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Ta có: DFE 900 gt ; DCE Xét tứ giác DCEF có: D FE D CE 900 900 1800 Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ hai góc đối tứ giác DCEF nội tiếp (đpcm) DCE Mà DFE FDE (do tứ giác DCEF nội tiếp) b) Ta có: ECF ACF ADB Hay AB ) Mà ADB ACB (hai góc nội tiếp chắn cung (đpcm) ACF ACB CA tia phân giác BCF BFC 2CFE 2CDM c) Chứng minh tương tự ta có EF tia phân giác BFC CME hay 2CDM BMC Ta có 2CDM B BFC MC tứ giác BCMF nội tiếp (đpcm) Bài Cho đường tròn O; R hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M M O , đường thẳng CM cắt đường tròn O điểm thứ hai N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N với đường tròn O điểm P a) Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp đường tròn b) Tứ giác CMPO hình gì? c) Chứng minh tích CM CN khơng đổi d) Chứng minh M di động đoạn thẳng AB P chạy đường thẳng cố định Lời giải C M A O B N P D 900 ( NP tiếp tuyến O ); OMP 900 (gt) a) Ta có: ONP OMP 900 ONP Xét tứ giác ABEF có hai đỉnh M ; N nhìn đoạn OP góc vng Do tứ giác OMNP nội tiếp đường tròn (đpcm) DOP b) Dễ thấy OC // MP MPO MNO (do tứ giác OMNP nội tiếp c/m câu a) Mà MPO MNO (vì OC ON R ) Lại có MCO DOP CM // PO Từ điều ta có MCO OC // MP Xét tứ giác CMPO có Tứ giác CMPO hình bình hành CM // PO CMO CDN DCN C OM CN D 900 ; c) Xét có CMO ∽ CDN g g chung CM CO CM CN CD.CO R khơng đổi CD CN d) Ta có MP AB Lại có tứ giác CMPO hình bình hành (c/m câu b) MP CO R không đổi P cách AB khoảng R không đổi Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ P thuộc đường thẳng song song với AB cách AB khoảng R không đổi Vậy M di động đoạn thẳng AB P chạy đường thẳng cố định Ta suy kết PD tiếp tiếp D O Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O; R có AB AC R Tính độ dài BC theo R a) Gọi M điểm di động cung nhỏ AC ( M khác A C ) tia AM cắt BC D Chứng minh tích AM AD khơng đổi b) Tìm vị trí M cung nhỏ AC để tổng 2.AM AD có giá trị nhỏ c) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD Chứng minh I di động đường cố định M di động cung nhỏ AC Lời giải A M I O B C D K 45 suy tam giác ABC vuông cân A từ a) Kẻ OH BC tính BAH tính BC 2R b) AMC ∽ ACD g g AM AD AC R không đổi M di chuyển c) Theo bất đẳng thức Cô-si : AM AD 2 AM AD R2 giá trị nhỏ 4R2 xảy 2AM AD AM R ACK 90 (1) mặt khác AM AD AC nên AC d) Kẻ đường kính AK (O) ACI 90 (2) tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD Từ (1) (2) suy K , C , I thẳng hàng mà C , K cố định nên I thuộc đường hẳng CK cố định Bài 11 : Cho đường tròn O đường kính AB , dây CD vng góc với AB P Trên cung nhỏ BC lấy điểm M ( M khác C B ) đường thẳng AM cắt CD Q a) Chứng minh tứ giác PQMB nội tiếp; b) Chứng minh APQ ∽ ABM suy AC AQ AM ; c) Gọi giao điểm CB AM S , MD với AB T chứng minh ST / / CD Lời giải Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ b) Tiếp tuyến nửa đường tròn O M cắt đường thẳng a N Chứng minh NK ND c) Chứng minh K chuyển động đoạn thẳg CI tâm đường tròn ngoại tiếp AKD nằm đường thẳng cố định K D N M D I N I M 1 E A C K1 B O Lời giải: a) 900 AMB 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn) Hay KMB 900 (gt) KCB N E A C O KCB 1800 Do đó: KMB Vậy tứ giác CKMB nội tiếp đường tròn đường kính KO ACK ∽ AMB (g.g) AC AK AM AK AC AB mà AC AB cố định nên AM AK không đổi AM AB B ( Tứ giác CKMB nội tiếp) B ( sđ b) Ta có M AM ) ; NKM NKM NKM cân N NK NM Suy M M K D 900 Ta có: M 1 K nên M D NM ND Mà M 1 Vậy NK ND c) Gọi E giao điểm BA đường tròn ngoại tiếp tam giác DKA B ( K ) DBN cân, có DC đường cao nên đường trung tuyến Ta có N C trung điểm NB N đối xứng B qua C N cố định B, C cố định Tứ giác DKAN nội tiếp đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD qua A E Mà A, E cố định nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD di động đường trung trực AE đường cố định Cách Gọi E điểm đối xứng B qua C N cố định B, C cố định B DNB cân N B K N Tứ giác DKAN nội tiếp Ta có K 1 Suy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm đường trung trực AE đường thẳng cố định Bài 26 Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB Một điểm M cố định thuộc đoạn thẳng OB ( M khác B O) Đường thẳng d vng góc với AB M cắt nửa đường tròn (O) N Trên cung NB Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính B WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ lấy điểm E ( E khác B N), tia BE cắt đường thẳng d C, đường thẳng AC cắt nửa đường tròn D Gọi H giao điểm AE với đường thẳng d a) Chứng minh tứ giác BMHE nội tiêp b) Chứng minh ba điểm B, H, D thẳng hàng c) Tính giá trị biểu thức BN AD AC theo R d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC cắt AB K Chứng minh E di động cung NB độ dài đoạn thẳng BK không đổi Hướng dẫn giải: 900 ( gt ) ; BEH 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn) a) Ta có: BMH BAH 1800 BMH Tứ giác BMHE nội tiếp đường tròn đường kính BH b) CAB có hai đường cao CM AE cắt H H trực tâm CAB BH AC (1) ADB 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn) Lại có C N D E (2) BD AC Từ (1) (2) suy ra: B, H, D thẳng hàng H c) ANB vng N có NM đường cao nên: BN BM AB AD AB ADB # AMC (g.g) AD AC AM AB AM AC 1 (3) A K O M B (4) Từ (3) (4) suy ra: BN AD AC BM AB AM AB AB.( BM AM AB R C d) Tứ giác AKHC nội tiếp K 1 ) B ( phụ CAB Mà C 1 B HKB cân H, có HM đường cao đồng thời đường trung trực Do đó: K 1 K đối xứng với B qua M K cố định ( B, M cố định) BK khơng đổi Bài 27 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB cố định Trên tia đối tia AB lấy điểm C cho AC = R Kẻ đường thẳng d vng góc với BC C Gọi D trung điểm OA, qua D vẽ dây EF đường tròn (O;R), ( EF khơng đường kính) Tia BE cắt d M tia BF cắt d N a) Chứng minh tứ giác MCAE nội tiếp b) Chứng minh BE.BM = BF.BN c) Khi EF vng góc với AB, tính đồ dài đoạn thẳng MN theo R d) Chứng minh tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN nằm đường thẳng cố định dây cung EF thay đổi Hướng dẫn giải: d AEB 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn) a) Ta có : AEM 900 ( kề bù) ACM 900 ( gt ) Lại có: Do đó: AEM ACM 1800 Tứ giác MCAE nội tiếp đường tròn đường kính MA b) Ta có BE.BM = BA.BC (1) ( hai cát tuyến kẻ từ điểm đến đường tròn) M E Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTD Đặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn TínJ Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính C A I O B WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ Tứ giác CAFN nội tiếp đường tròn đường kính AN BF.BN = BA.BC (2) Từ (1) (2) suy ra: BE.BM = BF.BN AE AF c) EF AB DE DF Ta có: DA = DO; DE = DF; OA EF D Tứ giác OEAF hình thoi 300 B 300 AOE 600 B 3R.tan 300 R Ta có: MC BC tan B 3R.tan 300 R NC BC tan B Do đó: MN = MC + CN = R d) Gọi J giao điểm BC với đường tròn (I) MC ME Ta có MC MN ME MB ( MA.MF ) MB MN MC ME MCE MBN , có: ; NMB : chung MB MN MNB Do đó: MCE # MBN MEC (Tứ giác JMBN nội tiếp); ( Tứ giác MCAE nội tiếp) A1 MEC Lại có: J1 MNB Do đó: J A MJA cân M; có MC đường cao đồng thời đường trung trực 1 J đối xứng với A qua C J cố định ( A, C cố định) I nằm đường thẳng d cố định đường trung trực đoạn thẳng JB Vậy tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN ln nằm đường thẳng d cố định dây cung EF thay đổi Bài 28 Cho đường tròn (O; R), hai điểm C D thuộc đường tròn , B điểm cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA Trên tia đối tia AB lấy điểm S Nối SC cắt đường tròn (O) M; MD cắt AB K; MB cắt AC H Chứng minh rằng: BAC Từ suy tứ giác AMHK nội tiếp a) BMD b) HK // CD c) OK.OS = R2 Hướng dẫn giải: BD BMD BAC ( hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) a) Ta có: BC BAC hay HMK HAK Tứ giác AMHK nội tiếp Ta có BMD AKH 1800 AMH 1800 900 900 b) Tứ giác AMHK nội tiếp HK AB Mà AB CD Do HK // CD C c) MOD cân O 180 MOD 900 MOD 900 MCD OMK 2 Gọi J giao điểm CD AB BD OJ CD J Ta có BC 900 SCJ Hay OS SCJ vuông J JSC M 900 MCD OS Do đó: OMK M B D O H M K A Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh S Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ Từ suy ra: OMK # OSM ( g.g ) OK OS OM R Bài 29 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M , vẽ đường tròn đường kính MC cắt BC D Các đường thẳng BM AD cắt đường tròn điểm thứ hai E F Chứng minh rằng: a) AB.MC AC MD; b) Tứ giác ABDM AECB nội tiếp đường tròn c) AB //EF ; d) Các đường thẳng AB , CE , MD đồng quy Bài 30 Cho O Lấy điểm A ngồi đường tròn O , đường thẳng AO cắt đường tròn O hai điể m B, C AB AC Qua A vẽ đường thẳng không qua O cắt đường tròn O hai điểm phân biệt D, E AD AE Đường thẳng vng góc với AB A cắt đường thẳng CE F a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp b) Gọi M giao điểm thứ hai đường thẳng FB với O Chứng minh MD vng góc với AC c) Chứng minh CE.CF AD AE AC Bài 31 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M , vẽ đường tròn đường kính MC cắt BC D cắt đường thẳng BM E , ( E khác M ) Đường thẳng AE cắt đường tròn S (S khác E) Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABDM nội tiếp b) MA.MC MB.ME c) MD MS HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 29 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M , vẽ đường tròn đường kính MC cắt BC D Các đường thẳng BM AD cắt đường tròn điểm thứ hai E F Chứng minh rằng: a) AB.MC AC MD; b) Tứ giác ABDM AECB nội tiếp đường tròn c) AB //EF ; d) Các đường thẳng AB , CE , MD đồng quy Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ K E A M F B C D a )Chứng minh: AB.MC AC.MD; góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên MDC 900 ; Xét đường tròn đường kính MC có MDC ABC MD C 900 Xét ABC DMC có chung C AB AC Suy ABC DMC (g.g) AB.DC AC DM (hai cạnh tương ứng tỉ lệ) DM DC b) Tứ giác ABDM AECB nội tiếp đường tròn Xét tứ giác ABDM có: BDM 900 900 1800 DAB ; BDM đối Hai góc DAB Nên tứ giác ABDM nội tiếp đường tròn 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC ) + Ta có CEM + Xét tứ giác AECB có CAB 900 CEB Hai đỉnh A, E kề Nên tứ giác AECB nội tiếp đường tròn c)Chứng minh: AB //EF ; ABM ADM (hai góc nội tiếp chắn cung Theo câu b) Tứ giác ABDM nội tiếp đường tròn nên AM ) (1) ABC ACE (hai góc nội tiếp chắn cung AE ) + Tứ giác AECB nên nên ECM Từ (1) (2) suy FDM (2) FCM (hai góc nội tiếp chắn cung MD ) Mà FDM ECM Nên FCM CM đường kính nên CM EF Suy CM phân giác FCE Lại có AB AC ( gt ) Suy AB //EF d) Các đường thẳng AB , CE , MD đồng quy Gọi K giao điểm AB; CE Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ Xét KBC có: CA KB; BE CK Nên CA, BE đường cao KBC cắt M Do M trực tâm KBC Nên KM BC Lại có MD BC (cmt) Suy ba điểm K , M , D thẳng hàng Hay đường thẳng AB , CE , MD đồng quy K Bài 30 Cho O Lấy điểm A ngồi đường tròn O , đường thẳng AO cắt đường tròn O hai điể m B, C AB AC Qua A vẽ đường thẳng không qua O cắt đường tròn O hai điểm phân biệt D, E AD AE Đường thẳng vng góc với AB A cắt đường thẳng CE F a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp b) Gọi M giao điểm thứ hai đường thẳng FB với O Chứng minh MD vng góc với AC c) Chứng minh CE.CF AD AE AC F E D A O B C M a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp 900 BEF BAF 1800 tứ giác ABEF nội tiếp BEC b) Gọi M giao điểm thứ hai đường thẳng FB với O Chứng minh MD vng góc với AC ADM MCE Tứ giác DECM nội tiếp MCE Tứ giác BECM nội tiếp FBE FAE Tứ giác ABEF nội tiếp FBE Suy FAE ADM FA DM DM AE c) Chứng minh CE.CF AD AE AC CE CB CEB ∽ CAF g g CE.CF CB.CA (1) CA CF ADB ACE ADB ∽ ACE g g Tứ giác BDEC nội tiếp Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ AB AD AD AE AB AC (2) AE AC Từ (1) (2) CE.CF AD AE AC AB BC AC Bài 31 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M , vẽ đường tròn đường kính MC cắt BC D cắt đường thẳng BM E , ( E khác M ) Đường thẳng AE cắt đường tròn S (S khác E) Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABDM nội tiếp b) MA.MC MB.ME c) MD MS B D A M O C E S a) Tứ giác ABDM nội tiếp 90 MDB 90 MDB MAB 180 tứ giác ABDM nội tiếp MDC b) chứng minh: MA.MC MB.ME 90 (góc nội tiếp chắn nửa MEC MAB ∽ MEC g g đường tròn) MA MB MA.MC ME.MB ME MC c) Chứng minh MD MS MCD Có MA.MC ME.MB MAE ∽ MBC c g c MEA MCS MCS MCD MS MD MD MS Tứ giác MESC nội tiếp MEA Bài 32: Cho đường tròn tâm O đường kính AB , nửa đường tròn O lấy hai điểm G E (theo thứ tự A, G , E , B ) cho tia EG cắt tia BA D Đường thẳng vng góc với BD D cắt BE C , đường thẳng CA cắt đường tròn O điểm thứ hai F a) Chứng minh tứ giác DFBC nội tiếp b) Chứng minh: BF BG DA DG.DE c) Chứng minh: BA BE.BC Giải Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ 900 BFC BDC 900 AFB 900 BFC a) Vì F O đường kính AB BDCF tứ giác nội tiếp b) Gọi P giao điểm CD BF Ta có A trực tâm CPB PA CB AEB góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Mà AE CB (vì P , A, E thẳng hàng D, E nhìn đoạn PB cố định góc 900 Tứ giác PDEB nội tiếp DBP sd PD DEP GBA sdGA Mà DEP GBA DBP AGB AFB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Lại có: AB cạnh chung AGB AFB (ch - gn) BG BF ADC 900 (GT) c) Ta có: 900 (chứng minh trên) CEA 1800 ADC CEA DAEC nội tiếp BE.BC BA.BD (vì BED ∽ BAC ) DA.BE.BC DA.BA.BD DA DA.DB BA BE BC Mà DA.DB DG.DE (vì DGB ∽ DAE ) DA DG.DE BA BE BC Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ Bài 33: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O ( AB BC AC ) Các đường cao AD, BE , CF cắt H a) Chứng minh tứ giác BFHD, DHEC nội tiếp b) Tia FD cắt đường tròn K ngoại tiếp tứ giác DHEC I Chứng minh IE∥AB c) Đường tròn K cắt đường tròn O điểm thứ hai M Chứng minh BF BA BI BM Giải BDH 900 BFH BDH 1800 a) Ta có BFH BFHD tứ giác nội tiếp HEC 900 HDC HEC 1800 Ta có HDC DHEC tứ giác nội tiếp DCE (cùng chắn DE ) b) Ta có FIE ADC 900 Mặt khác AFC AFDC (2 góc chắn cung) BFD ACD (góc ngồi tứ giác) FIE ACD mà góc vị trí so le IE∥AB AFC ADC 900 AFDC tứ giác nội tiếp (2 góc chắn cung) c) Ta có BFI ACB ACB AMB (góc nội tiếp) Mà BFI AMB BAM Tương tự BIF BFI ∽ BMA BF BM BI BA BF BA BM BI Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ Bài 34: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O Kẻ đường cao BB ' CC ' ( B ' thuộc cạnh AC , C ' thuộc cạnh AB ) Đường thẳng B ' C ' cắt đường tròn O hai điểm M N (theo thứ tự N , C ', B ', M ) a) Chứng minh tứ giác BC ' B ' C nội tiếp b) Chứng minh AM AN c) Chứng minh AM AC AB Giải ' C BB ' C 900 a) Ta có BC BC ' B ' C nội tiếp (2 góc chắn cung) AC ' B ' ACB b) Vì BC ' B ' C nội tiếp ' NAC ANC ' ACB NAB ANM ACB 1 1 1 NB AM AB AN NB 2 2 1 AM AN 2 AM AN c) Xét AMC ' ABM có: A chung AMC ' ABM ANM AMC ' ∽ ABM (g- g) AM AB AC ' AM AM AC ' AB Bài 35 Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC ) nội tiếp đường tròn O; R Các đường cao AD , BE , CF cắt H a).Chứng minh EH BD ED.HF b).Chứng minh OA EF Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ c).Đường thẳng EF cắt đường tròn O M N ( F nằm E M ) Chứng minh AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MDH d).Giả sử EF R Tính số đo BAC Lời giải A N x T F E H M O B D I C K a).Chứng minh EH BD ED.HF BFC 90 BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC Có BEC EBD sñEC 1 EFH HCD sñHD , mà FEB HCD sđEB Tương tự có CDH F nội tiếp HED 2 FEB 2 Suy HED Từ 1 suy EHF ∽ EDB EH H F EH ED HF BD ED DB Vậy EH ED HF BD b).Chứng minh OA EF Vẽ tiếp tuyến Ax tiếp xúc với đường tròn O A ACB AFE (do BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC ) Có xAB ACB sđ AB , xAB AFE , chúng lại có vị trí so le Ax // EF , mà Ax OA EF OA Vậy EF OA c).Đường thẳng EF cắt đường tròn O M N ( F nằm E M ) Chứng minh AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MDH BAM (góc chung), Có MAF AMF ABM (hai góc chắn hai cung nhau) AM AF Suy AM F ∽ ABM AM AB AF 3 AB AM Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ (góc chung) AFH ∽ ADB AFH ADB 90 , F AH DAB Ta có Từ AF AH AF AB AH AD AD AB 3 4 AM AH AD suy AM AD , có AH AM DAM MAH AMH ∽ ADM sñMH Suy AMH HDM Vậy AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MDH d).Giả sử EF R Tính số đo BAC Vẽ đường kính AK đường tròn O , gọi I trung điểm BC Có CH // KB (do vng góc AB ), BH // KC (do vng góc AC ) Suy BHCK hình bình hành Có I trung điểm đường chéo BC , nên I trung điểm HK Có O trung điểm AK Suy OI đường trung bình AKH , nên AH 2OI Có AEH AFH 90 AEH F nội tiếp đường tròn đường kính AH Hay AEF nội tiếp đường tròn đường kính AH Có ABC nội tiếp đường tròn đường kính AK EF AF AH Có AEF ∽ ACB g.g BC AH R , BC AB AK Mà AH 2OI , BC OB OI R OI Ta có phương trình: R OI 2OI R R OI OI R 4OI R OI R 2OI R OI R 45 OI BOI , có cos BOI OB 2 90 (do OI trung trực BC ) BOC BOC 45 Vậy BAC Bài 36 Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC ) nội tiếp đường tròn O; R , kẻ hai đường cao AD , BE cắt H a).Chứng minh CE.CA CD.CB CH vng góc AB F b).Gọi M trung điểm BC Chứng minh tứ giác EFMD nội tiếp c).Qua D vẽ đường thẳng song song với EF cắt AB R , cắt AC kéo dài Q Gọi P giao điểm hai đường thẳng EF BC Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR qua M 30 Tính diện tích tứ giác BCEF d).Giả sử diện tích tam giác ABC 1, BAC Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Q-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TỐN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ A F E H O R C P D M B Q Lời giải a).Chứng minh CE.CA CD.CB CH vng góc AB F BCA (góc chung), 90 ACD ∽ BCE ADC BEC Có ECD AC CD CA.CE CD.CB BC CE ABC có hai đường cao AD BE cắt H Suy H trực tâm ABC Suy CH AB F b).Gọi M trung điểm BC Chứng minh tứ giác EFMD nội tiếp BFC 90 BCEF BEC Có nội tiếp đường tròn đường kính BC FCB sñEB FEB BED sđHD Tương tự có CDHE nội tiếp đường tròn đường kính CH FCB FM BED FED , mà FEB FMB EFD B Suy FEB 2 Suy tứ giác EFMD nội tiếp (do có góc góc đối ngoài) c).Qua D vẽ đường thẳng song song với EF cắt AB R , cắt AC kéo dài Q Gọi P giao điểm hai đường thẳng EF BC Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR qua M PFB (đồng vị), Có QRB AFE ACB (do tứ giác BCEF nội tiếp) QFB QRB (do bù với hai góc nhau) Do QCB RDB (đối đỉnh) Mà CDQ Suy CDQ ∽ RDB CD DQ CD.DB RD.DQ 1 RD DB Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ , EB EC , nên EC tia phân giác PED Có EB tia phân giác FED CD BD ED DB.CP CD.BP CP BP EP DB.CP DB DP CD DB.DP DB.CD Có CD.BP CD DB DP CD.DB CD.DP DB.DP DB.CD CD.DB CD.DP DB.CD DB.DP CD.DP DB.CD DP DB CD , có DB CM DM , CD CD DM DB.CD 2.DP.DM DB.CD DP.DM Từ 1 suy RD.DQ DP.DM RD MD PDQ (đối đỉnh) , có RDB PD QD MRD RDP ∽ MDQ QPD PQMR nội tiếp (do có hai đỉnh kề nhìn cạnh đối diện qua hai góc nhau) 30 Tính diện tích tứ giác BCEF d).Giả sử diện tích tam giác ABC 1, BAC AE cos BAC , S ABC S ABC AB S AEF , có S BCEF S ABC S AEF 4 Vậy S BCEF Bài 37 Cho tam giác vuông cân ABD ( DA DB ) nội tiếp đường tròn O Dựng hình bình hành Có AEF ∽ ABC S AEF ABCD Gọi H chân đường vng góc kẻ từ D đến AC , K giao điểm AC với đường tròn O Chứng minh rằng: a).Tứ giác HBCD nội tiếp 2.BDH b) DOK c) CK CA 2.BD Lời giải C D K H A O B a).Tứ giác HBCD nội tiếp Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/ 90 HBCD nội tiếp đường tròn đường ADB 90 (cặp góc so le), DHC Có DBC kính CD 2.BDH b) DOK BCH sđBH ( HBCD nội tiếp đường tròn đường kính CD ) BDH DAK (so le) DAK DOK (góc nội tiếp góc tâm chắn cung) Mà BCH DOK 2.BDH c) CK CA 2.BD Có CD OD , OD bán kính O , nên CD tiếp xúc đường tròn O D Có ABD nên CD BD DAK sñDK , DCK ACD (góc chung) CDK ∽ CAD Có CDK CD CK CD CA.CK , mà CD BD CA.CK BD CA CD Vậy CA.CK BD Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính ... vào tam giác AJB vuông J đường cao JR suy : BK BC BR.BA BJ AK AD AR AB AJ Từ suy AK AD BK BC AJ BJ AB R const Vậy AK.AD + BK.BC không phụ thuộc vào hai điểm C D Bài. .. D a) Chứng minh rằng: Tứ giác BCKM nội tiếp; tích AK AM khơng phụ thuộc vào vị trí điểm K Danh sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức... sách tham gia dự án: Mai Văn Phương-Huy Võ–Nguyễn Đăng Trường –Phạm Thanh Nam-Tùng HTĐặng Đức Quý-Chi Diep-Sun Phạm-Trần Văn Tín- Hồng Nguyễn–Hải Dung-Nguyễn Trí Chính WORD TÀI LIỆU TOÁN THCS https://www.facebook.com/groups/wordtaileuToanTHCS/
Ngày đăng: 31/03/2020, 09:33
Xem thêm:
