LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà CHUYÊN ĐỀ 5: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN THEO THAM SỐ m a m x bm y cm am x bm y cm HPT bậc hai ẩn phụ thuộc tham số: Trong đó: am ; bm ; cm ; a’m ; b’m ; c’m hệ số phụ thuộc tham số m A BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI a m x bm y cm am x bm y cm Giải biện luận hệ phương trình : (I) 1 2 Bước 1: Rút ẩn mà hệ số khơng chứa m hai phương trình (VD rút y) y f ( m) x g ( m ) 1 Bước 2: Thay ẩn y vừa rút vào phương trình cịn lại để phương trình ẩn H (m) x K (m) 2 Lập luận: Nhận thấy (1’) có nghiệm y (2’) có nghiệm x => Hệ có (I) nghiệm, vơ số nghiệm hay vơ nghiệm PHỤ THUỘC vào (2’) có nghiệm x, vô số nghiệm x hay vô nghiệm * Xét phương trình (2): + Khi H(m) = m = mo ta có: - Nếu K(mo) = (2’) có vơ số nghiệm x => (1’) có vơ số nghiệm y tương ứng => Hệ có vơ số nghiệm (x, y) = (x, f (mo ) x g (mo ) ) - Nếu K(mo) ≠ (2’) vô nghiệm => (1’) vô nghiệm => Hệ vô nghiệm + Khi H(m) ≠ m ≠ mo ta có (2’) ln có nghiệm x = => (1’) có nghiệm y = f (m) K (m) H (m) K (m) g (m) H (m) => Hệ có nghiệm m ≠ mo Điều kiện tham số m để hệ có nghiệm nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm * Thường tốn tìm m để hệ có nghiệm, vơ nghiệm liên quan đến ý b), ý c) toán nên ta thường làm theo bước toán Giải biện luận hệ: LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà * Sau lập luận để tìm m theo u cầu tốn * Từ tìm ln nghiệm x, y theo m để làm ý Điều kiện tham số m để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho Bước 1: Tìm điều kiện m để hệ có nghiệm suy nghiệm x ; y hệ theo m Bước 2: Giải điều kiện tốn: * Hệ có nghiệm nguyên: Viết Viết x, y hệ dạng: n + k với n, k nguyên f (m) Tìm m nguyên để f(m) ước k * Hệ có nghiệm x, y dương (âm): Giải bất phương trình ẩn m => Tập giá trị m * Hệ có nghiệm x, y thỏa mãn hệ thức cho: Thay biểu thức nghiệm x , y vào hệ thức giải phương trình ẩn m => Giá trị m Bước 4: Giải điều kiện kết hợp với giá trị m để hệ có nghiệm => Kết luận giá trị m (tập giá trị m) thỏa mãn điều kiện Tìm m đề ba đường thẳng cho đồng quy - Xác định giao điểm đường thẳng (giao điểm đường thẳng khơng chứa m) - Thay giao điểm tìm vào đường thẳng cịn lại chứa m, giải phương trình tìm ẩn m Tìm m để hai đường thẳng cắt điểm thỏa mãn điều kiện cho: Bước 1: Xét hệ hai đường thẳng => Điều kiện để hai đường thẳng cắt điểm M điều kiện hệ có nghiệm Bước 2: Giải hệ hai đường thẳng, tìm nghiệm x, y theo m Bước 3: Giải điều kiện M Bước 4: Kết luận tập giá trị m thỏa mãn toán Tìm m để hai hệ phương trình tương đương Bước 1: Tìm điều kiện m để hệ cho có nghiệm Bước 2: Tìm nghiệm x ; y theo m hệ + Cho nghiệm x hệ nghiệm x hệ (1) + Cho nghiệm y hệ nghiệm y hệ (2) Giá trị m cần tìm thỏa mãn (1) , (2) điều kiện m LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Chứng tỏ nghiệm (x ; y) hệ nằm đường thẳng cố định Từ hệ, phương pháp thế, cộng trừ đại số tạo phương trình f(x,y) = khơng phụ thuộc vào m => Phương trình biểu thị mối liên hệ (x ; y) đường thẳng cố định cần tìm B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Giải biện luận hệ phương trình sau: mx y 2m x (m 1)y b) mx y m x y e) a) d) x 2y m mx 3y 5 c) ax y x ay ax y 4x ay f) (a 1)x y a x (a 1)y mx 2my m x (m 1)y g) x my m mx y m Bài 2: Tìm m để hệ phương trình sau: Vơ nghiệm ; Vô số nghiệm: (1) (2) mx y Tìm m để hệ có nghiệm nhất, vô nghiệm x my Bài 3: Cho hệ phương trình: x my mx y m Bài 4: Giải biện luận hệ phương trình sau: mx - y = -x + 2my = Bài 5: Cho hệ phương trình ( m tham số ) : a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm x y mx y Bài Cho hệ phương trình: 1 2 a) Giải hệ phương trình với m b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x, y x, y trái dấu c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x; y thỏa mãn x y mx y có nghiệm (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước: x my Bài 7: Định m để hệ phương trình 2x + y + 38 =3 m 4 LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Hướng dẫn - Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm nhất: m 8m y mx y (m 4) y 8m mx y m 4 - Hệ x my mx m y 8m x my x 9m 32 m2 - Thay x = 9m 32 8m ;y= vào hệ thức cho ta được: m 4 m 4 9m 32 8m 38 + + =3 m 4 m 4 m 4 18m – 64 +8m – + 38 = 3m2 – 12 3m2 – 26m + 23 = m1 = ; m2 = 23 (thỏa mãn điều kiện) 23 Vậy m = ; m = x y 5m x y Bài 8: Cho hệ phương trình: ( m tham số) a) Giải hệ phương trình với m = b)Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn : x2 - 2y2 = x y 3m Bài 9: Cho hệ phương trình 2 x y Tìm giá trị m để hệ có nghiệm x; y cho x2 y y 1 mx 2y 18 ( m tham số ) x - y 6 Bài 10 Cho hệ phương trình : a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x ;y) x = b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x ;y) thoả mãn 2x + y = x my mx y Bài 11: Cho hệ phương trình: a) Chứng tỏ hệ phương trình ln ln có nghiệm với m b) Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: x - 3y = 28 -3 m2 LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà mx y Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm 3x my Bài 12: Cho hệ phương trình: (x; y) thỏa mãn hệ thức x y m2 m2 3 x my 9 mx y 16 Bài 13: Cho hệ phương trình a) Chứng tỏ hệ phương trình ln ln có nghiệm với m b) Tìm giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV mặt phẳng tọa độ Oxy c) Với trị nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = x (m 1) y (m 1) x y m Bài 14: Cho hệ phương trình a) Giải hệ với m b) Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn điều kiện x > y 3 x y 2 x y m Bài 15: Cho hệ phương trình Tìm m nguyên cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < (m 1) x my 3m 2 x y m Bài 16: Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ) cho x y mx y m 2 x my 2m Bài 17: Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: Hướng dẫn mx y m 2 x my 2m Hệ 2mx y 2m (m 4)y 2m 3m 2 2mx m y 2m m 2x my 2m (m 4)y (m 2)(2m 1) 2x my 2m (1) (2) Hệ có nghiệm Phương trình (1) có nghiệm y m2 – ≠ m m 2 Vậy với m 2 hệ có nghiệm (x,y) là: LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà (m 2)(2m 1) 2m 2 y m2 m2 m 4 x m m2 m2 Để x, y số nguyên m + Ư(3) = 1;1;3;3 Vậy: m + = 1, => m = -1; -3; 1; -5 (m 1) x y m Bài 18: Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: 2 m x y m 2m 2m 1 x y 2m 2 m x y m 3m Bài 19: Cho hệ phương trình Trong m ∈ Z ; m ≠ - Xác định m để hệ phương trình có nghiệm ngun mx y 2m x my m Bài 20: Cho hệ phương trình a) Tìm m để hệ có nghiệm b) Tìm m để hệ có nghiệm nguyên c) Chứng tỏ điểm M(x ; y) (với (x ; y) nghiệm hệ cho) nằm đường thẳng cố định mx 2my m x (m 1) y Bài 21: Cho hệ phương trình a) Chứng tỏ hệ có nghiệm (x y) điểm điểm M(x ; y) ln nằm đường thẳng cố định b) Xác định m để điểm M thuộc góc phần tư thứ Gợi ý: Điểm M thuộc góc phần tư thứ x > y > c) Xác định m để điểm M thuộc đường trịn có tâm gốc tọa độ bán kính Gợi ý: Điểm thuộc đường trịn có tâm gốc tọa độ bán kính x2 + y2 = ( )2 Giải phương trình tìm m 2 x my mx y Bài 22: Cho hệ phương trình a) Chứng tỏ hệ có nghiệm (x y) điểm điểm M(x ; y) nằm đường thẳng cố định b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x, y) với x, y số nguyên LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà c) Xác định m để điểm M thuộc đường trịn có tâm gốc tọa độ bán kính mx y 10 m (m tham số) x my Bài 23: Cho hệ phương trình a) Xác định giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) cho x > 0, y > b) Với giá trị m hệ có nghiệm (x;y) với x, y số nguyên dương (m 1) x my 3m 2 x y m Bài 24: Cho hệ phương trình : a) Giải biện luận hệ phương trình theo m b) Với giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV hệ tọa độ Oxy c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho P = x + y2 đạt giá trị nhỏ 2y x m 1 Bài 25: Cho hệ phương trình: 2 x y m (1) a) Giải hệ phương trình (1) m =1 b) Tìm giá trị m để hệ phương trình (1) có nghiệm (x ; y) cho biểu thức P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ 2y x m 1 2 x y m (1) Bài 26: Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình (1) m =1 b) Tìm giá trị m để hệ phương trình (1) có nghiệm (x ; y) cho biểu thức P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ x y 2a Bài 27: Cho hệ phương trình: 2 x y a 2a Tìm giá trị a để hệ phương trình thỏa mãn tích x.y đạt giá trị nhỏ Bài 28: Tìm m để hai hệ phương trình sau tương đương 3x y a) Hệ (I) 2 x y 4 x y 2 x y a) Hệ (I) 3 x y Hệ (II) x y m 4 x y 3 x my Hệ (II) ... Bài 4: Giải biện luận hệ phương trình sau: mx - y = -x + 2my = Bài 5: Cho hệ phương trình ( m tham số ) : a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm x y... y mx y Bài Cho hệ phương trình: 1 2 a) Giải hệ phương trình với m b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x, y x, y trái dấu c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x; y ... Cho hệ phương trình 2 x y Tìm giá trị m để hệ có nghiệm x; y cho x2 y y 1 mx 2y 18 ( m tham số ) x - y 6 Bài 10 Cho hệ phương trình : a) Tìm m để hệ phương trình