CHUYÊN đề 12 hệ HAI PHƯƠNG TRÌNH THAM số

LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà CHUYÊN ĐỀ 5: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN THEO THAM SỐ m a m x  bm y  cm am x  bm y  cm HPT bậc hai ẩn phụ thuộc tham số:  Trong đó: am ; bm ; cm ; a’m ; b’m ; c’m hệ số phụ thuộc tham số m A BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI a m x  bm y  cm am x  bm y  cm Giải biện luận hệ phương trình : (I)  1  2 Bước 1: Rút ẩn mà hệ số khơng chứa m hai phương trình (VD rút y) y  f ( m) x  g ( m ) 1  Bước 2: Thay ẩn y vừa rút vào phương trình lại để phương trình ẩn H (m) x  K (m)  2 Lập luận: Nhận thấy (1’) có nghiệm y (2’) có nghiệm x => Hệ có (I) nghiệm, vơ số nghiệm hay vơ nghiệm PHỤ THUỘC vào (2’) có nghiệm x, vô số nghiệm x hay vô nghiệm * Xét phương trình (2): + Khi H(m) =  m = mo ta có: - Nếu K(mo) = (2’) có vơ số nghiệm x => (1’) có vơ số nghiệm y tương ứng => Hệ có vơ số nghiệm (x, y) = (x, f (mo ) x  g (mo ) ) - Nếu K(mo) ≠ (2’) vô nghiệm => (1’) vô nghiệm => Hệ vô nghiệm + Khi H(m) ≠  m ≠ mo ta có (2’) ln có nghiệm x = => (1’) có nghiệm y = f (m) K (m) H (m) K (m)  g (m) H (m) => Hệ có nghiệm m ≠ mo Điều kiện tham số m để hệ có nghiệm nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm * Thường tốn tìm m để hệ có nghiệm, vơ nghiệm liên quan đến ý b), ý c) toán nên ta thường làm theo bước toán Giải biện luận hệ: LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà * Sau lập luận để tìm m theo u cầu tốn * Từ tìm ln nghiệm x, y theo m để làm ý Điều kiện tham số m để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho Bước 1: Tìm điều kiện m để hệ có nghiệm suy nghiệm x ; y hệ theo m Bước 2: Giải điều kiện tốn: * Hệ có nghiệm nguyên: Viết Viết x, y hệ dạng: n + k với n, k nguyên f (m) Tìm m nguyên để f(m) ước k * Hệ có nghiệm x, y dương (âm): Giải bất phương trình ẩn m => Tập giá trị m * Hệ có nghiệm x, y thỏa mãn hệ thức cho: Thay biểu thức nghiệm x , y vào hệ thức giải phương trình ẩn m => Giá trị m Bước 4: Giải điều kiện kết hợp với giá trị m để hệ có nghiệm => Kết luận giá trị m (tập giá trị m) thỏa mãn điều kiện Tìm m đề ba đường thẳng cho đồng quy - Xác định giao điểm đường thẳng (giao điểm đường thẳng khơng chứa m) - Thay giao điểm tìm vào đường thẳng lại chứa m, giải phương trình tìm ẩn m Tìm m để hai đường thẳng cắt điểm thỏa mãn điều kiện cho: Bước 1: Xét hệ hai đường thẳng => Điều kiện để hai đường thẳng cắt điểm M điều kiện hệ có nghiệm Bước 2: Giải hệ hai đường thẳng, tìm nghiệm x, y theo m Bước 3: Giải điều kiện M Bước 4: Kết luận tập giá trị m thỏa mãn toán Tìm m để hai hệ phương trình tương đương Bước 1: Tìm điều kiện m để hệ cho có nghiệm Bước 2: Tìm nghiệm x ; y theo m hệ + Cho nghiệm x hệ nghiệm x hệ (1) + Cho nghiệm y hệ nghiệm y hệ (2)  Giá trị m cần tìm thỏa mãn (1) , (2) điều kiện m LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Chứng tỏ nghiệm (x ; y) hệ nằm đường thẳng cố định Từ hệ, phương pháp thế, cộng trừ đại số tạo phương trình f(x,y) = khơng phụ thuộc vào m => Phương trình biểu thị mối liên hệ (x ; y) đường thẳng cố định cần tìm B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Giải biện luận hệ phương trình sau: mx  y  2m  x  (m  1)y  b)  mx  y  m x  y  e)  a)  d)   x  2y  m  mx  3y  5 c)  ax  y  x  ay  ax  y  4x  ay  f)  (a  1)x  y  a  x  (a  1)y  mx  2my  m  x  (m  1)y  g)   x  my  m mx  y  m  Bài 2: Tìm m để hệ phương trình sau: Vơ nghiệm ; Vô số nghiệm:  (1) (2) mx  y  Tìm m để hệ có nghiệm nhất, vô nghiệm  x  my  Bài 3: Cho hệ phương trình:   x  my  mx  y  m  Bài 4: Giải biện luận hệ phương trình sau:  mx - y = -x + 2my = Bài 5: Cho hệ phương trình ( m tham số ) :  a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm x  y  mx  y  Bài Cho hệ phương trình:   1 2 a) Giải hệ phương trình với m  b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x, y  x, y trái dấu c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x; y  thỏa mãn x  y mx  y  có nghiệm (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước:  x  my  Bài 7: Định m để hệ phương trình  2x + y + 38 =3 m 4 LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Hướng dẫn - Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm nhất: m   8m   y  mx  y  (m  4) y  8m  mx  y   m 4 - Hệ      x  my  mx  m y  8m  x  my   x  9m  32  m2  - Thay x = 9m  32 8m  ;y= vào hệ thức cho ta được: m 4 m 4 9m  32 8m  38 + + =3 m 4 m 4 m 4  18m – 64 +8m – + 38 = 3m2 – 12  3m2 – 26m + 23 =  m1 = ; m2 = 23 (thỏa mãn điều kiện) 23 Vậy m = ; m =  x  y  5m  x  y  Bài 8: Cho hệ phương trình:  ( m tham số) a) Giải hệ phương trình với m = b)Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn : x2 - 2y2 =  x  y  3m  Bài 9: Cho hệ phương trình  2 x  y  Tìm giá trị m để hệ có nghiệm  x; y  cho x2  y   y 1 mx  2y  18 ( m tham số )  x - y  6 Bài 10 Cho hệ phương trình :  a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x ;y) x = b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x ;y) thoả mãn 2x + y =  x  my  mx  y  Bài 11: Cho hệ phương trình:  a) Chứng tỏ hệ phương trình ln ln có nghiệm với m b) Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: x - 3y = 28 -3 m2  LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà mx  y  Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm 3x  my  Bài 12: Cho hệ phương trình:  (x; y) thỏa mãn hệ thức x  y   m2 m2  3 x  my  9 mx  y  16 Bài 13: Cho hệ phương trình  a) Chứng tỏ hệ phương trình ln ln có nghiệm với m b) Tìm giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV mặt phẳng tọa độ Oxy c) Với trị nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y =  x  (m  1) y  (m  1) x  y  m  Bài 14: Cho hệ phương trình  a) Giải hệ với m  b) Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn điều kiện x > y 3 x  y  2 x  y  m Bài 15: Cho hệ phương trình  Tìm m nguyên cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < (m  1) x  my  3m  2 x  y  m  Bài 16: Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ) cho x  y  mx  y  m  2 x  my  2m  Bài 17: Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên:  Hướng dẫn mx  y  m   2 x  my  2m  Hệ   2mx  y  2m  (m  4)y  2m  3m     2 2mx  m y  2m  m 2x  my  2m  (m  4)y  (m  2)(2m  1)  2x  my  2m  (1) (2) Hệ có nghiệm  Phương trình (1) có nghiệm y  m2 – ≠  m   m  2 Vậy với m  2 hệ có nghiệm (x,y) là: LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà (m  2)(2m  1) 2m    2  y  m2 m2 m 4  x  m     m2 m2 Để x, y số nguyên m +  Ư(3) = 1;1;3;3 Vậy: m + =  1,  => m = -1; -3; 1; -5 (m  1) x  y  m  Bài 18: Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên:  2 m x  y  m  2m  2m  1 x  y  2m  2 m x  y  m  3m Bài 19: Cho hệ phương trình  Trong m ∈ Z ; m ≠ - Xác định m để hệ phương trình có nghiệm ngun mx  y  2m  x  my  m  Bài 20: Cho hệ phương trình  a) Tìm m để hệ có nghiệm b) Tìm m để hệ có nghiệm nguyên c) Chứng tỏ điểm M(x ; y) (với (x ; y) nghiệm hệ cho) nằm đường thẳng cố định mx  2my  m   x  (m  1) y  Bài 21: Cho hệ phương trình  a) Chứng tỏ hệ có nghiệm (x y) điểm điểm M(x ; y) ln nằm đường thẳng cố định b) Xác định m để điểm M thuộc góc phần tư thứ Gợi ý: Điểm M thuộc góc phần tư thứ  x > y > c) Xác định m để điểm M thuộc đường tròn có tâm gốc tọa độ bán kính Gợi ý: Điểm thuộc đường tròn có tâm gốc tọa độ bán kính  x2 + y2 = ( )2 Giải phương trình tìm m 2 x  my  mx  y  Bài 22: Cho hệ phương trình  a) Chứng tỏ hệ có nghiệm (x y) điểm điểm M(x ; y) nằm đường thẳng cố định b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x, y) với x, y số nguyên LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà c) Xác định m để điểm M thuộc đường tròn có tâm gốc tọa độ bán kính mx  y  10  m (m tham số)  x  my  Bài 23: Cho hệ phương trình  a) Xác định giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) cho x > 0, y > b) Với giá trị m hệ có nghiệm (x;y) với x, y số nguyên dương (m  1) x  my  3m  2 x  y  m  Bài 24: Cho hệ phương trình :  a) Giải biện luận hệ phương trình theo m b) Với giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV hệ tọa độ Oxy c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho P = x + y2 đạt giá trị nhỏ  2y  x  m 1 Bài 25: Cho hệ phương trình:  2 x  y  m  (1) a) Giải hệ phương trình (1) m =1 b) Tìm giá trị m để hệ phương trình (1) có nghiệm (x ; y) cho biểu thức P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ  2y  x  m 1 2 x  y  m  (1) Bài 26: Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình (1) m =1 b) Tìm giá trị m để hệ phương trình (1) có nghiệm (x ; y) cho biểu thức P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ  x  y  2a  Bài 27: Cho hệ phương trình:  2  x  y  a  2a  Tìm giá trị a để hệ phương trình thỏa mãn tích x.y đạt giá trị nhỏ Bài 28: Tìm m để hai hệ phương trình sau tương đương 3x  y  a) Hệ (I)  2 x  y  4 x  y  2 x  y  a) Hệ (I)  3 x  y   Hệ (II)   x  y  m 4 x  y  3 x  my  Hệ (II)  ... Bài 4: Giải biện luận hệ phương trình sau:  mx - y = -x + 2my = Bài 5: Cho hệ phương trình ( m tham số ) :  a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm x  y...  y  mx  y  Bài Cho hệ phương trình:   1 2 a) Giải hệ phương trình với m  b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x, y  x, y trái dấu c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x; y ... Cho hệ phương trình  2 x  y  Tìm giá trị m để hệ có nghiệm  x; y  cho x2  y   y 1 mx  2y  18 ( m tham số )  x - y  6 Bài 10 Cho hệ phương trình :  a) Tìm m để hệ phương trình