bài giảng TÍCH PHÂN kép

CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI §0: MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP §1: TÍCH PHÂN KÉP I Định nghĩa Cách tính II Đổi biến tích phân kép III Ứng dụng hình học tích phân kép §2: TÍCH PHÂN BỘI BA I Định nghĩa Cách tính II Đổi biến tích phân bội ba III Ứng dụng hình học tích phân bội ba CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0 Một số mặt bậc hai thường gặp I Mặt Ellipsoid: Phương trình: Cách gọi tên mặt: x y z2   1 a b c Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = 0, z = ta nhận giao tuyến mặt với mặt tọa độ làcác đường Ellipse Tức giao tuyến mặt S với mặt tọa độ mặt song song với mặt tọa độ ellipse ta gọi mặt S mặt Ellipsoid Cách vẽ hình Vẽ giao tuyến S với mặt tọa độ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0 Một số mặt bậc hai thường gặp Vẽ đường ellipse CuuDuongThanCong.com x2 a  y2  mặt phẳng nằm b ngang z = https://fb.com/tailieudientucntt §0 Một số mặt bậc hai thường gặp Vẽ thêm đường ellipse CuuDuongThanCong.com y2 b2  z2 mặt phẳng  x=0 c2 https://fb.com/tailieudientucntt §0 Một số mặt bậc hai thường gặp 2 x y z Vẽ mặt ellipsoid   1 a b c CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0 Một số mặt bậc hai thường gặp x2+z2=1, y=0 y2+z2=1,x=0 x2+y2=1,z=0 Có thể vẽ thêm đường ellipse x2 a  z2 c 1 mặt phẳng y = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0 Một số mặt bậc hai thường gặp II Mặt Paraboloid Elliptic: x2 Phương trình : a2 Cách gọi tên mặt: y2 b2 z Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = giao tuyến với mặt tọa độ đường Parabol cho z=c, c>0 ta đường lại đường Ellipse Tức giao tuyến với mặt tọa độ mặt song song với mặt tọa độ Parabol, giao tuyến lại Ellipse ta gọi mặt S Paraboloid Elliptic Vẽ hình CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ đường parabol y2 = z mặt phẳng x = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ đường ellipse x2+y2 = mặt phẳng z = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ mặt parabolid x2+y2 = z CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính Điều kiện khả tích : Định nghĩa đường cong trơn : Đường cong C có phương trình tham số y = y(t), x = x(t) gọi trơn đạo hàm x’(t), y’(t) liên tục không đồng thời Đường cong C gọi trơn khúc chia thành hữu hạn cung trơn Định lý: Hàm liên tục miền đóng, bị chặn có biên trơn khúc khả tích miền Tính chất : Cho f(x,y), g(x,y) hàm khả tích D S (D ) dxdy (S(D) diện tích miền D) D  [f ( x, y )  g ( x, y )]dxdy   f ( x, y )dxdy   g ( x, y )dxdy D CuuDuongThanCong.com D D https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính Tính chất  Cf ( x, y )dxdy  C  f ( x, y )dxdy D D Chia D thành miền không dẫm lên E, F  f ( x, y )dxdy   f ( x, y )dxdy   f ( x, y )dxdy D E F Nếu f(x,y)≤g(x,y) D thì:  f ( x, y )dxdy   g ( x, y )dxdy D D Trên D, hàm f(x,y) đạt fmax=M, fmin=m mS(D)   f ( x, y )dxdy  MS(D ) D CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính Định lý: (Về giá trị trung bình ) Cho hàm f(x,y) liên tục miền đóng, bị chặn, liên thơng D Khi D có điểm (x0,y0) cho :  f ( x, y )dxdy  f ( x0 , y )S(D ) D Đại lượng   gọi  f ( x, y )dxdy S (D ) D giá trị trung bình hàm f(x,y) miền D Ý nghĩa hình học tích phân kép : Với cách tính thể tích hình trụ cong ta có V   f ( x, y )dxdy D CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính Ví dụ : Cho vật thể giới hạn mặt bậc hai f(x,y) = 16 – x2 – 2y2, giới hạn hình vng D = [0,2]x[0,2] giới hạn xung quanh mặt phẳng x=0, x=2, y=0, y=2 Ước lượng thể tích vật thể trường hợp sau : a)Chia D thành phần nhau; b)Chia D thành 16 phần nhau; c) Chia D thành 64 phần nhau; d)Chia D thành 256 phần nhau; e)Tính thể tích vật thể CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính D2 D4 D1 D3 1 V  Vn =  f(Mi )譙 Di i=1 S Di 1,i 1, ,4 V  f (1,1)  f (1,2)  f (2,1)  f (2,2) V  13   10   34 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính b Chia thành 16 phần, V≈ 41,5 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính c Chia thành 64 phần, V≈44,875 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính d Chia thành 256 phần, V≈46,46875 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính Định lý Fubini: (Cách tính tích phân kép) Cho hàm f(x,y) liên tục miền đóng bị chặn D y=y2(x) y=y1(x) a b 1) Giả sử D xác định bởi: a  x  b   y1 ( x)  y  y2 ( x) CuuDuongThanCong.com b y2 (x) a y1 (x) I=  f(x,y)dxdy=  dx D  f(x,y)dy https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính d x=x1(y) c x=x2(y) 2) Giả sử D xác định bởi: c  y  d   x1 ( y )  x  x2 ( y ) CuuDuongThanCong.com d x (y) c x1 (y) I   f(x,y)dxdy=  dy D  f(x,y)dx https://fb.com/tailieudientucntt Giải câu e) 0  x   0  y  2  D  V=  16-x -2y dxdy Tính thể tích vật thể 2 2 0 2  =  dx  16-x -2y dy y  16  =  (16-x )y-2  dx =   32-2x - dx =48 3   0  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính Ví dụ : Tính tích phân I   xydxdy D D tam giác ABC với A(1,-1), B(1,3), C(4,0) Ta tích phân cách B(1,3) y=4-x Cách : Chiếu miền D xuống trục Ox ta đoạn [1,4] Đi theo trục Oy từ lên 1  x  1  ( x  4)  y  x - 4  x 4 C(4,0) A(1,-1) y=1/3(x-4)  x 4 4 dx   x( x  4)2 dx  ( x  4) 91 y I   dx  xydy   ( x ) 1 ( x  4) 1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính x=1 Cách : Chiếu miền D xuống trục Oy ta đoạn [-1,3] x=-y+4 B(1,3) Đi theo trục Ox từ trái sang khơng giống trên, ta gặp D1 đường BC AC Do C(4,0) D2 đó, ta chia miền D -1 A(1,-1) thành phần D1 D2 3y 4 y 4 1 1 I   dy  xydx   dy  xydx x 3y 4 x y 4   ( y )1 dy   ( y )1 dy 2 1 x=3y+4 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính Vídụ : Tính tích phân kép I   ( x  y )dxdy với D miền D y  x ; y   x giới hạn 2  x    x  y   x I    x  y  dxdy D 2 x 2 x   dx   x  y dy 2  x 2  y    xy    2  x dx 2 2  (2  x )  x    x((2  x )  x)  dx 2   CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính Ta cịn xác định cận tích phân mà khơng cần vẽ sau: Tìm giao điểm đường biên miền D: y = x = 2-x2 x2+x-2 = x = -2, x = Vậy ta có -2 ≤ x ≤ 1, tức ta lấy khoảng nghiệm tam thức f(x) = x2+x-2 nên ta có bất đẳng thức: x ≤ 2-x2 x2+x-2 ≤ Tức là, với x nằm khoảng (-2,1) đường thẳng y=x nằm đường parabol y = 2-x2 Vậy ta 2 x I   dx   x  y dy 2 CuuDuongThanCong.com x https://fb.com/tailieudientucntt ... Tích phân kép – Định nghĩa cách tính Khi đó, vật thể ban đầu tích xấp xỉ với tổng thể tích hình hộp chữ nhật nhỏ xếp liên tiếp CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân. .. S gọi tích phân kép hàm f(x,y) miền D kí hiệu  f ( x, y )ds D Tức  f ( x, y )ds  D lim n  f ( xk , y k )Sk max( d ( Dk ))0 k 1 Hàm f(x,y) gọi hàm dấu tích phân, D miền lấy tích phân, ... miền D Ý nghĩa hình học tích phân kép : Với cách tính thể tích hình trụ cong ta có V   f ( x, y )dxdy D CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách