: TÍCH PHÂN KÉP I. Định nghĩa và Cách tính II. Đổi biến trong tích phân kép III. Ứng dụng của tích phân kép §2: TÍCH PHÂN BỘI BA I. Định nghĩa và Cách tính II. Đổi biến trong tích phân bội ba III. Ứng dụng của tích phân bội ba : TÍCH PHÂN KÉP I. Định nghĩa và Cách tính II. Đổi biến trong tích phân kép III. Ứng dụng của tích phân kép §2: TÍCH PHÂN BỘI BA I. Định nghĩa và Cách tính II. Đổi biến trong tích phân bội ba III. Ứng dụng của tích phân bội ba : TÍCH PHÂN KÉP I. Định nghĩa và Cách tính II. Đổi biến trong tích phân kép III. Ứng dụng của tích phân kép §2: TÍCH PHÂN BỘI BA I. Định nghĩa và Cách tính II. Đổi biến trong tích phân bội ba III. Ứng dụng của tích phân bội ba
Trang 1CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI
§0: MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
§1: TÍCH PHÂN KÉP
I Định nghĩa và Cách tính
II Đổi biến trong tích phân kép
III Ứng dụng của tích phân kép
§2: TÍCH PHÂN BỘI BA
I Định nghĩa và Cách tính
II Đổi biến trong tích phân bội ba
III Ứng dụng của tích phân bội ba
Trang 2Vẽ 3 giao tuyến của S với 3 mặt tọa độ
Nếu cả 3 giao tuyến của 1 mặt cong S với 3 mặt tọa
độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ đều
là ellipse thì ta sẽ gọi mặt S là mặt Ellipsoid
Trang 8cho z=c ta được đường còn lại là 1 đường Hyperbol
Nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc
các mặt song song với các mặt tọa độ là 2 Parabol,
giao tuyến còn lại là 1 Hyperbol thì ta gọi mặt S là
Trang 9§0 Một số mặt bậc hai thường gặp
Vẽ parabol
trên mp y=0
2 2
y
z b
Trang 10TH1: Nếu vế phải bằng +1 thì giao tuyến là ellipse
TH 2: Nếu vế phải bằng -1 thì khi
mới có giao tuyến là ellipse
| |z c
Trang 11§0 Một số mặt bậc hai thường gặp
VP là 1: 2 giao tuyến
với x=0, y=0
VP là - 1: 2 giao tuyến với x=0, y=0
Trang 12Nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ là 2
Hyperbol, giao tuyến còn lại là 1 Ellipse thì ta gọi mặt S là Hyperboloid Elliptic
§0 Một số mặt bậc hai thường gặp
Căn cứ vào hình dạng của 2 mặt Hyperboloid
Elliptic trên mà ta gọi tên 2 mặt là:
Trang 13Các đường thẳng đó gọi là các đường sinh của mặt trụ, đường cong cố định gọi là đường chuẩn của mặt trụ
Trang 14Ta sẽ chỉ gặp các mặt trụ có đường sinh song song
với 1 trong 3 trục tọa độ
§0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
Mặt trụ song song với trục nào thì phương trình mặt
sẽ thiếu biến đó,
còn phương trình bậc 2 chứa 2 biến còn lại là phương trình đường chuẩn của mặt trụ trong mặt tọa độ tương ứng và ta gọi tên mặt trụ theo tên của đường chuẩn
Trang 15Phương trình không chứa z nên nó biểu diễn mặt trụ
đường sinh song song với trục Oz,
đường chuẩn là đường tròn x2+y2=1 trong mặt phẳng z = 0
Ta gọi đây là mặt trụ tròn
xoay theo tên của đường
chuẩn
Trang 16§0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
Trong MatLab, để vẽ trụ tròn xoay có thể dùng lệnh
cylinder
Trang 17sinh song song với trục
Oy, tựa lên đường
chuẩn là parabol z=x 2
ở trên
đường chuẩn là parabol z=x2trên mặt phẳng y=0 nên ta gọi đây là mặt trụ parabol
Trang 18§0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
IV Mặt nón bậc 2 :
Mặt nón bậc 2 là mặt tạo bởi các đường thẳng đi qua
1 điểm cố định và tựa lên 1 đường cong bậc 2 cố định
của mặt nón và điểm cố định gọi là đỉnh của nón
Trang 22§0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
0 1 2
-2 -1.5 -1
-0.5 0
0.5 1
1.5 2
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Trang 230.2 0.4 0.6 0.8 1
>> [r p]=meshgrid(linspace(0,1,20),linspace(0,2*pi,20));
>> mesh(r.*cos(p),r.*sin(p),r.^2)
Trang 25§0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
-1 -0.5 0 0.5
1 -1
0 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
>> theta=linspace(0,pi,20);
>> phi=linspace(0,2*pi,20);
>> [t p]=meshgrid(theta,phi);
>> mesh(sin(t).*cos(p),sin(t).*sin(p),1+cos(t))
Trang 26Suy ra mặt đã cho là mặt Trụ Hyperbol
Trang 27-1 0
1 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-3 -2 -1 0 1 2
Trang 281 2 trong 3 giao tuyến là 2 cặp đt, giao tuyến thứ 3
là ellipse nên ta có mặt nón ellipse
2 2 trong 3 giao tuyến là 2 parabol, giao tuyến thứ
3 là ellipse nên ta có mặt Paraboloid elliptic
3 2 trong 3 giao tuyến là 2 đt
Đặt x=u+v, y=u-v thì ta đƣợc pt u2-v2=z2
Cho z=c, ta đƣợc pt của hyperbol Vậy đây là pt
mặt nón hyperbol
Trang 31§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính
Chia miền D thành n phần tùy ý Dij bởi các đường thẳng song song với 2 trục Ox, Oy Tại mỗi miền Dijlấy 1 điểm M(xi,yj) tùy ý
Dij
yj
xi M(xi,yj)
Trang 33
§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính
Cho số các phần chia tăng lên, tổng thể tích các hình hộp nhỏ tính đƣợc so với thể tích hình trụ cong cần tính càng chính xác
Trang 34§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính
Ta cho , nếu tổng có giới hạn hữu hạn thì giới hạn đó đƣợc gọi là thể tích hình trụ cong cần tính
n
Trang 35
Chia miền D thành n phần không dẫm lên nhau là D1,
D2, D3, …(các phần không có phần chung) tương ứng
có diện tích là ΔS1, ΔS2, ΔS3, …
Trên mỗi miền Dk ta lấy 1 điểm Mk(xk,yk) tùy ý.
Lập tổng (gọi là tổng tích phân kép của hàm f(x,y))
Hiển nhiên tổng trên phụ thuộc vào cách chia
miền D và cách lấy điểm Mk
Định nghĩa tích phân kép : Cho hàm f(x,y) xác định
trong miền đóng, bị chặn D
§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính
Trang 36
Cho n→∞ sao cho max{d(D)} →0 (d(D) là kí hiệu đường kính của miền D tức là khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm bất kỳ thuộc D)
Nếu khi ấy tổng Sn tiến đến giới hạn hữu hạn S mà không phụ thuộc vào cách chia miền D cũng như cách lấy điểm Mk thì giới hạn S được gọi là tích phân kép của hàm f(x,y) trên miền D và kí hiệu là
Tức là
Trang 37
Chú ý : Nếu f(x,y) khả tích trên D thì ta có thể chia D bởi các đường thẳng song song với các trục tọa độ Lúc đó
Dij sẽ là hình chữ nhật với các cạnh là Δxi, Δyj nên
ΔSij = Δxi Δyj và ds được thay bởi dxdy Vì vậy, ta thường dùng kí hiệu
Trang 38Điều kiện khả tích :
Định nghĩa đường cong trơn : Đường cong C có phương trình tham số y = y(t), x = x(t) được gọi là trơn nếu các đạo hàm x’(t), y’(t) liên tục và không đồng thời bằng 0 Đường cong C được gọi là trơn từng khúc nếu có thể chia nó thành hữu hạn các cung trơn
Định lý : Hàm liên tục trên 1 miền đóng, bị chặn và có biên trơn từng khúc thì khả tích trên miền đó
Trang 40Định lý: (Về giá trị trung bình )
Ý nghĩa hình học của tích phân kép :
Với cách tính thể tích hình trụ cong ở trên ta có
S D
Cho hàm f(x,y) liên tục trong miền đóng, bị chặn, liên thông D Khi ấy trong D có ít nhất 1 điểm (x0,y0) sao cho : ( , ) ( 0, 0) ( )
D
§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính
Trang 41Ví dụ : Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc
hai f(x,y) = 16 – x2 – 2y2, giới hạn dưới bởi hình
vuông D = [0,2]x[0,2] và giới hạn xung quanh bởi
4 mặt phẳng x=0, x=2, y=0, y=2 Ước lượng thể
tích của vật thể trong các trường hợp sau :
Trang 43§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính
b Chia thành 16 phần, V≈ 41,5
Trang 44§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính
c Chia thành 64 phần, V≈44,875
Trang 45§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính
d Chia thành 256 phần, V≈46,46875
Trang 46Định lý Fubini: (Cách tính tích phân kép) Cho hàm f(x,y)
liên tục trên miền đóng và bị chặn D
y=y 1 (x) y=y 2 (x)
Trang 48
2
2 2 0
2 0
Trang 49Ta đi tích phân này bằng 2 cách
Cách 1 : Chiếu miền D xuống trục
Ox ta được đoạn [1,4]
Đi theo trục Oy từ dưới lên
4 2
1 ( 4) 3
y= 1 / 3 (x-4)
y=4-x
4
2 1
4
Trang 502 2
1 2
Trang 51Tức là, với x nằm trong khoảng (-2,1) thì đường
thẳng y=x nằm dưới đường parabol y = 2-x 2 Vậy ta
Trang 53Ta còn có thể tính tích phân này bằng cách tính tích phân trên hình vuông lớn trừ tích phân trên hình
Trang 55Nếu chỉ nhìn vào miền lấy tích
phân này thì ta chiếu D xuống
trục nào cũng như nhau
§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính
Tuy nhiên, hàm dưới dấu tích
phân sẽ buộc ta phải chiếu D
Trang 56Chiếu miền D vừa vẽ xuống
Trang 57cos sin
Khi đó, mối liên hệ giữa x, y và r, φ là
§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực
Trang 58Ví dụ: Đổi các phương trình sau sang tọa độ cực
Đổi sang tọa độ cực mở rộng bằng cách đặt :
r
↔
↔ r = 2acosφ
Trang 59Công thức đổi biến sang tọa độ cực
§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực
( , ) D(r, )
r r
D x y J
Trang 60§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực
Trang 61§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực
2cos 2
Nếu chỉ gặp 1 đường như trong ví dụ này thì cận
dưới ta sẽ lấy là 0, cận trên là pt đường tròn sau khi
đổ sang tọa độ cực: r = 2cosφ
2
3
Trang 62§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực
Đi từ trong gốc tọa độ ra chỉ
Trang 63§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực
Trong đó D giới hạn bởi
Trang 64Trong đó D giới hạn bởi :
§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực
2cos 3
Trang 65Ví dụ : Tính tích phân
(x 2) y 1,0 y D
Do vậy, ta đi tính tích phân
này bằng cách dời trục tọa
độ để tâm hình tròn là
(0,0), sau đó mới đổi sang
tọa độ cực
Trang 66Thực hiện 2 việc trên
bằng 1 phép đổi biến
sang tọa độ cực mở
rộng nhƣ sau:
§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực
Khi đó, hệ trục tọa độ mới sẽ có gốc trùng với tâm
J r
y r
Đặt :
Trang 670 2
Trang 682 Thể tích vật thể Ω giới hạn trên bởi mặt
giới hạn dưới bởi mặt S z f x y2 : 2( , )
và giới hạn xung quanh bởi mặt trụ song song với trục
Oz có đường chuẩn là biên miền D được tính bởi:
Trang 69Ví dụ 1: Tính diện tích miền phẳng D giới hạn bởi
Tức là chiếu miền D xuống trục Oy được đoạn [-2,3]
Khi -2 ≤ y ≤ 3, suy ngược lại phương trình (1)
Trang 70§1: Tích phân kép – Ứng dụng
Ví dụ 2: Tính diện tích phần mặt phẳng nằm ngoài đường tròn r = 1 và trong đường tròn 2 cos
Vậy :
3 6
1 6
( )
3 3( )
18
S D
Trang 72Với bất đẳng thức hình tròn, ta thay ngƣợc lên
Trang 75Ta sẽ tìm hình chiếu của V xuống mặt phẳng Oxy dựa trên các pt không chứa z tức là các hình trụ có đường sinh song song với trục Oz
Trang 76File: VD5_tpkep3.m
Trang 77chiếu của V xuống mp
Oxy là Dxy: ΔABC
B
Trang 784 0
Trang 79§1: Tích phân kép – Ứng dụng
y=0
3/2x+y=4
3x+y=4 z=1/2x2+1/4y2
Trang 80Ví dụ 7 : Tính thể tích vật thể giới hạn bởi : y = 0, z = 0,
z = a – x - y, 3x + y = a, 3/2x + y = a
Trong 5 pt đã cho có 3 pt
không chứa z tương ứng
với 3 mp cùng song song
Trang 813
a y a
a y
Suy ra hàm dưới dấu tích phân là f(x,y) = a-x-y
tức là trong miền D ta có bất đẳng thức 0 ≤ a-x-y.
Trang 82§1: Tích phân kép – Ứng dụng
Ta xoay trục Oy thẳng đứng, ta
sẽ thấy vật thể chính là hình chóp tứ giác, thể tích bằng 1/3 chiều cao nhân diện tích đáy
y=0
3/2x+y=4
3x+y=4
z=4-x-y
Trang 83Vì vậy, ta sẽ tìm thêm giao
tuyến của các mặt còn lại với
mặt z=0
, 3
không đủ cho ta miền đóng D
Thay z = 0 vào phương trình paraboloid: z=1-x 2 -y 2
ta được x2+y2 =1,
tức là giao tuyến của mặt
paraboloid với mặt Oxy là đường tròn
Trang 84§1: Tích phân kép – Ứng dụng
1 phần đường tròn đó sẽ “ĐẬY KÍN” phần còn mở giữa 2 đường thẳng trên
Trang 850 4
(1 )
Trang 86Hai pt không chứa x cho ta 2 mặt trụ cùng song song với trục Ox là 2 2 2 2
Trang 87§1: Tích phân kép – Ứng dụng
Trang 88C Diện tích mặt cong : Diện tích phần mặt cong S có phương trình z = f(x,y) và có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là miền D được tính bởi
Để tính diện tích 1 phần mặt cong thì trước tiên ta phải xác định được hình chiếu D của phần mặt cong cần tính diện tích xuống 1 trong 3 mặt tọa độ Oxy, Oyz, Ozx
Sau đó, ta phải viết lại pt mặt bằng cách viết 1 biến theo 2 biến còn lại tuỳ vào việc ta tìm hình chiếu xuống mp toạ độ nào
Trang 89Ví dụ 10 : Tính diện tích phần mặt S : x2+y2+z2 = 4nằm phía trên mặt nón 2 2
Trang 90Vì mặt S nằm phía trên mặt nón tức là z ≥ 0 nên ta lấy
y z
Trang 912 mặt phẳng cắt mặt cầu S đều song song với trục Ox (pt không chứa x) nên ta sẽ tìm hình chiếu của S
Do đó, ta sẽ phải lấy thêm hình
chiếu của mặt cầu xuống mặt
x
x
D
Trang 92rồi nhân đôi
Ta viết lại phương trình mặt S theo y, z: x=f(y,z) và x ≥ 0
Miền D trên mp x=0 x 2 +y 2 +z 2 =2
Trang 93z x
2 0
4
1 2
Trang 94Ví dụ 12: Tính diện tích phần mặt trụ S: x2+y2=4 nằm phía trong mặt trụ R: x2+z2 = 4
Trang 95x z
x y
x y
4 0
z
2 0
4
D
x
Trang 964 mặt phẳng x-y = 1, x+y = 1, x-y = -1, x+y = -1 cùng
song song với trục Oz, tạo trong không gian 1 hình trụ kín có hình chiếu xuống mặt Oxy là hình vuông ABCD Mặt nón nhận mặt phẳng
Oxy là mặt đối xứng nên
Trang 97y z
1 z x z y 2
Vậy S 2.2 2
Trang 98§1: Tích phân kép – Ứng dụng
-y+x=1 y+x=1
y-x=1 y+x=-1
z2=x2+y2, z≥0
Trang 102b Moment quán tính của mảnh phẳng
Mảnh phẳng D trong mặt phẳng Oxy có khối lƣợng riêng tại điểm (x,y) là f(x,y)
Trang 103y D
D
xf x y dxdy M
x D
D
yf x y dxdy M
y
M f x y dxdy
Trang 104§1: Tích phân kép – Ứng dụng
Ví dụ: Cho mảnh phẳng D giới hạn bởi y=x2, y=2-x
và khối luợng riêng f(x,y)=2x-y Tính khối lƣợng, các moment quán tính, moment tĩnh và trọng tâm
(2 )
x x
x y
x
63
10
Trang 105x x
(2 )
x y
x
Trang 109§1: Tích phân kép – Bài tập
IV Tính thể tích vật thể:
2 2 1
2 2 2 2 2
3
2 4
Trang 110§1: Tích phân kép – Ứng dụng
z2=x2+y2
y=x2
x=y2
Trang 111Ví dụ 2 : Tính diện tích miền nằm ngoài đường
r = 2cosφ và phía trong đường r = 2(1+cosφ)
D1 D2
3 2(1 cos ) 2(1 cos )