: TÍCH PHÂN KÉP I. Định nghĩa và Cách tính II. Đổi biến trong tích phân kép III. Ứng dụng của tích phân kép §2: TÍCH PHÂN BỘI BA I. Định nghĩa và Cách tính II. Đổi biến trong tích phân bội ba III. Ứng dụng của tích phân bội ba : TÍCH PHÂN KÉP I. Định nghĩa và Cách tính II. Đổi biến trong tích phân kép III. Ứng dụng của tích phân kép §2: TÍCH PHÂN BỘI BA I. Định nghĩa và Cách tính II. Đổi biến trong tích phân bội ba III. Ứng dụng của tích phân bội ba : TÍCH PHÂN KÉP I. Định nghĩa và Cách tính II. Đổi biến trong tích phân kép III. Ứng dụng của tích phân kép §2: TÍCH PHÂN BỘI BA I. Định nghĩa và Cách tính II. Đổi biến trong tích phân bội ba III. Ứng dụng của tích phân bội ba
CHƢƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI §0: MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƢỜNG GẶP §1: TÍCH PHÂN KÉP I Định nghĩa Cách tính II Đổi biến tích phân kép III Ứng dụng tích phân kép §2: TÍCH PHÂN BỘI BA I Định nghĩa Cách tính II Đổi biến tích phân bội ba III Ứng dụng tích phân bội ba §0 Một số mặt bậc hai thƣờng gặp I Mặt Ellipsoid: Phƣơng trình: Cách gọi tên mặt: x y z2 1 a b c Với phƣơng trình trên, ta cho x = 0, y = 0, z = ta nhận đƣợc giao tuyến mặt với mặt tọa độ đƣờng Ellipse Nếu giao tuyến mặt cong S với mặt tọa độ mặt song song với mặt tọa độ ellipse ta gọi mặt S mặt Ellipsoid Cách vẽ hình Vẽ giao tuyến S với mặt tọa độ §0 Một số mặt bậc hai thƣờng gặp Vẽ đƣờng ellipse x2 y 1 a b mặt phẳng z=0 Vẽ đƣờng ellipse y z2 1 b c mặt phẳng x=0 Vẽ mặt ellipsoid x y z2 1 a b c §0 Một số mặt bậc hai thƣờng gặp x2+z2=1, y=0 y2+z2=1,x=0 x2+y2=1,z=0 Trong MatLab, để vẽ ellipsoid trên, ta dùng lệnh ellipsoid(x,y,z,a,b,c) §0 Một số mặt bậc hai thƣờng gặp II Mặt Paraboloid Elliptic: x2 Phƣơng trình : a2 Cách gọi tên mặt: y2 b2 z Với phƣơng trình trên, ta cho x = 0, y = đƣợc giao tuyến với mặt tọa độ đường Parabol cho z=c, c>0 ta đƣợc đƣờng lại đường Ellipse Nếu giao tuyến với mặt tọa độ mặt song song với mặt tọa độ Parabol, giao tuyến lại Ellipse ta gọi mặt S Paraboloid Elliptic §0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƢỜNG GẶP Vẽ hình Vẽ đƣờng parabol y2 = z mặt phẳng x=0 Vẽ đƣờng ellipse x2+y2 = mặt phẳng z = Vẽ mặt parabolid z = x2+y2 §0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƢỜNG GẶP z=x2, y=0 z=y2, x=0 x2+y2=1,z=1 Vẽ thêm đƣờng parabol x2 = z mặt phẳng y = §0 Một số mặt bậc hai thƣờng gặp III Mặt Paraboloid Hyperbolic (Mặt Yên ngựa): 2 x y Phƣơng trình : z 2 a b Cách gọi tên mặt: Với phƣơng trình trên, ta cho x = 0, y = đƣợc giao tuyến với mặt tọa độ đường Parabol cho z=c ta đƣợc đƣờng lại đường Hyperbol Nếu giao tuyến với mặt tọa độ mặt song song với mặt tọa độ Parabol, giao tuyến lại Hyperbol ta gọi mặt S Paraboloid Hyperbolic §0 Một số mặt bậc hai thƣờng gặp x Vẽ parabol mp y=0 a z Vẽ parabol mp x=0 y2 b2 z §0 Một số mặt bậc hai thƣờng gặp IV Mặt Hyperboloid Elliptic: x2 y z2 Phƣơng trình : 2 a b c Cách gọi tên mặt: Với phƣơng trình trên, ta cho x = 0, y = đƣợc giao tuyến với mặt tọa độ đường Hyperbol Khi cho z=0: có trƣờng hợp TH1: Nếu vế phải +1 giao tuyến ellipse TH 2: Nếu vế phải -1 | z | c có giao tuyến ellipse §1: Tích phân kép – Ứng dụng z x2 y x zx 2 x y y z 2 y x y zx zy Khi đó, hàm dƣới dấu tích phân số nên tích phân cần tính diện tích miền lấy tích phân nhân với số Vậy S 2.2 §1: Tích phân kép – Ứng dụng y+x=-1 z2=x2+y2, z≥0 -y+x=1 y+x=1 y-x=1 §1: Tích phân kép – Ứng dụng Ví dụ 13 : Cho vật thể Ω giới hạn y=x2, x=y2, z=0, z=y2 Tính Diện tích phần mặt phẳng z=0 nằm Ω Thể tích Ω Diện tích phần mặt trụ z = y2 nằm Ω Trong mặt tạo thành Ω, có mặt song song với trục Oz y=x2 x=y2 Từ ta đƣợc hình chiếu Ω xuống mặt z = miền D D §1: Tích phân kép – Ứng dụng Diện tích miền D S (D ) dxdy D x dx dy x2 Thể tích Ω : Hiển nhiên y2 ≥ nên f(x,y)=y2 V( ) f ( x, y )dxdy x y 2dy dx D x2 Diện tích mặt cong có phƣơng trình z=y2 zx zy 2y zx zy 4y §1: Tích phân kép – Ứng dụng Vậy diện tích mặt cong cần tính S x 4y 2dy dx x2 z=y2 y=x2 x=y2 §1: Tích phân kép – Ứng dụng Ứng dụng học Mảnh phẳng D mặt phẳng Oxy có khối lƣợng riêng điểm (x,y) f(x,y) a Khối lượng mảnh phẳng M f ( x, y )dxdy D b Moment quán tính mảnh phẳng Với trục Ox I x y 2f ( x, y )dxdy Với trục Oy Iy x 2f ( x, y )dxdy Với gốc tọa độ O IO ( x y )f ( x, y )dxdy Với đt L, r(x,y) khỏang cách từ điểm (x,y) đến L IL r ( x, y )f ( x, y )dxdy D D D D §1: Tích phân kép – Ứng dụng c Moment tĩnh mảnh phẳng Với trục Ox Mx yf ( x, y )dxdy D Với trục Oy My xf ( x, y )dxdy D d Trọng tâm (x0,y0) mảnh phẳng xf ( x, y )dxdy My D x0 M f ( x, y )dxdy yf ( x, y )dxdy Mx D y0 M f ( x, y )dxdy D D §1: Tích phân kép – Ứng dụng Ví dụ: Cho mảnh phẳng D giới hạn y=x2, y=2-x khối luợng riêng f(x,y)=2x-y Tính khối lƣợng, moment quán tính, moment tĩnh trọng tâm Ta có : x2 = 2-x x2+x-2=0 x=1, x=-2 Suy D giới hạn bởi: x 1, x2 y x Vậy: 2 x 63 M dx (2x y )dy Khối lƣợng D 2 10 x2 Moment tĩnh 2 x 2 x2 Mx dx y (2x y )dy 2 x 2 x2 My dx x(2x y )dy §1: Tích phân kép – Ứng dụng Trọng tâm (x0,y0) : Moment quán tính : My Mx x0 , y0 M M 2 x 2 x2 2 x 2 x2 I x dx y (2x y )dy Iy dx x (2x y )dy §1: Tích phân kép – Bài tập I Tính tích phân hàm f(x,y) miền D f ( x, y ) x y, D : y x x 1, y 5x f ( x, y ) y, D : y e x 1, y e3 , x 1 f ( x, y ) y x, D : x y x, x y y 2 f ( x, y ) , D : y x y y,0 x 3y x2 y2 f ( x, y ) , D : x y e2 , x y x x y ln x y §1: Tích phân kép – Bài tập f ( x, y) e x2 y , D : x y 4, x f ( x, y) x2 y , D : x y 12 x, x f ( x, y) x 3, D : y 0, y x, x y f x, y x, D : y e2 x , y e x 2, x 10 f x, y y 2, D : x y y,2 y x , y 2(phÇn x 0) II Đổi thứ tự lấy tích phân: 1 1 y x I1 dy x 2 x f ( x, y )dx; I dx f ( x, y )dy §1: Tích phân kép – Bài tập III Tính diện tích miền D: 1.D1 : x y x, x y y 2.D2 : y x 1, y x 3.D3 : xy 4, x y §1: Tích phân kép – Bài tập IV Tính thể tích vật thể: V1 : z x y , z x V2 : z 0, z x y , x y V3 : x y 1, x y z V4 : z 0, y x , z y V5 : x y z 2, y 0, z 0,2 x y §1: Tích phân kép – Ứng dụng z2=x2+y2 y=x2 x=y2 §1: Tích phân kép – Ứng dụng Ví dụ : Tính diện tích miền nằm ngồi đƣờng r = 2cosφ phía đƣờng r = 2(1+cosφ) D2 S(D) d 2(1cos ) 2cos D1 3 rdr d 2(1cos ) rdr ... ta đƣợc pt u2-v2=z2 Cho z=c, ta đƣợc pt hyperbol Vậy pt mặt nón hyperbol §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính Bài tốn đặt ra: Cho khơng gian chiều hình trụ cong giới hạn mặt cong S có phƣơng... biên miền D mặt phẳng Oxy, giới hạn dƣới mp z=0 Sau đây, ta vẽ hình D hình chữ nhật D §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính M(xi,yj) Dij yj xi Chia miền D thành n phần tùy ý Dij đƣờng thẳng