(Luận văn thạc sĩ) về bài toán tham số hóa đường cong đại số luận văn ths toán học 60 46 05

u ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ ĐĂNG TỒN VỀ BÀI TỐN THAM SỐ HỐ ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ ĐĂNG TỒN VỀ BÀI TỐN THAM SỐ HỐ ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phó Đức Tài Hà Nội – 2012 Lời nói đầu Bài tốn tham số hóa siêu mặt đại số, đặc biệt đường cong đại số mặt đại số chủ đề thú vị Hình học đại số Hơn nữa, vấn đề có nhiều ứng dụng thiết thực lĩnh vực thiết kế đồ họa máy tính Vì vậy, trở thành đối tượng nghiên cứu nhiều nhà toán học tin học Năm 2008, J R Sendra cộng cho đời sách có tựa đề "Rational Algebraic Curvers" Đây số sách đề cập tốn tham số hóa Nội dung sách nhằm tìm phép tham số hóa hữu tỉ đường cong đại số cho trước phép tham số hóa tồn tìm phép tham số hóa tốt đồng thời phân loại phép tham số hóa Như vậy, câu hỏi tự nhiên là, đường cong cho phép tham số ngồi lợi ích mà phép tham số hóa mang lại nói việc nghiên cứu tính chất hình học có hạn chế so với đường cong cho dạng đa thức? Cụ thể việc tìm bậc đường cong, tìm số bội điểm từ xác định điểm kì dị, đếm số điểm kì dị, có khó khăn? Một câu trả lời S Pérez-Díaz, ba tác giả sách nói trên, đưa báo ([4]) vào năm 2007 Bản luận văn chúng tơi khơng có kết Cơng việc người viết trình bày lại nội dung nêu đồng thời tính tốn thêm nhiều ví dụ tương đối phức tạp Luận văn trình bày thành chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trình bày khái niệm, kết mang tính chất tảng Hình học đại số khái niệm đa tạp đại số, ánh xạ hữu tỉ, song hữu tỉ, vấn đề giải kì dị, hệ thống tuyến tính đường cong, ước, giống Trong chương nêu chứng minh số kết quan trọng định lí Riemann, định lí cơng thức tính giống đường cong có kì dị thường Chương Các thuật tốn tham số hóa hữu tỉ Cùng với chương 2, i hai chương luận văn Trong chương này, chúng tơi trình bày thuật tốn tham số hóa hữu tỉ với cơng cụ hệ thống tuyến tính đường cong liên hợp Phần lớn ví dụ trích [3] chúng tơi tự tính tốn có kết (tham số hóa) khác với [3] Chương Hình học đường cong tham số hóa hữu tỉ Trong chương cuối chúng tơi trình bày kết nhằm khẳng định đường cong cho dạng tham số hóa hữu tỉ giúp có thuận lợi tính tốn việc khảo sát tính chất hình học Tuy chưa đầy đủ phần lớn tính chất hình học số bội, bậc tồn cục, tập kì dị trình bày cách rõ ràng Chương chương sử dụng tài liệu tham khảo [2], [3], [4], [5], [6] Qua tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học mình, TS Phó Đức Tài Thầy tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ tác giả từ ngày đầu làm quen với Hình học đại số, đến trình viết bảo vệ luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán - Cơ - Tin, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt thầy cô Bộ môn Đại số - Hình học - Tơ pơ tạo điều kiện cho tác giả học tập nghiên cứu mơi trường khoa học Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Hà Nội, mùa hè năm 2012 Học viên Hà Đăng Toàn ii Bảng ký hiệu coeff(F (X), n) hệ số X n đa thức F (X) degX (F ) bậc đa thức F theo biến X [E : F ] bậc mở rộng trường E F (F1 , F2 , , Fr ) iđêan sinh đa thức F1 , F2 , , Fr gcd(F, G) ước chung lớn đa thức F G I(V ) iđêan sinh đa thức triệt tiêu đa tạp V k[X1 , , Xn ] vành đa thức n biến X1 , X2 , , Xn biến trường k k(X1 , , Xn ) trường hàm hữu tỉ n biến X1 , X2 , , X2 trường k k(X) trường hàm hữu tỉ đa tạp X k(C) trường hàm hữu tỉ đường cong (C) lc(F (X)) hệ số dẫn đầu đa thức F (X) lc(f (s, t), t) hệ số dẫn đầu đa thức f (s, t) theo biến t mP (F ), multP (F ) số bội điểm P đường cong định nghĩa đa thức F U bao đóng tập U Rest (F, G) kết thức F G theo t Ngr(C) tập điểm kì dị đường cong C V (S) đa tạp đại số sinh tập đa thức S iii Mục lục Lời nói đầu i Kiến thức chuẩn bị 0.1 0.2 Đường cong đại số trường hàm hữu tỉ Ánh xạ hữu tỉ song hữu tỉ 0.3 0.4 Số giao hệ tuyến tính đường cong Giải kì dị đường cong đại số 13 16 0.5 Khơng gian ước giống Định lí Riemann 21 Các thuật toán tham số hóa hữu tỉ 1.1 Đường cong hữu tỉ phép tham số hóa 26 26 1.2 1.3 Tham số hóa đường thẳng Tham số hóa đường cong liên hợp 30 34 Hình học đường cong tham số hóa hữu tỉ 2.1 Chỉ số vết tính thực phép tham số hóa hữu tỉ 48 48 2.2 2.3 Phép tham số hóa chuẩn Hình học đường cong hữu tỉ cho dạng tham số hóa 52 53 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59 iv Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày khái quát số kiến thức cần thiết đường cong đại số Các kiến thức sở để chúng tơi trình bày nội dung luận văn Tuy nhiên, nêu chứng minh kết quan trọng Chương trình bày chủ yếu theo [1] [5] Ở toàn luận văn, ta xét k trường đóng đại số, có đặc số Còn khái niệm đường cong hiểu đường cong khơng có thành phần bội, cụ thể là, đa thức định nghĩa khơng chứa thừa số bội 0.1 0.1.1 Đường cong đại số trường hàm hữu tỉ Không gian afin không gian xạ ảnh Ta hiểu khơng gian afin n chiều trường k, kí hiệu An (k), tích Đề-các k× ×k (n lần) Mỗi phần tử An (k) gọi điểm Đặc biệt, n = A1 (k) gọi đường thẳng afin, n = A2 (k) gọi mặt phẳng afin Để cho đơn giản, trường k biết, ta kí hiệu không gian afin n chiều k An Khơng gian xạ ảnh n chiều k, kí hiệu Pn (k) hay đơn giản Pn , định nghĩa tập tất đường thẳng qua điểm (0, , 0) An+1 (k) Ta thấy rằng, điểm x = (x1 , x2 , , xn+1 ) = (0, 0, , 0) xác định đường thẳng hai điểm x, y xác định đường thẳng tồn số λ cho x = λy, ta nói x, y tương đương Như thế, Pn hiểu tập tất lớp tương đương điểm An+1 \(0, 0, , 0) Các phần tử Pn gọi điểm Ta viết [x1 : x2 : : xn+1 ] để phần tử (điểm) P Pn , (x1 , x2 , , xn+1 ) gọi tọa độ P Bây ta kí hiệu Ui = {[x1 : x2 : : xn+1 ] ∈ Pn |xi = 0} Khi P ∈ Ui viết dạng P = [x1 : : xi−1 : : xi+1 : : xn+1 ] Các tọa độ (x1 , : xi−1 , xi+1 , , xn+1 ) gọi tọa độ khơng ứng với Ui Ta có song ánh ϕi : An → Ui với ϕi (x1 , : xi−1 , xi , , xn ) = [x1 : : xi−1 : : xi : : xn+1 ] Để ý Pn = n+1 Ui , Pn phủ n + tập hợp mà i=1 tập hợp xem khơng gian afin n chiều Để cho thuận tiện, Pn , ta thường gọi điểm [0 : : : : 1] điểm gốc, cịn điểm có tọa độ thứ n + không điểm vô tập hợp H∞ = Pn \Un+1 = {[x1 : x2 : : xn+1 ]|xn+1 = 0} siêu phẳng vô Vậy Pn = Un+1 ∪ H∞ Tương tự không gian afin, ta gọi P1 không gian xạ ảnh chiều hay đường thẳng xạ ảnh, P2 không gian xạ ảnh hai chiều hay mặt phẳng xạ ảnh 0.1.2 Tập đại số Đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh Giả sử F ∈ k[X1 , , Xn ], điểm P = (a1 , , an ) An gọi không điểm F F (P ) = F (a1 , , an ) = Nếu F khơng số tập tất khơng điểm F gọi siêu mặt định nghĩa F kí hiệu V (F ) Tổng quát hơn, S tập đa thức k[X1 , , Xn ], ta kí hiệu V (S) = {P ∈ An |F (P ) = 0, ∀F ∈ S}, tức V (S) = ∩F ∈S V (F ) Một tập X ⊂ An gọi tập đại số afin X = V (S) với S Đặc biệt, A2 ta có định nghĩa: Định nghĩa 0.1 Một đường cong đại số afin phẳng k tập đại số C = V (F ) = {(a, b) ∈ A2 (k)|F (a, b) = 0}, F (X, Y ) ∈ k[X, Y ] đa thức khác Khi F gọi đa thức định nghĩa C (và tất nhiên, đa thức G = c.F , với c = thuộc k, định nghĩa đường cong) Trong định nghĩa này, ta viết F dạng F (X, Y ) = Fr (X, Y ) + Fr+1 (X, Y ) + + Fm (X, Y ), đó, Fi (X, Y ) đa thức bậc i, Fm (X, Y ) = Khi đa thức Fi gọi thành phần F m gọi bậc C ký hiệu deg(C) Các đường cong bậc gọi đường thẳng, bậc hai gọi cônic, bậc ba cubic, Nếu F = n Fj , Fj nhân tử bất khả quy F, ta nói j=1 đường cong afin định nghĩa đa thức Fj thành phần C Hơn nữa, đường cong C gọi bất khả quy đa thức định nghĩa bất khả quy Bây ta nói khái niệm tập đại số không gian xạ ảnh Một cách tương tự, điểm P ∈ Pn gọi không điểm đa thức F ∈ k[X1 , , Xn+1] F (x1 , , xn+1 ) = với cách chọn tọa độ (x1 , , xn+1 ) P Khi ta viết F (P ) = S tập đa thức k[X1 , , Xn+1] ta kí hiệu V (S) = {P ∈ Pn |F (P ) = 0, ∀F ∈ S} Một tập X ⊂ Pn gọi tập đại số xạ ảnh X = V (S) với S Và P2 ta có định nghĩa: Định nghĩa 0.2 Một đường cong đại số xạ ảnh phẳng k định nghĩa tập hợp C = V (F ) = {[a : b : c] ∈ P2 (k)|F (a, b, c) = 0}, với đa thức khác không chứa thừa số bội F (X, Y, Z) ∈ k[X, Y, Z] Ta gọi F đa thức định nghĩa C Khái niệm bậc, thành phần tính bất khả quy (như định nghĩa 0.1 cho đường cong afin) sử dụng cho đường cong xạ ảnh cách tương tự Nếu đường cong afin định nghĩa đa thức F (X, Y ) ta nhận đường cong xạ ảnh C ∗ tương ứng cách hóa F (X, Y ) thành F ∗ (X, Y, Z) Nghĩa là, nếu: F (X, Y ) = Fr (X, Y ) + Fr+1 (X, Y ) + + Fm (X, Y ), thì: F ∗ (X, Y, Z) = Fr (X, Y )Z m−r + Fr+1 (X, Y )Z m−r−1 + + Fm (X, Y ), C ∗ = {[a : b : c] ∈ P2 (k)|F ∗(a, b, c) = 0} Định nghĩa 0.3 Đường cong xạ ảnh tương ứng với đường cong afin C k gọi bao đóng xạ ảnh C P2 (k) Mỗi điểm (a, b) ∈ C tương ứng với [a : b : 1] C ∗ điểm thêm vào C ∗ điểm vơ Nói cách khác, hai tọa độ điểm thêm vào nghiệm khơng tầm thường Fm (X, Y ) cịn tọa độ thứ ba Do vậy, đường cong C ∗ có hữu hạn điểm vơ Nếu C đường cong xạ ảnh định nghĩa F (X, Y, Z), ta kí hiệu C∗,Z đường cong afin xác định F∗,Z (X, Y ) = F (X, Y, 1) Tương tự, ta có đường cong C∗,X C∗,Y Nếu khơng có nhầm lẫn sau ta dùng kí hiệu C∗ thay cho C∗,Z Nếu P = [a : b : 1] ∈ P2 ta gọi điểm tương ứng khơng gian afin P∗ , tức P∗ = (a, b) Để cho đơn giản, ta đồng đường cong với đa thức định nghĩa Hơn nữa, xuyên suốt luận văn quan tâm đến đường cong đại số Vì vậy, khơng nói thêm “đường cong” hiểu “đường cong đại số”, tức là, siêu mặt A2 P2 Một cách để phân loại tập đại số nói chung dựa vào tính khả quy hay bất khả quy chúng Một tập đại số gọi khả quy hợp hai hay nhiều tập đại số nhỏ Trong trường hợp ngược lại ta có tập đại số bất khả quy Nếu tập đại số afin (xạ ảnh) bất khả quy ta gọi đa tạp đại số afin (xạ ảnh) 0.1.3 Nón tiếp xúc điểm kì dị đường cong phẳng Trước hết, ta cần có khái niệm điểm kì dị đường cong afin phẳng Định nghĩa 0.4 Cho C đường cong afin k định nghĩa F (X, Y ) ∈ k[X, Y ] P = (a, b) ∈ C Ta nói P có bội r C đạo hàm riêng (theo X, Y ) F bậc r − triệt tiêu P đạo hàm riêng bậc r không triệt tiêu P Ta ký hiệu bội P C multP (C) Khi đó, multP (C) = P ∈ / C, multP (C) = ta nói P điểm đơn C, cịn multP (C) = r > ta gọi P điểm kỳ dị (hay kỳ dị) bội r C Tiếp tục sử dụng phép biến đổi bậc hai Q ◦ T2 với T2 (X, Y, Z) = (X, Y + X, Z) ta lân cận thứ P2 gồm P2,2 = [0 : −1 : 1], kiểm ta ta thấy điểm đơn, tức kì dị P2 giải xong Tiếp theo, ta giải kì dị P1 với phép biến đổi bậc hai Q ◦ T3 với T3 (X, Y, Z) = (X, Y − Z, Y + Z) Trong lân cận P1 có điểm kì dị P1,1 = [0 : −1 : 1], điểm có bội lân cận khơng thơng thường.Tiếp tục giải kì dị phép biến đổi bậc hai Q ◦ T4 T4 (X, Y, Z) = (X, Y − Z, Z) Trong lân cận thứ hai P1 gồm điểm P1,2 = [4 : −1 : 0], tương tự ta chứng minh điểm đơn Đến đây, kì dị giải xong Đồ thị lân cận gồm: P1 = [0 : : 1] bội 3; P1,1 = (0 : −1 : 1) bội 2; P2 = [1 : : 0] bội 2; P2,1 = (1 : : 0) bội Như vậy, dễ thấy đường cong cho có giống Sau ta tìm phép tham số hóa hữu tỉ Bước 2: Tìm đa thức định nghĩa Am (C) Ta có, d = nên chọn m = − = Giả sử H đa thức định nghĩa A3 (C) H có dạng: H = a1 X + a2 Y + a3 Z + a4 X Y + a5 X Z + a6 XY + a7 XZ + a8 Y Z + a9 Y Z + a10 XY Z P1 phải điểm bội P2 thuộc H nên ta có hệ: H(P1) = 0, ∂H ∂H ∂H (P1 ) = 0, (P1 ) = 0, (P1 ) = 0, H(P2) = ∂X ∂Y ∂Z Giải được: a1 = a3 = a7 = a8 = Vậy H = a2 Y + a4 X Y + a5 X Z + a6 XY + a9 Y Z + a10 XY Z Hơn nữa, Q1 (H)(P1,1 ) = 0, Q2 (H)(P2,1) = đó: Q1 = {X = Y Z, Y = XZ, Z = XY } ◦ {X = X, Y = Y − Z, Z = Y + Z} Q2 = {X = Y Z, Y = XZ, Z = XY } ◦ {X = Z − Y, Y = X, Z = Y − X} Giải a4 = 0, nên H = a2 Y + a5 X Z + a6 XY + a9 Y Z + a10 XY Z Bước 3: Chọn tập hợp S Tiếp theo, chọn M = [1 : : 0], N = [1 : : 2] ∈ C\ Sing(C) (chọn dm − (d − 1)(d − 2) − = 15 − 12 − = điểm) Bước 4: Tìm đa thức H Am (C) ∩ H(m, P ) P ∈S Từ hệ H(M) = 0, H(N) = ta có a2 + a6 = a2 + 2.a5 + a6 + 2.a9 + 2.a10 = 45 hay a6 = −a2 , a5 = −a9 − a10 Chọn a2 = 1, a9 = 0, a10 = t thay vào H ta có H = Y − tX Z − XY + tXY Z Bước 5: Kết phép tham số hóa: Ta tính được: Res(F, H, X) = Z Y (Y Z − 4Y t − 2Y + t2 Y Z + 2Y Zt − 2t2 Y − 2Y Zt3 + Z t3 ), Res(F, H, Y ) = −Z X (−2X + Z)(t5 Z + X + 4Xt + 4t3 X + t4 X + 6t2 X) Cho Z = giải hệ   pp (Res(F, H, X)) = t  pp (Res(F, H, Y )) = 0, t ta có: t5 (t + 1)4 t3    Y =− (t + 1)2     X =− Vậy Q(t) = − t5 t3 , − ,1 (t + 1)4 (t + 1)2 phép tham số hóa đường cong cho 15 10 20 40 60 80 100 Hình 1.2: Phần thực đường cong F (X, Y ) = X (Y − X) − Y Ví dụ 1.32 Cho đường cong C với đa thức định nghĩa F (X, Y ) = Y + Y Z − X Z Tìm phép tham số hóa phù hợp C 46 Các điểm kì dị đường cong cho là: P1 = [1 : : 0] P2 = [0 : : 1] (đều điểm bội 2) Ta giải điểm kì dị thứ phép biến đổi bậc hai Q ◦ T1 với T1 (X, Y, Z) = (Z − Y, Y + Z, X + Y + Z) Giải điểm kì dị thứ hai phép biến đổi bậc hai Q ◦ T2 với T2 (X, Y, Z) = (Z − Y, Y, X + Y ) Giải kì dị xong ta chọn k = 2, đó, H = a1 X + a2 Y + a3 Z + a4 XY + a5 XZ + a6 Y Z Giải tương tự ví dụ với S = {M = [0 : : −1] ∈ C\ Sing(C)} a6 = 1, a4 = 0, a5 = t ta phép tham số hóa Q(t) = −t , ,1 2 (1 − t ) (t − 1) 0.5 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 –0.5 –1 Hình 1.3: Phần thực đường cong F = Y + Y − X 47 Chương Hình học đường cong tham số hóa hữu tỉ Trong chương chúng tơi trình bày số tính chất đường cong hữu tỉ cho dạng tham số hữu tỉ Chúng ta trả lời hai câu hỏi chính: Một là, làm để tìm kì dị đường cong thông qua dạng tham số? Hai là, xác định số bội điểm tùy ý đường cong cho? Chúng sử dụng tài liệu tham khảo [2], [4], [5] [6] 2.1 Chỉ số vết tính thực phép tham số hóa hữu tỉ Xuất phát từ thuật tốn trình bày chương 1, biết đường cong hữu tỉ có nhiều phép tham số hóa hữu tỉ Khái niệm bậc ánh xạ hữu tỉ giúp phân loại phép tham số hóa 2.1.1 Chỉ số vết phép tham số hóa hữu tỉ Với đường cong, khái niệm bậc ánh xạ hữu tỉ nói đến chương gọi số vết ánh xạ hữu tỉ Định nghĩa 2.1 Cho C đường cong afin hữu tỉ giả sử P(t) phép tham số hóa C Khi bậc ánh xạ hữu tỉ P gọi số vết phép 48 tham số hóa cho kí hiệu index(P(t)) Như vậy, phép tham số hóa P(t) có index(P(t)) = ℓ có nghĩa hầu hết điểm C sinh ℓ giá trị tham số t Kết sau cho ta thuật toán để xác định số vết phép tham số hóa Mệnh đề 2.2 ([5], chương 4, Định lí 4.28) index(P(t)) = degt (gcd(f (s, t), g(s, t))) Chứng minh Xem [5], chương 4, định lí 4.28 2.1.2 Tính thực phép tham số hóa hữu tỉ Định nghĩa phép tham số hóa hữu tỉ thực trình bày chương một, nêu đặc trưng phép tham số hóa Để đạt mục đích đó, trước hết, định nghĩa bậc hàm hữu tỉ từ định nghĩa bậc phép tham số hóa fn (t) ∈ k(t) có dạng tối giản Khi đó, ta định nghĩa fd (t) bậc f (t), kí hiệu deg f, sau: Định nghĩa 2.3 Giả sử f (t) = deg f = max{deg fn , deg fd } Cịn P(t) = (f (t), g(t)) ta gọi max{deg f, deg g} bậc P(t), kí hiệu deg(P(t)) Bây ta nghiên cứu mối quan hệ phép tham số hóa thực khơng thực thông qua bổ đề sau: Bổ đề 2.4 ([5], chương 4, Bổ đề 4.17) Giả sử P(t) phép tham số hóa thực đường cong hữu tỉ C, P ′ (t) phép tham số hóa hữu tỉ khác C Tồn hàm hữu tỉ khác r(t) ∈ k(t) cho P ′ (t) = P(R(t)) P ′ (t) thực tồn hàm hữu tỉ tuyến tính l(t) ∈ k(t) cho P ′ (t) = P(l(t)) Trước đặc trưng tính thực phép tham số hóa theo bậc đường cong, có kết mang tính kỹ thuật Bổ đề 2.5 ([5], chương 4, bổ đề 4.19) Giả sử f (X), g(X) ∈ k[X]∗ nguyên tố cho đa thức khác Khi đó, tồn số hữu hạn giá trị a ∈ k cho đa thức f (X) − ag(X) có nghiệm bội 49 Định lí sau điều kiện cần đủ để phép tham số hóa thực Mệnh đề 2.6 ([5], chương 4, Định lí 4.21.) Giả sử C đường cong afin xác định k với đa thức định nghĩa F (X, Y ) ∈ k[X, Y ] giả sử P(t) = (f (t), g(t)) phép tham số hóa C Khi đó, P(t) thực deg(P(t)) = max{degX (F ), degY (F )} Hơn nữa, P(t) thực f (t) khác khơng deg f = degY (F ); tương tự, g(t) khác khơng deg g = degX (F ) Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề hai trường hợp: trường hợp riêng, P(t) có thành phần số, trường hợp tổng quát Trong trường hợp P(t) có thành phần số, ta giả sử P(t) = (f (t), λ) Khi đó, C đường thẳng có phương trình y = λ Do đó, thấy (t, λ) phép tham số hóa thực C Hơn nữa, theo bổ đề 2.4, tất phép tham số at+b , λ), ad − bc = Như vậy, deg(f ) = rõ ràng mệnh hóa thực C có dạng ( ct+d đề Bây ta xét trường hợp tổng quát, tức C đường thẳng song song với trục tọa độ Giả sử P(t) thực có dạng tối giản khơng có thành phần số Khi đó, ta chứng minh deg(g) = degX (F ) (và tương tự deg(f ) = degY (F )) Xét tập S k bao gồm phần tử: (1) thành phần tọa độ thứ hai điểm C không nhắc tới phép tham số hóa nhắc tới lần với giá trị khác t; (2) phần tử b ∈ k cho đa thức gn (t) − bgd (t) có nghiệm bội; (3) lc(gn (t)) ; lc(gd (t)) (4) phần tử b ∈ k cho đa thức F (X, b) có nghiệm bội; (5) nghiệm lc(F (X, Y )) theo biến X Ta khẳng định S tập hữu hạn Thật vậy: Vì P(t) thực nên có hữu hạn điểm thỏa mãn điều kiện (1); theo bổ đề 2.5 phần tử thỏa mãn (2) hữu hạn; hiển nhiên, có điểm thỏa mãn (3); phần tử b ∈ k mà thỏa mãn (4) tọa độ thứ hai điểm kì dị C đường thẳng Y = b 50 tiếp xúc với C điểm đơn Số điểm kì dị C hữu hạn Thêm vào đó, ∂F = 0} đường thẳng Y = b tiếp xúc C (a, b) (a, b) nghiệm hệ {F = 0, ∂X Theo định lí Bezout hệ có hữu hạn nghiệm Vậy có hữu hạn phần tử thỏa mãn (4); cuối cùng, hệ số dẫn đầu F (X, Y ) theo biến X đa thức biến khác không nên có hữu hạn phần tử k thỏa mãn (5) Vậy S tập hữu hạn Bây ta chọn b ∈ k\S xét tương giao C đường thẳng Y = b Vì b khơng nghiệm hệ số dẫn đầu F (X, Y ) theo biến X nên bậc F (X, b) degX (F (X, Y )), giả sử m := degX (F (X, Y )) Theo (4) F (X, b) khơng có nghiệm bội, nói cách khác F (X, b) có m nghiệm phân biệt r1 , r2 , , rm Vậy có m giao điểm C đường thẳng Y = b {(ri , b), i = n} điểm sinh P(t) (do điều kiện (1)) Mặt khác, xét đa thức M(t) = gn (t) − bgd (t) Ta thấy degt (M) ≥ m điểm (ri , b) tương ứng với giá trị t Tuy nhiên, điểm (a, b) ∈ C sinh lần P(t) (do (1)) M(t) khơng thể có nghiệm bội nên degt (M) = m = degX (F (X, Y )) Hơn nữa, điều kiện (3) nên degX (F (X, Y )) = deg(M) = max(deg(gn ), deg(gd )) Một cách tương tự ta chứng minh degY (F (X, Y )) = max(deg(fn ) deg(fd )) Từ ta có deg(P(t)) = max(degX (F ), degY (F )) Bây ta chứng minh chiều ngược lại Giả sử P(t) phép tham số hóa C cho deg(P(t)) = max(degX (F ), degY (F )) P ′ (t) phép tham số hóa thực C Khi đó, theo bổ đề 2.4 tồn R(t) ∈ k(t) cho P ′ (R(t)) = P(t) Do P ′ (t) thực nên deg(P(t)) = max(degX (F ), degY (F )) = deg(P(t)) Do đó, deg(R(t)) = Cũng theo bổ đề 2.4 P(t) thực Hệ 2.7 Giả sử C đường cong afin xác định k với đa thức định nghĩa F (X, Y ) ∈ k[X, Y ] giả sử P(t) = (f (t), g(t)) phép tham số hóa C deg(f (t)) Khi đó, f (t) khác khơng degY (F ) = ; tương tự, g(t) khác khơng index(P) deg(g(t)) degX (F ) = index(P) Hơn nữa, từ định nghĩa phép tham số hóa hữu tỉ thực định nghĩa số vết ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.8 ([5], chương 4, Định lí 4.30) Phép tham số hóa P(t) thực index(P(t)) = 51 Trước kết thúc mục ta xét ví dụ Ví dụ 2.9 Cho đường cong C định nghĩa đa thức F (X, Y ) = −6X Y + 11X + 6XY + Y − 10X + − X Y Có thể kiểm tra P(t) = 163t2 − 50t + 171t2 − 52t + , − 229t2 − 62t + (7t − 1)t P ′ (t) = t4 + 3t2 + t4 + 2t2 + , t4 + 3t2 + t2 + phép tham số hóa hữu tỉ C Tuy nhiên, ta tính index(P(t)) = 1, index(P ′ (t)) = Do đó, có P(t) phép tham số hóa hữu tỉ thực 2.2 Phép tham số hóa chuẩn Chúng ta biết, ánh xạ hữu tỉ ánh xạ trội Chính trường hợp tổng quát phép tham số hóa P(t) có số điểm đường cong khơng nhắc tới Nói cách khác, P khơng toàn ánh Trong phần quan tâm đến trường hợp P toàn ánh, phép tham số hóa gọi phép tham số hóa chuẩn Bổ đề 2.10 ([5], chương 6, Bổ đề 6.19) Giả sử ℓ1 (X) = lc(f (X, t), t), ℓ2(Y ) = lc(g(Y, t), t) Khi đó: P(k) = {(a, b) ∈ C| gcd(f (a, t), g(b, t)) = 1} Hơn nữa, C\P(k) ⊂ {(a, b) ∈ C|ℓ1 (a) = ℓ(b) = 0} Hệ 2.11 Nếu P(t) bậc mẫu số mà nhỏ bậc tử số tương ứng P(t) chuẩn Định lí sau ngồi việc giúp kiểm tra kiểm tra xem phép tham số hóa có chuẩn hay khơng cịn cho phép xác định điểm mà không nhắc tới phép tham số hóa Sau ta gọi điểm điểm tới hạn 52 Mệnh đề 2.12 ([5], chương , Định lí 6.22) Trong phép tham số hóa P(t) giả sử deg(fn ) = p, deg(Fd ) = q, deg(gn ) = r, deg(gd ) = s a = coeff(fn , q), b = coeff(fd , q), c = coeff(gn , s), d = coeff(gd , s) Khi đó: Nếu p > q r > s P(t) phép tham số hóa chuẩn Nếu p ≤ q r ≤ s P(t) chuẩn deg(gcd(afn (t) − bfn (t), cgd (t) − dgn (t))) ≥ Hơn nữa, P(t) khơng chuẩn điểm C sinh P(t) trừ điểm ( ab , dc ) (đây điểm C.) Điểm ( ab , dc ) xác định mệnh đề (nếu có) phép tham số hóa hữu tỉ gọi điểm tới hạn phép tham số hóa 2.3 Hình học đường cong hữu tỉ cho dạng tham số hóa 2.3.1 Khảo sát kì dị đường cong Giả sử C đường cong hữu tỉ cho dạng tham số hóa P(t), s0 phần tử k Xét hệ:   f (t) = f (s )  g (t) = g (s ) Rõ ràng, với hầu hết giá trị s0 số nghiệm hệ số vết P(t) Hơn nữa, nghiệm hệ nghiệm hệ:   f (s , t) = 0  g (s , t) = 0 Nếu gcd(lc(f (s0 , t), t), lc(g(s0, t), t)) = 0, Rest (f (s0 , t), g(s0, t)) = 0, fd (s0 )gd (s0 ) = số nghiệm hai hệ Như ta có kết luận Mệnh đề 2.13 Nếu gcd(lc(f (s0 , t), t), lc(g(s0, t), t)) = 0, Rest (f (s0 , t), g(s0, t)) = 0, fd (s0 )gd (s0 ) = P(s0 ) điểm đơn C 53 Từ ta có Mệnh đề 2.14 ([4], Định lí 11) Nếu P = [a1 : a2 : a3 ] ∈ P2 điểm kì dị đường cong C với đa thức định nghĩa F (X1 , X2 , X3 ) phát biểu sau đúng: a Với i ∈ {1, 2, 3} cho = ( aji , aaki ), j, k ∈ {1, 2, 3} j = i = k, điểm tới hạn phép tham số hóa P∗,Xi tối giản P = P ∗ (s0 ) với gcd(lc(f (s0 , t), t), lc(g(s0, t), t))(s0 ) = 0; P = P ∗ (s0 ) với Rest ( f (s0 , t) g(s0 , t) , ) = 0; gcd(f (s0 , t), g(s0 , t)) gcd(f (s0 , t), g(s0, t)) P = P ∗ (s0 ) với fd (s0 )gd (s0 ) = Như vậy, ta tìm tập hợp điểm chứa tất điểm kì dị C từ dạng tham số hóa hữu tỉ Ở phần tìm cách bậc toàn cục đường cong bậc địa phương điểm Nhờ xác định xác điểm kì dị số bội tương ứng chúng 2.3.2 Bậc đường cong hữu tỉ cho dạng tham số hóa hữu tỉ Bài tốn tìm bậc đường cong có cách giải quen thuộc nhờ ứng dụng Định lí Bézout: ta tìm số giao điểm (kể bội) đường cong cho với đường thẳng Số bậc đường cong Tuy nhiên, mục tìm hiểu phương pháp dựa khái niệm số vết phép tham số hóa Mệnh đề 2.15 ([4], Định lí 6) Giả sử (a, b) ∈ / C Khi đó, deg deg(C) = (gn (t) − bgd (t))fd (t) (fn (t) − afd (t))gd (t) deg ϕP Chứng minh Giả sử đa thức định nghĩa C F (X, Y ) Xét đường cong D định fn (t) gn (t) nghĩa đa thức G(X, Y ) = F (X + a, Y + b) Vì P(t) = tham số hóa , fd (t) gd (t) gn (t) fn (t) − afd (t) gn (t) − bgd (t) fn (t) tham số hóa − a, −b = , C nên Q(t) = fd (t) gd (t) fd (t) gd (t) D (0, 0) ∈ / D Như vậy, ta viết G(X, Y ) = G0 (X, Y ) + G1 (X, Y ) + + Gm (X, Y ) 54 Do đó, G∗ (X, Y, Z) = G0 (X, Y )Z m + G1 (X, Y )Z m−1 + + Gm (X, Y ) Chú ý G0 (X, Y ) = nên m = deg D = degZ (G∗ (X, Y, Z)) = degZ (G∗ (1, Y, Z)) Bây giờ, gọi E đường cong định nghĩa đa thức H(Y, Z) = G∗ (1, Y, Z) gn (t)fd (t) fd (t)gd (t) tham số hóa E Theo hệ 2.7 ta có , QX (t) = fn (t)gd (t) fn (t)gd (t) deg deg(D) = (gn (t) − bgd (t))fd (t) (fn (t) − afd (t))gd (t) deg ϕQX Y −b Rõ ràng , X −a X −a deg(ϕR ) = QX = R ◦ P nên deg(ϕP ) = deg(ϕQX ) Thế mà bậc đường cong bất biến phép biến đổi tuyến tính tọa độ nên deg(C) = deg(D) ta có điều cần Bây ta xét ánh xạ R : k → k xác định R(X, Y ) = chứng minh Như vậy, muốn tính bậc đường cong hữu tỉ nhờ công cụ số vết ánh xạ hữu tỉ, cần chọn điểm không thuộc đường cong áp dụng mệnh đề 2.15 Việc lựa chọn điểm không thuộc đường cong khơng khó Thật vậy, deg(gcd(fn (t) − afd (t), gn (t) − bgd (t)) ≥ điểm (a, b) ∈ C Trong trường hợp ngược lại (a, b) điểm tới hạn phép tham số hóa (a, b) khơng thuộc đường cong 2.3.3 Số bội điểm đường cong hữu tỉ Trong chương nói đến vấn đề xác định số bội điểm P đường cong afin cách tịnh tiến đường cong cho P trùng với gốc tọa độ Khi đó, bậc thành phần bậc thấp số bội P đường cong cho Trong mục này, mong muốn xác định số bội điểm tùy ý đường cong mà thông qua dạng tham số ý tưởng phương pháp xuất phát từ vấn đề Mệnh đề 2.16 ([4], Định lí 8) Giả sử (a, b) ∈ k Khi deg mult[a:b:1] (C ∗ ) = mult(a,b) (C) = deg(C) − 55 (gn (t) − bgd (t))fd (t) (fn (t) − afd (t))gd (t) deg ϕP Chứng minh Giả sử đa thức định nghĩa C F (X, Y ) Xét đường cong D định fn (t) gn (t) nghĩa đa thức G(X, Y ) = F (X + a, Y + b) Vì P(t) = tham số hóa , fd (t) gd (t) gn (t) fn (t) − afd (t) gn (t) − bgd (t) fn (t) tham số hóa − a, −b = , C nên Q(t) = fd (t) gd (t) fd (t) gd (t) D (0, 0) ∈ / D Như vậy, ta viết G(X, Y ) = G0 (X, Y ) + G1 (X, Y ) + + Gm (X, Y ) Do đó, G∗ (X, Y, Z) = G0 (X, Y )Z m + G1 (X, Y )Z m−1 + + Gm (X, Y ) Vì mult(a,b) (C) = mult(0,0) (D), ta suy deg(D)−mult(a,b)(C) = degZ (G∗ (X, Y, Z)) = degZ (G∗ (1, Y, Z)) Bây giờ, gọi E gn (t)fd (t) fd (t)gd (t) đường cong định nghĩa đa thức H(Y, Z) = G∗ (1, Y, Z) QX (t) = , fn (t)gd (t) fn (t)gd (t) tham số hóa E Theo hệ 2.7 ta có deg degZ (E) = (gn (t) − bgd (t))fd (t) (fn (t) − afd (t))gd (t) deg ϕQX Tương tự mệnh đề deg(ϕP ) = deg(ϕQX ) Thế mà bậc đường cong bất biến phép biến đổi tuyến tính tọa độ nên deg(C) = deg(D) ta có điều cần chứng minh Như vậy, muốn tìm số bội điểm P với tọa độ dạng [a : b : 1] ta quy tìm số bội (a, b) đường cong C∗,Z Một cách tương tự, tìm số bội điểm có dạng [1 : a : b] hay [a : : b] ta quy tìm số bội điểm (a, b) đường cong tương ứng C∗,X C∗,Y Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.17 ([4], Định lí 9) Ta có cơng thức sau: fd (t)gd (t) deg (gn (t)fd (t) − kgd (t))fn (t) mult[1:k:0] (C ∗ ) = deg(C) − deg ϕP fd (t) deg fn (t) mult[0:1:0] (C ∗ ) = deg(C) − deg ϕP Trước kết thúc chương ta có ví dụ mang để minh họa kết nói 56 Ví dụ 2.18 Gọi C đường cong cho phép tham số hóa P(t) = 2t2 + t + , t2 + t Ta có: P∗,Z (t) = P(t); P∗,Y (t) = (2t2 +t+2)t3 ,t t2 +1 điểm tới hạn có P1 = [2 : : 1] Mặt khác: ; P∗,X = t2 +1 , t +1 (2t2 +t+2)t3 2t2 +t+2 Vì vậy, f (s, t) = (t4 + (t2 + 1) t3 ) (s2 + 1) s3 − (t2 + 1) t3 (s4 + (s2 + 1) s3 ) , g(s, t) = (t2 + 1) (s2 + 1) s3 − (t2 + 1) t3 (s2 + 1) Do đó, gcd(f (s, t), g(s, t)) = t − s (nên suy index(P) = 1) Suy ra, Res (f (s, t)/(t − s); g(s, t)/(t − s)) = (s4 + s2 + 1)(s2 + 1)5 s18 Ta cần xét nghiệm s4 + s2 + = bao gồm: s1 = + √ √ −1 + 23 i; −1 − 23 i √ i; s2 = 1− √ i; s3 = Ta có P2 = P ∗ (s1 ) = P ∗ (s2 ) = [3 : −1 : 1]; P3 = P ∗ (s3 ) = P ∗ (s4 ) = [1 : : 1] Điều kiện gd (s)fd (s) = cho ta s5 = 0, s6 = i, s7 = −i Khi đó: P4 = P ∗ (s5 ) = [0 : : 0]; P5 = P ∗ (s6 ) = P ∗ = [0 : : 1] Áp dụng công thức ta tính deg(C ∗ ) = multP1 (C ∗ ) = 1, multP2 (C ∗ ) = 2, multP3 (C ∗ ) = 2, multP4 (C ∗ ) = 3, multP1 (C ∗ ) = Như đường cong cho có bậc chứa bốn điểm kì dị 57 Kết luận Như vậy, chương trình bày trọn vẹn hai khía cạnh tốn tham số hóa đường cong hữu tỉ Bao gồm, thuật toán xác định giống đường cong (đồng nghĩa với việc xác định tính hữu tỉ đường cong) thuật tốn tham số hóa hữu tỉ đường cong liên hợp Phương pháp xác định giống đường cong mà chúng tơi trình bày luận văn phương pháp kiểm tra điều kiện cần đủ để có phép tham số hóa hữu tỉ Hơn nữa, cịn cho phép xác định đồ thị lân cận trường hợp đường cong có kì dị khơng thông thường, tức trường hợp tổng quát tốn tham số hóa Đồ thị lân cận điểm kì dị thu giải kì dị dựa dãy phép biến đổi bậc hai (phép nổ kì dị, hợp thành phép biến đổi tuyến tính ánh xạ Cremona) Dựa đồ thị lân cận điểm kì dị thu bước hệ thống tuyến tính, chúng tơi trình bày thuật tốn tham số hóa đường cong liên hợp Vấn đề ngược lại đề cập chương hai, cho đường cong dạng tham số, cách khử tham số (dùng kết thức) ta tìm đa thức định nghĩa đường cong để từ nghiên cứu tính chất hình học đường cong Tuy nhiên, nhờ việc khảo sát bậc ánh xạ đa thức hay số vết phép tham số hóa hữu tỉ nhanh chóng tìm tính chất hình học bậc địa phương, bậc toàn cục, xác định tập điểm kì dị đường cong 58 Tài liệu tham khảo [1] W Fulton (1989), Algebraic Curvers, Addison-Wesley [2] J Gutierrez, R Rubio, Jie-Tai Yu (2002), "D-Resultant for rational functions", American Mathematical Society, Volume 130, Number 8, Pages 2237-2246 [3] M Namba (1984), Geometry Projective of Algebraic Curvers, Dekker [4] S Pérez-Díaz (2007), "Computation of the singularities of parametric plane curves", Journal of Symbolic Computation 42, Pages 835-857 [5] J R Sendra, F Winkler & S Pérez Díaz (2008), Rational Algebraic Curvers, Springer [6] A van der Essen, Jie-Tai Yu (1997), "The D-Resultant, singularities and the degree of unfaithfulness", American Mathematical Society, Volume 125, Number 3, Pages 689-695 [7] R.J Walker (1950), Algebraic Curvers, Princeton Univ Press 59 ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ ĐĂNG TOÀN VỀ BÀI TOÁN THAM SỐ HOÁ ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC... Đường cong hữu tỉ phép tham số hóa 26 26 1.2 1.3 Tham số hóa đường thẳng Tham số hóa đường cong liên hợp 30 34 Hình học đường cong tham số hóa. .. THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phó Đức Tài Hà Nội – 2012 Lời nói đầu Bài tốn tham số hóa siêu mặt đại số, đặc biệt đường cong đại số mặt đại số chủ đề thú vị Hình học đại số Hơn