Nghiên cứu sai lầm của học sinh khi giải bài toán chia hết và chia đa thức từ cách tiếp cận của “hợp đồng dạy học”

Trong bài viết này, chúng tôi sử dụng khái niệm “hợp đồng dạy học” được giới thiệu bởi Guy Brousseau vào năm 1980, như là một công cụ để nghiên cứu sai lầm của học sinh. Nghiên cứu này được thực hiện theo tiến trình: Phân tích sách giáo khoa và sách bài tập Toán 8, tập 1, từ đó đề xuất hai quy tắc của “hợp đồng dạy học” liên quan đến việc giải bài toán chia hết và bài toán chia đa thức.

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE Tập 17, Số 11 (2020): 1957-1969 ISSN: 1859-3100 Vol 17, No 11 (2020): 1957-1969 Website: http://journal.hcmue.edu.vn Bài báo nghiên cứu * NGHIÊN CỨU SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT VÀ CHIA ĐA THỨC TỪ CÁCH TIẾP CẬN CỦA “HỢP ĐỒNG DẠY HỌC” Nguyễn Thiện Chí Trường THCS Võ Việt Tân, Tiền Giang, Việt Nam Tác giả liên hệ: Nguyễn Thiện Chí – Email: thienchi67@gmail.com Ngày nhận bài: 17-01-2020; ngày nhận sửa: 26-3-2020; ngày duyệt đăng: 25-11-2020 TÓM TẮT Trong viết này, sử dụng khái niệm “hợp đồng dạy học” giới thiệu Guy Brousseau vào năm 1980, công cụ để nghiên cứu sai lầm học sinh Nghiên cứu thực theo tiến trình: Phân tích sách giáo khoa sách tập Tốn 8, tập 1, từ đề xuất hai quy tắc “hợp đồng dạy học” liên quan đến việc giải toán chia hết toán chia đa thức Thiết kế tình để kiểm chứng “hợp đồng dạy học” Tiến hành thực nghiệm Kết nghiên cứu cho thấy nhiều học sinh mắc phải sai lầm giải tốn có nguồn gốc từ hai “hợp đồng dạy học” đề xuất Cụ thể hai sai lầm: “Khi giải toán chứng minh biểu thức A(n) (n số tự nhiên số nguyên) chia hết cho số tự nhiên khác học sinh phạm phải sai lầm không xét đến điều kiện biến n phụ thuộc vào biến mới”; “Sai lầm học sinh cho thương phép chia hai đa thức biến có hệ số nguyên đa thức có hệ số ngun” Từ khóa: tốn chia hết; chia đa thức; hợp đồng dạy học; sai lầm học sinh Đặt vấn đề Những nghiên cứu Didactic cho phép đổi cách tiếp cận sai lầm học sinh (HS), có hai khuynh hướng đáng quan tâm: Một mặt, sai lầm luôn đồng nghĩa với thiếu kiến thức hay thiếu làm việc Trái lại, số sai lầm yếu tố thông tin cho phép giáo viên (GV) biết quan niệm HS liên quan đến khái niệm, nói cách khác thơng tin “cách biết HS” Mặt khác, sai lầm HS phải tính đến cách tích cực q trình học tập Điều có nghĩa là, GV cần lựa chọn tổ chức tình dạy học hợp lí, tình tạo thuận lợi cho HS xem xét lại nguyên nhân sai lầm chúng Cite this article as: Nguyen Thien Chi (2020) Analysing students’ mistakes when solving division and polynomial problems from the “Didactic contract” approach Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 17(11), 1957-1969 1957 Tập 17, Số 11 (2020): 1957-1969 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Do đó, q trình giảng dạy mơn Tốn, tìm hiểu nguồn gốc sai lầm HS quan trọng; từ đó, GV điều chỉnh để giúp HS hiểu kiến thức cách xác, phát khắc phục sai lầm HS mắc phải, tạo hội cho HS phát triển tư Trong nghiên cứu này, sử dụng khái niệm “hợp đồng dạy học”, giới thiệu Guy Brousseau vào năm 1980, tên gọi nguyên văn tiếng Pháp khái niệm “Le contrat didactique” “Hợp đồng dạy học” (HĐDH) thuật ngữ Việt hóa khái niệm giáo trình Didactic Tốn Việt Nam HĐDH mô hình cho phép tìm hiểu nguồn gốc sai lầm HS Thực tế dạy học cho thấy, phần lớn HS thường phạm phải sai lầm học kiến thức gắn liền với phép chia hết tập hợp số nguyên phép chia đa thức Do đó, để minh họa cho cách tiếp cận này, xét việc giải toán chia hết tập hợp số nguyên toán chia đa thức biến Cơ sở lí thuyết 2.1 Hợp đồng dạy học G Brousseau định nghĩa HĐDH “tập hợp quan hệ xác định, thường ngầm ẩn, phân nhỏ cách rõ ràng thành điều khoản mà bên (GV HS) có trách nhiệm thực nghĩa vụ bên bên kia” (Bessot, Comiti, Le, & Le, 2009, p.339) HĐDH nêu quy tắc suốt trình học tập thể mong đợi ứng xử HS GV kiến thức Nó ngầm ẩn đưa điều mà HS GV phải làm, vai trò trách nhiệm họ 2.2 Quy trình khám phá kiểm chứng quy tắc HĐDH Từ kết nghiên cứu Tran (2011), nghiên cứu chúng tơi đề xuất quy trình gồm bước sau nhằm khám phá kiểm chứng quy tắc HĐDH: Bước Thu thập phân tích thơng tin Nhà nghiên cứu (NNC) thu thập thông tin từ nhiều nguồn như: sách giáo khoa (SGK), sách giáo viên (SGV), sách tập (SBT), tập học HS, vấn HS… Sau thu thập đầy đủ thơng tin, NNC tiến hành phân tích, tìm hiểu kiểu nhiệm vụ liên quan đến đối tượng tri thức cần nghiên cứu Có quy tắc HĐDH gắn liền với kiểu nhiệm vụ? Sau thực xong Bước 1, NNC đưa dự đốn quy tắc HĐDH tồn HS học kiểu nhiệm vụ Bước Thiết kế tình để kiểm chứng HĐDH Để kiểm chứng quy tắc HĐDH đề xuất Bước 2, NNC phải thiết kế tình nhằm tạo biến loạn hệ thống dạy học, cho đặt GV HS tình khác lạ (gọi tình ngắt quãng hợp đồng) Để tạo tình ngắt qng hợp đồng, NNC tiến hành theo cách sau: 1958 Nguyễn Thiện Chí Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM - Đối với HS: Thay đổi điều kiện sử dụng tri thức, biến đổi đặc trưng toán Hơn nữa, NNC lợi dụng HS chưa biết cách vận dụng tri thức tốn Ngồi ra, NNC đặt HS phạm vi tri thức bàn đến sử dụng tình mà tri thức khơng giải - Đối với GV: Đặt GV trước ứng xử HS không phù hợp với điều GV mong đợi Chẳng hạn, câu trả lời khác lạ cho toán (Bessot, Comiti, Le, & Le, 2009, p.341) Bước Thực nghiệm Sau hoàn thành bước trên, NNC tiến hành khảo sát tập hợp HS lựa chọn, tiến hành thu thập phân tích kết thực nghiệm Kết phân tích cuối giúp cho họ trả lời câu hỏi tồn HĐDH mà họ đề xuất Nội dung nghiên cứu Những quy tắc HĐDH mà đề xuất nghiên cứu Chương 1: “Phép nhân phép chia đa thức”, SGK Tốn 8, tập Trong phần chúng tơi thực nghiên cứu theo quy trình gồm bước nêu  Bước Thu thập phân tích thông tin a) Thu thập thông tin Sau phân tích SGK, SBT, SGV chúng tơi quan tâm đến hai kiểu nhiệm vụ sau: • Kiểu nhiệm vụ T1: “Chứng minh biểu thức A(n) (phụ thuộc n, n số tự nhiên số nguyên) chia hết cho số tự nhiên a khác 1” SGK Toán 8, tập đưa vào ví dụ sau: Ví dụ 1: “Chứng minh ( 2n + ) − 25 chia hết cho với số nguyên n” Lời giải mong đợi Ta có: “ ( 2n + ) − 25= ( 2n + ) − 52= ( 2n + − 5)( 2n + + 5) Nên ( 2n + ) − 25 chia hết cho với số nguyên n” (Phan, 2004, p 20) SBT Toán 8, tập đưa vào tốn sau: Ví dụ 2: “Chứng minh biểu thức n ( 2n − 3) − 2n ( n + 1) chia hết cho với số nguyên n” (Ton, 2004, p.6) Hướng dẫn giải tìm thấy SBT sau: “Biến đổi biểu thức, ta -5n Hiển nhiên −5n  với số nguyên n” (Ton, 2004, p.16) * Kĩ thuật giải τ 1a : - Phân tích A(n) thành nhân tử có chứa số chia a; - Chứng minh có nhân tử chia hết cho a, suy điều phải chứng minh * Công nghệ θ1a : - Hằng đẳng thức đáng nhớ; 1959 Tập 17, Số 11 (2020): 1957-1969 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM - Tính chất chia hết tập số nguyên: “Nếu a chia hết cho b ac chia hết cho b” * Lí thuyết Θ1a : - Phép nhân đa thức với đa thức; - Định nghĩa phép chia hết tập số nguyên * Nhận xét: - Đặc trưng T1: biểu thức bị chia biểu thức biến (cụ thể biến n) phân tích thành nhân tử theo biến - Số chia a xuất kết phân tích biểu thức bị chia A(n) thành nhân tử, từ suy điều phải chứng minh nên kĩ thuật τ 1a dễ hiểu dễ sử dụng Sau đây, chúng tơi tiếp tục xét hai tốn sau thuộc kiểu nhiệm vụ T1: SGK Toán tập đưa vào phần tập tốn sau: Ví dụ 3: “Chứng minh n3 − n chia hết cho với số nguyên n” (Phan, 2004, p 25) Hướng dẫn giải SGV: “ n3 − n= n ( n − 1)( n + 1) với n ∈  tích ba số nguyên liên tiếp Trong ba số nguyên liên tiếp có số chia hết cho số chẵn Mà nguyên tố nên điều phải chứng minh” (Phan, 2004, p 31) SGV Toán 8, tập đưa vào tốn sau: Ví dụ 4: “Chứng minh n + 2n3 − n − 2n chia hết cho 24 với số nguyên n” (Phan, 2004, p 37) Hướng dẫn giải: “Phân tích n + 2n3 − n − 2n = ( n − 1) n ( n + 1)( n + ) Đây tích bốn số nguyên liên tiếp nên chứa hai số chẵn liên tiếp, thừa số chia hết cho 2, thừa số chia hết tích chia hết cho Đồng thời tích tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Ta lại có (3, 8) = 1, nên tích chia hết cho 24.” (Phan, 2004, p.38) * Kĩ thuật giải τ 1b : - Phân tích A(n) thành nhân tử; - Phân tích a thành tích thừa số đơi ngun tố nhau, chứng minh A(n) chia hết cho tất số Từ suy điều phải chứng minh * Công nghệ θ1b : - Hằng đẳng thức đáng nhớ; - Tính chất chia hết tập hợp số nguyên: “Nếu a chia hết cho m a chia hết cho n, mà ƯCLN (m, n) = a chia hết cho mn” * Lí thuyết Θ1b : - Phép nhân đa thức với đa thức; - Định nghĩa phép chia hết tập số nguyên; - Khái niệm ước chung lớn nhất, số nguyên tố 1960 Nguyễn Thiện Chí Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM * Nhận xét: Đối với kĩ thuật τ 1b phải phân tích số chia a thành tích hai số nguyên tố nhau, chứng minh A(n) chia hết cho hai số này, điểm khác biệt so với τ 1a Như vậy, thấy kĩ thuật τ 1b phức tạp kĩ thuật τ 1a Tóm lại, để giải kiểu nhiệm vụ T1 SGK, SBT, SGV đề cập đến hai kĩ thuật giải nêu trên, cụ thể là: Nếu kết phân tích A(n) thành nhân tử mà có chứa số chia a sử dụng τ 1a Nếu kết phân tích A(n) thành nhân tử khơng chứa số chia a sử dụng τ 1b Đến đây, lại nảy sinh hai vấn đề: - Trong hai kĩ thuật nêu thể chế ưu tiên cho kĩ thuật giải kiểu nhiệm vụ T1? - Bốn toán nêu đề yêu cầu chứng minh chia hết với số nguyên n, tình đề yêu cầu chứng minh chia hết trường hợp mà biến n phụ thuộc vào biến mới, chẳng hạn n = 2k + 1, k ∈  ; n =5q + 3, q ∈  (trong hai trường hợp biến n phụ thuộc vào biến k, q) hai kĩ thuật vận dụng để giải toán? Khi giải toán trường hợp học sinh có quan tâm đến phụ thuộc biến n vào biến không? Những câu hỏi trả lời phần nghiên cứu • Kiểu nhiệm vụ T2: “Thực phép chia hai đa thức biến” SGK đưa vào ví dụ sau: ( ) ( ) “a) Thực phép chia đa thức x − 13 x + 15 x + 11x − cho đa thức x − x + ( ) ( ) b) Thực phép chia đa thức x − x + cho đa thức x + ” (Phan, 2004, p.29) 2 * Kĩ thuật giải τ : - Trình bày phép chia phép chia hai số tự nhiên; - Chia hạng tử bậc cao đa thức bị chia cho hạng tử bậc cao đa thức chia ta hạng tử bậc cao đa thức thương; - Chia hạng tử bậc cao dư thứ cho hạng tử bậc cao đa thức chia ta hạng tử thứ hai đa thức thương; - Thực tương tự trên: + Nếu đa thức dư có bậc nhỏ bậc đa thức chia phép chia tiếp tục Phép chia trường hợp gọi phép chia có dư + Nếu phép chia có dư gọi phép chia hết * Công nghệ θ : - Chia đơn thức cho đơn thức, nhân đơn thức với đa thức, cộng, trừ đa thức biến; - Định lí phép chia có dư * Lí thuyết Θ : - Định nghĩa đơn thức, đa thức, bậc đa thức; 1961 Tập 17, Số 11 (2020): 1957-1969 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM - Định lí bậc đa thức Sau bảng thống kê đặc trưng kiểu nhiệm vụ T1, T2: Bảng Các đặc trưng kiểu nhiệm vụ T1 Kĩ thuật Kết phân tích A(n) thành nhân tử Biểu thức bị chia A(n) 55n +1 − 55n 54 n∈ 54.55n − 25 n∈ 4n ( n + ) −4 n∈ 5n ( 5n + ) ( n − 1)( − 2n ) − n ( n + 5) n∈ −3 ( n + 1) n ( 2n − 3) − 2n ( n + 1) n∈ −5n n3 − n 6=2.3 n∈ ( n − 1) n ( n + 1) n ( n + 1) + 2n ( n + 1) 6=2.3 n∈ n ( n + 1)( n + ) n + 2n − n − 2n 24=3.8 n∈ ( n − 1) n ( n + 1)( n + ) ( 2n + ) ( 5n + ) τ 1a τ 1b Đặc trưng biến n Số chia a Vị trí tốn Bài tập SGK Ví dụ SGK Bài tập SGK Bài tập SBT Bài tập SBT Bài tập SGK Bài tập SBT Bài tập SGV Bảng Các đặc trưng kiểu nhiệm vụ T2 Kĩ thuật τ2 Thực phép chia hai đa thức biến ( 2x − 13 x + 15 x + 11x − 3) : ( x − x − 3) ( x − 3x + ) : ( x + 1) ( x − x + − x ) : ( x − 3) ( x − 3x − 3x − + x ) : ( x − ) ( 3x + x + x − 5) : ( x + 1) ( x + x − 3x + x − ) : ( x − x + 1) ( x − x − x + ) : ( x + 1) ( x − x + x + x ) : ( x − x + 3) ( x + 13x − 5) : ( x + 5) ( x − x + x − 3) : ( x − 3) (12 x − 14 x + − x + x ) : (1 − x + x ) 2 τ2 4 3 2 2 2 2 2 1962 Đa thức thương x2 − 5x + 5x − Đa thức dư −5 x + 10 x2 + 2x −1 x − 3x + 3x + x − Vị trí tốn Ví dụ SGK Bài tập SGK 5x − 2 x + 3x − 3x − x + x2 + x 3x − x2 + x2 − x + Bài tập SGK Bài tập SBT Nguyễn Thiện Chí Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM (x − x − 3x + 3x + x3 − 5) : ( + x − 3x ) x3 − 2 x − 3x + x2 − 9x − x2 − 5x + 2x +1 2x2 + x + ( x − 5x + x + x − 1) : ( x − x − 1) ( x − x + x + 13x − 11) : ( x − x + 3) ( x − 10 x + 3x − 3x + ) : ( x + 1) ( x + x − x − x − 3) : ( x − 3) 4 4 3 2 2 b) Phân tích thơng tin Phân tích Bảng lời giải trình bày SGK, SBT, SGV cho phép rút nhiều nhận xét đáng ý Chúng đặc trưng cho ràng buộc ngầm ẩn SGK lên kiểu nhiệm vụ T1và kĩ thuật tương ứng: * Đặc trưng biểu thức bị chia A(n): - Biểu thức bị chia A(n) ln phân tích thành nhân tử theo biến n; - Tất toán mà SGK, SBT, SGV đề nghị biểu thức bị chia biểu thức biến * Đặc trưng số chia a: Số chia a xuất kết phân tích biểu thức A(n) thành nhân tử số chia a phân tích thành tích hai thừa số nguyên tố * Đặc trưng biến n: Tất toán thuộc kiểu nhiệm vụ T1 đề cập SGK, SBT, SGV yêu cầu chứng minh chia hết với số nguyên n số tự nhiên n, tức biến n nhận giá trị tùy ý tập hợp số nguyên tập hợp số tự nhiên, khơng có tập u cầu chứng minh chia hết trường hợp biến n nhận giá trị tập hợp tập hợp số tự nhiên (hoặc tập hợp số nguyên) Chẳng hạn, n số nguyên chia cho dư n bội số 5… * Từ bảng thống kê cho thấy kĩ thuật τ 1a thể chế ưu tiên (có 5/8 tốn sử dụng τ 1a ) Phân tích Bảng lời giải trình bày SGK, SBT, SGV cho phép rút nhận xét sau: Tất toán thuộc kiểu nhiệm vụ T2 đề cập SGK SBT xét đa thức biến có đặc trưng sau: - Đa thức bị chia đa thức chia đa thức với hệ số nguyên; - Thương phép chia hai đa thức biến có hệ số nguyên đa thức có hệ số nguyên (trong hai trường hợp phép chia hết phép chia dư)  Bước Dự đốn HĐDH Những phân tích làm nảy sinh câu hỏi ảnh hưởng ràng buộc SGK lên mối quan hệ HS kiểu nhiệm vụ T1, T2: * Đối với kiểu nhiệm vụ T1: HS ứng xử trước tình giải kiểu nhiệm vụ T1, biến n nhận giá trị tập tập số tự nhiên (hoặc tập hợp số nguyên)? Chẳng hạn ( n p, p ∈  ), n số tự với n số nguyên lẻ ( n = 2k + 1, k ∈  ), n số tự nhiên chẵn= 1963 Tập 17, Số 11 (2020): 1957-1969 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM nhiên chia cho dư ( n =5q + 4, q ∈  )… Trong trường hợp biến n phụ thuộc vào biến k, p, q Do đó, giải tốn chứng minh chia hết liệu HS có quan tâm đến phụ thuộc biến n nêu hay không? Từ ghi nhận trên, chúng tơi dự đốn tồn HS quy tắc sau HĐDH gắn với kiểu nhiệm vụ T1: R1: “Khi giải toán chứng minh biểu thức A chia hết cho số tự nhiên (khác 1) HS ngầm hiểu rằng: Biểu thức bị chia A phụ thuộc vào biến (chẳng hạn biến n) n nhận giá trị tùy ý tập hợp số tự nhiên tập hợp số nguyên Khi đó, HS cần thực thao tác kĩ thuật τ 1a τ 1b mà khơng cần xét xem biến n có phụ thuộc vào biến hay không?” * Đối với kiểu nhiệm vụ T2: HS ứng xử trường hợp kết thương phép chia hai đa thức biến với hệ số nguyên (xét phép chia hết phép chia dư) đa thức có hệ số số nguyên? Từ ghi nhận trên, chúng tơi dự đốn tồn HS quy tắc sau HĐDH gắn với kiểu nhiệm vụ T2: R2: “Khi thực phép chia hai đa thức biến với hệ số nguyên HS ngầm hiểu rằng: Thương phép chia hai đa thức đa thức với hệ số nguyên”  Bước Thiết kế tình kiểm chứng HĐDH Để kiểm chứng quy tắc R1 dự đoán, HS yêu cầu giải hai tốn sau: Như phân tích trên, kĩ thuật τ 1a thể chế ưu tiên nên chúng tơi chọn hai tốn thực nghiệm nhằm hướng HS đến việc vận dụng τ 1a để giải toán Bài Biết n số tự nhiên chia cho dư Chứng minh n − chia hết cho Sự ngắt quãng hợp đồng toán thể điểm sau: - Biến n phụ thuộc vào biến thương phép chia n cho * Các chiến lược gắn liền với 1: Để giải tốn HS chọn chiến lược sau phụ thuộc vào cách hiểu “nghĩa” chữ n S11 : Chiến lược “Số” chữ n gán cho số tự nhiên chia cho dư Gán giá trị số n vào biểu thức n − biểu thức ( n + 1)( n − 1) Chiến lược sinh từ cách hiểu “nghĩa” kí hiệu chữ n chữ gán giá trị nên dẫn đến HS quan niệm để giải toán cần chọn số cụ thể số tự nhiên chia cho dư S 21 : Chiến lược xác định biểu thức bị chia theo biến (là thương phép chia cho) Chiến lược thể quan niệm đúng, xuất phát từ cách hiểu “nghĩa” chữ n “Biến n phụ thuộc vào biến thương phép chia n cho 5” sau sử dụng kĩ thuật τ 1a giải tốn sau: 1964 Nguyễn Thiện Chí Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Vì n =5q + ( q ∈  ) nên n2 − = ( n + 1)( n − 1) = ( 5q + 5)( 5q + 3) = ( q + 1)( 5q + 3) n − 1= ( 5q + ) − 1= ( 5q + 8q + 3) * Nhận xét: Nếu mong muốn HS vận dụng hai kĩ thuật để giải kiểu nhiệm vụ T1 từ tốn 1, thay đổi giả thiết số chia để toán sau: “Biết n số tự nhiên lẻ không chia hết cho Chứng minh n − chia hết cho 24” Do khuôn khổ báo nên chúng tơi khơng trình bày phần thực nghiệm toán Bài Cho m số nguyên chia cho dư 1, n số nguyên chia cho dư Chứng minh ( mn − ) chia hết cho Sự ngắt quãng hợp đồng toán thể điểm sau: - Biểu thức bị chia ( mn − ) phụ thuộc vào hai biến m, n khơng phân tích thành nhân tử theo hai biến * Các chiến lược gắn liền với 2: Để giải toán HS chọn chiến lược sau phụ thuộc vào cách hiểu “nghĩa” hai kí hiệu chữ m, n S12 : Chiến lược “Số”: Chữ m gán cho số nguyên chia cho dư 1, chữ n gán cho số nguyên chia cho dư Chiến lược sinh từ cách hiểu “nghĩa” kí hiệu chữ m, n chữ gán giá trị S 22 : Chiến lược xác định biểu thức bị chia theo hai biến (là thương hai phép chia cho) Chiến lược thể quan niệm đúng, xuất phát từ cách hiểu “nghĩa” chữ m, n “Hai biến m, n phụ thuộc vào hai biến thương hai phép chia cho” sau sử dụng kĩ thuật τ 1a giải toán sau: m =3q + 1( q ∈  ) , n =3 p + ( p ∈  ) nên ( mn − = ) ( pq + 2q + p ) Để kiểm chứng quy tắc R2 dự đoán, HS yêu cầu giải hai toán sau: * Kiểm chứng quy tắc R2 dự đoán trường hợp phép chia có dư Bài Cho hai đa thức A= x3 − x + x + B = −2 x + x + Thực phép chia A cho B giải thích phép chia khơng thể tiếp tục? Hãy xác định thương dư phép chia Sự ngắt quãng hợp đồng toán thể điểm sau: Thương phép chia A cho B đa thức với hệ số hữu tỉ * Các chiến lược gắn liền với 3: S13 : Chiến lược đa thức thương với hệ số nguyên −1 Phép chia khơng thể tiếp tục x : −2 x =là số hữu tỉ ( )( 1965 ) Tập 17, Số 11 (2020): 1957-1969 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Đa thức thương: −2x , đa thức dư: x + x + S 23 : Chiến lược đa thức thương với hệ số hữu tỉ có bậc nhỏ bậc đa thức chia (bậc 2) Đa thức thương: −2 x − , đa thức dư: x + 2 * Kiểm chứng quy tắc R2 dự đoán trường hợp phép chia hết Bài Cho hai đa thức A = x + x + x − B = x + x + Thực phép chia A cho B giải thích phép chia khơng thể tiếp tục? Hãy xác định thương dư phép chia Sự ngắt quãng hợp đồng toán thể điểm sau: Thương phép chia A cho B đa thức với hệ số hữu tỉ * Các chiến lược gắn liền với 4: Phép chia khơng thể tiếp tục đa thức dư x + S14 : Chiến lược đa thức thương với hệ số nguyên −1 Phép chia tiếp tục − x : x = số hữu tỉ Đa thức thương: x , đa thức dư: − x − x − ( )( ) S 24 : Chiến lược đa thức thương với hệ số hữu tỉ Phép chia tiếp tục dư Đa thức thương: x − , đa thức dư:  Bước Thực nghiệm Đối tượng thực nghiệm Thực nghiệm tổ chức cho 161 HS lớp trường THCS Võ Việt Tân, Tiền Giang Phân tích kết thu thập ghi nhận Bảng đây: Kết bình luận Bảng Kết gắn liền với Bài Chiến lược Số liệu Tổng số Tỉ lệ S11 S 21 Không trả lời 112 69,5% 15 9,3% 34 21,2% Bảng cho thấy, có 112/161 HS (69,5%) lựa chọn chiến lược S11 để giải tốn, có 46,6% HS phân tích biểu thức ( n − 1) thành nhân tử không quan tâm đến việc biến n phụ thuộc vào biến số (là thương phép chia n cho 5) mà gán cho n giá trị số cụ thể chia dư vào biểu thức ( n − 1)( n + 1) để số cụ thể chia hết cho Chẳng hạn, cách trình bày điển hình quan sát là: “Thay n = 19 vào 1966 Nguyễn Thiện Chí Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM 1) 20.18 = 360 chia hết cho 5” Mặt khác, có biểu thức ( n − 1)( n + 1) ta (19 + 1)(19 − = 22,9% HS gán cho n giá trị số cụ thể vào biểu thức ( n − 1) xét phép chia tập hợp số cụ thể Chẳng hạn, cách trình bày điển hình quan sát là: “Thay n = vào biểu thức ( n − 1) ta 81-1= 80 chia hết cho 5” Đặc biệt có 15/161 HS (9,3%) sử dụng S 21 để giải toán Điều cho thấy HS quan tâm đến điều kiện biến n phụ thuộc vào biến Như vậy, kiểm chứng giả thuyết tồn quy tắc R1 Bảng Kết gắn liền với Bài Chiến lược Số liệu Tổng số Tỉ lệ S12 S 22 Không trả lời 103 63,9% 12 7,5% 46 28,6% Bảng cho thấy, có 103/161 HS (63,9%) lựa chọn chiến lược S12 để giải tốn, lí giải điều biểu thức ( mn − ) khơng phân tích thành nhân tử theo biến m, n HS không quan tâm đến biến m, n phụ thuộc vào biến nên gán cho m, n giá trị số thích hợp để giải tốn Chẳng hạn, cách trình bày điển hình quan sát là: “Cho m = 10 chia cho dư n = 23 chia cho dư ta ( mn − ) =10.232=228 chia hết cho 3” Đặc biệt, có 12/161 HS (7,5%) sử dụng S 22 để giải tốn Điều cho thấy HS quan tâm đến điều kiện biến m, n phụ thuộc vào biến Như vậy, lần với Bài toán 2, kiểm chứng tồn quy tắc R1 Bảng Kết gắn liền với Chiến lược Số liệu Tổng số Tỉ lệ S13 S 23 Không trả lời 126 78,2% 35 21,8% 0% Bảng cho thấy, có 35/161 HS (21,8%) lựa chọn S 23 để giải toán, đặc biệt có đến 126/161 HS (78,2%) chọn chiến lược S13 để giải tốn với giải thích điển hình quan −1 sát là: “Khơng thể chia tiếp tục ( x ) : ( −2 x ) =là phân số”, “Phép chia tiếp tục ( x ) : ( −2 x ) 2 −0,5 ( x ) : ( −2 x ) = 2 số thập phân”, “Phép chia tiếp tục kết khơng phải số nguyên”, “Phép chia dừng lại hệ số đa thức thương phải số nguyên”, “Phép chia khơng thể tiếp tục thương có hệ số phân số” 1967 Tập 17, Số 11 (2020): 1957-1969 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Các giải thích chứng tỏ HS chia hai đa thức biến với hệ số nguyên thương nhận đa thức với hệ số nguyên Như vậy, kiểm chứng tồn quy tắc R2 trường hợp phép chia có dư Bảng Kết gắn liền với Bài Chiến lược Số liệu Tổng số Tỉ lệ S14 S 24 Không trả lời 125 77,6% 36 22,4% 0% Bảng thống kê cho thấy, có 36/161 HS (22,4%) lựa chọn S 24 để giải toán, đặc biệt có đến 125/161 HS (77,6%) chọn chiến lược S14 để giải tốn với giải thích điển −1 hình quan sát là: “Khơng thể chia tiếp tục ( − x ) : ( x ) = phân số”, “Phép chia tiếp tục ( − x ) : ( x ) = −0, 25 số thập phân”, Phép chia dừng lại hệ số đa thức thương phải số nguyên”, “Phép chia tiếp tục thương có hệ số phân số” Các giải thích chứng tỏ HS chia hai đa thức biến với hệ số ngun thương nhận ln đa thức với hệ số ngun Nhìn chung giải thích tốn tương tự giải thích tốn Như vậy, chúng tơi kiểm chứng giả thuyết tồn quy tắc R2 trường hợp phép chia hết Tóm lại, quy tắc R2 kiểm chứng hai trường hợp phép chia hết phép chia có dư Kết luận Để giải toán chứng minh biểu thức A(n) (phụ thuộc n) chia hết cho số tự nhiên a (a khác 1) HS quan tâm đến việc phân tích A(n) thành nhân tử, từ tìm điều phải chứng minh, phụ thuộc biến n vào biến không xem xét Do đó, dẫn đến HS mắc phải sai lầm giải toán trường hợp mà biến n phụ thuộc vào biến HS ngầm hiểu thực phép chia hai đa thức biến với hệ số nguyên kết nhận thương đa thức với hệ số nguyên HS phạm phải sai lầm trường hợp đa thức bị chia đa thức chia đa thức biến với hệ số nguyên, thương đa thức với hệ số nguyên Như vậy, dựa vào công cụ HĐDH phát số sai lầm HS giải toán chia hết tập hợp số nguyên toán chia đa thức biến, thấy ảnh hưởng mối quan hệ thể chế lên quan niệm HS Do khuôn khổ hạn chế báo nên nghiên cứu này, chưa đề cập quy tắc HĐDH gắn với kiểu nhiệm vụ “Thực phép chia đơn thức cho đơn thức” “Thực phép chia đa thức cho đơn thức” Điều thực nghiên cứu 1968 Nguyễn Thiện Chí Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM  Tuyên bố quyền lợi: Tác giả xác nhận hồn tồn khơng có xung đột quyền lợi TÀI LIỆU THAM KHẢO Annie Bessot, Claude Comiti, Le Thi Hoai Chau, & Le Van Tien (2009) Nhung yeu to co ban cua Didactic Toan [The basic elements of math didactic] Ho Chi Minh City National University Publishing House Tran, A D (2011) “Hop dong day hoc” – Mot cong cu de nghien cuu sai lam cua hoc sinh [“Didactic contract” – A a tool to study students’ mistakes] Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, (25), 78-87 Phan, D C (2004) Sach giao khoa Toan 8, tap [Math textbook 8, volume 1] Educational Publishing House Phan, D C (2004) Sach giao vien Toan 8, tap [Math teacher book 8, volume 1] Educational Publishing House Ton, T (2004) Sach bai tap Toan 8, tap [Math exercises volume 1] Educational Publishing House ANALYSING STUDENTS’ MISTAKES WHEN SOLVING DIVISION AND POLYNOMIAL PROBLEMS FROM THE “DIDACTIC CONTRACT” APPROACH Nguyen Thien Chi Vo Viet Tan Secondary School, Tien Giang Corresponding author: Nguyen Thien Chi – Email: thienchi67@gmail.com Received: January 17, 2020; Revised: March 26, 2020; Accepted: November 25, 2020 ABSTRACT In this article, we use the concept of “didactic contract” introduced by Guy Brousseau in 1980 as a tool to analyse students’ mistakes From the analysis of Math textbooks and exercises for Grade volumes 1, this article proposes two rules of “didactic contract” related to solving division and polynomial division problems: design situations to verify “didactic contract” and conduct an experiment The research results show that many students commit mistake of solving these problems, which derived from the “didactic contract” approach: “When students solve problems proving that A(n) (n is a natural number or an integer) is divisible by a natural number other than and 1, students commit a mistake by not considering the condition of variable n depends on new variables” and “Students’ mistake in thinking that the quotient of a polynomial division of a variable with an integer coefficient is a polynomial with an integer coefficient” Keywords: division problems; polynomial division; didactic contract; student mistakes 1969 ... hợp đa thức bị chia đa thức chia đa thức biến với hệ số nguyên, thương đa thức với hệ số nguyên Như vậy, dựa vào công cụ HĐDH phát số sai lầm HS giải toán chia hết tập hợp số nguyên toán chia đa. .. phép chia hết * Công nghệ θ : - Chia đơn thức cho đơn thức, nhân đơn thức với đa thức, cộng, trừ đa thức biến; - Định lí phép chia có dư * Lí thuyết Θ : - Định nghĩa đơn thức, đa thức, bậc đa thức; ... gốc sai lầm HS Thực tế dạy học cho thấy, phần lớn HS thường phạm phải sai lầm học kiến thức gắn liền với phép chia hết tập hợp số nguyên phép chia đa thức Do đó, để minh họa cho cách tiếp cận