(Luận văn thạc sĩ) một số phương pháp dạy học nội dung bất đẳng thức trong chương trình trung học phổ thông theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGÔ MINH TUẤN MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC NỘI DUNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHƢƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG THEO HƢỚNG TÍCH CỰC HĨA HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGÔ MINH TUẤN MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC NỘI DUNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHƢƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG THEO HƢỚNG TÍCH CỰC HĨA HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MƠN TỐN) Mã số: 60 14 10 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Vũ Lƣơng HÀ NỘI – 2011 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lịch sử nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu Khách thể nghiên cứu đối tƣợng nghiên cứu .3 Phạm vi nghiên cứu Giả thiết khoa học Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Dạy học nghiên cứu 1.1.1 Khái niệm dạy học tích cực 1.1.2 Đặc trƣng phƣơng pháp dạy học tích cực 1.1.3.Các phƣơng pháp hình thức dạy học tích cực .9 1.1.4 Vai trò giáo viên học sinh dạy học tích cực 1.2 Dạy học theo mục tiêu nhận thức 10 1.2.1 Khái niệm dạy học theo mục tiêu nhận thức .10 1.2.2 Những đặc điểm học thiết kế theo mục tiêu nhận thức 14 1.3 Dạy học theo dự án 15 1.1.1 Khái niệm “dạy học theo dự án” 15 1.3.2 Những đặc điểm học thiết kế theo dự án .16 1.3.3 Lập dự án quan điểm sai lệch cách tiếp cân dự án 18 1.3.4 Bộ câu hỏi khung chƣơng trình 20 1.3.5 Vai trò giáo viên, học sinh công nghệ dạy học dự án 22 1.3.6 Một số ý thực dạy học dự án 23 1.4 Dạy học tự nghiên cứu 25 1.4.1 Khái niệm “Dạy học tự nghiên cứu” 25 1.4.2 Những đặc điểm dạy học tự nghiên cứu .25 1.4.3 Vai trò giáo viên, học sinh công nghệ dạy học tự nghiên cứu 28 1.4.4 Kiểm tra đánh giá 30 1.4.5 Một số ý thực dạy học tự nghiên cứu 30 Chƣơng 2: XÂY DỰNG KẾ HOẠCH BÀI DẠY NỘI DUNG BẤT ĐẲNG THỨC THEO HƢỚNG TÍCH CỰC 31 2.1 Kế hoạch dạy nội dung bất đẳng thức theo mục tiêu nhận thức 31 2.1.1 Kế hoạch dạy học, kiểm tra đánh giá 31 2.1.2 Các phiếu điều tra .34 2.1.3 Bài soạn chi tiết 38 2.1.4 Kiểm tra, đánh giá 48 2.2 Kế hoạch dạy nội dung bất đẳng thức theo dự án 56 2.2.1 Kế hoạch dạy 56 2.2.2 Tài liệu hỗ trợ học sinh .62 2.2.3 Kiểm tra, đánh giá sau dự án 72 2.3 Kế hoạch dạy tự nghiên cứu nội dung bất đẳng thức 87 2.3.1 Kế hoạch dạy 87 2.3.2 Hợp đồng học tập, kiểm tra đánh giá 100 2.3.3 Các tập bổ xung 101 104 Chƣơng : THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM VÀ NHỮNG ĐỀ XUẤT 3.1 Thực nghiệm sƣ phạm kết so sánh đối chứng 104 3.1.1 Mục đích, nhiệm vụ, phƣơng pháp hình thức thực nghiệm 104 3.1.2 Quy trình thực nghiệm kết 105 3.2 Các đề xuất 115 3.2.1 Về phƣơng diện phƣơng pháp, hình thức quản lí 115 3.2.2 Về phƣơng diện nội dung 116 117 KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN 118 TÀI LIỆU THAM KHẢO DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ bđt (BĐT) Bất đẳng thức đpcm Điều phải chứng minh GQVĐ Giải vấn đề GTTĐ Giá trị tuyệt đối GTLN Giá trị lớn GTNN Giá trị nhỏ HĐ Hoạt động PPDH Phƣơng pháp dạy học SGK Sách giáo khoa 10 THPT Trung học phổ thơng 11 VD Ví dụ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nghị Hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung ƣơng Đảng Cộng Sản Việt Nam (Khóa VII, 1993) rõ: “Mục tiêu giáo dục – đào tạo phải hƣớng vào đào tạo ngƣời lao động tự chủ, sáng tạo, có lực giải vấn đề thƣờng gặp, qua mà góp phần tích cực thực mục tiêu lớn đất nƣớc dân giàu, nƣớc mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh.” Những sáng tạo nghiên cứu tốn học phổ thơng kết nghiên cứu phạm vi kiến thức toán học phổ thơng vơ khó khăn Chính ngƣời giáo viên thiếu sáng tạo hoạt động giảng dạy chắn hiệu dạy học giáo dục cho học sinh học sinh có khiếu toán hạn chế Bất đẳng thức có vai trị quan trọng tốn học, bất đẳng thức không đối tƣợng nghiên cứu mà cịn cơng cụ đắc lực mơ hình tốn học liên tục nhƣ rời rạc, lí thuyết phƣơng trình, xấp xỉ Trong chƣơng trình tốn học trung học phổ thơng, bất đẳng thức nội dung thƣờng xuất kì thi học sinh giỏi cấp, kì thi đại học cao đẳng Nghiên cứu bất đẳng thức dƣới nhiều hình thức phƣơng pháp khác đem tới cho giáo viên nhƣ học sinh nhiều cách tiếp cận, phát huy tối đa tính sáng tạo tƣ nghiên cứu khoa học thực cho học sinh Tuy bất đẳng thức nội dung khó, khơng có lựa chọn kĩ phƣơng pháp phù hợp dẫn đến việc truyền thụ chiều nội dung khó bất đẳng thức thƣờng phải vận dụng nhiều kiến thức kĩ năng, điều tốn nhiều thời gian cho việc tích lũy tƣ duy, mâu thuẫn với điều khung chƣơng trình đóng phổ thơng, lựa chọn hình thức dạy học phù hợp khoa học giúp cho học sinh có đủ điều kiện cần thiết thời gian công nghệ trợ giúp làm cho hiệu giảng dạy nội dung đạt hiệu cao Xu hƣớng giảng dạy tốn nói riêng phổ thơng là: - Tiết kiệm thời gian thuyết trình, giảng dạy lớp - Xây dựng kĩ giải toán cách hiệu đơn giản - Tiếp cận hình thức dạy học đại nhằm phát huy tối đa sáng tạo, tính chủ động tƣ nghiên cứu khoa học nhƣ tận dụng ƣu thân học sinh, công nghệ vào q trình dạy học Với lí trên, chọn đề tài “Một số phương pháp dạy học nội dung bất đẳng thức chương trình trung học phổ thơng theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức học sinh” Lịch sử nghiên cứu Các sách viết bất đẳng thức cấp trung học phổ thơng có nhiều, phong phú nội dung chúng đƣợc khẳng định qua ấn phẩm tác giả tiếng nƣớc nhƣ: Phan Huy Khải, Nguyễn Vũ Lƣơng, Nguyễn Văn Mậu, Đặng Hùng Thắng, Trần Phƣơng, Đặng Kim Hùng … Tuy nhiên việc dạy nội dung bất đẳng thức phổ thơng nhƣ nào? Các hình thức giảng dạy nội dung bậc phổ thơng với khung chƣơng trình bó hẹp liệu cải tiến hình thức khác đƣợc khơng? …Vấn đề chƣa có tác giả đề cập đến Chính đề tài nói đóng góp hình thức giảng dạy nội dung bất đẳng thức theo hƣớng tích cực Mục tiêu nghiên cứu - Nghiên cứu sở lí luận, hình thức vận dụng đƣợc phƣơng pháp dạy học theo mục tiêu nhận thức, dạy học theo dự án dạy học tự nghiên cứu nội dung bất đẳng thức chƣơng trình trung học phổ thơng Qua nâng cao hiệu giảng dạy, bồi dƣỡng học sinh u thích có khiếu tốn học Khách thể nghiên cứu đối tƣợng nghiên cứu 4.1 Khách thể nghiên cứu Quá trình bồi dƣỡng học sinh giỏi cấp trung học phổ thông ôn thi đại học 4.2 Đối tƣợng nghiên cứu Phƣơng pháp dạy học theo mục tiêu nhận thức, dạy học theo dự án dạy học tự nghiên cứu nội dung bất đẳng thức chƣơng trình trung học phổ thơng Phạm vi nghiên cứu Do hạn chế thời gian nên luận văn nghiên cứu vấn đề sau: hình thức dạy học theo mục tiêu nhận thức, dạy học theo dự án dạy học tự nghiên cứu nội dung bất đẳng thức chƣơng trình trung học phổ thơng Cơ sở lí luận, phƣơng pháp, bƣớc tiến hành triển khai hình thức dạy học Các hình thức dạy học tích cực khác nội dung không nằm khuôn khổ đề tài Giả thuyết khoa học Áp dụng hình thức dạy học theo mục tiêu nhận thức, dạy học theo dự án dạy học tự nghiên cứu cho nội dung bất đẳng thức chƣơng trình trung học phổ thơng khơng giúp cho học sinh nâng cao tƣ duy, hoàn chỉnh kĩ chứng minh bất đẳng thức mà giúp cho học sinh hình thành khả tự học, tự nghiên cứu đồng thời tập luyện cho học sinh phƣơng pháp làm việc nghiên cứu sáng tạo Tốn học nói chung Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu, phân tích tài liệu phƣơng pháp dạy học, dạy học tích cực, lí luận chung dạy học theo mục tiêu nhận thức, dạy học theo dự án dạy học tự nghiên cứu, đồng thời tham khảo chƣơng trình, dự án dạy học đƣợc triển khai cho cấp Các sách giáo khoa sách nâng cao bất đẳng thức - Phƣơng pháp chuyên gia: Tham khảo ý kiến chun gia, thầy giáo mơn Tốn bất đẳng thức phƣơng pháp dạy bất đẳng thức chƣơng trình trung học phổ thơng Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm có chƣơng Chƣơng 1: Cơ sở lí luận đề tài Chƣơng 2: Xây dựng kế hoạch dạy nội dung bất đẳng thức theo hƣớng tích cực Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm đề xuất CHƢƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Dạy học tích cực 1.1.1 Khái niệm dạy học tích cực Phƣơng pháp dạy học tích cực (PPDH tích cực) thuật ngữ để phƣơng pháp giáo dục, dạy học theo hƣớng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo ngƣời học PPDH tích cực hƣớng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhận thức ngƣời học, nghĩa tập trung vào phát huy tính tích cực ngƣời học khơng phải tập trung vào phát huy tính tích cực ngƣời dạy, ngƣời dạy tạo điều kiện phƣơng tiện, ngƣời hƣớng dẫn, điều khiển, trọng tài… nhân vật trung tâm học, tiết học hay đơn vị kiến thức, để dạy học theo phƣơng pháp tích cực giáo viên phải nỗ lực nhiều so với dạy theo phƣơng pháp thụ động "Tích cực" PPDH tích cực đƣợc dùng với nghĩa hoạt động, chủ động, trái nghĩa với không hoạt động, thụ động không dùng theo nghĩa trái với tiêu cực [12] Giữa cách dạy ngƣời thầy cách học học sinh có mối quan hệ khăng khít, hai chiều Chẳng hạn, có trƣờng hợp học sinh địi hỏi cách dạy tích cực hoạt động nhƣng giáo viên chƣa đáp ứng đƣợc, có trƣờng hợp giáo viên hăng hái áp dụng PPDH tích cực nhƣng khơng thành cơng học sinh chƣa thích ứng, quen với lối học tập thụ động Vì vậy, giáo viên phải kiên trì dùng cách dạy hoạt động để xây dựng cho học sinh phƣơng pháp học tập chủ động cách vừa sức, từ thấp lên cao Trong đổi phƣơng pháp dạy học phải có hợp tác thầy trò, phối hợp nhịp nhàng hoạt động dạy với hoạt động học thành cơng Nhƣ vậy, việc dùng thuật ngữ "Dạy học tích cực" để phân biệt với "Dạy học thụ động" CHƢƠNG THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM VÀ NHỮNG ĐỀ XUẤT 3.1 Thực nghiệm sƣ phạm kết so sánh đối chứng 3.1.1 Mục đích, nhiệm vụ, phương pháp hình thức thực nghiệm 3.1.1.1 Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sƣ phạm luận văn “Một số phƣơng pháp dạy học nội dung bất đẳng thức chƣơng trình trung học phổ thơng theo hƣớng tích cực hóa hoạt động nhận thức học sinh” nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi, hiệu đề tài thực tế áp dụng đồng thời bổ xung trở lại nội dung đề tài nhƣ đề xuất cải tiến phƣơng diện liên quan đến trình dạy học giáo dục nhà trƣờng 3.1.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm - Thực giảng dạy theo phƣơng pháp bao gồm dạy học theo mục tiêu nhận thức, dạy học tự nghiên cứu, dạy học theo dự án nội dung bất đẳng thức lớp bao gồm lớp 10 lớp 12 với đối tƣợng có trình độ khác để đánh giá tính khả thi đề tài thực tế - Đánh giá kết học sinh lớp thông qua kiểm tra nhanh lớp, qua kết tự nghiên cứu báo cáo học sinh hay nhóm học sinh sau q trình nhằm có kết luận tính hiệu thiết kế giảng trình bày dự án nhƣ điều chỉnh cần thiết áp dụng 3.1.1.3 Phương pháp hình thức thực nghiệm Giảng dạy trực tiếp lớp với thiết kế giảng trình bày chƣơng luận văn Cụ thể nhƣ sau: Đối với lớp 10A1 (45 học sinh) giảng dạy với thiết kế giảng theo mục tiêu nhận thức Đánh giá thông qua kiểm tra nhanh lớp kết làm tập giao nhà Lớp 10A1 lớp chọn với hầu hết học sinh có học lực giỏi mơn tốn cấp trung học sở, lớp 10A2 lớp bao 105 gồm học sinh có học lực khá, giỏi mơn Tốn Tồn giảng đƣợc trình bày tiết cho lớp 10A1(mỗi tiết 45 phút) kiểm tra chung hai lớp 10A1 10A2 với kiểm tra cuối để kiểm chứng Đối với lớp 12A1 giảng dạy với thiết kế giảng theo dự án nội dung bất đẳng thức Đánh giá kết giảng dạy thông qua báo cáo cuối trình Đây lớp chọn với 45 học sinh hầu hết học sinh giỏi mơn tốn Đối với thiết kế giảng tự nghiên cứu, tác giả tiến hành thực nghiệm 15 học sinh lớp 12A1 học sinh lớp 12A2 Đây học sinh có học lực mơn toán tốt lớp chọn khối 12 nhà trƣờng Kết đánh giá thực nghiệm đƣợc lấy từ báo cáo kết tự nghiên cứu nhóm 3.1.2 Quy trình thực nghiệm kết Đối với hai lớp 10A1 10A2, trình thực nghiệm đƣợc tiến hành tuần từ 29 tháng 11 năm 2010 đến 11 tháng 12 năm 2010 Các bƣớc tiến hành thực nghiệm lớp 10A1 bám sát kế hoạch giảng Kết điểm (đã làm tròn đến số nguyên) thu đƣợc sau chấm kiểm tra chung nhƣ sau: (TN : Thực nghiệm, ĐC : Đối chứng) Bảng 3.1: Kết điểm kiểm tra thực nghiệm Giáo viên dạy Tác giả Điểm kiểm tra SL Lớp Điểm TB HS 10 TN 10A1 45 0 12 7,511 ĐC 10A2 45 0 11 10 6,800 106 (Các kết dùng để thông báo cho học sinh biết làm đánh giá kết thực nghiệm không dùng nhƣ điểm để đánh giá vào sổ cho điểm sau thi hết học kì I.) Từ kết kiểm tra chung đánh giá việc hoàn thành phiếu tập nhà ta rút số thống kê kết luận nhƣ sau: - Bảng thống kê điểm kiểm tra thực nghiệm theo tỷ lệ phần trăm giỏi, khá, trung bình, yếu Bảng 3.2: Bảng phầm trăm điểm xếp loại Đối Số Điểm (1-4) tƣợng HS SL % SL 10A1 TN 45 2,22 10A2 ĐC 45 8,89 Lớp Điểm (5-6) Điểm (7-8) Điểm (9-10) % SL % SL % 10 22,22 21 46,66 13 28,9 14 31,11 21 46.67 13,33 Biểu đồ 3.1: So sánh kết đối chứng 50 45 40 35 30 25 20 15 10 Yếu Trung Bình Khá Giỏi 107 10A2 ; 10A1 Một số kết luận: - Bất đẳng thức nội dung khó, việc lựa chọn phƣơng pháp dạy học có vai trị quan trọng, với việc tập trung vào hay hai kĩ thiết kế phiếu tập nhà mức nhận thức, khuyến khích học sinh tìm tịi hỗ trợ kĩ phù hợp giúp học sinh đạt đƣợc kết tốt - Số học sinh đạt điểm giỏi lớp thực nghiệm chứng tỏ học sinh hiểu sâu vấn đề lựa chọn phƣơng pháp giải tập Điều đồng nghĩa với việc dạy thực nghiệm đạt kết tốt thiết kế giảng có tính khả thi - Việc khảo sát học sinh mẫu phiếu cho thấy học sinh thích phƣơng pháp dạy học theo mục tiêu nhận thức phƣơng pháp dạy học truyền thống trƣớc Các em tự giác cố gắng việc làm tập, tự học nhà có cố gắng tìm tịi tài liệu học tập phục vụ cho việc hoàn thành nhiệm cụ đƣợc giao Đối với hai lớp 12A1 12A2, quy trình thực nghiệm đƣợc tiến hành ngày 31 tháng 10 năm 2011 đến ngày 30 tháng 11 năm 2011 Đối với kế hoạch dạy theo dự án dạy học tự nghiên cứu lớp 12A1 12A2 Sau chấm báo cáo kết tự nghiên cứu cho thấy học sinh tích cực với phƣơng pháp dạy học nhiên cần có thêm nhiều điều kiện cần thiết để phƣơng pháp dạy học đạt kết tốt (sẽ đề cập mục 3.2) Sau số kết nghiên cứu bật kết đƣợc đề cập đến báo cáo kết thúc dự án nhóm 3.1.2.1 Một số kết báo cáo học sinh sau dự án * Sử dụng kĩ thuật đồng bậc, chuẩn hóa, pqr, lƣợng giác hóa … để chứng minh số bất đẳng thức đại số: 108 Bài 1: Cho a, b, c ba số không âm, chứng minh rằng: S  a  ab  b2  c  cb  b2  a  ac  c  (a  b  c ) Giải: Do bất đẳng thức nhất, đồng bậc nên ta chuẩn hóa cách đặt: a  b  c  Theo BĐT Bunhiacopski ta có: 2 2    b   3b        b b (a  ab  b )   a       a     (a  b)2          2        2  a  ab  b2  Tƣơng tự ta có: c  cb  b2  3(a  b) 3(c  b) ; c  ca  a  3(c  a )  S  3(a  b  c)  Dấu xảy khi: a  b  c  Bài 2: Cho số thực dƣơng a,b,c thỏa mãn hệ thức: ab  bc  ca  abc Chứng minh BĐT: S  b2  2a c  2b2 a  2c    ab cb ac Giải: a Đặt x = , y = 1 ,z= điều kiện trở thành: x  y  z  BĐT trở b c thành: S  x  2y  y  2z  z  2x  Theo BĐT Bunhiacopski ta có: (x  2y )2 (y  2z )2 (z  2x )2 3(x  y  z ) S      3 3 109 (đpcm) Dấu xảy x  y  z  / hay a  b  c  Bài 3: Cho số thực dƣơng x, y, z có tích Chứng minh BĐT: S  1    x (y  z ) y (x  z ) z (y  x ) Giải: a Đặt x = , y = 1 , z = điều kiện trở thành: abc  BĐT trở thành: b c S  a2 b2 c2    b c a c b a Áp dụng BĐT Cô – si mở rộng ta có ngay: (a  b  c )2 a  b  c 3 abc S     2(a  b  c ) 2 Dấu xảy a  b  c  hay x  y  z  Bài 4: Cho số dƣơng x, y, z thỏa mãn điều kiện: 1    x y z Chứng minh BĐT: x  yz  y  xz  z  yx  xyz  x  y  z Giải: a Đặt x = , y = 1 , z = điều kiện trở thành: a  b  c  b c Khi BĐT trở thành: a  bc  b  ac  c  ab   ab  bc  ca Ta có: a  bc  a(a  b  c)  bc  a  2a bc  bc  (a  bc )2  a  bc Tƣơng tự ta có: 110 b  ac  b  ac ; c  ab  c  ab Cộng BĐT lại ta đƣợc BĐT cần chứng minh Dấu xảy a  b  c  / hay x  y  z  Bài 5: Cho số dƣơng a, b, c Chứng minh: S  ab bc ca    3(a  b2  c ) c a b Giải: Dễ thấy BĐT đồng bậc nên ta chuẩn hóa cách đặt a  b2  c  Khi BĐT trở thành : S  ab bc ca    c a b Do S dƣơng nên theo BĐT Cô – si ta có: a 2b2 b2c c 2a a 2b2 a 2c b2c 2 2S  (   b )  (   a )  (   c )  3(a  b2  c ) c a b c b a  6(a  b2  c )   S   S  (đpcm) Dấu xảy a  b  c  Bài Chứng minh  a, b, c  R ta có: a c  a  c2  a b  a  b2  b c  b2  c Giải: Đặt a = tg; b = tg, c= tg Biểu thức cần chứng minh:  tg  tg tg  tg tg  tg   1 cos cos cos cos  cos  cos  sin( - )  sin( - )+sin(  - ) Ta có: sin( - ) = sin([ - ) + (- )] 111 = sin( - ).cos( - ) + sin(- ).cos(-)  sin( - ).cos( - )+ sin(- ).cos(-)  sin( - )+ sin(- )  Biểu thức cần chứng minh Bài 7: Cho x, y, z chứng minh: 0  x, y, z   xy  yz  zx  Chứng minh: x y z 3     x2  y2  z2 Giải: Do x, y, z  [0,1] xy + yz + zx = A   x  tg  B  A B B C C A  y  tg đặt  (vì  A, B, C góc ) ta có tg tg  tg tg  tg tg  2 2 2 C  z  tg   A B C tg tg   3 Bất đẳng thức trở thành: C B A  tg  tg  tg 2 2 tg  tgA + tgB + tgC  3 BĐT  đpcm 3.1.2.2 Một số kết tự nghiên cứu học sinh * Sử dụng bất đẳng thức Jensen hệ để chứng minh số bất đẳng thức đại số lƣợng giác Bất đẳng thức Jensen Cho x 1; x ; ; x n  I , 1; 2; ; n  0;1 cho 1  2   n  Khi đó: a) Nếu f hàm lõm I thì: f (1x  2x   n x n )  1f (x )  2 f (x )   n f (x n ) 112 b) Nếu f hàm lồi I thì: f (1x  2x   n x n )  1f (x )  2 f (x )   n f (x n ) Hệ quả: Cho hàm số f lõm I x 1; x 2; x n  I , m 1, m 2, m n  Đặt m  m  m   m n ; 1  ta có 1; 2 ; ; n  0;1 m1 m m ; 2  n  n m m m cho 1  2   n  Từ ta có  m x  m 2x   m n x n f 1  m  m   m n  Do ta lấy 1   n  f(        m f x  m f x   m n f x n   m  m   m n  ta có: n   f (x )  f x   f (x n ) x  x   x n ) n n Kết thƣờng dùng - Nếu hàm f lõm I x,y  I thì: f(  f (x )  f y x y ) 2  1     2  - Nếu hàm f lõm I x,y,z  I thì: f(  f ( x )  f y  f (z ) x y z ) 3 Các tập áp dụng Bài Cho x 1, x 2, , x n  thỏa mãn điều kiện x  x   x n  Chứng minh rằng: x1 x2 xn n      x1  x 2  x n 2n  Giải: Xét hàm f x     x 0;2 ta có : 2x 113   f' x   2x   ;f " x   x1 x2 xn =     x1  x 2  xn  2x     0x  0;2 Vì  x  x   x n n  n  f (x )  nf  i  n  =  2n  Bài 2: (Chứng minh lại bất đẳng thức Bunhiacopski bất đẳng thức Jensen) Cho a1, a2, , an , b1, b2, , bn Chứng minh rằng: a     a 22   a 2n b21  b22   b2n  a1b1  a2b2   anbn  Giải: Xét: f (x )  x  f '(x )  2x  f ''(x )    f (x ) lõm R Sử dụng bất đẳng thức Jensen với 1, 2, n  ta có:      2 n  f n x1  n x   n xn     i i      i i 1 i 1  i 1  n  k 1 k f (x k ) n  i 1 i Từ suy ra:  x   x    x         1 2 n n   1x  2x   n x n Đặt i  bi ; x i      2   n   x 1  1x 12   n x 12 vào bất đẳng thức ta có bi a b  a b 1 n 1x 12  2x 22   n x n  1  2   n 2   anbn   a 2   a22   an b12  b22   bn Bài 3: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: sin A sin B sin C  Giải: 114 3   Vì sinA, sinB, sinC > nên ta có: sin A sin B sin C        3 3  ln sin A  ln sin B  ln sin C  ln 8 Xét f (x )  ln  sin x  , x   0;    f "  1  ; f(x) lồi khoảng 0;  sin x   Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có:  sin A  sin B  sin C  ln sin A  ln sin B  ln sin C  ln    ln   3  ln       (Đpcm) Bài Gọi A, B, C góc tam giác ABC, chứng minh bất đẳng thức: sin A  3B B  3C C  3A sin sin  sin A sin B sin C 4 Giải: Xét hàm số: f x   sin x có f ' x   cos x , f " x    sin x      x  0;   f(x) lồi 0;  ta có:         f A f B f B f B A B B B ) 4 A  3B A B B B  sin  sin  4 sin A  sin B  sin B  sin B   sin A sin B f( Tƣơng tự: sin B  3C C  3A  sin B sin C ; sin  sin C sin A 4 Nhân ba bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Bài Gọi A, B, C góc tam giác ABC, chứng minh bất đẳng thức: sin A B C A B C  sin  sin  t an  t an  t an   2 2 2 Giải: Xét hàm số: f x   sin x  t an x có f ' x   cos x  115 , cos2 x sin x  sin x cos3 x f " x   sin x  cos x (  sin x )  0 cos4 x cos3 x  f(x) lõm theo bất đẳng thức Jensen ta có: V T  sin A  B C A  B C  t an  sin 300  t an 300   6 3.2 Các đề xuất 3.2.1 Về phương diện phương pháp, hình thức quản lí 3.2.1.1 Về phương diện phương pháp Nói chung tình hình dạy học nay, phƣơng pháp dạy học tiên tiến, đại đƣợc giáo viên cố gắng khai thác, áp dụng chỉnh sửa để phù hợp đối tƣợng học sinh Việt Nam nhƣ sở vật chất, trang thiết bị có Tuy vậy, phƣơng pháp hay hình thức dạy học đạt kết cao áp dụng phƣơng pháp kiểm tra, đánh giá phù hợp Với khung chƣơng trình đóng nhƣ nay, khó cho giáo viên thực phƣơng pháp dạy học cần nhiều thời gian Chính hình thức dạy học trƣờng hè, dạy học tự nghiên cứu song song dạy học lớp hình thức dạy học mở khác cần thiết để học sinh có hội học tập cách chủ động, tích cực rèn luyện phƣơng pháp tự học, tự nghiên cứu cho học sinh 3.2.1.2 Về phương diện hình thức quản lý Mỗi hình thức, phƣơng pháp dạy học cần cách quản lí tƣơng thích Với phƣơng pháp dạy học theo mục tiêu nhận thức, việc quản lí học sinh lớp dễ nhiều so với hai phƣơng pháp dạy học lại đƣợc nêu luận văn này, nhiên khó khăn việc hiểu rõ đối tƣợng học sinh nằm mức nhận thức để chia nhóm phân tách hoạt động với mức thích hợp khoảng thời gian cố định Vì giáo viên phải đặc biệt lƣu ý đến việc khảo sát học sinh trắc nghiệm nhanh, quan sát mức độ tiến họ nhƣ soạn phiếu tập, hoạt động học tập cách kĩ lƣỡng Với phƣơng pháp dạy học theo dự án 116 dạy học tự nghiên cứu việc quản lí học sinh khó khăn hầu nhƣ hoạt động học tập diễn nhà trƣờng, mức độ tiến bộ, tích cực, tự giác học sinh khó kiểm chứng đánh giá, giáo viên cần liên tục kiểm tra hay yêu cầu học sinh (nhóm học sinh) báo cáo q trình tự học thông qua mẫu phiếu điều tra báo cáo phần công việc đƣợc phân công Cùng với học sinh, giáo viên liên tục phải cập nhật thơng tin khoa học để cung cấp cho họ tài liệu, nội dung môn học cách kịp thời Hai hình thức dạy học theo dự án dạy học tự nghiên cứu đòi hỏi học sinh cần phải biết sử dụng có trang thiết bị cơng nghệ, địi hỏi khó khăn nơi mà công nghệ thông tin hay internet cịn chƣa phổ cập Khi giáo viên phải ngƣời giúp em tìm tài liệu tham khảo nhƣ giải ván đề phát sinh tự học tự nghiên cứu 3.2.2 Về phương diện nội dung Không phải nội dung chƣơng trình áp dụng hay tất các phƣơng pháp dạy học kể trên, tùy vào tình hình học sinh cụ thể, mức độ đáp ứng sở vật chất khả giáo viên mà ta linh hoạt áp dụng phƣơng pháp dạy học tích cực với nội dung dạy học Nội dung dạy học cần đáp ứng nhu cầu học sinh chuẩn đầu hành Khơng nên để nội dung chiếm nhiều thời gian học tập học sinh họ phải hồn thành nhiều mơn học trƣờng phổ thông Nội dung bất đẳng thức học sinh thơng thƣờng khó, tác giả chọn phƣơng pháp dạy học nhƣ để tăng thời lƣợng giảng dạy nhƣ tự học, điều giúp học sinh không tải lớp đồng thời giúp họ tự xếp thời gian tự học nhà để hoàn thành học 117 KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN Từ q trình nghiên cứu lí luận thực tiễn đổi phƣơng pháp dạy học áp dụng cho học sinh khá, giỏi mơn tốn bậc trung học phổ thông nội dung bất đẳng thức, rút số kết luận nhƣ sau: Trong xu hội nhập phát triển mạnh mẽ nhƣ nay, phƣơng pháp dạy học tiếp cận chuẩn quốc tế Việc phát triển kĩ làm việc nhóm, kĩ tự nghiên cứu cho học sinh trƣờng THPT có vị trí quan trọng, tảng cho phát triển em sau mục tiêu giáo dục phổ thông Luận văn trình bày đƣợc khái niệm, tính chất đặc điểm phƣơng pháp dạy học tích cực sâu phân tích yếu tố phƣơng pháp dạy học tích cực cụ thể dạy học theo mục tiêu nhận thức, dạy học theo dự án dạy học tự nghiên cứu Luận văn xây dựng đƣợc thiết kế dạy theo mục tiêu nhận thức, kế hoạch dạy theo dự án kế hoạch dạy tự nghiên cứu nội dung bất đẳng thức, đồng thời thiết kế công cụ khảo sát, kiểm tra, đánh giá thích hợp với nội dung dạy Luận văn trình bày số kết tự nghiên cứu trích số kết báo cáo cuối dự án học sinh Điều bƣớc đầu thể khả tự học, tự nghiên cứu học sinh Đồng thời thƣớc đo cho thích hợp phƣơng pháp tính khả thi đề tài Kết thực nghiệm phần thể đƣợc hiệu đề tài Luận văn này, trƣớc hết có ý nghĩa to lớn tác giả Mong luận văn đóng góp phần nhỏ bé việc đổi phƣơng pháp dạy học tài liệu tham khảo có ích cho đồng nghiệp 118 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Hữu Châu Những vấn đề chương trình trình dạy học Nxb Giáo dục 2004 Vũ Cao Đàm Phương pháp luận nghiên cứu khoa học Nhà xuất Giáo dục, 2008 Nguyễn Văn Hiến Bất đẳng thức tam giác Nhà xuất Hải Phịng, 2000 Đặng Thành Hƣng Tạp chí Phát triển giáo dục, Số 10/2004 Bùi Thị Hƣờng Phương pháp dạy học mơn Tốn trung học phổ thơng theo định hướng tích cực Nxb Giáo dục Việt Nam 2010 Phan Huy Khải 10.000 toán sơ cấp – Bất đẳng thức Nhà xuất Hà Nội, 1998 Nguyễn Vũ Lƣơng (Chủ biên), Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng Các giảng bất đẳng thức Cô – si Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 Nguyễn Vũ Lƣơng (Chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng Các giảng bất đẳng thức Bunhiacopski Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2007 Nguyễn Vũ Lƣơng Phương pháp dạy học mơn Tốn nhà trường THPT Khoa Sƣ phạm, Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2005 10 Nguyễn Vũ Lƣơng Một số kinh nghiệm giảng dạy cho Học sinh khiếu Toán – Tin theo mục tiêu nhận thức Khối Chuyên Toán – Tin, trường ĐHKHTN-ĐHQG-HN http://ntson.wordpress.com, 9/2010 11 Thiết kế dự án hiệu http://www97.intel.com/vn/ProjectDesign/ 12 Vũ Hồng Tiến Một số phương pháp dạy học tích cực Khoa Giáo dục Chính trị, Đại học Sƣ Phạm Hà Nội http://fpe.hnue.edu.vn 16/03/2007 13 Lê Quang Sơn Dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học Đại học Đà Nẵng, www.ud.edu.vn/bankhcnmt/zipfiles/So9/7_son_lequang_9.doc 119 ... bảo đƣợc tự học sinh hoạt động nhận thức 10 1.1.4.2 Vai trò học sinh dạy học tích cực Học sinh đóng vai trò trung tâm, chủ động hoạt động học Đối với phƣơng pháp dạy học tích cực học sinh khơng...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGÔ MINH TUẤN MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC NỘI DUNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHƢƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG THEO HƢỚNG TÍCH CỰC HĨA HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC... theo phƣơng pháp dạy học 31 CHƢƠNG XÂY DỰNG KẾ HOẠCH BÀI DẠY NỘI DUNG BẤT ĐẲNG THỨC THEO HƢỚNG TÍCH CỰC 2.1 Kế hoạch dạy nội dung bất đẳng thức theo mục tiêu nhận thức 2.1.1 Kế hoạch dạy học, kiểm