Biểu diễn số nguyên tố bởi các dạng toàn phương bậc hai nguyên

- - ỘSP BỌ GIÁO DỤC VA ĐÀO TAO TRƯỜNG ĐÁI HỌC SƯ PHÀM THÁNH PHO HO CHÍ MINH *** NGUYỄN HUYNH NGỌC XỤÁN BIỄU DIỄN SO NGUYỄN TO BỜI CÁC DÁNG TOÁN PHƯỜNG BÁC HÁI NGUYỄN Chuyên ngành: Đại sô' va lý thuyết sô' Mà Sô': 604605 LUÁN VÁN THÁC SY TỐN HỌC Người hướng dàn khơà hơc: PGS.TS Mỵ Vinh Quang Thanh Ho Chí Minh, năm 2006 - - MUC LỤC Trang Trang phụ bìa Mục lục .2 Mở đầu .3 Chương 1: Kiến thức cở bần .4 1.1 Ky hiếu Lếgrendrế .4 1.2 Ky hiếu Jacobi 10 1.3 vanh cac so ngụyến đai so 11 Chương 2: Tình Euclidế cua vanh cac so' ngụyến đai so bậc hai 14 2.1 Miến Euclidế .14 2.2 Ví dụ vế miến Euclidế 15 2.3 Ví dụ vế miến khong Euclidế .27 Chương 3: Biếu diếnsố- ngụyến to dươi dang toan phương bạc hai ngụyến .33 3.1 Bo đế 33 3.2 Bo đế 34 3.3 Định ly 36 3.4 Định ly 37 3.5 Định ly 39 3.6 Một so' ham so' hoc 41 Tai liếu tham khao 47 -3- MỞ ĐẦU Một so nguyên n gọi biểu diễn dạng toàn phương bậc hai nguyên: ax2 + bxy + cy2 (à, b, c e Z) cộ số nguyên x, y cho n = ax2 + bxy + cy2' Bài toán biểu diên cac so' nguyên to dang toan phương bạc hai nguyên la mOt bai toan quan va co nhiêu ưng dung cua ly thuyết soi Trong luân van chung toi nghiên cưu tính Euclidê cua cac vanh so' nguyêncua trương mơ rong bạc 2, cua trương cac so hưu tỉ Q va sau đo ưng dung no đê nghiên cứu mọt so' cach biêu diên cua so nguyên to p bơi cac dang toan phương bạc hai nguyên Luạn van gom co chương: Chương 1: Kiến thưc ban Nêu định nghĩa va tính chất cua ky hiêu Lêgêndrê va Jacobi Định nghĩa va mO ta vanh so' nguyên đai so' cua trương Q (4m ) Chương 2: Tính Euclidê cua vanh cac so' nguyên đai so' bạc hai Chung toi nghiên cưu nao vanh so' nguyên đai so' bạc hai la miên Euclidê va khOng la miên Euclidê Chương 3: Biêu diên so' nguyên to' dươi dạng toan phương bạc hai nguyên Ap dung chương va chương đê’ xêt xêm nao so' nguyên to' p biêu diên đươc dươi dạng toan phương bạc hai nguyên va cho trươc mọt so' n ta co thê tính đươc ươc d cua n co thê’ biêu diên đươc va tong cac ươc đo Toi xin gơi lơi cam ơn đên cac thay, co khoa toan trương ĐH Sư phạm TP.HCM va cac thay co đa tham gia giảng dạy toi suOt qua trình hoc tạp Đạc biêt la PGS.TS Mỵ Vinh Quang đa nhiêt tình va danh nhiêu thơi gian đê hương dan, giup toi viêc chon đê tai va thực hiên luạn van -4- Đất s’ = < 12,22 p-1 1l2 -5ía1 * Nếu a la thặng dư bậc theo modun p ta co — = hay co x0 cho a = (modp), mạt khấc (xo, p) =1 nến theo định ly Fecma ta co x0 = = (modp) ma I — I = nến a =1 -ấ I (modp) -1 (modp) ^ a = x0 lp) lp) a1 * Nếu a la bất thang dư bạc theo modun p ta co: — = -1 Vậy I - I = aP-1 (modp) l p ) p-1 (a, p) = ^ a = (modp) x2 (modp) ^ a = xp = (modp) Ta lai co moi thang dư đeu thoa Z = (modp) bất thang dư đeu khong thoa Nen a = -1 (modp) (Vì a la bất thang dư theo modun p) Vây I — I ■ a (modp) lp) ~ V ,\a1íb Nêu a = b (modp) ta co — = I — lp) ^—I = vôi moi p nguyên to lê Chưng minh: That vay, phương trình x2 = (modp) cung co nghệim \-11 = (-1)2-1 l p) Chưng minh: Ap dung tính chất (1) vơi a = -1 Ta co: I - = (-1)~ (modp) < p) v Hai vế cua đong dư thưc lấy gia trị la hoăc -1 va p la so nguyên to le nen va -1 la khấc lơp theo modun p đo ta co (-1 (1 1-1 a1a2 ak p -6- Ta co: a1a2 ak lp, lp> ^ nện a1a2 ak lp> ^ a1a2 ak lp> Chứng minh: ab2ì a chất 1) ]'(a1a2 ak) (modp) (tính ) p- \ p 12 ,.ak2 (modp) ma — ■ 1' a1-1 a ì f M (modp) a a ìí )lp) 1'1 p K Jl LI ak ì a ìí a 1=1 p K n p Jl 1ab2ì 1aVb2ì 1— 1b2 Hệ qua: — lp 1a ì— — 1' a (mod p) lp)1 1aì, 1a —— | = — vì1 —— = p)p Yi = ri 8i Yi = p - Yi - Như vay cOng thức (3) vế ta đươc: -8_pỊ B > 0) P1 Đặt A= ( PX1 r+i1; )-B P1= X r (A, ka S i >0 S i Nếu p, q hai sơ' ngun tơ' le phân biệt ta co (a> , Họ- ( rC (q > (r - 1)2 - 6S2 > (r + 1)2 - 6S2 > - Tà lài co: r2 r2 - 6S2 < < S1 < 12 -6S 2 42 ^ m > 20 + 8-s/ó = ^/2 +5/3 (V3) > V3m -1 y/2m -1 ^/m 2 = + > - „ V2m -1 V3m -1 ^ u e Z: —-7-— < u < —-7-— - Đặt t _ 2u + ^ rt so nguyên lê [2m < t2 < 3m - Già sư ngươc lài Z + Zựm miên Euclidê Vì ộm hàm Euclidê nên vơi tVm m tà co Y, ỗ e Z + Z Vm : t Vm _ Ym + ỗ, ộm (ỗ) < ộm (m) Già sư Y _ x + y-s/m , x, y e Z ộm (ỗ) < ộm (m) «• (t-ựm - m(x + y Vm ) < ộm (m) ôã lm2x2 - m(t - my)2l < m2 ôã lmx2 - (t - my)2l < m Đàt X _ t - my, Y _ x (*) ^ IX2 - mY2l < m Màt khàc X2 - mY2 = X2 = t2 (mod m), 2m < t2 < 3m ^ X2 - mY2 _ t2 + km, k e Z nên ("" X2 - mY2 _ t2 - 2m -X2 - mY2 _ t2 - 3m * X2 - mY2 _ t2 - 2m t _ 2u + ^ t số- lê ^ t2 = (mod 8) m = (mod 4) ^ 2m = (mod 8) đo t2 - 2m _ -3 (mod 8) hay X2 - mY2 = (mod 8) Mà X = t - my la so' nguyên lẻ: ^ X2 = (mod 8) ^ mY2 = (mod 8) «• mY2 = (mod 4) Nếu Y = (mod 2) ^ Y2 = (mod 4)' m = (mod 4) ^ m = (mod 2) ^ mY2 = (mod 8) (vô ly) Nêu Y = (mod 2) ^ Y2 = (mod 4) Mà m = (mod 4) nên mY2 = (mod 4) (vo ly mY2 = (mod 8) ^ mY2 = (mod 4)) * X2 - mY2 = t2 - 3m t2 = (mod 8) ^ X2 - mY2 = t2 - 3m = - 3m (mod 8) ôã X2 - mY2 = - 3m (mod 8) Ta lai co X2 = (mod 8) Nên mY2 = 3m (mod 8) ^ m(Y2 - 3) = (mod 8) Hơn m = (mod 4) ^ m : ^ Y2 - : ^ Y2 - = (mod 4) ôã (mod 4) ) Y2 = (mod 4) (vo ly Y chan ^ Y2 = (mod 4), Y lê ^ Y2 = CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN SO NGUYÊN Tố DƯƠI DANG TOAN PHƯƠNG BẬC HAI NGUYỄN Một sô' nguyên n gọi biểu diễn dạng toàn phương bậc hai ax + bxy + cy2; a,b,ceZ cô sộộ nguyên x, y cho n = ax2 + bxy + cy2 Ví du: 31 biểu diên dang toan phương dang: x2 + xy + 3y2 31 = 12 + 1.3 + 3.32 khong biểu diên dang x2 + 5y2 khong co x, y e Z: = x2 + 5y2 Trong phan nay, ta sê nghiên cưu xem nao so nguyên to p biểu diên dang toan phượng bâc nguyên 3.1 BỔ đề Cho m la so nguyên khong phượng cho Z + Zy/m la miên Iđêan p la so nguyên to lê vỢi ky hiêu Lêgêndrê: ^m^ = ton tai so nguyên u, v cho: p = u2 - mv2 "m < _ m > va T, U e Z: T2 - mU2 = -1 p = u2 - mv2 p = mv2 - u2 m > v a khong co so nguyên T, U cho T2 - mU2 = -1 Chưng minh: Vì m I = nên ton tai x e Z: x2 = m (mod p) lp) & x - m : p ôã p \ (x - Vm )(x + Vm ) x y m - ^ = x+2.ựm Ể Z + Z Vm ^ p X x ±>/m Z + Z Vm ppp ^ p khong nguyên to Z + Z Vm ma Z + Z Vm la miên Iđêan ^ p khong bất kha quy Z + Z Vm Gia sư p = (u + vVm )(w + tVm ); u + vVm , w + tVm e Z + Z Vm u + vựm , w + t>/m : khong kha nghịch Z + Z>/m p = uw + vtm + (ut + vw^/m Vì m sơ' ngun khơng phương nên nên pp = uw + vtm(vì m sơ' ngun khơng phương) _ut + vw = p2 = (uw + vtm)2 = (uw + vtm)2 - m(ut + vw)2 p2 = (u2 - mv2)(w2 - mt2) Mà u + vVm , w + tVm không khà nghịch Z + z Vm ^ u2 - mv2 ^ ±1, w2 - mt2 ^ ±1 pnên = u2 - mv2 = w2 - mt2 p = -(u2 - mv2) = -(w2 - mt2) Nếu m < u2 - mv2 > ^ p = u2 - mv2 Nêu m > cô T, U e Z: T2 - mU2 = -1 thì: p = u2 - mv2 hôàc p = -(u2 - mv2) = (T2 - mU2)(u2 - mv2) = T2u2 - mT2v2 - mU2u2 - m2U2v2 = T2u2 + m2u2v2 = 2mTUuv - m(T2v2 + U2u2 + 2TvuU) = (Ttu + mTUv)2 - m(Tv + Uu)2 = u’2 - mv’2 Trông đô: u’ = Tu + mUv ; v' = Tv + Uu Nêu m > không cô sô' nguyên T, U: T2 - mU2 = -1 p = u2 - mv2 hôàc p = -(u2 - mv2) 3.2 BỔ đề Chô m = (môd 4) sô' nguyên khơng phương, sàơ chơ z + Z1 + 2™ miên Iđêàn p sơ' ngun tơ' lê vơi ^—^ = tơn tài sơ' ngun u, v sàô chô p = u2 + uv + 2(1 - m)v2 nêu m < hôàc nêu m > cô sô' nguyên T, U sàô chô: T2 + TU + 2(1 - m)U2 = -1 p = u2 + uv + 2(1 - m)v2 hôàc (u2 + uv + 2(1 - m)U2) 44 nêu m > không cô sô' nguyên T, U: t2 + TU + 2(1 - m)U2 = -1 Trong Chứngđo: minh: _ 1+ Vm A +*Jm „ „ + vm Vì I m I = ^ z e Z: Zu2 += vm, (mod w + t p) eZ+Z_ 22l p 2 + vm + vm ,, , ,, , , , , ~ ~1 + vm Đặt y = r z, z lẻ w + t—đẻu khong kha nghịch Z + Z—2~ v—^—, p - z, z chan v V t V vtm ut + vw I— ^(1) y la ^ pso= lẻ I uva +y -72 =II m w (mod + -7 1p) + —— + 7— Vm V2K2J4 Đặt x = j(y - 1) Vì m la so khong phứớng Xẻt 4(x2 + x + (1 - m)) = (2x + 1)2 - m = y2 - m = (mod p) -y/ m ( vy t V vtm u + v—7— (2) p = I u + — II w + -7 I + v L, —— ^/m r~ -V m V 2K J 4xl 2+— x + r— ±v m x + -’ , _ c , r~ Ể Z + Z1 +;m 11 ±v m Ta thấy: -2— = — x + — p pp „ n,.;., O, ,r7 , 71 + vm p khong nguyẻn to Z + Z—2— p khong bất kha quy Z + Z1 + m (vì Z + Z1 + m la miến Iđẻan với m = (mod4)) Gia sứ p = -A2 w+« V 7A (1) ut + vw = Nhàn (1) (2) vế theo vế tà được: p2 = (u2 + uv + (1 - m)v2)(w2 + wt + (1 - m)t2) 44 m = (mod 4), u2 + uv + 4(1 - m2)v2 ^ ±1, w2 + wt + 4(1 - m2)t2 ^ ±1 4 ... Y lê ^ Y2 = CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN SO NGUYÊN Tố DƯƠI DANG TOAN PHƯƠNG BẬC HAI NGUYỄN Một sô' nguyên n gọi biểu diễn dạng toàn phương bậc hai ax + bxy + cy2; a,b,ceZ cô sộộ nguyên x, y cho n = ax2... so nguyên n gọi biểu diễn dạng toàn phương bậc hai nguyên: ax2 + bxy + cy2 (à, b, c e Z) cộ số nguyên x, y cho n = ax2 + bxy + cy2' Bài toán biểu diên cac so' nguyên to dang toan phương bạc hai. .. so' nguyên đai so' bạc hai Chung toi nghiên cưu nao vanh so' nguyên đai so' bạc hai la miên Euclidê va khOng la miên Euclidê Chương 3: Biêu diên so' nguyên to' dươi dạng toan phương bạc hai nguyên