MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ CHỨA CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA A ĐẶT VẤN ĐỀ “Căn bậc hai, bậc ba” phạm trù kiến thức phức tạp, tương đối trừu tượng kiến thức học sinh lớp Khi gặp toán “có chứa bậc hai, bậc ba” không học sinh lúng túng phải đâu đặc biệt xoay xở Điều dễ hiểu học phần lý thuyết song số tập để củng cố, để khắc sâu, để bao quát hết dạng lại không nhiều, sức thuyết phục để lôi kéo hăng say học tập học sinh dạng toán mang tính chất phức tạp, trừu tượng, khó biến đổi Vì thấy có nhiều thắc mắc muốn xây dựng chuyên đề để phần giúp học sinh học tập tốt phần nên chọn đề tài : “một số toán có chứa bậc hai, bậc ba” để làm đề tài Qua giảng dạy phần “một số toán có chứa bậc hai, bậc ba” tự rút số vấn đề trọng tâm sau: Lý thuyết bậc hai, bậc ba Một số toán phương pháp giải Một số toán có dạng tổng đặc biệt nhờ vào số hạng tổng quát để biến đổi rút gọn Để học sinh nắm bắt kiến thức cách chặt chẽ lô gíc, giúp học sinh có khiếu nâng cao kiến thức cách có hệ thống theo chương trình tiếp thu lớp học hàng ngày đặc biệt học bậc THPT sau B PHẦN KIẾN THỨC I LÝ THUYẾT Định nghĩa bậc hai: x ≥ Với a ≥ , x = a ⇔ x = a Các công thức vận dụng 2.1 Hằng đẳng thức: A = A 2.2 Khai phương tích: A.B = A B với A ≥ 0, B ≥ 2.3 Khai phương thương: A = B A B với A ≥ 0, B > 2.4 Đưa thừa số từ vào từ dấu A B = A B với A ≥ ( A B = A B với A ≥ ) A B = − A B với A < ( A B = − A B với A < 0) 2.5 Khử mẫu biểu thức lấy căn: A = B AB với A.B ≥ 0, B ≠ B 2.6 Trục thức mẫu: a) b) A B C = A B với B > B A±B = C ( A B A − B2 ) C c) A± B ( C = A B A− B ) Định nghĩa bậc ba x = a ⇔ x3 = a Tính chất bậc ba 4.1 A.B = A.3 B 4.2 A = B A B với B ≠ II CÁC DẠNG TOÁN II.1 BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC Dạng phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn Ví dụ: Rút gọn biểu thức x2 + x 2x + x +1− với x > x − x +1 x Hướng dẫn giải x2 + x 2x + x +1− = x − x +1 x = x ( ) ( x ( ) )( ) x +1 x − x +1 +1− x − x +1 ( ) x x +1 x x +1 +1− x +1 = x + x +1− x −1 = x − x = x ( ) x −1 Dạng phân tích mẫu thành nhân tử quy đồng sau rút gọn Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức x+2 x + + x x −1 x + x +1 1− x : x −1 Với x > 0, x ≠ Hướng dẫn giải x+2 x x −1 + + x x −1 x + x +1 1− x : x+2 x = + + x − x + x + x + x + 1 − x x − x + + x x −1 − x + x +1 = x −1 x + x +1 x −1 ( )( ( ( ) ( ) ) ( )( ) ) x −1 x −1 x + x +1 x −1 = x + x +1 = ( )( ) Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức 3x + x − − x+ x −2 x +1 − x +2 x −2 với x > 0, x ≠ x −1 Hướng dẫn giải 3x + x − − x+ x −2 x +1 − x +2 x −2 x −1 = = = 3x + x − − ( ( ( )( ( ) ( x+3 x +2 = x −1 x + )( ) ( ) x +1 x −1 − x −1 x + )( )( )( x +1 x −1 x −2 x +2 x +2 )( x +2 ) ) ) x +1 x −1 II.2 BÀI TOÁN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức a) b) (3 + ) − 3 4−2 6− Hướng dẫn giải a) 4−2 = 6− ( ( −1 ) ) = (3 + ) −1 b) (3 + ) − 3 −1 = = 2 ( − 1) = ( 12 − = + ) (3 − ) = (3 + )(3 − ) = 2 Ví dụ 2: Cho x + x + 2014 y + y + 2014 = 2014 Tính tổng x + y Hướng dẫn giải Ta có: x + x + 2014 − x + x + 2014 = 2014 y + y + 2014 − y + y + 2014 = 2014 2 Từ (1) (2) suy ra: y + y + 2014 = − x + x + 2014 2 Từ (1) (3) suy ra: x + x + 2014 = − y + y + 2014 (1) (2) (3) (4) (5) Cộng (4) với (5) thu gọn ta x + y = −x − y ⇒ x + y = II.3 BÀI TOÁN CHỨNG MINH 1 − số hữu tỉ −3 +3 Ví dụ 1: Chứng minh hiệu: Hướng dẫn giải + 3− + 3 1 +3 −3 = − số hửu tỉ − = − = − 2−9 2−9 7 −3 +3 1 − Vậy : số hửu tỉ −3 +3 1− Ví dụ 2: Chứng minh rằng: hai số đối +1 Ta có: Hướng dẫn giải Ta có: ( )( ) 1− − −1 +1 + = =0 +1 +1 ( ) Vậy: 1− hai số đối +1 Ví dụ 3: Chứng minh tổng: 18 − 13 + 18 + 13 số nguyên tố Hướng dẫn giải Đặt x = 18 − 13 + 18 + 13 Ta có: x = 18 − 13 + 18 + 13 = 18 − 13 + 18 + 13 + 3 18 − 13 18 + 13 18 − 13 + 18 + 13 = 36 + 18 − 25.13 x = 36 − x ⇒ x + 3x − 36 = ⇔ ( x − 3) x + x + 12 = ⇔ x − = x + x + 12 > 0, ∀x ⇔ x=3 ( ) ( ) Vậy: 18 − 13 + 18 + 13 số nguyên tố II.4 BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH II.4.1 Một vài phương pháp a) Phương pháp nâng lũy thừa Ví dụ 1: Giải phương trình 2x − + = (1) Hướng dẫn giải (1) ⇒ x − = ⇔ x − = ⇔ x = ⇔ x = Đối chiếu điều kiện x = thỏa mãn Vậy x = nghiệm phương trình Điều kiện: x ≥ Ví dụ 2: Giải phương trình 4x + − x − = x − (1) Hướng dẫn giải Điều kiện: x ≥ (1) ⇔ 4x + = x − + x −1 ⇒ x + = x − + x − + x − x − ⇔ x + = x − x − ⇔ x + = x − x − ⇔ ( x + 2) = ( x − )( x − 1) x ≥ hai vế không âm ⇔ x + x + = x − 3x + ⇔ x = −2 −2 ⇔x= x= −2 không thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình vô nghiệm b) Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ: Giải phương trình x −1+ x − + x −1− x − = Hướng dẫn giải Điều kiện: x ≥ x −1+ x − + x −1− x − = ⇔ ( ) ⇔ x − +1 + x − +1 + ( ) x − −1 = x − −1 = (1) Với x − − ≥ ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ ta có (1) ⇔ x − + + x − − = Vì x − + > với ∀x ≥ ⇔ x−2 =1 ⇔ x=3 x = thỏa mãn điều kiện Với x − − < ⇔ < x < ta có (1) ⇔ x − + + − x − = ⇔ = thỏa mãn với < x < Kết hợp hai trường hợp ta có: Nghiệm phương trình là: < x ≤ c) Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ: Giải phương trình 8+ x−3 + 5− x−3 = Hướng dẫn giải Đặt: u = + x − ⇔ u ≥ 0, u = + x − Đặt: v = − x − ⇔ v ≥ 0, v = − x − u = u + v = v = ⇔ Ta có hệ phương trình: 2 u = u + v = 13 v = u, v ta tìm nghiệm phương trình x = Thay giá trị II.4.2 Một vài phương pháp khác a) Phương pháp sử dụng đối nghịch hai vế Ví dụ: Giải phương trình x + x + + 3x + x + = − x − x (1) Hướng dẫn giải VT = x + x + + 3x + x + = 2( x + 1) + + 3( x + 1) + ≥ + = Dấu ‘=’ xảy x = -1 VP = -(x +1)2 + ≤ Dấu ‘=’ xảy x = -1 Suy ra: x + x + + 3x + x + = − x − x ⇔ x + x + + 3x + x + = − x − x = x = Vậy x = nghiệm phương trình b) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Ví dụ: Giải phương trình x3 + + x = Hướng dẫn giải +) Với x > ta có: x3 + > 1; x > suy ra: VT = x3 + + x > = VP Vậy phương trình vô nghiệm +) Với x < ta có: x + < 1; x < suy ra: VT = x3 + + x < = VP Vậy phương trình vô nghiệm +) Với x = ta có : VT = x3 + + x = = VP Vậy Phương trình có nghiệm x = c) Phương pháp bất đẳng thức Ví dụ: Giải phương trình − x + x + = x + x + 13 (1) Hướng dẫn giải Điều kiện: − ≤ x ≤ Ta có: ( a + b ) ≤ 2( a + b ) với a, b suy ( ) − x + x + ≤ 2( − x + x + 1) = 16 ⇒ − x + x +1 ≤ Mặt khác : x + x + 13 = ( x + 3) + ≥ Vậy phương trình (1) tương đương với: − x + x + = x + x + 13 = ⇔ x = Vì x = thỏa mãn điều kiện Vậy x= nghiệm phương trình (1) BÀI TOÁN VỀ TỔNG ĐẶC BIỆT Ví dụ 1: Tính tổng a) + 1+ + 2+ + 3+ + + 4+ 2013 + 2014 Hướng dẫn giải 1+ + 2+ + 3+ + 4+ + + 2013 + 2014 −1 3− 4− 5− 2014 − 2013 + + + + + 1 1 = 2014 −1 1 1 1 1 + b) + + + + + + + + + + + 2 3 2013 20142 = Hướng dẫn giải Với n ∈ N* ta có: n ( n + 1) + ( n + 1) + n = n ( n + 1) 1 1+ + = n ( n + 1) ( n( n + 1) + 1) ( n( n + 1) ) = = ( n( n + 1) ) + 2n( n + 1) + ( n( n + 1) ) n( n + 1) + 1 1 = 1+ = 1+ − n( n + 1) n( n + 1) n n +1 Do : 1 1 1 1 + + + + + + + + + + + 2 2 3 2013 20142 1 1 1 1 = + − + + − + − + + + − 2 3 2013 2014 = 1.2013 + − 2014 2013 = 2013 + 2014 1 1 + + + + c) +1 + + 2014 2013 + 2013 2014 1+ Hướng dẫn giải Với n ∈ N* ta có: ( n + 1) n + n n +1 = n( n + 1) ( n +1 + n ) = n +1 − n n( n + 1) ( n + − n ) = n − n +1 Do 1 + + + + +1 + + 2014 2013 + 2013 2014 1 1 1 1 = − + − + − + + − 2 3 2013 2014 =1− 2014 =1− 2014 2014 Ví dụ 2: Cho S = 1.2013 2013 Hãy so sánh S 2014 + 2.2012 + + 2012.2 + 2013.1 Hướng dẫn giải Bất đẳng thức cauchy viết dạng: a.b > với a ≠ b a+b 2013 Áp dụng ta có: S > 2014 C BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Rút gọn biểu thức a) x2 − x x + x +1 − 2x + x x + 2( x − 1) x −1 b) x +2 x−5 x +6 − x +3 2− x x + 2 : 2 − x −3 − Bài 2: Chứng minh x x + 1 2303 +6 −3 27 2303 − số nguyên 27 Bài 3: Chứng minh rằng: x = − + + nghiệm phương trình x3 + 3x + = Bài 4: Giải phương trình a) 3x + 21x + 18 + x + x + = b) x − − x − = 3x − c) 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x Bài 5: Cho: P = 2− − 3− − 4− − − 2014 − 2015 P có phải số hữu tỉ không? Bài 6: Chứng minh 2004 < + 1 + + + < 2005 1006009 Bài 7: Chứng minh rằng: ∀n > 1, n ∈N thì: 1 1 + + + + +