Functional caculus cho các toán tử không bị chặn và các toán tử quạt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Hữu Hiệp FUNCTIONAL CALCULUS CHO CÁC TỐN TỬ KHƠNG BỊ CHẶN VÀ CÁC TOÁN TỬ QUẠT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Hữu Hiệp FUNCTIONAL CALCULUS CHO CÁC TỐN TỬ KHƠNG BỊ CHẶN VÀ CÁC TỐN TỬ QUẠT Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN TRÍ DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tốt nghiệp tơi thực hướng dẫn khoa học TS Trần Trí Dũng Các nội dung nghiên cứu kết tham khảo luận văn trích dẫn liệt kê đầy đủ mục Tài liệu tham khảo Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 09 năm 2019 PHẠM HỮU HIỆP LỜI CẢM ƠN Hai năm qua thật khoảng thời gian không dễ dàng đối bạn sinh viên trường phải cố gắng hoàn thành tốt nhiệm vụ quan cơng việc học tập, kể tơi Có thời điểm công việc nhiều tưởng chừng tiếp tục đường học vấn Nhưng, "Khó khăn qua Giống mưa cửa sổ, có tầm tã cỡ cuối trời quang mây tạnh" Để vượt qua khó khăn ấy, đường tơi ln có đồng hành gia đình, Thầy Cơ bạn bè Tại trường Đại học Sư Phạm TP HCM, học tập nhiều điều bổ ích chun mơn, đôi lúc mở mang thêm kiến thức xã hội Trên hết, cảm nhận nhiệt tình, tận tâm Thầy Cơ giảng viên, Thầy Cơ phịng sau đại học, đội ngũ nhân viên trường nói chung Thầy Cơ khoa Tốn - Tin học nói riêng Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy Cơ nhiệt tình, tận tâm Thời gian thực luận văn có lẽ thời gian khó khăn đầy áp lực riêng Nhưng may mắn thay, bên tơi ln có ủng hộ, động viên gia đình, người thân bạn bè Cảm ơn Cha, Mẹ, Anh em trai chỗ dựa tinh thần vững chắc, ln bên tơi lúc khó khăn, bế tắc đời Cảm ơn bạn ngồi nghe tâm nhàm chán, để giải tỏa căng thẳng mà gây Cảm ơn anh chị, bạn bè đồng môn bước qua hai năm học đầy gian nan nhiều thử thách Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cô trường THPT Chuyên Tiền Giang tạo điều kiện tốt để tiếp tục đường học vấn Cảm ơn Thầy Nguyễn Trọng Nghĩa với lời dạy, kinh nghiệm vô quý báu cách viết bảo vệ luận văn Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc chân thành đến Thầy hướng dẫn khoa học, TS Trần Trí Dũng, giảng viên khoa Toán - Tin học, trường Đại học Sư Phạm TP HCM tận tình hướng dẫn, có định hướng, góp ý vơ q báu để tơi điều chỉnh luận văn kịp thời Nhân đây, xin gửi lời cảm ơn đến tác giả tài liệu tham khảo Trong trình thực đề tài, dành nhiều nỗ lực, tâm huyết nghiêm túc nghiên cứu Tuy nhiên, đề tài thật mẻ hạn chế mặt kiến thức, thời gian khả tiếp cận nguồn tư liệu, luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý q Thầy Cơ bạn đồng môn Một lần nữa, xin cảm ơn tất người, chúc người thật nhiều sức khỏe thành cơng sống! Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 09 năm 2019 PHẠM HỮU HIỆP Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tổng trực tiếp không gian Banach 1.2 Đại số Banach Tốn tử khơng bị chặn 10 2.1 Tốn tử đóng 10 2.2 Functional calculus cho tốn tử đóng 14 Functional calculus cho toán tử quạt 16 3.1 Toán tử quạt 16 3.2 Khơng gian hàm chỉnh hình 26 3.3 The natural functional calculus 29 3.4 3.5 3.3.1 Functional calculus theo tích phân loại Cauchy 30 3.3.2 The natural functional calculus 33 3.3.3 Một số tính chất khác 37 3.3.4 Luật hợp thành 39 Sự mở rộng thông qua điều kiện phổ 41 3.4.1 Trường hợp A đơn ánh 42 3.4.2 Trường hợp ∈ ρ(A) 48 Tính bị chặn xấp xỉ 50 3.6 3.5.1 Xấp xỉ quạt 50 3.5.2 Tính bị chặn 50 3.5.3 Tính xấp xỉ hàm số 52 3.5.4 Kỹ thuật xấp xỉ McIntosh 54 Tính bị chặn H ∞ -Calculus 58 3.6.1 Định lý tính bị chặn Functional calculus 59 3.6.2 Tính Functional calculus 61 Kết luận kiến nghị 63 Tài liệu tham khảo 64 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU I Tốn tử đồng A Bao đóng tốn tử A A−1 Tốn tử khả nghịch toán tử A An Lũy thừa tự nhiên toán tử A C∞ Mặt phẳng phức mở rộng D(A) Miền xác định toán tử A R(A) Miền giá trị toán tử A N (A) Hạt nhân tốn tử A C(X, Y ) Khơng gian tốn tử đóng từ X vào Y C(X) Khơng gian tốn tử đóng từ X vào X L(X, Y ) Khơng giác tốn tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y L(X) Khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Banach X ρ(A) Tập giải thức toán tử A σ(A) Phổ toán tử A σ ˜ (A) Phổ mở rộng toán tử A R (·, A) Ánh xạ giải thức tốn tử A Sω Hình quạt với góc 2ω đối xứng qua trục thực Sω (0, R) Tập hợp Sω ∩ B(0, R) Sω (ε , ∞) Tập hợp Sω \B (0, ε ) O (Ω) Không gian hàm chỉnh hỉnh tập mở Ω ⊂ C Oc (Sϕ ) Khơng gian hàm chỉnh hình Sϕ bị chặn tập Sϕ ∩ {r ≤ |z| ≤ R} với < r < R < ∞ A (Sϕ ) Lớp hàm The natural functional calculus cho toán tử quạt A [Sω ] A (Sϕ ) ϕ>ω B (Sϕ ) Lớp hàm The natural functional calculus cho toán tử quạt đơn ánh B [Sω ] B (Sϕ ) ϕ>ω C (Sϕ ) Lớp hàm The natural functional calculus cho toán tử quạt khả nghịch C [Sω ] C (Sϕ ) ϕ>ω R∞ (Ω) Không gian hàm hữu tỷ bị chặn Ω R∞ (Ω) Không gian hàm hữu tỷ bị chặn Ω triệt tiêu ∞ H ∞ (Ω) Khơng gian hàm chỉnh hình bị chặn tập mở Ω ⊂ C∞ C (Ω) Không gian hàm liên tục không gian compact địa phương Ω C0 (Ω) Không gian hàm liên tục triệt tiêu ∞ không gian compact địa phương Ω ◦ A(K) Không gian hàm liên tục K ⊂ C∞ chỉnh hình K ωA Góc phổ toán tử quạt A Aε Xấp xỉ quạt tốn tử A DR (Sϕ ) Lớp Dunford-Riesz góc quạt Sϕ DR [Sϕ ] DR (Sϕ ) ϕ>ω DR0 (Sϕ ) Không gian hàm chỉnh Sϕ ∩ {0} tắt dần ∞ DRext (Sϕ ) Lớp Dunford-Riesz mở rộng góc quạt Sϕ DRext [Sϕ ] DRext (Sϕ ) ϕ>ω ψt Phép dãn hàm ψ với hệ số t dương ψa,b Hàm số sử dụng kĩ thuật xấp xỉ McIntosh Sect (ω) Lớp tốn tử quạt với góc ω khơng gian Banach X τ Hàm ΛA Toán tử τ (A)−1 = (1 + A)A−1 (1 + A) Γϕ Biên định hướng dương góc quạt Sϕ Γϕ,δ Biên định hướng dương của Sϕ ∪ Bδ (0) C (f, ω ) Hằng số đặc trưng, xác định f ∈ DRext (Sϕ ) ω < ϕ z (1 + z)2 Mở đầu Xét không gian Banach X = C[0, 1] hàm liên tục nhận giá trị phức khoảng đơn vị Mỗi hàm f ∈ X xác định tốn tử tuyến tính bị chặn Mf = (g → f g) : C[0, 1] → C[0, 1] X gọi toán tử hợp thành liên kết với f Phổ miền giá trị f [0, 1] f Cho hàm liên tục tùy ý ψ : σ Mf → C, ta xét toán tử hợp thành Mψ◦f liên kết với ψ ◦ f Điều cho ta đồng cấu đại số (algebra homomorphism) Φ = ψ → Mψ◦f : C σ Mf Do ta có Φ(z) = Mf Φ (λ − z)−1 = R λ, Mf → L(X) với λ ∈ ρ Mf toán tử Φ (ψ) đơn giản hợp thành ψ (f (z)), ta nói Φ (ψ) thu cách "chèn" tốn tử Mf vào hàm ψ viết ψ (f (z)) = Φ (ψ) Tổng qt ví dụ thành khơng gian Banach X = C0 (R), ta nhận thấy tính bị chặn tốn tử khơng phải u cầu cốt yếu Ý tưởng trực giác Functional calculus tốn tử A đóng khơng gian Banach X tương ứng với đại số hàm phức phổ nó, tốn tử A chèn cách hợp lý Tính hợp lý có nghĩa ψ(A) có ý nghĩa mong đợi vào điều ta mong muốn, ví dụ λ ∈ ρ(A) ta mong muốn (λ − z)−1 (A) = R(λ, A) A sinh nửa nhóm (semigroup) T etz (A) = T (t) Ánh xạ thu ψ → ψ(A) gọi Functional calculus với A Nhưng đáng tiếc, năm 2003 khơng có thức hóa tổng thể ý tưởng Điều tốt ... cho việc xây dựng lý thuyết Functional calculus cho toán tử quạt Chương Functional calculus cho toán tử khơng bị chặn Trong chương tơi trình bày Functional calculus cho tốn tử khơng bị chặn Các. .. Tốn tử đóng • Functional calculus cho tốn tử đóng Chương Functional calculus cho toán tử quạt Trong chương này, tơi trình bày Functional calculus cho tốn tử quạt thơng qua nội dung: • Tốn tử quạt. .. MỤC CÁC KÍ HIỆU I Tốn tử đồng A Bao đóng tốn tử A A−1 Toán tử khả nghịch toán tử A An Lũy thừa tự nhiên toán tử A C∞ Mặt phẳng phức mở rộng D(A) Miền xác định toán tử A R(A) Miền giá trị toán tử