Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 96 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
96
Dung lượng
3,92 MB
Nội dung
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xét đường thẳng qua điểm A ( 0;0;1) vng góc với mặt phẳng Ozx Tính khoảng cách nhỏ điểm B ( 0; 4;0 ) tới điểm C C điểm cách đường thẳng trục Ox A B C 65 D Lời giải z A I 12 C B4 O y x Vì đường thẳng qua điểm A ( 0;0;1) vng góc với mặt phẳng Ozx song song với trục Oy nằm mặt phẳng Oyz Dễ thấy OA đường vng góc chung Ox 1 Xét mặt phẳng ( ) qua I 0;0; mặt phẳng trung trực OA Khi // ( ) , 2 Ox// ( ) điểm nằm ( ) có khoảng cách đến Ox Vậy tập hợp điểm C điểm cách đường thẳng trục Ox mặt phẳng ( ) 1 Mặt phẳng ( ) qua I 0;0; có véc tơ pháp tuyến k = ( 0;0;1) nên có phương trình: 2 z − = Đoạn BC nhỏ C hình chiếu vng góc B lên ( ) Do khoảng cách nhỏ điểm B ( 0; 4;0 ) tới điểm C khoảng cách từ B ( 0; 4;0 ) đến mặt phẳng ( ) : z − = suy ( BC ) = d ( B; ( ) ) = Câu 2: 0− = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : 2x + y − 2z + 10 = mặt cầu (S) : (x − 2) +( y −1) +(z −3) 2 = 25 cắt theo giao tuyến đường tròn (C ) Gọi V thể tích khối cầu ( S ) , V thể tích khối nón ( N ) có đỉnh giao điểm mặt cầu ( S ) với đường thẳng qua tâm mặt cầu ( S ) vng góc với mặt phẳng ( P) , đáy đường tròn (C ) Biết độ dài đường cao khối nón ( N ) lớn bán kính khối cầu ( S ) Tính tỉ số A V1 125 = V2 32 B V1 125 = V2 C V1 125 = V2 96 Lời giải D V1 V2 V1 375 = V2 32 500 Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2;1;3) bán kính R = V1 = R3 = 3 Ta có: d = d ( I ; ( P)) = Bán kính (C ) r = R2 − d = 128 Độ dài đường cao khối nón ( N ) h = R + d = Suy ra: V2 = r 2h = 3 Vậy: Câu 3: V1 125 = V2 32 ( ) ( ) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;2;2 , B 5;4;4 mặt phẳng (P):2x+ y− z+6 = Tọa độ điểm M nằm mp(P) cho MA2 + MB2 nhỏ là: ( ) A M −1;1;5 Câu 4: ( ) B M 0;0;6 ( ) C M 1;1;9 ( ) D M 0; −5;1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A (1;1;1) , B ( 2;1; −1) , C ( 0;4;6 ) Điểm M di chuyển trục Ox Tìm tọa độ M để P = MA + MB + MC có giá trị nhỏ A (-2;0;0) B ( 2;0;0) C (-1;0;0) D (1;0;0 ) Lời giải Gọi M ( x;0;0) Ox, ( x ) Khi MA = (1 − x;1;1) , MB = ( − x;1; −1) , MC = ( − x;4;6 ) MA + MB + MC = ( − 3x;6;6 ) Với số thực x , ta có P = MA + MB + MC = (3 − 3x ) + 62 + 62 = 9x2 −18x + 81 = ( x −1) + 72 72 ; P = 72 x = Vậy GTNN P = MA + MB + MC 72 , đạt x = Do M (1;0;0) điểm thoả mãn đề Câu 5: Trong không gian cho ba điểm A (1;1;1), B ( −1; 2;1), C (3;6; −5) Điểm M thuộc mặt phẳng Oxy cho MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ A M (1;2;0) B M (0;0; −1) C M (1;3; −1) Lời giải Lấy G (1;3; −1) trọng tâm tam giác ABC Ta có: D M (1;3;0) ( ) ( ) ( 2 MA2 + MB2 + MC2 = MG + GA + MG + GB + MG + GC ) = 3MG2 +GA2 +GB2 +GC2 Do MA2 + MB2 + MC2 bé MG bé Hay M hình chiếu điểm G lên mặt phẳng Oxy Vậy M (1;3;0) Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A( −1;3; − 2) , B ( −3;7; −18) mặt phẳng ( P) : 2x − y + z +1 = Điểm M ( a, b, c ) thuộc ( P) ( P) MA2 + MB2 = 246 Tính S = a + b + c A B −1 cho mặt phẳng ( ABM ) vng góc với C 10 Lời giải D 13 Gọi M ( a; b; c ) ( P ) Ta có AB = ( −2; 4; − 16 ) , AM = ( a + 1; b − 3; c + 2) AM , AB = −2 (8b + 2c − 20; − 8a + c − 6; − 2a − b + 1) véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABM ) Vì mp ( ABM ) vng góc với mp ( P) nên nABM nP = 2a + 5b + c −11 = Mặt khác A , B khơng thuộc ( P) nằm phía mp ( P) Ta có AB = 69 Gọi I trung điểm AB , ta có I ( −2;5; −10) Vì MI trung tuyến tam giác AMB MI = MA2 + MB2 AB2 − = 54 2a − b + c + = a = Khi ta có hệ phương trình 2a + 5b + c − 11 = b = 2 c = −7 ( a + ) + ( b − ) + ( c + 10 ) = 54 Vậy S = a + b + c = + − = −1 Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A( 2;0;0) ; M (1;1;1) Mặt phẳng ( P) thay đổi qua AM cắt tia Oy; Oz B,C Khi mặt phẳng ( P) thay đổi diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ bao nhiêu? A C Lời giải B D Gọi B ( 0; b;0) , C ( 0;0; c ) , b, c x y z Phương trình mặt phẳng ( P ) ( ABC ) : + + = b c 1 1 1 Mà M ( P) + + = + = bc = 2(b + c) b c b c Do bc = (b + c ) (b + c ) (b +c) 8(b +c) b + c Ta có: AB = ( −2; b;0 ) , AC = ( −2;0; c ) AB, AC = ( bc;2c;2b ) Do S ABC = 1 2 AB, AC = b c + 4b + 4c 2 = b2 + c2 + (b + c) 2 (b + c) + (b + c) = ( b + c ) Vậy SABC b, c Dấu “=” xảy b + c = b = c = b = c Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A (1;0;0) , B ( 0;1;0) , C ( 0;0;1) , D ( 0;0;0) Hỏi có điểm cách mặt phẳng ( ABC ) , ( BCD) , ( CDA) , ( DAB) A B C Lời giải D Gọi điểm cần tìm M ( x0 ; y0 ; z0 ) Phương trình mặt phẳng ( ABC ) là: x y z + + = x + y + z −1= 1 Phương trình mặt phẳng ( BCD) là: x = Phương trình mặt phẳng ( CDA) là: y = Phương trình mặt phẳng ( DAB) là: z = Ta có M cách mặt phẳng ( ABC ) , ( BCD) , ( CDA) , ( DAB) nên: x0 + y0 + z0 −1 x0 = y0 = x0 = y0 = z0 x0 = z0 x + y + z −1 = x 0 Ta có trường hợp sau: x0 = y0 = z0 TH1: x0 = y0 = z0 = 3− x0 + y0 + z0 − = 3x0 x0 = − y0 = z0 TH2: x0 = − y0 = z0 = x + y + z − = x − 0 x0 = y0 = − z0 TH3: x0 = y0 = −z0 = 1− x0 + y0 + z0 − = 3x0 x0 = y0 = z0 TH4: x0 = y0 = z0 = x + y + z − = − x + 0 −1 x0 = − y0 = − z0 TH5: x0 = − y0 = − z0 = 1+ x0 + y0 + z0 − = 3x0 x0 = − y0 = z0 TH6: x0 = − y0 = z0 = + x + y + z − = − x 0 x0 = y0 = − z0 x0 = y0 = −z0 = TH7: 1+ x0 + y0 + z0 −1 = − 3x0 x0 = − y0 = − z0 x0 = − y0 = − z0 = TH8: −1 x0 + y0 + z0 −1 = − 3x0 Vậy có điểm M thỏa mãn tốn Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : ( P) : x + y − 2z + = x +1 y z − = = , mặt phẳng 1 A (1; −1;2 ) Đường thẳng cắt d ( P) M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN Một vectơ phương là: A u = ( 2;3;2) B u = (1; −1; 2) C u = ( −3;5;1) D u = ( 4;5; −13) Lời giải Điểm M d M ( −1+ 2t; t;2 + t ) , A trung điểm MN N (3 − 2t; −2 − t;2 − t ) Điểm N ( P ) − 2t − − t − ( − t ) + = t = M (3;2;4) , N ( −1; −4;0) MN = ( −4; −6; −4) = −2 ( 2;3;2) Câu 10: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;2;3) , B (1;0; −1) , C ( 2; −1;2) Điểm D thuộc tia Oz cho độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh D tứ diện ABCD 30 có tọa độ 10 A ( 0;0;1) D ( 0;0;4 ) B (0;0;3) C ( 0;0;2 ) Lời giải Mặt phẳng ( ABC ) qua B (1;0; −1) có véctơ pháp tuyến n = AB, BC = ( −10; −4;2 ) = −2 ( 5;2; −1) Phương trình mặt phẳng ( ABC ) : 5x + 2y − z −6 = Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh D(0;0; d ) tứ diện ABCD d ( D, ( ABC ) ) Theo ta có −d − 25 + + = d = −15 30 −d − = 10 d = Do D thuộc tia Oz nên D ( 0;0;3) Câu 11: Cho hình lăng trụ ABC ABC có A.ABC tứ diện cạnh a Gọi M , N trung điểm AA BB Tính tan góc hai mặt phẳng ( ABC ) (CMN ) A B C 2 D 13 Lời giải Gọi O trung điểm AB Chuẩn hóa chọn hệ trục tọa độ cho O ( 0;0;0 ) , a 6 1 0; A ;0;0 , B − ; 0; , C 0; AH = ;0 H 0; ;0 A , , ; 2 6 B −1; ; Ta có AB = AB Dễ thấy ( ABC ) có vtpt n1 = ( 0;0;1) 1 −3 ; M trung điểm AA M ; ; , N trung điểm BB N ; 12 12 −5 MN = ( −1; 0; ) , CM = ; 12 ; 3 0; 2;5 ; = 12 12 ( (CMN ) có vtpt n2 = 0; cos = Câu 12: ) 2 tan = −1 = cos 33 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : ( P) : x + y − z + = điểm A (1; 2; −1) Cho đường thẳng với mặt phẳng ( P) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến A B x −3 y −3 z = = , mặt phẳng qua A , cắt d song song C D 16 Lời giải Mặt phẳng ( P) có véctơ pháp tuyến n = (1;1; −1) Gọi M = d M (3 + t;3 + 3t;2t ) AM = ( + t;1 + 3t; 2t + 1) Đường thẳng qua A , cắt d song song với mặt phẳng ( P) nên AM ⊥ n AM n = + t +1+ 3t −1( 2t +1) = t = −1 Khi đó, đường thẳng qua A nhận AM = (1; −2; −1) làm véctơ phương Suy d ( O, ) = Câu 13: AM , OA 42 + 42 = = AM Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A( 2;5; −3) , B ( −2;1;1) , C ( 2;0;1) mặt phẳng ( ) :3x + 4y + 5z +1 = Gọi D ( a; b; c ) thuộc ( ) cho có vơ số mặt phẳng ( P) chứa C , D khoảng cách từ A đến ( P) gấp lần khoảng cách từ B đến ( P ) Tính giá trị biểu thức S = a2 +b2 + c2 A S = 18 Chọn B S = 32 C S = 20 Lời giải D S = 26 D Ta có: d ( A, ( P)) = 3d ( B, ( P)) đường thẳng AB cắt ( P) I cho Từ AI = 3BI Lại có A( 2;5; −3) , B ( −2;1;1) I ( −1;2;0) I ( −4; −1;3) AI d ( A, ( P ) ) = =3 BI d ( B, ( P ) ) Có vơ số mặt phẳng ( P) chứa C , D nên C , I , D thẳng hàng, hay D CI Mà D ( ) D = CI ( ) Trường hợp I ( −1; 2;0 ): Ta có IC = ( 3; −2;1) IC : x +1 y − z = = −2 x +1 y − z = = Toạ độ điểm D nghiệm hệ phương trình −2 3x + y + 5z + = D ( −4;4; −1) Trường hợp I ( −4; −1;3) : Ta có IC = ( 6;1; −2 ) IC : x + y +1 z − = = −2 x + y +1 z − = = Toạ độ điểm D nghiệm hệ phương trình −2 3x + y + 5z +1 = D ( −4; −1;3) S = a2 +b2 +c2 = (−4) +(−1) +32 = 26 Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; −1;1) , đường thẳng : x −1 y z +1 = = −1 mặt phẳng ( P) : 2x − y + 2z −1 = Gọi ( Q ) mặt phẳng chứa khoảng cách từ A đến ( Q ) lớn Tính thể tích khối tứ diện tạo ( Q ) A 36 B trục tọa độ Ox, Oy,Oz 18 Lời giải C D Mặt phẳng ( Q ) chứa khoảng cách từ A đến ( Q ) lớn mặt phẳng ( Q ) x −1 y z +1 = = vng góc với AH −1 x −1 y z +1 = = Ta gọi hình chiếu A(1; −1;1) lên : H (1+ 2t; t; −1− t ) −1 −1 Vì AH ( 2t; t + 1; −2 − t ) vng góc u ( 2;1; −1) nên 4t + t +1+ + t = t = qua hình chiếu H A(1; −1;1) lên : −3 −1 −1 Do mặt phẳng ( Q ) qua H 0; ; nhận AH −1; ; làm vecto pháp 2 2 tuyến Vậy (Q) : −2x + y − 3z −1 = (Q) : x y z + + =1 −1 −1 −1 Mặt phẳng ( Q ) trục tọa độ Ox, Oy,Oz điểm K ; 0; , B ( 0;1;0) , −1 C 0; 0; nên thể tích khối tứ diện tạo ( Q ) trục tọa độ Ox, Oy, Oz là: 1 1 VOKBC = = 36 Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : (m +1) x −(2m −2m+1) y +(4m+2) z −m +2m= chứa đường thẳng cố định 2 m thay đổi Đường thẳng d qua M (1; −1;1) vng góc với cách O khoảng lớn có véc tơ phương u = ( −1; b; c ) Tính b2 −c A B 23 D −1 C 19 Lời giải Ta có (m +1) x −(2m −2m+1) y +(4m+2) z −m +2m= 2 m2 ( x − 2y −1) + m( 2y + 4z + 2) + x − y + 2z = Cho m = ta có mặt phẳng ( P0 ) : x − y + 2z = có véc tơ pháp tuyến n0 = (1; −1;2 ) Cho m = ta có mặt phẳng ( P1 ) : 2x − y + 6z +1 = có véc tơ pháp tuyến n1 = ( 2; −1; ) Suy đường thẳng có véc tơ phương u = n0 , n1 = ( −4; −2;1) Gọi H hình chiếu O d Ta có OH OM d cách O khoảng lớn d ⊥ OM , d có véc tơ phương ud = u , OM = ( −1;5;6 ) Vậy b = , c = suy b2 − c =19 Câu 16: x = 1+ t x = + 3t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : y = − 2t d : y = + 2t z = −3 − t z = 1− t Trên đường thẳng d lấy hai điểm A, B thỏa mã AB = Trên đường thẳng d lấy hai điểm C, D thỏa mãn CD = Tính thể tích V tứ diện ABCD A V = B V = 21 C V = Lời giải 21 D V = 21 Ta có d qua điểm M (1;2; −3) có vtcp u1 = (1; −2; −1) Đường thẳng d qua điểm N ( 4;3;1) có vtcp u2 = ( 3; 2; −1) Khi u1 , u2 = ( 4; −2;8 ) MN = ( 3;1; ) Do u1 , u2 MN = 12 − + 32 = 42 nên hai đường thẳng cho chéo Và d ( d1; d2 ) = 42 = 21 16 + + 64 Mà u1.u2 = nên d1 ⊥ d Ta có VABCD = AB.CD.d ( AB; CD ) sin ( AB, CD ) = 21 Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho điểm A( 2;1;0) , B ( 0; 4;0 ) , C (0;2; −1) Biết đường thẳng vng góc với mặt phẳng ( ABC ) cắt đường thẳng d : x −1 y +1 z − = = điểm D ( a; b; c ) 17 Tổng a + b + c C D thỏa mãn a tứ diện ABCD tích A B Lời giải Do D d nên D( 2t +1; t −1;3t + 2) suy AD = ( 2t − 1; t − 2;3t + ) Ta có: AB; AC = ( −3; −2; ) Ta có VABCD t= 17 17 = AB, AC AD = 4t +15 = 17 6 t = −8 7 Loại t = −8 khơng thỏa a Do D 2; − ; a + b + c = 2 Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P): x 2y z 0và (Q) : 2x − y + 2z + = Gọi M điểm thuộc mặt phẳng (P) cho điểm đối xứng M qua mặt phẳng (Q) nằm trục hoành Tung độ điểm M bằng: A B C Lời giải D Gọi A điểm đối xứng M qua mặt phẳng (Q) A Ox nên ta có A(a;0;0) + Gọi IE = d đoạn vng góc chung d Qua E dựng đường thẳng d song song với d , gọi ( P) mặt phẳng chứa d Gọi C0 D0 = a đoạn thẳng nhận I trung điểm, C0 , D cố định thuộc d Gọi C0 , H hình chiếu C0 lên ( P) ; D 0 , K hình chiếu D lên ( P) ; Gọi CD = 2a với C , D hai điểm tùy ý thuộc d Gọi C , H hình chiếu C lên ( P) ; D , K hình chiếu D lên ( P) Ta có: E trung điểm đoạn C0 D0 H K Ta có: d01 + d02 = d (C0 ; ) + d ( D0 ; ) = d + C0H + d + D0H = d + b2 , với b = C0 H = D0 K số Ta có: d1 + d2 = d2 +CH + d2 + DK Theo Thales ta có: + Nếu C , D phía so với E ta có: CH − DK EC − ED CD = = = CH − DK = 2b b EC0 a + Nếu C , D ngược phía so với E ta có: CH + DK EC + ED CD = = = CH + DK = 2b b EC0 a Trong hai trường hợp này, dùng BĐT x2 + a2 + y2 + b2 ( x + y) + (a + b) 2 Ta 2 d1 + d2 = d + CH + d + DK ) (2d ) + (CH DK 2 (2d ) + (2a) 2 = d01 + d02 Đẳng thức xảy chi CD C D0 Chú ý: BĐT chứng minh cách chọn u = ( x; y ) , v = ( a; b ) u + v u + v Dấu đẳng thức xảy chi u , v hướng Câu 130: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng ( ) qua điểm M (1; 2;1) cắt tia Ox , Oy , Oz A , B , C cho độ dài OA , OB , OC theo thứ tự tạo thành cấp số nhân có cơng bội Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O tới mặt phẳng ( ) 21 A B 21 21 21 C D 21 Hướng dẫn giải Giả sử A ( a;0;0 ) B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) ( a , b , c ), ( ) có dạng x y z + + = a b c + + = a b c OA , OB , OC theo thứ tự tạo thành cấp số nhân có cơng bội 1 9 4x y z = a = , b = , c = ( ) : + + =1 b = 2a , c = 2b + + a a 4a 9 ( ) qua điểm M (1; 2;1) hay ( ) : 4x + 2y + z −9 = d (O, ( )) = Câu 131: + +1 2 = 21 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2;1;3) , B (6;5;5) Gọi ( S ) mặt cầu có đường kính AB Mặt phẳng ( P) vng góc với đoạn AB H cho khối nón đỉnh A đáy hình trịn tâm H tích lớn nhất, biết ( P) : 2x + by + cz + d = với b , c , d Tính S = b + c + d A S = −18 B S = −11 C S = −24 D S = −14 Lời giải Ta có AB = ( 4; 4; ) AB = suy mặt cầu ( S ) có tâm I ( 4;3;4) bán kính R = Đặt IH = x (0 x 3) Gọi r bán kính đường trịn tâm H suy r = R2 − x2 = − x2 1 Thể tích khối nón V = r AH = ( 32 − x ) ( + x ) 3 1 +3+3 32 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có V = ( − x )( + x )( + x ) V 6 3 Vậy thể tích khối nón lớn 3 32 − x = + x x = IH = 2 Mặt phẳng ( P) vó vec tơ pháp tuyến n = ( 2; b; c ) Vì ( P) vng góc với đoạn AB nên ta có n b = 2 b c phương với AB = = Vậy ( P) : 2x + y + z + d = 4 c = Mặt khác d ( I ; ( P)) = 18 + d = d = −15 = 18 + d = 2 18 + d = − d = − 21 + +1 8+6+ 4+ d d −18 Mặt khác A I nằm phía với mặt phẳng ( P) nên ta có (9 + d )(18 + d ) d −9 Vậy d = −21 suy S = b + c + d = +1− 21 = −18 Câu 132: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : x y 1 z điểm A 1;1;1 Hai điểm B , C di động đường thẳng d cho mặt phẳng OAB vng góc với mặt phẳng OAC Gọi điểm B hình chiếu vng góc điểm B lên đường thẳng AC Biết quỹ tích điểm B' đường trịn cố định, tính bán kính r đường trịn A r 60 10 B r 5 C r 70 10 D r 10 Lời giải + Ta có: véctơ phương đường thẳng d u 2; 1; Suy u OA + Gọi H hình chiếu O đường thẳng d H 2t;1 t; t Do OH + Suy OH OA OA OAB OA OH d nên 4t t OA OA OB OB OAC OAB OAC OAC t BC nên OA t OBC H 0;1; B H O I A B' C Do ta có: OB AC BB AC AC OBB Vậy B thuộc mặt cầu S đường kính OA + Gọi I 1 ; ; trung điểm OA 2 Phương trình mặt cầu S : x + Mặt khác B n OB AB AH; u 2 y 2 z 2 A; d Mặt phẳng ABC có véctơ pháp tuyến ABC 2;5; Phương trình mặt phẳng ABC : 2x 5y z I R= r (ABC) + Vậy B thuộc đường tròn cố định đường tròn C , giao tuyến mặt cầu S ABC C có bán kính r R2 d2 , với R 10 d d I , ABC 30 10 Câu 133: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( 4; 2;5) , B(0;4; −3) , C ( 2; −3;7 ) Biết điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nằm mặt phẳng Oxy cho MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ Tính tổng P = x0 + y0 + z0 A P = −3 B P = C P = D P = Lời giải Gọi G ( 2;1;3) trọng tâm ABC MA + MB + MC = 3MG = 3MG Do MA + MB + MC nhỏ MG nhỏ Mà MG d G,(Oxy) = GH nên MG nhỏ n hất M H M hình chiếu vng góc G lên ( Oxy ) M ( 2;1;0) x0 + y0 + z0 = Câu 134: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A( −3;2;2) ; B( −5;3;7) mặt phẳng ( P) : x + y + z = Điểm M ( a; b; c ) thuộc ( P) cho 2MA − MB có giá trị nhỏ Tính T = 2a + b − c A T =−1 B T = −3 C T = Lời giải D T = 2 ( xI + 3) = xI + xI = −1 Chọn điểm I cho 2IA − IB = 2 ( yI − 2) = yI − yI = Vậy I ( −1;1; −3) z = −3 I 2 ( z I − ) = yI − Xét 2MA − MB = 2MI + 2IA − MI − IB = MI = MI MI có giá trị nhỏ M hình chiếu I lên mặt phẳng ( P) Đường thẳng d qua I vng góc với ( P) sẽ qua M ; I có vtcp trùng vtpt ( P) x = −1 + t Phương trình d y = + t M ( −1+ t;1+ t; −3 + t ) z = −3 + t a = Đồng thời M ( P) : x + y + z = −1 + t + + t − + t = t = b = c = −2 Vậy T = 2a + b − c = Câu 135: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(9; −3;5) , B ( a; b; c ) Gọi M , N , P giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng tọa độ Oxy , Oxz Oyz Biết M , N , P nằm đoạn AB cho AM = MN = NP = PB Tính tổng T = a + b + c A T = 21 B T = −15 C T = 13 D T =14 Lời giải x = + ( a − 9) t Ta có AB = ( a − 9; b + 3; c − 5) , nên phương trình đường thẳng AB là: y = −3 + (b + 3) t z = + ( c − 5) t Vì M , N , P giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng tọa độ Oxy , Oxz ( a − 9) ( b + 3) 3( a − 9) ( c − 5) ;9 + ;0 ; N 9 + ;0;5 + Oyz nên suy M + 5−c 5−c b+3 b+3 ( b + 3) ( c − 5) P 0; −3 + ;5 + 9−a 9−a Từ M , N , P nằm đoạn AB AM = MN = NP = PB nên ta có z = 4z c − = ( − ) AB = AM c = −15 AB AM AB = AN yAB = yAN b + = ( + 3) b = a + b + c = −15 a = −3 AB = AP a − = ( − ) x = x AB AP Câu 136: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) : ( x −1) +( y −2) +( z −3) =16 2 điểm A(1;0;2) , B( −1;2;2) Gọi ( P) mặt phẳng qua hai điểm A , B cho thiết diện ( P) với mặt cầu (S ) có diện tích nhỏ Khi viết phương trình ( P) : ax + by + cz + = Tính T = a + b + c A B − D −2 C Lời giải I H A B K ( P) dạng Mặt cầu có tâm I (1;2;3) bán kính R = Ta có A , B nằm mặt cầu Gọi K hình chiếu I AB H hình chiếu I lên thiết diện ( ) Ta có diện tích thiết diện S =r2 = R2 − IH2 Do diện tích thiết diện nhỏ IH lớn Mà IH IK suy ( P) qua A, B vng góc với IK Ta có IA = IB = suy K trung điểm AB Vậy K (0;1;2) KI = (1;1;1) Vậy ( P) : ( x −1) + y + ( z − 2) = −x − y − z +3 = Vậy T = −3 Câu 137: Xét tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc Gọi , , góc đường thẳng OA , OB , OC với mặt phẳng ( ABC ) A C O B ( )( )( ) Khi giá trị nhỏ biểu thức M = 3+cot2 3+cot2 3+cot2 A Số khác B 48 C 48 Lời giải D 125 Gọi H trực tâm tam giác ABC , tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc nên 1 1 = + + ta có OH ⊥ ( ABC ) 2 OH OA OB OC Ta có = ( OA; ( ABC ) ) = OAH , = (OB; ( ABC )) = OBH , = (OC; ( ABC )) = OCH Nên sin = OH OH OH , sin = , sin = OA OB OC Đặt a = OA , b = OB , c = OC , h = OH 1 1 = + + h a b c M = (3+cot2 ).(3+cot2 ).(3+cot2 ) = + . + . + sin sin sin a2 b2 c2 1 = + + + = + ( a + b + c ) + ( a b + b c + c a ) + a 2b c h h h h h h Ta có: ( a + b2 + c2 ) ( = a + b2 + c h2 ) a1 + 1 1 + 33 a2.b2.c2 33 = b c a b c ( a b + b c + c a ) h14 = ( a2b2 + b2c2 + c2a2 ). a12 + b12 + c12 2 2 2 2 1 3 a 2b2 b2c c a 3 = 33 a4b4c4 93 4 = 27 a b c abc 3 1 1 2 2 a b c = a b c + + a 2b2c 3 = 27 a b c h a b c Do đó: M = + ( a + b2 + c ) 1 + ( a 2b + b c + c a ) + a 2b c h h h + 4.9 + 2.27 + 27 = 125 Dấu đẳng thức xảy a = b = c , hay OA = OB = OC Vậy M = 125 A α a H h c O C b B Câu 138: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A( a;0;0) , B(0; b;0), C (0;0; c) với a , b , c dương Biết A, B, C di động tia Ox, Oy, Oz cho a+b+c = Biết a , b , c thay đổi quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng ( P ) cố định Tính khoảng cách từ M ( 2016;0;0) tới mặt phẳng ( P ) A 2017 B 2014 C 2016 D 2015 Lời giải Gọi ( ) mặt phẳng trung trực đoạn OA a ( ) qua điểm D ;0;0 có VTPT OA = (a;0;0) = a(1;0;0) 2 a ( ) : x − = Gọi ( ) mặt phẳng trung trực đoạn OB a ( ) qua điểm E 0; ;0 có VTPT OB = (0;a;0) = a(0;1;0) a ( ) : y − = Gọi ( ) mặt phẳng trung trực đoạn OC a ( ) qua điểm F 0;0; có VTPT OC = (0;0;a) = a(0;0;1) 2 a ( ) : z − = a a a 2 2 Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC I = ( ) ( ) ( ) I ; ; Mà theo giả thiết, a + b + c = Vậy, d ( M , ( P ) ) = 2016 − = a b c + + = I ( P ) : x + y + z = 2 2015 Câu 139: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(3;0;0) , B (0;2;0) , C (0;0;6) D (1;1;1) Kí hiệu d đường thẳng qua D cho tổng khoảng cách từ điểm A, B, C đến d lớn Hỏi đường thẳng d qua điểm đây? A M ( −1; −2;1) B N (5;7;3) C P (3;4;3) Lời giải D Q ( 7;13;5) A A' B' B C C' D x y z Ta có phương trình mặt phẳng qua A,B,C là: ( ABC ) : + + = x + y + z − = Dễ thấy D( ABC) Gọi A', B ', C ' hình chiếu vng góc A, B, C d Suy d ( A, d ) + d ( B, d ) + d (C, d ) = AA'+ BB '+ CC ' AD + BD + CD Dấu xảy A ' B ' C ' D Hay tổng khoảng cách từ điểm A, B, C đến d lớn d đường x = + 2t thẳng qua D vng góc với mặt phẳng ( ABC ) = d : y = + 3t ; N d z = 1+ t Câu 140: Trong không gian Oxyz , cho (S1 ) : ( x −1) + y2 + z2 = , (S2 ) : ( x −2) +( y −3) +( z −1) =1 2 2 x = − t đường thẳng d : y = −3t Gọi A, B hai điểm tùy ý thuộc ( S1 ) , ( S2 ) M thuộc đường z = −2 − t thẳng d Khi giá trị nhỏ biểu thức P = MA+ MB bằng: A 2211 11 B 3707 −3 11 C Lời giải 1771 + 110 11 D 3707 11 I J B A d H M A' K Mặt cầu ( S1 ) có tâm I (1;0;0) , bán kính R1 = Mặt cầu ( S2 ) có tâm J ( 2;3;2) , bán kính R = Đường thẳng d qua điểm N ( 2;0; −2) có véc tơ phương u = ( −1; −3; −1) Ta có: IJ = (1;3;1) // u I d nên IJ // d Gọi ( S ) mặt cầu đối xứng ( S1 ) qua d ; K , A điểm đối xứng I A qua d Thì K tâm ( S ) A ( S) Khi : P = MA+ MB = MA + MB AB Suy Pmin = AB = JK − ( R1 + R2 ) Ta lại có : IH = d ( I ; d ) = Và IJ = 11 JK = Vậy Pmin = 66 66 IK = 11 11 3707 11 3707 −3 11 Câu 141: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2; − 3) mặt phẳng 2x + 2y − z +9 = Đường thẳng d qua (Q) :3x + y − 4z + = cắt mặt phẳng ( P) A vng góc với mặt phẳng B Điểm M nằm mặt phẳng ( P) cho M ln nhìn AB góc vng độ dài MB lớn Tính độ dài MB A MB = 41 B MB = ( P) : C MB = D MB = 41 Hướng dẫn giải + Đường thẳng d qua A(1;2; −3) có vectơ phương u = ( 3; 4; −4 ) có phương trình x = + 3t y = + 4t z = −3 − 4t + Ta có: MB2 = AB2 −MA2 Do ( MB )max ( MA)min + Gọi E hình chiếu A lên ( P) Ta có: AM AE Đẳng thức xảy M E Khi ( AM )min = AE MB qua B nhận BE làm vectơ phương + Ta có: B d nên B (1+ 3t;2 + 4t; −3 − 4t ) mà B ( P ) suy ra: 2(1+ 3t ) + 2( + 4t ) − ( −3 − 4t ) + = t = −1 B ( −2; −2;1) + Đường thẳng AE qua A(1;2; −3) , nhận nP = ( 2; 2; −1) làm vectơ phương có x = + 2t phương trình y = + 2t z = −3 − t Suy E (1+ 2t;2 + 2t; −3 − t ) Mặt khác, E ( P) nên 2(1+ 2t ) + 2( + 2t ) − ( −3 − t ) + = t = −2 E ( −3; −2; −1) Khi MB = BE = Câu 142: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S) : x2 + y2 +(z −3) =8 hai điểm A( 4;4;3) , B (1;1;1) Gọi (C ) tập hợp điểm M ( S ) để MA − 2MB đạt giá trị nhỏ Biết (C ) đường tròn bán kính A B R Tính R C 2 Lời giải D Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 0;0;3) bán kính R1 = 2 Với M ( x; y; z ) ( S ) tùy ý, ta có T = MA − 2MB Do đó, T = MA = 2MB 2 2 2 Khi đó, ta có ( x − 4) + ( y − 4) + ( z − 3) = ( x −1) + ( y −1) + ( z −1) 3x + y + 3z − z − 29 = x + y + z − 29 z− = 3 29 2 x2 + y + ( z − 3)2 = x + y + z − z − = Ta hệ z = x2 + y + ( z − 3)2 = Do M thuộc mặt phẳng ( P) : z − = chứa đường tròn (C ) giao tuyến ( S ) ( P) Ta có d ( I ; ( P)) = nên đường tròn (C ) có bán kính R = R12 − d = Câu 143: Trong mặt phẳng phức, xét hình bình hành tạo điểm , z , 1 z + Biết z có phần z z 35 thực dương diện tích hình bình hành Tìm giá trị nhỏ z + 37 z A 53 20 B 60 37 C 22 D 50 37 Lời giải Gọi O, A, B, C điểm biểu diễn số phức 0, z , 1 z + z z Khi diện tích hình bình hành OACB S = OAOB sin = z Suy cos = − sin = 12 37 Áp dụng định lý cosin tam giác OAC ta có 35 35 sin = sin = 37 z 37 2 1 1 2 z+ = OC = OA2 + OB2 − 2OAOB cos = z + − z cos = z + − 2cos z z z z 12 50 1 − = z+ Vậy z + 37 37 z z Dấu “ =” xảy z = cos = nhỏ 50 37 12 37 12 12 1 1 Câu 144: Chẳng hạn z = sin arccos + i cos arccos 37 37 2 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A( −5; − 2; − 7) , B( −1;0;1) , C ( 3; 2;1) Gọi M (a; b; c) điểm thuộc mặt phẳng trung trực đoạn thẳng BC MA + MB đạt giá trị nhỏ Tính giá trị P = a+b−c A B C D Lời giải Chọn D Ta có I (1;1;1) trung điểm đoạn thẳng BC , BI = ( 2;1;0) vectơ pháp tuyến mặt phẳng trung trực ( ) BC Do ( ) : 2x + y − = Dễ thấy A, B nằm phía so với mặt phẳng ( ) nên A,C nằm khác phía so với mặt phẳng ( ) Ta có: MA + MB = MA + MC AC Vậy MA + MB đạt giá trị nhỏ AC M giao AC ( ) Ta có AC = ( 8; 4;8 ) nên AC : x − y − z −1 = = 2 2(3 + 2t ) + + t − = t = −1 Do M = (1;1; −1) P = a + b − c = Câu 145: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(3;5; −1) , B (1;1;3) Tìm tọa độ điểm M thuộc ( Oxy ) cho MA + MB nhỏ nhất? A ( −2; − 3;0) B ( 2; − 3;0) C ( −2;3;0) D ( 2;3;0 ) Lời giải Gọi D( x; y; z ) điểm thỏa mãn DA + DB = ta có D ( 2;3;4) P = MA + MB = MD + DA + MD + DB = 2MD = 2MD Khi P nhỏ M hình chiếu D lên mặt phẳng ( Oxy ) x = M ( 2;3;4 + t ) Ta có phương trình ( MD ) : y = z = + t M ( Oxy ) nên + t = t = −4 Vậy M ( 2;3;0 ) điểm cần tìm Câu 146: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho ( S ) : x2 + y2 + z2 − 2y − 2z − = Mặt phẳng ( P) qua A tròn (C ) có diện tích nhỏ Bán kính đường trịn (C ) A điểm A( 2;1;2) mặt cầu cắt ( S ) theo thiết diện đường C Lời giải B D Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 0;1;1) bán kính R = Ta có IA= (2 − 0) + (1−1) + (2 −1) 2 = = R nên A nằm mặt cầu ( S ) Đặt h khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P) , r bán kính đường trịn (C ) Khi đó: h IA = h = IA ⊥ ( P ) r = R − h 32 − = r Đường trịn (C ) có diện tích nhỏ nên r = Câu 147: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A( 2; −3;7) , B(0;4; −3) C ( 4;2;5) Biết điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nằm mp ( Oxy ) cho MA + MB + MC có giá trị nhỏ Khi tổng P = x0 + y0 + z0 A P = B P = C P = D P = −3 Lời giải Gọi G điểm cho GA + GB + GC = G ( 2;1;3) Khi MA + MB + MC = 3MG + GA + GB + GC = 3MG Nên MA + MB + MC có giá trị nhỏ MG ngắn nhất, M hình chiếu vng góc G ( 2;1;3) mp ( Oxy ) Do M = ( 2;1;0) Vậy P = x0 + y0 + z0 = + + = ... + = bc = 2(b + c) b c b c Do bc = (b + c ) (b + c ) (b +c) 8(b +c) b + c Ta có: AB = ( −2; b;0 ) , AC = ( −2;0; c ) AB, AC = ( bc;2c;2b ) Do S ABC = 1 2 AB, AC = b... D M (1;3;0) ( ) ( ) ( 2 MA2 + MB2 + MC2 = MG + GA + MG + GB + MG + GC ) = 3MG2 +GA2 +GB2 +GC2 Do MA2 + MB2 + MC2 bé MG bé Hay M hình chiếu điểm G lên mặt phẳng Oxy Vậy M (1;3;0) Câu 6: Trong... 62 = 9x2 −18x + 81 = ( x −1) + 72 72 ; P = 72 x = Vậy GTNN P = MA + MB + MC 72 , đạt x = Do M (1;0;0) điểm thoả mãn đề Câu 5: Trong không gian cho ba điểm A (1;1;1), B ( −1; 2;1), C (3;6;