Một số bài toán hình học không gian mà cách giải có thể vận dụng phương pháp tọa độ hóa Bài toán 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO vuông góc với đáy. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 0 60 . a) Tính MN và SO. b) Tính góc giữa MN và mặt phẳng (SBD). Bài toán 2: Cho hình Chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy. Biết rằng số đo góc nhị diện (B,SC,D) bằng 0 120 . a) Tính độ dài đoạn SA. b) Tính khoảng cách từ tâm O của hình vuông ABCD đến mặt phẳng (SBC). c) Tính diện tích ∆SBD. d) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD). Bài toán 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB=a, SA a 2= và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AB. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SM và BC. Bài toán 4: Cho tứ diện SABC có SC CA AB a 2= = = , SC vuông góc với mặt phẳng (ABC), ∆ABC vuông tại A, các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM CN t(0 t 2a)= = < < . a) Tính độ dài đoạn MN. Tìm giá trị của t để đoạn MN ngắn nhất. b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA. Bài toán 5: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho a 6 SD 2 = . Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau. Bài toán 6: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), ∆ABC vuông đỉnh B, AB=a, AC=2a, mặt (SBC) hợp với (ABC) góc 0 60 . a) Tìm trên đoạn BC điểm M cách đều hai mặt phẳng (SAB) và (SAC). b) Tìm trên đoạn SA điểm N cách đều hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). Tính khoảng cách đó. c) Tìm trên đoạn AB điểm P cách đều hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). Tính khoảng cách đó. Bài toán 7: Cho hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 cạnh bằng a. a) Tính theo a khoảng cách giữa A 1 B và B 1 D. b) Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm các cạnh BB 1 , CD, A 1 D. Tính góc giữa MP và C 1 N. Bài toán 8: Cho hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 cạnh bằng a. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AD, CD. Lấy điểm P trên BB 1 sao cho BP=3PB 1 . Tính diện tích thiết diện do (MNP) cắt hình lập phương. Bài toán 9: Cho hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 cạnh bằng a. a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng A 1 B và AC 1 . b) Gọi K là trung điểm DD 1 . Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và A 1 D. c) Mặt phẳng (P) qua BB 1 và hợp với hai đường thẳng BC 1 , B 1 D hai góc bằng nhau. Tính các góc này. Bài toán 10: Cho hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 cạnh bằng a. Chứng minh rằng khoảng cách từ một điểm bất kì trong không gian đến một trong các đường thẳng AA 1 , B 1 C 1 , CD không thể đồng thời nhỏ hơn a 2 . Bài toán 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 có AB=a, AD=2a, AA 1 = a 2 . Trên cạnh AD lấy điểm M, gọi K là trung điểm B 1 M. a) Đặt AM=m (0 m 2a)≤ ≤ . Tính thể tích khối tứ diện A 1 KID theo a và m, trong đó I là tâm hình hộp. Tìm vị trí của điểm M để thể tích đó đạt giá trị lớn nhất. b) Khi M là trung điểm AD. 1) Hỏi thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (B 1 CK) là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó theo a. 2) Chứng minh rằng đường thẳng B 1 M tiếp xúc với mặt cầu đường kính AA 1 . Bài toán 12: Cho hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 cạnh bằng a. Gọi M, N là trung điểm BC và DD 1 . a) Chứng minh rằng AC 1 vuông góc với mặt phẳng (A 1 BD). b) Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (A 1 BD). c) Tính khoảng cách giữa BD và NM theo a. Bài toán 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 có ba kích thước AB=a, AD=b, AA 1 =c với 0 a b c< < < . Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm AB, C 1 D 1 . Các điểm M, N thỏa mãn 1 AM kAD, BN kBB víi 0 k 1= = ≤ ≤ uuuur uuur uuur uuuur . a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A 1 BD). b) Chứng minh rằng M, N, I, J đồng phẳng và tìm giá trị của k để MN vuông góc với IJ. c) Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABDA 1 và xác định tâm H của đường tròn là giao của mặt cầu (S) với mặt phẳng (A 1 BD). Bài toán 14: Cho hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 cạnh bằng a. Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AD sao cho diện tích của thiết diện tạo bởi hình lập phương với mặt phẳng (A 1 CM) bằng 2 a 26 4 . Bài toán 15: Cho hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 cạnh bằng a. Tìm quĩ tích các điểm trong không gian sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến các cặp mặt đối của ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 là bằng nhau. Bài toán 16: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , đường cao h. Mặt phẳng (A 1 BD) hợp với mặt bên (ABB 1 A 1 ) một góc α . Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ. Bài toán 17: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABCA 1 B 1 C 1 có các cạnh bằng a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC 1 ) và (BCA 1 ). Bài toán 18: Cho lăng trụ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a, góc µ 0 A 60= . B 1 O vuông góc với đáy ABCD, cho BB 1 =a. a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy. b) Tính khoảng cách từ B, B 1 đến mặt phẳng (ACD 1 ). Bài toán 19: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 cạnh đáy dài gấp đôi chiều cao. Điểm M trên cạnh AB, tìm giá trị lớn nhất của góc A 1 MC 1 . Bài toán 20: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 cạnh đáy bằng 1 và chiều cao bằng x. Tìm x để góc tạo bởi đường thẳng B 1 D và mặt phẳng (B 1 D 1 C) đạt giá trị lớn nhất. Bài toán 21: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA 1 B 1 C 1 và ABC là tam giác vuông cân tại A và AB=AC=AA 1 =a. Lấy E, F theo thứ tự thuộc BC 1 và A 1 C. Sao cho EF// (ABB 1 A 1 ). Tìm giá trị nhỏ nhất của đội dài đoạn EF. Bài toán 22: Cho hình lăng trụ đứng ABCA 1 B 1 C 1 có đáy ABC vuông cân tại đỉnh A, BC=2a. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (AB 1 C) và (BB 1 C) có số đo bằng α . Chứng minh rằng: 2ac 1 os AA cos( -2 ) α = π α . Bài toán 23: Cho hình lăng trụ ABCA 1 B 1 C 1 có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, AA 1 =h và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết rằng khoảng cách giữa A 1 B 1 và BC 1 bằng d. Chứng minh rằng: 2 2 2dh a 3(h d ) = − . Bài toán 24: Cho hình lăng đứng ABCA 1 B 1 C 1 có đáy ABC vuông cân với AB=AC=a và AA 1 =h. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và A 1 C 1 . Tìm trên đoạn DE điểm I cách đều hai mặt phẳng (ABC) và (ACC 1 A 1 ). Tính khoảng cách đó. . Một số bài toán hình học không gian mà cách giải có thể vận dụng phương pháp tọa độ hóa Bài toán 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO vuông góc. nhất của đội dài đoạn EF. Bài toán 22: Cho hình lăng trụ đứng ABCA 1 B 1 C 1 có đáy ABC vuông cân tại đỉnh A, BC=2a. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (AB 1 C) và (BB 1 C) có số đo bằng α . Chứng. B 1 D hai góc bằng nhau. Tính các góc này. Bài toán 10: Cho hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 cạnh bằng a. Chứng minh rằng khoảng cách từ một điểm bất kì trong không gian đến một trong các