Thông tin tài liệu
TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Phương Pháp TỌA ĐỘ HĨA HÌNH KHƠNG GIAN CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN TƤP CHÍ VÀ TƢ LIỆU TỐN HỌC PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA HÌNH CỔ ĐIỂN Tạp chí tư liệu tốn học Đơi giải tốn hình học khơng gian cổ điển ta gặp nhiều tốn tính tốn phức tạp, nhiên phòng thi ta lại khơng có nhiều thời gian, chương tìm hiểu phương pháp giải nhanh tốn tính tốn phức tạp khó hình khơng gian cổ điển, liên quan tới cực trị, góc, khoảng cách I Ý TƯỞNG PHƯƠNG PHÁP Trên mạng có vài tài liệu nói phương pháp chia thành nhiều dạng, điều làm áp dụng có phần khó nhớ máy móc, nhiên cần nắm dấu hiệu phương pháp sau Bước Chọn hệ trục tọa độ Trong bước ta xác định đường vng góc có tốn gọi đường sở Thơng thường ta quy ước trục Ox hướng vào mình, trục Oz nằm ngang, lại trục Oy Bước Xác định tọa độ điểm liên hình liên quan tới toán Với bạn chưa quen xác định tọa độ hình chiếu điểm cần tìm lên trục, từ suy tọa độ điểm cần tính Bước Áp dụng công thức Sau nhắc lại số công thức cần nhớ phần Diện tích thể tích Diện tích tam giác ABC: S AB, AC Thể tích tứ diện ABCD: V AB, AC AD Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: V AB, AD AA ' Thể tích hình lăng trụ ABC,A’B’C’: V AB, AD AA ' tuyến n ' cos P , Q = cos n, n ' Góc đường thẳng: Đường thẳng d có VTCP u d’ có VTCP v cos d , d ' cos u, v Góc đường thẳng mặt phẳng: Đường thẳng d có VTCP u (P) có VTPT n sin d , P cos u, n Khoảng cách từ M x0 , y0 , z0 đến mặt phẳng: z0 ; Oyz x0 ; Ozx y0 Oxy P : Ax By Cz D d M , P | Chinh phục olympic toán Ax0 By0 Cz0 D A2 B C Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Góc mặt phẳng: Mặt phẳng P có vecto pháp tuyến n mặt phẳng Q có vecto pháp PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA HÌNH CỔ ĐIỂN Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho M x0 , y0 , z0 AM , u đường thẳng d qua A có VTCP u AB d M , d u Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Đường thẳng d1 qua M có VTCP u1 ; d qua M có VTCP d d1 , d u1 , u2 M M u1 , u2 Chú ý Thông thường mà khơng có đường vng góc ta phải tự dựng thêm để gắn tọa độ liên quan tới hình lập phương, hình hộp chữ nhật, chối chóp có đường vng góc, lăng trụ đứng áp dụng phương pháp giải nhanh ! II CÁC BÀI TOÁN Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M , N trung điểm BC CD Tính bán kính R khối cầu ngoại tiếp khối chóp S CMN Lời giải z S N C D H O M y A CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN B x Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ xét a 3 1 Khi H O , M 0;1;0 , C ;1;0 , N ; ;0 , S 0;0; 2 Phương trình mặt cầu ngoại tiếp chóp S CMN có dạng S : x y z 2ax 2by 2cz d , a b2 c d Điều ta biết giọt nƣớc, điều ta chƣa biết đƥi dƣơng – Newton Tƥp chí tƣ liệu tốn học | TƤP CHÍ VÀ TƢ LIỆU TỐN HỌC 2b d 1 a a 2b d b S , C , M , N S nên ta có hệ phương trình: c a b d 12 3c d d Ta có a b c d Vậy R 31 hay 48 a b2 c d 93 12 a 93 12 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B , thỏa mãn điều kiện AB BC a , AD 2a, SA vng góc với mặt đáy ABCD , SA a Gọi M , N trung điểm SB, CD Tính cosin góc MN ( SAC ) Lời giải z S M D A y N x Chọn hệ trục hình vẽ, chọn đơn vị a 1 1 1 Có A 0;0;0 , B 1;0;0 , C 1;1; , D 0; 2;0 , S 0;0;1 ; M ;0; ; N ; ;0 2 2 2 1 Vec tơ phương MN 2MN 0; ; 0;3; 1 2 Véc tơ pháp tuyến SAC n AC ; AS 1; 1;0 Vậy sin MN ; SAC 1 | Chinh phục olympic toán 10 Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC C B PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA HÌNH CỔ ĐIỂN Suy cos MN ; SAC 3 55 10 10 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AD AB 2BC 2CD 2a Hai mặt phẳng SAB SAD vng góc với mặt phẳng ABCD Gọi M , N trung điểm SB CD Tính cosin góc MN SAC , biết thể tích khối chóp S ABCD Lời giải Vì ABCD hình thang cân có AD AB 2BC 2CD 2a a a 2a a 3 3a AD 2a; AB BC CD a CH ; S ABCD 2 3a a3 SA a Nên VABCD SA 4 Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ hình vẽ z S Q M I A H D F N K C B y x CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN a a a Ta có K 0;0;0 , B ;0;0 , C 0; ;0 , A 0; ;0 , 2 2 a a a a a a N ; ;0 , S 0; ; a , M ; ; 2 4 3a 3a a MN ; ; Chọn u1 3;3 3; phương với MN BK SA BK SAC Nhận xét BK AC a BK ;0;0 vtpt SAC Chọn n1 1;0;0 phương với BK 2 Điều ta biết giọt nƣớc, điều ta chƣa biết đƥi dƣơng – Newton Tƥp chí tƣ liệu tốn học | TƤP CHÍ VÀ TƢ LIỆU TỐN HỌC Gọi góc góc MN SAC Ta có sin u1.n1 u1 u2 10 310 cos 20 20 Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có AB AC a, BAC 1200 , AA a Gọi M , N trung điểm BC CC Số đo góc mặt phẳng AMN mặt phẳng ABC Lời giải z A C B N x C' A' M B' y Thiết lập hệ toạ độ Oxyz không gian hình vẽ, gốc toạ độ O trùng M a a ; MA 2 a a + M 0;0;0 , N Oyz N 0; ; 2 a + A Oxz A ;0; a Mp ABC / / ABC ; ABC Oxy 2 ABC có vecto pháp tuyến k 0;0;1 a Ta có MA ;0;0 phương u1 1;0; 2 a a MN 0; ; phương u2 0; 3;1 2 AMN có vecto pháp tuyến n u1 , u2 3; 1; | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Dễ dàng tính MB MC PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA HÌNH CỔ ĐIỂN cos AMN , ABC cos k , n Câu Cho hình chóp S ABC có ABC tam giác vng cân B , BC a , cạnh bên SA vng góc với đáy, SA a 3, M trung điểm AC , tính góc cotang SBM SAB Lời giải z S x y A C B a a Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có B 0;0;0 ; A a;0;0 ; C 0; a;0 ; S a;0, a ; M ; ;0 2 a a n SAB 0;1;0 ; n SBM SB, MB a 1;0, 1;1;0 3; 3;1 2 Đặt góc SBM SAB , ta có 21 n SAB n SMB cos cot sin 21 sin CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN cos n SAB n SMB Câu Cho hình tứ diện EFGH có EF vng góc với EG , EG vng góc với EH , EH vng góc với EF ;biết EF 6a , EG 8a , EH 12a , với a 0, a Gọi I , J tương ứng trung điểm hai cạnh FG , FH Tính khoảng cách d từ điểm F đến mặt phẳng EIJ theo a Lời giải Vì EF vng góc với EG , EG vng góc với EH nên EG ( EFH ) Gọi K trung điểm EF suy IK ( EFH ) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ ta có: K 0;0;0 , I 0;0; 4a , E 3a;0;0 , J 0;6a;0 Điều ta biết giọt nƣớc, điều ta chƣa biết đƥi dƣơng – Newton Tƥp chí tƣ liệu tốn học | TƤP CHÍ VÀ TƢ LIỆU TOÁN HỌC G z I 8a N x E 6a F K M 12a J y H Phương trình mặt phẳng EIJ : x y z x y 3z 12a 3a 6a 4a d F , EIJ 2d K , EIJ 12a 24a 24 29a 29 16 29 Câu Cho lăng trụ đứng ABC ABC có đáy tam giác ABC vng cân A , cạnh BC a Góc mặt phẳng AB ' C mặt phẳng BCC B 600 Tính thể tích V khối lăng trụ ABC ABC ? Lời giải Gọi chiều cao hình lăng trụ h Đặt hệ trục tọa độ Axyz hình vẽ Khi A 0;0;0 , B a 3;0;0 , C 0; a 3;0 , B a 3;0; h a a M ; ;0 trung điểm BC 2 z C' A' y A C M B x a a n 1;1;0 VTPT BCC ' B ' Vì AM BCC B AM ; ;0 nên | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC B' PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA HÌNH CỔ ĐIỂN Ta có AC , AB ah 3;0; 3a n1 h;0; 3a VTPT AB ' C Theo giả thiết góc ABC mặt phẳng BCC B 60 cos 60 cos n, n1 h h 3a 2 h 3a Vậy thể tích khối lăng trụ ABC ABC V 3a3 Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh Gọi E , M trung điểm cạnh BC , SA , góc tạo đường thẳng EM mặt phẳng SBD Tính tan Lời giải z S M A y D O B C E x Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho Ox OC , Oy OB , Oz OS Chọn OA Ta có C 1;0;0 , A 1;0;0 SBD nhận AC 2;0;0 vectơ pháp tuyến Từ SA AB OA SO SA2 OA2 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN S 0;0;1 1 M ;0; 2 A 1;0;0 C 1;0;0 1 1 Ta có E ; ;0 EM nhận ME 1; ; vecto phương 2 2 B 0;1;0 sin EM ; SBD sin ME AC ME AC cos 2 1 1 12 2 2 tan Điều ta biết giọt nƣớc, điều ta chƣa biết đƥi dƣơng – Newton Tƥp chí tƣ liệu tốn học | TƤP CHÍ VÀ TƢ LIỆU TỐN HỌC Câu Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi K trung điểm DD ' Khoảng cách hai đường thẳng CK A ' D Lời giải z D' C' B' A' K D C y B A x 1 Chọn a ta có hệ trục tọa độ Oxyz cho D 0;0;0 , A ' 1;0;1 , K 0;0; C 0;1;0 2 1 1 Ta có DA ' 1;0;1 ; CK 0; 1; DK 0;0; 2 2 1 Ta có DA ';CK 1; ; 1 , DA ';CK DK 2 Do d A ' D ;CK 2 1 1 2 a Vậy d A ' D;CK 3 1 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB a , BC a , SA a SA vng góc với đáy ABCD Tính sin , với góc tạo đường thẳng BD mặt phẳng SBC Lời giải | Chinh phục olympic toán Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Câu 10 TƤP CHÍ VÀ TƢ LIỆU TỐN HỌC Câu 45 Cho hình lập phương a có cạnh a Một đường thẳng d qua đỉnh D tâm I mặt bên BCC B Hai điểm M , N thay đổi thuộc mặt phẳng BCC B ABCD cho trung điểm K MN thuộc đường thẳng d (tham khảo hình vẽ) Giá trị bé độ dài đoạn thẳng MN ? A' B' M C' D' K d A B N C D Lời giải Cho a Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ z A' B' M C' D' K d A B y N D C 1 1 1 I trung điểm BC I ;1; DI ;1; 1; 2;1 2 2 2 x 1 t Đường thẳng DI qua D 1;0;1 , có VTCP u 1; 2;1 : y 2t t z 1 t Mặt phẳng ABCD : z Mặt phẳng BCC B : y Ta có M BCC B M m;1; n , K DI K 1 t ; 2t ;1 t K trung điểm MN N 2t m 2; 4t 1; 2t n 37 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC x A 0;0;0 , D 1;0;1 , B 0;1;0 , C 1;1;1 PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA HÌNH CỔ ĐIỂN N ABCD z N 2t n t n2 N n m;3 2n;0 MN n 2m; 2n; n MN n 2m 2n n n 2m 5n 8n 2 2 4 4 n 2m n MN 5 5 Dấu xảy b a 5 Câu 46 Hai bóng hình cầu có kích thước khác đặt hai góc nhà hình hộp chữ nhật cho bóng tiếp xúc với hai tường nhà Biết bề mặt bóng tồn điểm có khoảng cách đến hai tường nhà mà tiếp xúc ; ; Tổng độ dài đường kính hai bóng bao nhiêu? Lời giải z O I y x Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ Mỗi bóng xem mặt cầu tâm I a; b; c Vì bóng tiếp xúc với hai tường nhà nên chúng tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ d I , xOy d I , yOz d I , zOx R a b c I a; a; a Gọi M x; y; z điểm nằm bóng có khoảng cách đến hai tường nhà mà tiếp xúc ; ; M 1; 2; M nằm bóng IM d I , xOy a a 1 a a a 2a 14a 21 * CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN 2 Vì * có biệt thức nên có hai nghiệm phân biệt a1 , a2 a1 a2 Khi tổng đường kính hai bóng a1 a2 14 Câu 47 Hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA a Gọi M , N hình chiếu vng góc điểm A cạnh SB , SD Góc mặt phẳng AMN đường thẳng SB ? Lời giải Điều ta biết giọt nƣớc, điều ta chƣa biết đƥi dƣơng – Newton Tƥp chí tƣ liệu tốn học | 38 TƤP CHÍ VÀ TƢ LIỆU TỐN HỌC z S N a M y D A a Ta có B C x BC SAB BC AM AM SBC AM SC Tương tự ta có AN SC AMN SC Gọi góc đường thẳng SB AMN Chuẩn hóa chọn hệ trục tọa độ cho A 0;0;0 , B 0;1;0 , D 1;0;0 , S 0;0; , C 1;1; , SC 1;1; , SB 0;1; Do AMN SC nên AMN có vtpt SC sin 3 60o Câu 48 Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có tất cạnh a M điển thỏa mãn CM AA Cơ sin góc hai mặt phẳng AMB ABC bao nhiêu? Lời giải Xét hình lăng trụ tam giác ABC ABC có tất cạnh a Gắn hệ trục hình vẽ quy ước a ( đơn vị ) Gọi D giao điểm AM AC a Suy tọa độ điểm hình vẽ Theo giả thiết ta có CM AA ADA 39 | Chinh phục olympic toán CDM AD DA 2 DC CD Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Vì tam giác ABC tam giác cân cạnh a nên ta suy độ dài đường trung tuyến PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA HÌNH CỔ ĐIỂN M z A 0;0;1 C 0;1;1 B ; ,1 2 A ' 0;0;0 C ' 0;1;0 x y B ' , , 2 Vậy tọa độ điểm D là: D 0; ;1 Ta có mặt phẳng ABC có phương trình z n ABC 0;0;1 Mặt khác mặt phẳng AMB mặt phẳng qua ba điểm A , D B 1 3 AD , AB ; ; Ta có: AD 0; ;1 AB ; ;1 n A BM 2 Vậy cơsin góc tạo hai mặt phẳng AMB ABC là: 36 30 10 10 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN cos A ' BM , ABC cos n ABM , n ABC 3 Điều ta biết giọt nƣớc, điều ta chƣa biết đƥi dƣơng – Newton Tƥp chí tƣ liệu tốn học | 40 TƤP CHÍ VÀ TƢ LIỆU TỐN HỌC Câu 49 Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có cạnh bên cạnh đáy Đường thẳng MN NB M AC; N BC đường vng góc chung AC BC Tỷ số NC Lời giải Kết toán không thay đổi ta xét lăng trụ ABC ABC có cạnh bên cạnh đáy A C O y M B x N C' A' z B' Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ ( O trung điểm BC ) Ta có: A 0; 3; , B 1;0;0 , C 1;0;0 , C 1;0; , CA 1; 3; , BC 2;0; CM mCA Do nên ta có M 1 m; 3m; 2m , N 1 2n;0; 2n BN nBC Đường thẳng MN đường vng góc chung AC BC nên: m MN CA 4m 2n 1 BN NB n BC NC m 4n MN BC n Câu 50 Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng ABC , AD 3a, AB 2a , , AC 4a, BAC 60 Gọi H , K hình chiếu vng góc B AC CD Đường thẳng HK cắt đường thẳng AD E Chứng minh BE vng góc với CD tính thể tích khối tứ diện BCDE theo a Lời giải 41 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC MN m 2n 2; 3m; 2n 2m PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA HÌNH CỔ ĐIỂN z D y 3a K H C A E 4a 2a B x Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với A trùng gốc tọa độ O A 0;0;0 , B 2a;0;0 , C 2a; 2a 3;0 , D 0;0;3a , AH AB.cos 60 a a a Suy tọa độ H ; ;0 2 DC 2a; 2a 3; 3a suy u 2; 3; 3 vecto phương DC nên phương trình x 2t đường thằng DC : y 3t Vì K thuộc DC nên K 2t ; 3t ;3a 3t z 3a 3t CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN Ta có BK 2t 2a; 3t;3a 3t , BK DC t 26a 26 a 36 a 13a Vậy K ; ; 25 25 25 25 a a 27a 27a 36a Vì E thuộc trục Az nên E 0;0; z EH ; ; z ; HK ; ; 2 50 50 25 4a 4a Vì E , H , K thằng hàng nên EH , HK phương, suy z Vậy E 0;0; 3 4a 4a Ta có EB 2a;0; DC 2a; 2a 3; 3a nên EB.DC 2a.2a 0.2a 3a 3 Vậy BE vng góc với CD Câu 51 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, BC a ABC 30 Hai mặt phẳng SAB SAC tạo với đáy góc 60 Biết hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABC thuộc cạnh BC Tính thể tích khối chóp S ABC theo a Lời giải Điều ta biết giọt nƣớc, điều ta chƣa biết đƥi dƣơng – Newton Tƥp chí tƣ liệu tốn học | 42 TƤP CHÍ VÀ TƢ LIỆU TỐN HỌC z S y x H C B A Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với A trùng gốc tọa độ O a a A 0;0;0 , B ;0;0 , C 0; ;0 , S x; y; z với x 0; y 0; z 0, H x; y;0 với H hình chiếu vng góc S lên ABC a a n1 0;0;1 vecto pháp tuyến ABC n2 AB AS 0; z; 2 a a tuyến SAB n3 AC AS x;0; z vecto pháp tuyến SAC 2 cos SAC , ABC n1.n2 n1 n2 n1.n3 n1 n3 y z y 2 x z x 2 z y 1 z 3x a a a Từ 1 , ta có x y Nên H x; x;0 , H thuộc BC nên BC ; ;0 , CH x; x ;0 2 a x 3a x x a phương, suy thay vào 1 , ta z a a 1 1 2 VS ABC a3 1 3a a2 SH S ABC 3 1 32 Câu 52 Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh AB a Gọi M , N trung điểm cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết mặt phẳng AMN vng góc với mặt phẳng SBC Lời giải Gọi O trung điểm BC , G trọng tâm tam giác ABC , ta có 43 | Chinh phục olympic tốn Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC cos SAB , ABC y vecto pháp PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA HÌNH CỔ ĐIỂN a a a , OB OC , OG 2 Đặt SG z Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia Ox chứa A , tia Oy chứa B tia Oz nằm đường thẳng qua O song song với SG (xem hình vẽ), đó: OA a a a a a a a a A ;0;0 , B 0; ;0 , C 0; ;0 ,S ;0; z , M ; ; z , N ; ; z 12 12 a 15 a 10 Tính z Suy S AMN 16 Câu 53 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a, AD a 2, SA a SA vng góc với mặt phẳng ABCD Gọi M , N trung điểm AD SC , I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng SAC vng góc với mặt phẳng SMB Tính thể tích khối tứ diện ANIB Lời giải z S N A M y D I B C x Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O A , Ox chứa B , tia Oy chứa D tia Oz chứa S Khi đó: a a a a A 0;0;0 , B a;0;0 , C a; a 2;0 , D 0; a 2;0 , S 0;0; a , M 0; ;0 , N ; ; 2 2 a AS 0;0; a , AC a;a 2;0 , SM 0; ; a , SB a;0; a 2 Vecto pháp tuyến SAC AS ; AC a 2; a ;0 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN a2 Vecto pháp tuyến SMB SM ; SB ; a ;0 Vì AS ; AC SM ; SB a a nên SAC SMB Ta có IC BC IC 2 IA Từ tìm IA AM thể tích khối tứ diện ANIB VANIB a a I ; ;0 3 1 a3 a3 AN AI AB 6 36 Điều ta biết giọt nƣớc, điều ta chƣa biết đƥi dƣơng – Newton Tƥp chí tƣ liệu tốn học | 44 TƤP CHÍ VÀ TƢ LIỆU TỐN HỌC Câu 54 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE , N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính (theo a ) khoảng cách hai đường thẳng MN AC Lời giải z S E I M D C N O x a A B y Gọi O giao điểm AC BD , Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia Ox chứa A , tia Oy chứa B tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Đặt SO z , a a a a A ;0;0 , B 0; ;0 , C ;0;0 , D 0; ;0 , S 0;0; z , 2 2 a a a a z a z a a N ; ;0 , M ; ; , I ;0; E ; ; z 4 2 2 2 3a z a Có MN ;0; , BD 0; ;0 4 Ta thấy MN BD MN BD a Câu 55 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD bình hành, AD 4a , cạnh bên hình chóp 6a Tìm cơsin góc hai mặt phẳng SBC SCD thể tích khối chóp S ABCD lớn Lời giải 45 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Góc hai đường thẳng MN AC d MN , AC PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA HÌNH CỔ ĐIỂN z S B x C O M A N D y Gọi O giao điểm AC BD , M , N trung điểm AB AD , từ giả thiết suy SO AC 2 SO ABCD OA OB OC OD 6a SO nên ABCD hình chữ nhật SO BD OA x 4a Đặt ON x Khi SO SA2 OA2 2a x Thể tích khối chóp S ABCD VS ABCD dụng bất đẳng thức Caushy ta suy VS ABCD AB AD.SO ax 2a x với x 0; a áp 3 lớn x a Suy SO a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi a a a B 2a; ;0 , C 2a; ;0 , D 2a; ;0 , S 0;0; a Gọi góc hai mặt phẳng SBC SCD cos Câu 56 Cho hình lăng trụ đứng ABC A1 B1C1 có AB a, AC 2a, AA1 2a BAC 120 Gọi M trung điểm cạnh CC1 Chứng minh MB MA1 tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A1BM CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Lời giải Điều ta biết giọt nƣớc, điều ta chƣa biết đƥi dƣơng – Newton Tƥp chí tƣ liệu tốn học | 46 TƤP CHÍ VÀ TƢ LIỆU TỐN HỌC z C1 B1 A1 y C B 2a a A yx Kẻ AO BC Ta có BC a 4a 2a.2a.cos120 a AO.BC AB AC.sin120 AO OB AB AO a AB AC.sin120 a 21 BC 21a 2 a 49 7a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi đó: OC BC OB a 21 a 21 A ;0;0 , B 0; ;0 , M 0; ; a , A1 ;0; 2a 7 a 21 5a Ta có MA1 ; ; a , MB 0; a 7; a 2a Phương trình mặt phẳng A1 BM là: 12 x 15 y 21z Khoảng cách từ A đến A1 BM là: d A; A1MB a Câu 57 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C có độ dài cạnh bên 2a đáy ABC tam giác vuông A, AB a, AC a hình chiếu vng góc đỉnh A mặt phẳng ABC trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A ' ABC cosin góc hai đường thẳng AA ' B ' C ' Lời giải 47 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC MA1.MB 5a 5a MA1 MB MA1 MB PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA HÌNH CỔ ĐIỂN z C' B' A' O B C H x K A y Gọi O trung điểm BC , H trung điểm AB , K trung điểm AC OHAK hình chữ nhật Ta có BC BC AB AC 2a, OA a, OA ' AA '2 OA2 4a a a OH OA2 AH a a2 a 3a a OK OA AK a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia Ox chứa H , tia Oy chứa K tia Oz chứa A ' (xem hình vẽ) 2 a a a a a a Khi A ' 0;0; a , A ; ;0 , B ; ;0 , C ; ;0 2 2 2 Thể tích khối chóp A ' ABC VA ' ABC 1 3a3 3a3 a3 A ' A; A ' B A ' C 6 2 BC a 3; a;0 Gọi góc AA ' B ' C ' Khi đó: CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN cos cos AA ', BC AA '.BC AA '.BC Câu 58 Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B'C' có BC AB, AB BC Gọi M , N trung điểm 2a A ' B ' BC Khoảng cách hai đường thẳng AM B ' C Góc hai mặt phẳng AB ' C BCC ' B ' 60 Tính thể tích khối chóp MABC bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B ' ANC theo a Lời giải Điều ta biết giọt nƣớc, điều ta chƣa biết đƥi dƣơng – Newton Tƥp chí tƣ liệu tốn học | 48 TƤP CHÍ VÀ TƢ LIỆU TỐN HỌC z A' C' M B' y x A C N B Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với gốc tọa độ O trùng điểm B Đặt AB x x BC x Ta có B 0;0;0 , C x;0;0 , A 0; x;0 N x;0;0 x A ' 0; x; y y , B ' 0;0; y , C ' x;0; y , M 0; ; y x xy AM 0; ; y , B ' C x;0; y AM ; B ' C ; xy; x Ta có AC x; x;0 AM ; B ' C AC d AM , B ' C AM ; B ' C x2 y x2 y x2 y x4 2a xy x 17 y a 1 AB ' 0; x; y AC x; x;0 nên AC AB ' xy; xy; x nên AB ' C có vecto pháp tuyến n y; y; x (vì n phương với AC AB ' ) BCC ' B ' có vecto pháp tuyến j 0;1;0 n j n j 2y 11 y x 16 y x y 2 2 2 y 4x Thế vào 1 , giải phương trình ta kết y 4a x 2a 11 11 a 16 11 a Vậy VMABC S ABC AA ' a.4 a 3 33 11 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B ' ANC theo a Phương trình mặt cầu S ngoại tiếp khối chóp B ' ANC có dạng: Vì S : x y z 2a1 x 2by 2cz d với tâm T a1; b; c , R a12 b2 c d B ', A, N , C thuộc mặt cầu S nên tọa độ chúng thỏa mãn phương trình mặt cầu, ta có hệ: 49 | Chinh phục olympic tốn Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC cos AB ' C , BCC ' A ' PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA HÌNH CỔ ĐIỂN 16 11 a1 3a ac d a b 3a 11 11 31 4a 4ab d 13a R 3a 11 4a 4a a d c 11 16a 8a1a d d 8a Câu 59 Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình vng, tam giác A ' AC vng cân, A ' C a Tính thể tích khối tứ diện ABB ' C ' khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BCD ' theo a Lời giải z B' A' C' D' D y B A C x a a AB 2 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với gốc tọa độ O trùng điểm A Từ giả thiết ta tính AC AA ' CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN a a a a Ta có: A 0;0;0 , B 0; ;0 , C ; ;0 , D ;0;0 2 2 a a a a a a a a A ' 0;0; , B ' 0; ; , C ' ; ; , D ' ;0; 2 2 2 2 a a a a a a AB 0; ;0 , AB ' 0; ; , AC ' ; ; 2 2 2 a2 2a a3 AB AB ' V AB AB ' AC ' ;0;0 AB AB ' AC ' ABB ' C ' 6 48 2 a2 a2 a a a CB ;0;0 , CD ' 0; ; CB.CD ' 0; ; 2 2 4 n 0; 2;1 VTPT mặt phẳng BCD ' nên Điều ta biết giọt nƣớc, điều ta chƣa biết đƥi dƣơng – Newton Tƥp chí tƣ liệu tốn học | 50 TƤP CHÍ VÀ TƢ LIỆU TỐN HỌC 2y z a d A, BCD ' 2 a 2 12 a 6 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC BCD ' : 2.0 51 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor ... để gắn tọa độ liên quan tới hình lập phương, hình hộp chữ nhật, chối chóp có đường vng góc, lăng trụ đứng áp dụng phương pháp giải nhanh ! II CÁC BÀI TỐN Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng... tìm hiểu phương pháp giải nhanh tốn tính tốn phức tạp khó hình khơng gian cổ điển, liên quan tới cực trị, góc, khoảng cách I Ý TƯỞNG PHƯƠNG PHÁP Trên mạng có vài tài liệu nói phương pháp chia... nằm ngang, lại trục Oy Bước Xác định tọa độ điểm liên hình liên quan tới tốn Với bạn chưa quen xác định tọa độ hình chiếu điểm cần tìm lên trục, từ suy tọa độ điểm cần tính Bước Áp dụng công
Ngày đăng: 28/04/2019, 23:14
Xem thêm:
