hiện và giải quyết vấn đề
Dạy học PH và GQVĐ là kiểu dạy có nét đặc trưng là giáo viên trực tiếp tạo ra những tình huống có vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện ra vấn đề, hoạt động tự giác và tích cực để GQVĐ. Thông qua đó mà lĩnh hội tri thức, rèn luyện kỹ năng và đạt được các mục đích học tập khác.
Đặc trưng cơ bản của phương pháp dạy học PH và GQVĐ là tình huống có vấn đề, ứng với một mục tiêu xác định, những thành phần chủ yếu của của một tình huống bao gồm: Nội dung của môn học hoặc chủ đề, tình huống khởi đầu, hoạt động trí tuệ của học sinh trong việc trả lời câu hỏi hoặc giải quyết vấn đề, kết quả hoặc sản phẩm của hoạt động, đánh giá hiệu quả.
Đặc trưng thứ 2 là: Quá trình dạy học theo phương pháp PH và GQVĐ được chia thành những "thao tác", những giai đoạn có tính mục đích chuyên biệt, học sinh hoạt động tích cực, tận lực huy động tri thức và khả năng của mình để giải quyết vấn đề.
Đặc trưng thứ 3 là: Mục đích dạy học không chỉ làm cho học sinh lĩnh hội được kết quả của quá trình giải quyết vấn đề, mà còn ở chỗ làm cho họ phát triển khả năng tiến hành những quá trình như vậy. Quá trình dạy học theo phương pháp giải quyết vấn đề bao gồm nhiều hình thức tổ chức đa dạng lôi cuốn người học tham gia cùng tập thể, động não, tranh luận dưới sự dẫn dắt, gợi mở, cố vấn của thầy.
Dạy học giải quyết vấn đề tạo ra trước học sinh những tình huống có vấn đề làm cho các em học sinh ý thức được, thừa nhận và giải quyết những tình huống này trong quá trình hoạt động chung của học sinh và giáo viên. Ngoài ra dạy học giải quyết vấn đề không những đặt ra những vấn đề nhận thức và lôi cuốn học sinh vào công việc nhận thức tích cực mà còn phải giúp đỡ họ thông hiểu các biện pháp của hoạt động nhận thức nhằm tiếp thu kiến thức mới và nắm vững những biện pháp đó. Nét bản chất của dạy học giải quyết vấn đề không phải là sự đặt ra câu hỏi mà là tạo thành tình huống có vấn đề.
Dạy học nêu vấn đề sẽ in dấu ấn lên toàn bộ sự dạy học. Chẳng những nó đảm bảo phát triển trí tuệ học sinh tới trình độ cao, và do đó biến đổi quá trình lĩnh hội nội dung giáo dưỡng, khiến cho quá trình đó có tính chất sáng tạo. Mà dạy học nêu vấn đề còn ảnh hưởng đến phong cách tinh thần của học sinh, đến tính chất các động cơ học tập của học sinh. Đối với hoạt động sáng tạo – là “cốt lõi” của dạy học nêu vấn đề – thì trong các động cơ đó, có những động cơ chưa đủ, có những động cơ không thể chấp nhận được. Sợ hãi và nỗ lực sáng tạo không thể chung sống với nhau. Lòng ham hiểu biết, thậm chí nhu cầu hiểu biết là là điều kiện cần thiết để học tập có kết quả, nhưng chưa
đủ đối với dạy học nêu vấn đề. Dạy học nêu vấn đề đòi hỏi phải có sự hứng thú đối với bản thân quá trình nhận thức, đối với quá trình tìm tòi độc lập và sáng tạo. Dạy học nêu vấn đề có liên quan rất mật thiết với sự hình thành những động cơ hoạt động nhận thức. Nếu chủ thể đã có những phương tiện để tìm tòi lời giải mà không có động cơ, không có hứng thú đối với vấn đề thì cá nhân cũng không thể giải quyết được vấn đề. Trong quá trình dạy học nêu vấn đề hoàn thành ngày càng tốt đẹp các chức năng của nó, trong quá trình, áp dụng nó ngày càng nhiều trong thực hành, thì bản thân quá trình sáng tạo, quá trình tìm tòi sẽ trở thành động cơ chủ yếu.
Dạy học nêu vấn đề có thể và cần phải sử dụng nhân tố “ý nghĩa đối với cá nhân” của sản phẩm hoạt động cũng như quá trình hoạt động nhằm mục đích giáo dục cá nhân với những kích thích sáng tạo mạnh mẽ.
Vậy, dạy học nêu vấn đề có ảnh hưởng to lớn đến lĩnh vực động cơ học sinh, đến sự nâng cao hứng thú. Nó giữ vai trò quan trọng trong sự tự khẳng định của thiếu niên, đem lại cho họ niềm tin vào sức mình.
Theo Nguyễn Bá Kim, quá trình dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có thể chia thành các bước:
Bước 1. Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề Bước 2. Tìm giải pháp
Bước 3. Trình bày giải pháp Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp
Do đó, bồi dưỡng các bước trong dạy học giải quyết vấn đề góp phần lớn trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh, nhất là học sinh khá giỏi.
2.2.3.1. Bồi dưỡng năng lực nhận biết, tìm tòi và phát hiện vấn đề
Trong các bước dạy học giải quyết vấn đề thì nhận biết và phát hiện vấn đề là bước đầu tiên, đây cũng là bước quan trọng trong dạy học giải quyết
vấn đề. Vì người học có xác định được vấn đề thì mới thực hiện các bước tiếp theo, hơn nữa nếu vấn đề được xác định vượt quá năng lực của học sinh thì các bước tiếp theo cũng khó thực hiện. Do đó, vấn đề phát hiện ra phải phù hợp với năng lực của học sinh. Phát hiện vấn đề có thể là người học tự phát hiện hoặc dựa vào sự dẫn dắt của giáo viên, học sinh phát hiện ra vấn đề.
Trong giáo dục, người ta thường hiểu khái niệm “vấn đề” như sau: Một vấn đề được biểu thị bởi một hệ thống những mệnh đề và câu hỏi (hoặc yêu cầu hành động) thoả mãn các điều kiện sau:
- Học sinh chưa giải đáp được câu hỏi đó hoặc chưa thực hiện được hành động đó.
- Học sinh chưa được học một quy tắc có tính chất thuật toán nào để giải đáp câu hỏi hoặc thực hiện yêu cầu đặt ra.
Hiểu theo nghĩa trên thì vấn đề không đồng nghĩa với bài tập. Những bài tập chỉ yêu cầu học sinh trực tiếp vận dụng một quy tắc có tính chất thuật toán thì không phải là những vấn đề.
Để giúp học sinh phát hiện vấn đề, giáo viên cần tạo ra tình huống có vấn đề hoặc rèn luyện cho học sinh có thói quen tạo ra tình huống có vấn đề.
Tình huống gợi vấn đề, còn gọi là tình huống vấn đề, là một tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lí luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không phải ngay tức khắc nhờ một thuật giải mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có, phải tìm tòi những tri thức mới, những phương thức hành động mới.
Tình huống có vấn đề đặc trưng cho thái độ của chủ thể đối với trở ngại nảy ra trong lĩnh vực thực hành hay trí óc. Nhưng đó là thái độ mà trong đó chủ thể chưa biết cách khắc phục trở ngại và phải tìm tòi cách khắc phục. Nếu không ý thức được khó khăn thì không nảy ra nhu cầu tìm tòi, và không tìm
tòi thì không có tư duy sáng tạo. Muốn tình huống có vấn đề hoàn thành được chức năng của nó là kích thích tư duy, thì nó phải được chủ thể tiếp nhận để giải quyết. Điều này xảy ra nếu chủ thể sẵn có những tri thức ban đầu đáp ứng nội dung cụ thể của tình huống, sẵn có những phương tiện trí óc để có thể giải quyết nội dung đó.
Như thế, tình huống gợi vấn đề là một tình huống thoả mãn các điều kiện sau :
- Tồn tại một vấn đề
Tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn với trình độ nhận thức, chủ thể phải ý thức được một khó khăn trong tư duy hoặc hành động mà vốn hiểu biết sẵn có chưa đủ để vượt qua. Nói cách khác, phải có một vấn đề theo nghĩa đã nêu ở mục 2.2.1, tức là có ít nhất một phần tử của khách thể mà học sinh chưa biết và cũng chưa có trong tay một thuật giải để tìm phần tử đó.
- Gợi nhu cầu nhận thức
Nếu tình huống có một vấn đề nhưng vì lí do nào đó học sinh không thấy có nhu cầu tìm hiểu, giải quyết, chẳng hạn họ thấy vấn đề xa lạ, không liên quan gì tới mình thì đó cũng chưa phải là một tình huống gợi vấn đề. Điều quan trọng là tình huống phải gợi nhu cầu nhận thức, chẳng hạn phải làm bộc lộ sự khiếm khuyết về kiến thức và kĩ năng của học sinh để họ cảm thấy cần thiết phải bổ sung, điều chỉnh, hoàn thiện tri thức, kĩ năng bằng cách tham gia giải quyết vấn đề nảy sinh.
- Khơi dậy niềm tin ở khả năng bản thân
Nếu một tình huống tuy có vấn đề và học sinh tuy có nhu cầu giải quyết vấn đề, nhưng nếu họ cảm thấy vấn đề vượt quá so với khả năng của mình thì họ cũng không sẵn sàng tham gia giải quyết vấn đề. Tình huống cần khơi dậy ở học sinh cảm nghĩ là tuy họ chưa có ngay lời giải, nhưng đã có một số tri thức, kĩ năng liên quan đến vấn đề đặt ra và nếu họ tích cực suy nghĩ thì có
nhiều hi vọng giải quyết được vấn đề đó. Như vậy là học sinh có được niềm tin ở khả năng huy động tri thức và kĩ năng sẵn có để giải quyết hoặc tham gia giải quyết vấn đề.
Ví dụ 25. Cho các số thực không âm a,b,c và a+b+c=1. Chứng minh rằng
2 2 2 1 1 1 18 5 1 1 1 a b c a b c + + + + + £ + + + .
Đây là bài toán khó, với hình thức bài toán như vậy sẽ gây khó khăn cho học sinh trong việc sử dụng các bất đẳng thức cổ điển để đánh giá ,..Quan sát thấy
vế trái là tổng có dạng ( )f a + f b( )+f c( ) với ( ) 1 2 1 t f t t + = + và điều kiện
của bài toán là a+b+c=1, nên ta nghĩ đến tìm cách đánh giá
[ ]( ) , 0;1 ( ) , 0;1 f t £ mt+n " Ît (38) và đẳng thức xảy ra khi 1 3 t= . Nếu đáng giá này đúng thì ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 f a + f b + f c £ m a b c+ + + n= +m n Ta chọn ,m n sao cho 3 18 5 m+ n= , hay 6 1 5 3 n= - m
Khi đó : (38) tương đương với
( )( 2 ) 2 1 6 1 15( 1) 15 18 5 1 5 3 1 t mt m t mt m t t + £ + - Û + £ + - + + 2 2 5 (3m t 1)(t 1) 18t 15t 3 0 Û - + + - + ³ 2 5 (3m t 1)(t 1) 3(3t 1)(2t 1) 0 Û - + + - - ³ 2 (3t 1)(5mt 6t 5m 3) 0 Û - + + - ³ (39)
Ta chọn m sao cho tam thức f t( )=5mt2+ +6t 5m- 3 có nghiệm 1 3 t= hay 5 9 57 2 5 3 0 9m+ + m- = Û m=50Þ n=50 Khi đó 9 2 21 3 ( 2 ) 3 ( ) 6 3 20 7 (3 1)( 7) 10 10 10 10 f t = t + -t = t + t- = t- t+
Do đó (39) tương đương với
2
(3t- 1) (t+ ³7) 0 Bất đẳng thức này luôn đúng do tÎ [ ]0;1 .
Lời giải bài toán trên rất đẹp, mẫu chốt là tìm ra bất đẳng thức (38). Từ đây, học sinh có thể rút ra cho mình một phương pháp chứng minh bất đẳng thức có dạng ( )f a +f b( )+ f c( )£ k a b c( + + +) m bằng cách đánh giá
( )
3
m
f a £ ka+ . Tuy nhiên, vấn đề đặt ra ở đây là :
1) Có phải với mọi hàm f ta luôn có đánh giác ( )
3
m
f a £ ka+ ? Dấu hiệu của f là gì ?
2) Nếu có đánh giá trên thì bản chất của
3
m
ka+ là gì ? Có cách nào để tìm ,
k m một cách nhanh hơn hay không ?
Vấn đề nảy sinh như vậy, giúp học sinh hứng thú với việc học và tìm hiểu cách giải quyết vấn đề.
Ví dụ 26. Cho các số thực x,y,z không âm. Chứng minh rằng
(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)≤xyz (40)
Giả sử x=max{x,y,z}, suy ra x+y-z≥0, x+z-y≥0. Do đó, nếu y+z-x≤0 thì bất đẳng thức (40) hiển nhiên đúng.
Đặt a=x+y-z, b=y+z-x, c=z+x-y. Suy ra x=(a+c)/2, y=(a+b)/2, z=(b+c)/2 Và (41) trở thành : (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc (41)
Bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số thực không âm, ta có: a+b≥ 2 ab; b+c≥ 2 bc; c+a≥ 2 ca .
Nhân ba bất đẳng thức trên theo vế ta có (41). Đẳng thức xảy ra khi a=b=c.
Qua lời giải bài toán trên ta thấy được, bất đẳng thức (40) là hệ quả của bất đẳng thức (41) khi thay đổi hình thức của a,b,c từ bất đẳng thức (41) ta được bất đẳng thức (40). Từ đó, nảy sinh ra vấn đề là nếu thay a,b,c bằng các biểu thức thích hợp ta sẽ thu được các bất đẳng thức khác nhau. Điều này thôi thúc học sinh đi sáng tác ra các bài toán mới.
Trong một số trường hợp thì kết quả của bài toán có ý nghĩa nhất định, nếu suy nghĩ tìm hiểu bản chất của kết quả ta sẽ nảy sinh được nhiều vấn đề để nghiên cứu. Ta xét ví dụ sau đây.
Ví dụ 27. Chứng minh rằng phương trình : x3+mx2+nx+ =p 0 có ba nghiệm (có thể trùng nhau) khi và chỉ khi
( )3
3 2
27p+2m - 9mn £ 2 m - 3n (42).
Để chứng minh bất đẳng thức trên ta dựa vào sự tương gia giữa đồ thị hàm số
3 2
y=x +mx +nx+p với trục Ox.
Bài toán trên được giải quyết nhờ vào việc khảo sát sự tương giao của hàm số bậc ba với trục hoành. Từ bài toán trên, kết hợp với định lí đảo của định lí Viet, ta có nhận xét sau:
Nếu , ,a b c là ba số thực và m=- (a b c n+ + ), =(ab bc ca p+ + ), =- abc
Điều này gợi ý cho chúng ta sáng tác các bài toán bất đẳng thức cho ba số thực bất kì.
2.2.3.2. Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề
Đây là bước thứ hai trong qua trình dạy học giải quyết vấn đề.
Tìm một cách giải quyết vấn đề, thường được thực hiện theo sơ đồ:
Phân tích vấn đề, tức là cần làm rõ những mối liên hệ giữa cái đã biết và cái cần tìm. Trong môn Toán, ta thường dựa vào những tri thức toán học đã học, liên tưởng tới những định nghĩa và định lí thích hợp.
Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề, cùng với việc thu thập, tổ chức dữ liệu, huy động tri thức, thường hay sử dụng những phương pháp, kĩ thuật nhận thức, tìm đoán, suy luận như hướng đích, quy lạ về quen, đặc biệt hóa, xem những trường hợp suy biến, tương tự hóa, khái quát hóa, xem xét những mối liên hệ và phụ thuộc, suy xuôi, suy ngược tiến, suy ngược lùi...
+Bắt đầu Bắt đầu
Phân tích vấn đề
Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết
Hình thành giải pháp
Giải pháp đúng
Kết thúc _
Kết quả của việc đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề là hình thành được một giải pháp.
Việc tiếp theo là kiểm tra giải pháp xem nó có đúng đắn hay không. Nếu giải pháp đúng thì kết thúc ngay, nếu không đúng thì lặp lại từ khâu phân tích vấn đề cho đến khi tìm được giải pháp đúng.
Ví dụ 28. Ta tìm cách giải quyết vấn đề được nêu ra ở ví dụ 25.
Cho học sinh giải bài toán sau
Bài toán 1. Cho các số thực không âm a,b,c thỏa a+b+c=1. Chứng minh rằng:
3 3 3 5 5 5
10(a +b +c ) 9(- a +b +c ) 1³ . Bằng cách tương tự, ta đi chứng minh bất đẳng thức có dạng
( )
3 5
10t - 9t ³ mt+n, " Ît 0;1 (43) Dấu “=” xảy ra khi 1
3 t= hay 1 1 1 3 3 3 m m n n - + = Û = Khi đó (43) trở thành: 3 5 1 10 9 3 m t t mt - - ³ + Û 27t5- 30t3+ +1 m t(3 - 1) 0£ 4 3 2 (3t 1)(9t 3t 9t 3t 1) m t(3 1) 0 Û - + - - - + - £ 4 3 2 (3t 1)(9t 3t 9t 3t 1 m) 0 Û - + - - - + £ (44) Đặt f t( )=9t4+3t3- 9t2- 3t- +1 m Ta chọn m sao cho 1 0 25 3 9 fæö÷ m ç = Þ÷ = ç ÷ çè ø Khi đó: ( ) (3 1)(3 3 2 2 7 16) 3 9 f t = t- t + t - t- Do đó (44) trở thành: (3 1)2 3 3 2 2 7 16 0 3 9 t æç t t t ö÷ - ç + - - ÷÷£ çè ø