phổ thông
Điều tra thực tiễn chúng ta sử dụng bài kiểm tra 45 phút để đánh giá kỹ năng chứng minh bất đẳng thức của học sinh. Đối tượng là học sinh các lớp 10 Toán 1 và 10 Toán 2 Trường Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai. Mỗi lớp gồm 30 học sinh.
Đề bài
Câu 1. Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:
3a 2b b 3c 2b 11
b c c a a b 2
+ + + + ≥
+ + +
Câu 2. Cho các số thực dương a,b,c có tích bằng 1. Chứng minh rằng
m m m n n n
a +b +c ≥a +b +c với m,n∈¥*, m n≥
Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B= x2+ +(y 1)2 + x2+ −(y 3)2
Trong đó x,y là các số thực thỏa mãn 2x-y-2=0. Dụng ý sư phạm là:
- Đánh giá kiến thức cơ bản.
- Đánh giá kỹ năng vận dụng bất đẳng thức cổ điển.
- Đánh giá khả năng linh hoạt vận dụng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
- Đánh giá khả năng sáng tạo của học sinh trong việc tìm lời giải. Kết quả đánh giá tính theo số học sinh làm được bài như sau
Lớp Câu 1 Câu 2 Câu 3
10 Toán 1 28 13 2
10 Toán 2 30 19 4
Phân tích kết quả : Từ kết quả trên cho thấy đa số học sinh đều nắm được các bất đẳng thức cơ bản. Tuy nhiên, học sinh còn hạn chế trong việc vận dụng các hoạt động trí tuệ để tìm lời giải, và khả năng sáng tạo.
Ở câu 1 : Học sinh chỉ cần nhìn ra bất đẳng thức Nesbit và tách vế trái thành
a b c b c+c a+a b + + + và 2(a b) 2(b c) b c a b + + + + + . Nhóm thứ nhất áp dụng bất
đẳng thức Nesbit, nhóm thứ hai áp dụng bất đẳng thức Cô si.
Ở câu 2 : Học sinh có thể giải trường hợp m=3, n=2. Từ đó, tìm cách giải cho trường hợp tổng quát.
Ở câu 3 : Có hai hướng giải
Hướng 1 : Dùng bất đẳng thức Cô si – Schwarz kết hợp cân bằng hệ số Hướng 2 : Sử dụng phương pháp hình học
Trong hệ tọa độ Oxy ,Xét M x y N( ; ,) (0; 1 ,- ) (P 0;3)và đường thẳng
d:2x-y-2=0 và B=MN +MP
Gọi N' đối xứng với N qua dÞ N,( )4;1 Þ PN,=PN,=2 5 Ta có MN +MP=MN,+MP³ PN,=2 5.