Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào dạy học giải bài toán cầu phương các hình phẳng và dựng đồ thị hàm số

Bài báo trình bày cách nhìn nhận các hệ thức lượng trong tam giác vuông theo quan điểm cấu trúc trong Lí thuyết phát sinh nhận thức của J. Piaget. Trên cơ sở đó làm rõ mối liên hệ giữa các hệ thức này với các vấn đề cầu phương các hình phẳng và sử dụng để dựng đồ thị của một hàm số có liên quan đặc biệt với với một hay hai hàm số đã cho.

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci 2011, Vol 56, No 4, pp 24-28 SỬ DỤNG HỆ THỨC LỰỢNG TRONG TAM GIÁC VNG VÀO DẠY HỌC GIẢI BÀI TỐN CẦU PHƯƠNG CÁC HÌNH PHẲNG VÀ DỰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ Chu Trọng Thanh Trường Đại học Vinh E-mail: thanhchu1951@gmail.com Tóm tắt Bài báo trình bày cách nhìn nhận hệ thức lượng tam giác vuông theo quan điểm cấu trúc Lí thuyết phát sinh nhận thức J Piaget Trên sở làm rõ mối liên hệ hệ thức với vấn đề cầu phương hình phẳng sử dụng để dựng đồ thị hàm số có liên quan đặc biệt với với hay hai hàm số cho Mở đầu Một hệ thức lượng tam giác vuông nhân loại biết đến thời gian đầu giai đoạn toán học sơ cấp định lí Pitago Cùng với định lí Pitago, tam giác cịn có hệ thức lượng khác Trong kỉ V trước cơng ngun (TCN) nhà tốn học Hylạp nghiên cứu toán chia ba góc cho trước, dựng hình vng có diện tích diện tích hình vng cho trước tốn dựng hình lập phương tích gấp hai lần thể tích hình lập phương cho trước Cả ba toán giả thiết sử dụng thước compa Đây ba tốn khơng giải việc chứng minh tính khơng giải chúng tới kỉ XVIII XIX nhà toán học thực Giáo viên khai thác mối quan hệ hệ thực lượng tam giác vng vào việc tạo tình gợi vấn đề, gợi động hoạt động vào việc tổ chức cho học sinh phát hay ứng dụng định lí Pitago hệ thức lượng tam giác vuông dạy học kiến thức trường phổ thông 2.1 Nội dung nghiên cứu Định lí Pitago Ít có định lí tốn học sơ cấp lôi quan tâm nhiều người định lí Pitago Trong tư liệu lịch sử tốn người Trung Quốc, định lí cịn gọi định lí Cao Thương ghi chép sách Cửu chương toán thuật nhà toán học Trần Sanh biên soạn từ năm 152 (TCN) Các 24 Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông vào dạy học giải toán tư liệu lịch sử toán cho Pitago khám phá chứng minh định lí từ kỉ VI (TCN): "Trong tam giác vuông với độ dài cạnh huyền a, độ dài cạnh góc vng b c ta ln có hệ thức a2 = b2 + c2 " Theo quan điểm cấu trúc nhận thức lí thuyết J Piaget, biểu thức dạng x2 ta ln coi số đo diện tích hình vng cạnh |x| Nhìn nhận vấn đề hệ thức a2 = b2 + c2 có nghĩa tồn hình vng có diện tích tổng diện tích hai hình vng cho trước Nếu viết lại hệ thức dạng a2 − b2 = c2 lại nói đến tồn hình vng có diện tích hiệu diện tích hai hình vng cho trước Với cách viết đẳng thức a2 − b2 = c2 thành c2 = (a − b).(a + b), ta lại nói đến tồn hình vng có diện tích diện tích hình chữ nhật cho trước Định lí Pitago khơng khẳng định tồn hình vng mà cịn cạnh hình vng làm thành cạnh tam giác vng Nhìn nhận vấn đề vậy, hệ thức a2 = b2 + c2 a2 − b2 = c2 có nội dung toán cầu phương tổng hay hiệu (diện tích) hai hình vng cho trước Chính việc chứng minh định lí Pitago thực theo cách quan niệm Chúng ta mở rộng vấn đề cho tốn: Dựng hình vng có diện tích tổng diện tích n hình vng cho trước Rõ ràng sử dụng định lí Pitago n − lần ta đến lời giải Cũng chứng minh chi tiết điều phương pháp quy nạp toán học Cách chứng minh xem Pitago độc đáo: cắt ghép hình dùng cơng thức tính diện tích hình đơn giản để suy hệ thức tam giác vuông: a2 = b2 + c2 , a số đo cạnh huyền, cịn b, c số đo hai cạnh góc vng tam giác vuông Cách chứng minh Pitago ngày giới thiệu hầu hết sách giáo khoa toán trung học sở (xem [1]) Điều đáng nói ngồi cách chứng minh Pitago người ta thống kê 370 cách chứng minh khác định lí Đó kỉ lục! Cũng cần nói thêm định lí Pitago cịn giữ số kỉ lục khác như: - Thời gian loài người tìm kiếm thêm chứng minh lâu nhất: từ kỉ VI (TCN) đến kỉ XX sau công nguyên (năm 1917) - Thành phần người tham gia tìm kiếm cách chứng minh đa dạng nhất: có nhà tốn học Pitago, Ơclit, có người lao động chân tay, họa sĩ lừng danh Leonard de Vinci có trị gia tiếng tổng thống James Garfield nước Mỹ - Phương pháp chứng minh sơ cấp sử dụng lặp lại nhiều lần nhất: số 370 cách chứng minh hầu hết dùng phương pháp cắt ghép hình Vì việc tìm lại cách cắt ghép hình vng tương ứng với cách chứng minh định lí Pitago điều thú vị hữu ích dạy học sinh khám phá định lí 25 Chu Trọng Thanh 2.2 Hệ thức lượng tam giác vuông tốn cầu phương hình phẳng Cùng với định lí Pitago, tam giác vng ABC với cạnh huyền a, cạnh góc vng b, c, đường cao thuộc cạnh huyền h, hình chiếu b, c lên cạnh huyền tương ứng b′ c′ , ta có số hệ thức lượng khác như: b2 = a.b′ c2 = a.c′ h2 = b′ c′ (2.1) (2.2) (2.3) Thực chất hệ thức tương tự nên cần quan tâm hệ thức được, chẳng hạn ta xét (2.3) Theo quan điểm cấu trúc lí thuyết J Piaget, nhìn hệ thức (2.3) h : b′ = c′ : h; nhìn nhận hệ thức (2.3) với ý nghĩa độ dài ba đoạn thẳng (h) trung bình nhân độ dài hai đoạn (b′ c′ ); lại nhìn nhận (2.3) với ý nghĩa diện tích hình vng cạnh h diện tích hình chữ nhật cạnh b′ c′ Mỗi cách nhìn nhận cho ta thể cấu trúc nhận thức ứng với hệ thức (2.3) Sau chúng tơi sử dụng cách nhìn nhận thứ ba vừa nêu để xét toán cầu phương số hình phẳng Bài tốn Dựng hình vng có diện tích diện tích hình chữ nhật cho trước Sử dụng hệ thức (2.3) có lời giải toán Khi coi cạnh hình chữ nhật cho trước b′ c′ sử dụng (2.3) ta có cạnh hình vng cần dựng đường cao h tam giác vng có cạnh huyền a = b′ + c′ b′ , c′ hình chiếu cạnh góc vng lên cạnh huyền Bài tốn Dựng hình vng có diện tích diện tích tam giác cho trước Rõ ràng với tam giác có cạnh đáy a đường cao tương ứng h ta có diện ah h a tích S tính theo công thức S = = a = h Như 2 h a coi S diện tích hình chữ nhật có cạnh a cạnh 2 cạnh h Theo cách diễn đạt tốn cầu phương hình tam giác đưa tốn dựng hình chữ nhật có diện thích diện tích hình tam giác cho tốn cầu phương hình chữ nhật Bài tốn Dựng hình vng có diện tích diện tích hình đa giác cho trước Để giải tốn ta cần dùng đường chéo hình đa giác cho để 26 Sử dụng hệ thức lượng tam giác vng vào dạy học giải tốn phân chia miền đa giác thành hợp miền tam không đè lên (tức điểm chung) Khi diện tích đa giác tổng diện tích tam giác tách phép phân chia Bài toán cầu phương hình đa giác cho đưa tốn dựng hình vng có diện tích tổng diện tích tam giác cho Vì việc cầu phương tam giác thực nhờ Bài toán nên toán cầu phương đa giác lại trở thành vấn đề dựng hình vng có diện tích tổng diện tích hình vng cho trước Vấn đề giải cách sử dụng định lí Pitago với lập luận quy nạp tốn học trình bày Vấn đề toán cầu phương gi? Có lẽ tốn cầu phương hình trịn xuất cố gắng sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông để giải toán cầu phương đơn giản Tuy nhiên chuyển từ toán cầu phương đa giác sang tốn cầu phương hình trịn (tưởng tượng hình trịn đa giác có vơ số cạnh!) vấn đề trở nên khó khăn gấp nhiều lần Khó khăn cuối kỉ XVIII loài người nhận khơng giải với công cụ thước compa 2.3 Hệ thức lượng tam giác vuông vấn đề dựng đồ thị số hàm số có liên quan với hàm số cho trước Chúng ta lại tiếp tục tìm cách ứng dụng hệ thức (2.3) vào số tình khác Trước hết, ta tìm cách chuẩn hóa hệ thức (2.3) cách chia vế cho b′ c′ b′ c′ h2 để có = Đặt u = v = , ta có u.v = hay v nghịch đảo u h h h h Ở ta lại có cấu trúc nhận thức khác ứng với (2.3) Ta khai thác (2.3) theo quan điểm cấu trúc vào lĩnh vực khác Tình lúc đặt toán sau: Bài toán Giả sử hệ tọa độ trực chuẩn Oxy có đồ thị (C) hàm số y = f (x) Hãy dựng đồ thị (C ′ ) hàm số y = f (x) Bằng công cụ thơng thường nói đến vẽ đồ thị hàm số ta xác định điểm đồ thị mà thơi Để có đồ thị đầy đủ (tương đối xác thơi) ta phải chấp nhận dựng số điểm đồ thị sử dụng thuộc tính hàm số để nối điểm lại thành đường (đồ thị) Với cách đặt vấn đề ta đưa vấn đề cần giải toán sau: ) Cho biết điểm M(x0 ; f (x0 )) thuộc đồ thị (C), dựng điểm M ′ (x0 ; f (x0 ) mặt phẳng tọa độ Oxy (với hệ tọa độ trực chuẩn) Trước hết ta nhận giao điểm đồ thị (C) với trục hồnh khơng thuộc đồ thị (C ′ ) f (x) triệt tiêu Với giá trị x0 mà f (x0 ) = ta ln có = dấu với f (x0 ) Điều có nghĩa M M ′ nằm f (x0 ) 27 Chu Trọng Thanh nừa mặt phẳng tọa độ so với trục Ox Vấn đề lại xác định | | biết f (x0 ) |.|f (x)| = 1, có dạng hệ thức (2.3) Do M ′ dựng f (x0 ) cách: Kí hiệu K điểm Ox có tọa độ (x0 ; 0) Dựng điểm A trục hồnh có tọa độ (x0 − 1; 0) (x0 + 1; 0) Khi ta có độ dài AK = Dựng tam giác vng có đỉnh góc vng A cạnh góc vng qua điểm M Kí | hiệu giao điểm cạnh góc vng với MK N Khi độ dài KN = | f (x0 ) Điểm M ′ cần dựng N hay điểm đối xứng với N qua Ox tùy thuộc điểm M nằm nửa hay nửa mặt phẳng tọa độ so với trục hoành Cũng theo cách sử dụng hệ thức lượng (2.3) tam giác vuông, ta giải tốn liên quan đến việc dựng đồ thị hàm số y = |f (x)g(x)| biết đồ thị hàm số y = f (x) y = g(x) |f (x)| Ở ta có | Kết luận Thơng qua việc tìm hiểu tư liệu lịch sử tốn nhìn nhận số kiến thức mơn tốn theo quan điểm cấu trúc nhận thức J Piaget, định hướng việc tổ chức cho học sinh hoạt động phát kiến thức, khám phá kiến thức ứng dụng kiến thức vào chủ đề khác dạy học môn tốn trường phổ thơng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Howard Eves, 1993 Giới thiệu lịch sử Tốn Cơng ty Sách Thiết bị trường học thành phố Hồ Chí Minh [2] G Polia, 1997 Sáng tạo toán học Nxb Giáo dục, Hà Nội [3] Chu Trọng Thanh, 2009 Sử dụng khái niệm cơng cụ lí thuyết phát sinh nhận thức J Piaget vào mơn Tốn Tạp chí Giáo dục, số 207, tr 37, 38 ABSTRACT Using the Tael relation in right-angled triangles for teaching plane figures quadrature task and build the diagram of function This paper presents the views of Tael relations in right-angled triangles according to the terms of structure in J Piaget’s cognitive development theory On this basis to clarify the relationship between Tael relation with plane figures quadrature task and uses to build the diagram of function related specifically to one or two functions given 28 ... khơng giải với công cụ thước compa 2.3 Hệ thức lượng tam giác vuông vấn đề dựng đồ thị số hàm số có liên quan với hàm số cho trước Chúng ta lại tiếp tục tìm cách ứng dụng hệ thức (2.3) vào số tình... tốn cầu phương hình chữ nhật Bài tốn Dựng hình vng có diện tích diện tích hình đa giác cho trước Để giải tốn ta cần dùng đường chéo hình đa giác cho để 26 Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông vào. . .Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông vào dạy học giải toán tư liệu lịch sử tốn cho Pitago khám phá chứng minh định lí từ kỉ VI (TCN): "Trong tam giác vuông với độ dài cạnh