Phương pháp ma trận chuyển cho môi trường phân lớp trực hướng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————— Trần Ngọc Trung PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN CHUYỂN CHO MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP TRỰC HƯỚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————— Trần Ngọc Trung PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN CHUYỂN CHO MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP TRỰC HƯỚNG Chuyên ngành: Cơ học vật rắn Mã số: 60440107 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Trần Thanh Tuấn Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Trần Thanh Tuấn Thầy tận tình quan tâm hướng dẫn em q trình hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới nhóm Seminar mơn Cơ học GS TS Phạm Chí Vĩnh chủ trì, tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Em xin gửi lời tới quan em công tác Nhà xuất Khoa học tự nhiên Công nghệ Tổng biên tập Tạp chí Vietnam Journal of Mechanics tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành chương trình cao học Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Học viên Trần Ngọc Trung Möc löc LỜI MỞ ĐẦU PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN 1.1 Các hệ thức 1.2 Phương pháp tìm ma trận ma PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC VÀ TỶ SỐ H/V 2.1 Phương trình tán sắc 2.2 Tỷ số H/V KẾT QUẢ MINH HỌA SỐ 3.1 Phương trình tán sắc 3.2 Ảnh hướng tính chất bất đẳn KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO L˝I M— U Năm 1885, Rayleigh phát loại sóng mặt lan truyền tương tự sóng mặt nước, sóng sau đặt theo tên ơng Từ đến nay, nghiên cứu lan truyền sóng mặt Rayleigh bán không gian phân lớp nhận nhiều quan tâm lĩnh vực địa chấn học, cách xét mơ hình bề mặt trái đất mơ hình có số lớp đặt bán khơng gian Các lớp lớp địa tầng mềm bán không gian lớp đá bên hình thành từ lâu Sóng Rayleigh sóng sinh trận động đất tính chất bề mặt mà sóng Rayleigh coi sóng gây thiệt hại nhiều Do việc nghiên cứu truyền sóng mặt Rayleigh mơ hình phân lớp coi quan trọng lĩnh vực địa chấn Phương pháp có hệ thống hiệu để tìm phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh phương pháp ma trận chuyển đề xuất Thomson (1950) [19] Haskell (1953) [7] Phương pháp biểu diễn mối liên hệ chuyển vị ứng suất hai mặt lớp ma trận gọi ma trận chuyển lớp Tích ma trận sử dụng để tìm mối liên hệ chuyển vị ứng suất mặt tự lớp mặt bán khơng gian sau điều kiện biên sử dụng để tìm phương trình tán sắc Phương pháp cải tiến cho hiệu ổn định số cơng trình, ví dụ Knopoff (1964) [9], Dunkin (1965) [5], Kennett (1983) [8] Chen (1993) [2] sử dụng rộng rãi tới ngày Đối với mơ hình bán khơng gian phủ lớp đẳng hướng, ma trận chuyển lớp có dạng hiển số sóng theo phương thẳng đứng lớp có dạng đơn giản có giá trị ln số thực số ảo Bài toán MỤC LỤC MỤC LỤC trở nên khó khăn vật liệu cấu thành lớp bán không gian không đẳng hướng mà vật liệu dị hướng Khi số sóng theo phương thẳng đứng sóng phẳng truyền môi trường bất đẳng hướng trở nên phức tạp có giá trị phức Điều dẫn tới ma trận chuyển lớp nhận giá trị phức dẫn đến khó khăn việc tính tốn số Hơn nữa, dạng ma trận chuyển khơng cịn dễ dàng nhận trường hợp đẳng hướng (xem Crampin, 1970 [3]; Crampin Taylor, 1971 [4]) Điều dẫn đến khó khăn việc xử lý điều kiện tắt dần sóng mặt bán khơng gian Trong trường hợp vật liệu mơ hình vật liệu trực hướng, biểu diễn dạng hiển ma trận chuyển lớp đưa Solyanik (1977) [16] dạng cải tiến đưa Rokhlin Wang (1992) [17] việc tính tốn số thuận tiện Tuy nhiên, phần tử ma trận dạng hiển lúc nhận giá trị thực, gây khó khăn việc tính toán số Trong luận văn này, cách tiếp cận tốt cách tiếp cận phương pháp Thomson-Haskell sử dụng để nhận ma trận "matrizant" lớp Về mặt toán học, ma trận matrizant ma trận nghiệm hệ phương trình vi phân chuyển động hệ thống sóng P-SV truyền mơi trường lớp, có ý nghĩa tương tự ma trận chuyển lớp Ma trận matrizant lớp biểu diễn dạng hiển cách sử dụng định lý Sylvester Đối với tốn tìm phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh, ma trận matrizant biểu diễn lại dạng tương đương ma trận thực không thứ nguyên, không phụ thuộc vào đơn vị của tham số lớp Với cách tiếp cận này, điều kiện biên tắt dần bán không gian xử lý cách sử dụng định lý Vieta Khi đó, phương trình tán sắc nhận cách tiếp cận biểu diễn thông qua tham số không thứ nguyên, nhận giá trị thực thuận tiện việc tính tốn số Bằng cách tiếp cận trên, luận văn đưa cơng thức tính tốn tỷ số H/V sóng mặt Rayleigh mơ hình phân lớp trực hướng Công thức tỷ số sử dụng phương pháp tỷ số H/V để đo đạc tần số cộng hưởng lớp bề mặt, tần số mà chuyển động sóng động đất bị khuếch đại nhiều Các công thức tỷ số sử dụng để khảo sát ảnh hưởng tính chất bất đẳng hướng vật liệu lên tần số điểm cực đại điểm cực tiểu đường cong tỷ số H/V Đây hai thông tin quan trọng sử dụng phương pháp tỷ số H/V MỤC LỤC Luận văn bao gồm ba chương với phần mở đầu kết luận Chương tìm dạng hiển matrizant lớp bán không gian Chương sử dụng dạng hiển matrizant tìm Chương để thiết lập phương trình tán sắc tỷ số H/V sóng mặt Rayleigh truyền mơi trường phân lớp Một số kết minh họa số trình bày Chương Do thời gian thực luận văn khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên làm luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Em mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn c Xin chõn thnh cm n! Chữỡng PHìèNG PH P MA TR N Bề mặt trái đất mơ hình hóa tương ứng với số lớp song song đặt bán khơng gian (Hình 1.1) Trục bán khơng gian lớp giả thiết phương Sóng phẳng lan truyền theo phương ngang mơ hình với vận tốc c, tần số góc w số sóng k Chọn hệ trục tọa độ với trục 0x1 song song với lớp có chiều hướng theo phương truyền sóng Trục 0x2 có chiều dương hướng lên có gốc tọa độ nằm mặt ngồi bán khơng gian, ta coi bán không gian lớp thứ (0) Nội dung chương trình bày hệ thức phương pháp tìm ma trận matrizant mơ hình phân lớp trực hướng, từ tìm phương trình tán sắc sóng Rayleigh mơi trường phân lớp trực hướng Chú ý rằng, nói chung mơ hình bề mặt trái đất thơng thường giả thiết vật liệu đẳng hướng Một số vùng giả thiết đẳng hướng ngang, có số vùng cần giả thiết cấu tạo từ vật liệu trực hướng Trong trường hợp này, để đơn giản, luận văn giả thiết lớp trực hướng có hướng trùng 1.1 C¡c h» thøc cì b£n Xét n lớp trực hướng đặt bán không gian (k) (k) (k) trực hướng Với h ; r ; c i j (i; j = 1; 6) ta ký hiệu độ dày, mật độ, số vật liệu lớp thứ k (k = 0; n) Mơ hình tốn ta xét Hình 1.1, sóng phẳng giả thiết truyền mặt phẳng (x 1; x2) Do đó, thành CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN phần chuyển dịch sóng phẳng mơi trường xét hàm phụ thuộc vào (x1; x2;t) có dạng (1.1) ui = ui(x1; x2;t); i = 1; 2; ui thành phần vector chuyển dịch 2 2 x x Hình 1.1: Mơ hình n lớp vật liệu trực hướng đặt bán không gian (bán không gian lớp 0) Các trục lớp bán khơng gian giả thiết hướng Phương trình trạng thái biểu diễn mối liên hệ thành phần ứng suất thành phần gradient chuyển dịch vật liệu đàn hồi trực hướng (xem Ting, 1996 [20]) có dạng s =c u +c u ; s =c u +c u ; 11 22 11 1;1 12 1;1 12 2;2 s = c (u 12 66 1;2 22 2;2 + u ); 2;1 đó, si j ứng suất lớp, dấu "," tương ứng với đạo hàm theo biến khơng gian xk Phương trình chuyển động bỏ qua lực khối có dạng s 11;1 +s 12;2 = ruă ; (1.3) s 12;1 +s 22;2 = ruă ; 30 Chữỡng K T QU MINH HA Să Chng ny s trỡnh by mt vi kết minh họa số cho phương trình tán sắc công thức tỷ số H/V nhận Chương Phần đầu chương trình bày bước thuật tốn tính tốn số đường cong tán sắc sóng mặt Rayleigh Phần hai xét ví dụ minh họa số sử dụng cơng thức tỷ số H/V để khảo sát ảnh hưởng tính chất bất đẳng hướng vật liệu lên giá trị tần số cực đại cực tiểu đường cong tỷ số H/V Đây hai thông tin quan trọng kỹ thuật tỷ số H/V 3.1 Ph÷ìng tr…nh t¡n s›c Xét mơ hình phân lớp cho Chương Các tham số vật liệu lớp bán khơng gian cho trước Khi tất tham số không thứ nguyên cần thiết phương trình tán sắc tính cơng thức (2.15), (1.51) Mục tiêu ta tính vận tốc pha khơng thứ ngun sóng mặt Rayleigh dạng x (0) số sóng khơng thứ nguyên cho dạng e Các bước cần thực ¯ thuật toán sau Trước hết, ta tính vector V phương trình (2.21) cơng ¯ thức (2.14) Để tính vector M, ta tính tất ma trận matrizant lớp dạng khơng thứ ngun phương trình (2.6), sử dụng phương trình (2.18) để xác định ¯ ¯ ma trận matrizant tích E Vector M sau tính phương trình (2.11) ¯ (0) ma trận E thay ma trận E Cuối cùng, vận tốc pha khơng thứ ngun x ¯ ¯ tìm cách giải phương trình tích vơ hướng vector V vector M 31 CHƯƠNG KẾT QUẢ MINH HỌA SỐ cho phương trình (2.21) Bảng 3.1: Các tham số vật liệu mơ hình khảo sát số Vật liệu Graphite/epoxy Các bon/epoxy Thủy tinh/epoxy c/c Thép Hình 3.1: Đường cong tán sắc số mode sóng mặt Rayleigh mơ hình phân lớp trực hướng Để minh họa cho thuật tốn này, ta xét mơ hình phân lớp trực hướng gồm ba lớp đặt bán khơng gian có tham số vật liệu cho Bảng 3.1 (xem Liu Xi, 2002, Chương [10]) Tất lớp giả sử có độ dày Đường cong tán sắc mơ hình thể Hình 3.1 với số mode Trục x biểu thị tần số không thứ nguyên e = kh h tổng độ dày tất lớp Trục y tỉ số vận tốc pha vận tốc sóng ngang bán khơng gian theo trục q ( 0) (0) x1, ký hiệu c0 = c 66 =r Từ hình vẽ ta thấy vận tốc tới hạn mode bậc cao c0 kết điều kiện cho (2.16) 32 CHƯƠNG KẾT QUẢ MINH HỌA SỐ Chú ý rằng, tần số đủ nhỏ vận tốc pha tiến tới vận tốc sóng ( 0) Rayleigh bán không gian ký hiệu c R Với tham số vật liệu bán không gian ví dụ khảo sát này, vận tốc sóng Rayleigh bán khơng gian tính công thức đưa Vinh Ogden (2004) [23] có dạng c¯(0) R Kết tính tốn phù hợp với kết tính tốn số hình vẽ trờn 3.2 nh hữợng ca tnh chĐt bĐt flng hữợng cıa v“t li»u l¶n t sŁ H/V Xét mơ hình lớp đẳng hướng đặt bán không gian đẳng hướng khảo sát Trần Thanh Tuấn 2009, [21] (Bảng 3.1) có số vật liệu thỏa mãn n1 = 0:4375; n2 = 0:2506; b1=b2 = 0:1667; s1=s2 = 0:7406; n; b ; r tương ứng hệ số Poison, vận tốc sóng ngang mật độ khối lượng vật liệu Các giá trị tương ứng với tham số không thứ nguyên sử dụng luận văn có dạng e = 9; e3 = 7; e¯1 = 3:021; e¯3 = 1:021; rm = 1=36 ; rn = 26:66 e2 = 1=e1 ; e¯2 = 1=e¯1 vật liệu xét đẳng hướng Trong số trường hợp, trình cấu tạo địa chất tác dụng lực trọng trường mà lớp có tính chất đẳng hướng ngang với hệ số vật liệu c 22 tăng, hệ số vật liệu c11 không đổi (Chú ý trường hợp đẳng hướng ta có c 11 = c22 = l + 2m với l m hệ số Lame vật liệu.) Điều làm cho cơng thức tính tỷ số H/V mơ hình đẳng hướng, ví dụ cho Malischewsky Scherbaum (2004) [11], khơng cịn Khi đó, tỷ số H/V cần phải tính cơng thức tính tỷ số H/V cho môi trường bất đẳng hướng cho phương trình (2.30) Hình 3.2 biểu diễn đường cong tỷ số H/V mơ hình đẳng hướng mơ hình đẳng hướng ngang nhận cách cho c22 lớp tăng gấp đôi Dễ dàng thấy rằng, tần số điểm cực đại điểm cực tiểu đường cong tỷ số H/V tăng theo độ cứng lớp phương vng góc với lớp Tần số (không thứ nguyên) điểm cực đại đường cong tỷ số H/V trường hợp đẳng hướng có giá trị 0.2472, gần với giá trị thông dụng 1=4, gọi nguyên lý phần tư bước sóng, theo cơng thức tỷ số H/V trường hợp lớp (xem Nakamura, 1989 [13]) Tuy nhiên, vật liệu trở thành đẳng hướng ngang, giá trị tần số cực đại vào 33 |H/V| Hình 3.2: Đường tỷ số H/V trường hợp đẳng hướng đẳng hướng ngang khoảng 0.3, xa so với giá trị đưa công thức Nakamura Như vậy, thấy tần số điểm cực đại đường cong tỷ βfh/ số H/V chịu ảnh hưởng lớn tính bất đẳng hướng vật liệu He so vat lieu C cua lop Hình 3.3: Pha vận tốc số mode mơ hình phân lớp trực hướng Để khảo sát thay đổi tần số điểm cực đại điểm cực tiểu đường cong tỷ số H/V cho hệ số vật liệu c 22 lớp tăng dần, ta cho giá trị tăng lên đến lần Giá trị tham số khác lớp bán không gian giữ nguyên 34 CHƯƠNG KẾT QUẢ MINH HỌA SỐ Hình 3.3 biểu diễn thay đổi tần số điểm cực đại cực tiểu đường cong tỷ số H/V theo thay đổi hệ số c 22 Chúng ta thấy tần số điểm cực tiểu bị ảnh hưởng tính bất đẳng hướng, chí cịn bị ảnh hưởng nhiều so với tần số điểm cực đại Như thấy ảnh hưởng tính chất bất đẳng hướng vật liệu lên tỷ số H/V lớn ngun lý thơng dụng Nakamura, ngun lý phát biểu tần số không thứ nguyên điểm cực đại 1=4, khơng cịn Trong trường hợp môi trường bất đẳng hướng, nguyên lý cần phải nghiên cứu phát biểu lại 35 KTLUN Luận văn khảo sát toán truyền sóng sóng mặt Rayleigh mơ hình phân lớp trực hướng cách tiếp cận tìm ma trận nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính biểu diễn dạng tường minh định lý Sylvester Các công thức dạng tường minh phương trình tán sắc tỷ số H/V cho mơ hình phân lớp nhận luận văn dạng tường minh phụ thuộc vào phần tử ma trận nghiệm Phương trình tán sắc viết dạng tương đương phương trình khơng thứ ngun ln nhận giá trị thực Điều làm cho việc lập trình tính tốn số đường cong tắn sắc dễ dàng thuận tiện Các công thức sử dụng việc tính tốn số để đánh giá mức độ ảnh hưởng tính chất bất đẳng hướng vật liệu lên tần số điểm cực đại điểm cực tiểu đường cong tỷ số H/V, hai thông tin quan trọng sử dụng phương pháp tỷ số H/V Các kết tính toán số rằng, hai tần số chịu ảnh hưởng lớn từ tính chất bất đẳng hướng vật liệu 36 T i li»u tham kh£o [1] Bard, P Y (1998), "Microtremor Measurements: A Tool For Site Effect Esti-mation", Manuscript for Proc of 2nd International Symposium on the Effect of Surface Geology on Seismic Motion, Yokohama, Japan, 1-3 Dec, 1998 [2] Chen X (1993), "A systematic and efficient method of computing normal modes for multilayered half-space", Geophysical Journal International, 115(2), pp 391–409 [3] Crampin S (1970), "The dispersion of surface waves in multilayered anisotropic media", Geophysical Journal International, 21(3), pp 387–402 [4] Crampin S and Taylor D B (1971), "The propagation of surface waves in anisotropic media", Geophysical Journal International, 25(1-3), pp 71– 87 [5] Dunkin J W (1965), "Computation of modal solutions in layered, elastic media at high frequencies", Bulletin of the Seismological Society of America, 55(2), pp 335–358 [6] Frazer R A., Duncan W J., and Collar A R (1938), Elementary matrices and some applications to dynamics and differential equations Cambridge University Press [7] Haskell N A (1953), "The dispersion of surface waves on multilayered media", Bulletin of the Seismological Society of America, 43(1), pp 17–34 [8] Kennett B L (1983), Seismic wave propagation in stratified media, Cambridge University Press 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO [9] Knopoff L (1964), "A matrix method for elastic wave problems", Bulletin of the Seismological Society of America, 54(1), pp 431–438 [10] Liu G R and Xi Z C (2002), Elastic waves in anisotropic laminates, CRC press [11] Malischewsky, Peter G and Scherbaum, Frank (2004), "Love’s formula and H/V-ratio (ellipticity) of Rayleigh waves", Wave motion, 40(1), pp 57–67 [12] Malischewsky, P G., Scherbaum, F., Lomnitz, C., Tuan, T T., Wuttke, F., and Shamir, G (2008), "The domain of existence of prograde Rayleigh-wave particle motion for simple models", Wave motion, 45(4), pp 556–564 [13] Nakamura, Y (1989), "A Method for Dynamic Characteristics Estimation of Subsurface using Microtremor on the Ground Surface", Quarterly Report of Railway Technical Research Institute (RTRI), 30(1), pp 25–33 [14] Nakamura, Y (2000), "Clear identification of fundamental idea of Nakamura’s technique and its applications", Proceedings of the 12th World Conference on Earthquake Engineering, Aucklan, New Zealand [15] Nakamura, Y (2008), "On the H/V spectrum", Proceedings of the 14th World Conference on Earthquake Engineering, Beijing, China [16] Solyanik, F I (1977), "Transmission of plane-waves through a layered medium of anisotropic materials", Soviet Physics Acoustics-USSR, 23(6), pp 533–536 [17] Rokhlin, S I., and Wang, Y J (1992), "Equivalent boundary conditions for thin orthotropic layer between two solids: Reflection, refraction, and interface waves", The Journal of the Acoustical Society of America, 91(4), pp 1875–1887 [18] Takeuchi H and Saito M (1972), "Seismic surface waves", Methods in Compu-tational Physics, 11, pp 217–295 [19] Thomson W T (1950), "Transmission of elastic waves through a stratified solid medium", Journal of Applied Physics, 21(2), pp 89–93 [20] Ting T C T and Horgan C O (1996), Anisotropic elasticity: Theory and appli-cations, Vol 405 Oxford University Press New York 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO [21] Tran Thanh Tuan (2009), The ellipticity (H/V-ratio) of Rayleigh surface waves, Dissertation in GeoPhysics, Friedrich-Schiller-University Jena, Germany [22] Tran Thanh Tuan, Frank Scherbaum and Malischewsky P G (2011), "On the relationship of peaks and troughs of the ellipticity (H/V) of Rayleigh waves and the transmission response of single layer over half-space models", Geophys J Int., 184, pp.793–800 [23] Vinh P C and Ogden R W (2004), "Formulas for the Rayleigh wave speed in orthotropic elastic solids", Archives of Mechanics, 56(3), pp 247–265 39 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH Đà CƠNG BỐ Các cơng trình liên quan đến luận văn: Trần Ngọc Trung, Lê Thị Huệ, Trần Thanh Tuấn (2015), Khảo sát ảnh hưởng tính bất đẳng hướng môi trường lên tỷ số H/V sóng Rayleigh, Hội nghị Khoa học tồn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XII (accepted) Tran Thanh Tuan, Tran Ngoc Trung (2015), The dispersion of Rayleigh waves in orthotropic layered half-space using matrix method, Vietnam Journal of Mechanics (accepted) Các cơng trình khác: Trần Thanh Tuấn, Nguyễn Thanh Nhàn, Trần Ngọc Trung (2013), Điểm cực đại cực tiểu đường cong tỷ số H/V sóng Rayleigh mơ hình hai lớp nhất, Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XI, 1283-1293 Tran Thanh Tuan, Raul Palau Clares, Truong Thi Thuy Dung, Nguyen Thi Thu, Tran Ngoc Trung (2014), Amplification of the surface layer to the body waves, Inter-national Conference on Engineering Mechanics and Automation, pp 588-594 40 ... mặt toán học, ma trận matrizant ma trận nghiệm hệ phương trình vi phân chuyển động hệ thống sóng P-SV truyền mơi trường lớp, có ý nghĩa tương tự ma trận chuyển lớp Ma trận matrizant lớp biểu diễn... dung chương trình bày hệ thức phương pháp tìm ma trận matrizant mơ hình phân lớp trực hướng, từ tìm phương trình tán sắc sóng Rayleigh môi trường phân lớp trực hướng Chú ý rằng, nói chung mơ hình...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————— Trần Ngọc Trung PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN CHUYỂN CHO MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP TRỰC HƯỚNG Chuyên ngành: Cơ học vật rắn Mã số: