Phương pháp ma trận chuyển cho môi trường phân lớp trực hướng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————— Trần Ngọc Trung PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN CHUYỂN CHO MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP TRỰC HƯỚNG TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————— Trần Ngọc Trung PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN CHUYỂN CHO MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP TRỰC HƯỚNG Chuyên ngành: Cơ học vật rắn Mã số: 60440107 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Trần Thanh Tuấn Hà Nội - 2015 Mục lục LỜI MỞ ĐẦU PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN 1.1 Các hệ thức 1.2 Phương pháp tìm ma trận matrizant 4 PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC VÀ TỶ SỐ H/V 10 2.1 Phương trình tán sắc 10 2.2 Tỷ số H/V 13 KẾT QUẢ MINH HỌA SỐ 15 3.1 Phương trình tán sắc 15 3.2 Ảnh hướng tính chất bất đẳng hướng vật liệu lên tỷ số H/V 16 KẾT LUẬN 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO 18 LỜI MỞ ĐẦU Năm 1885, Rayleigh phát loại sóng mặt lan truyền tương tự sóng mặt nước, sóng sau đặt theo tên ông Từ đến nay, nghiên cứu lan truyền sóng mặt Rayleigh bán không gian phân lớp nhận nhiều quan tâm lĩnh vực địa chấn học, cách xét mô hình bề mặt trái đất mô hình có số lớp đặt bán không gian Các lớp lớp địa tầng mềm bán không gian lớp đá bên hình thành từ lâu Sóng Rayleigh sóng sinh trận động đất tính chất bề mặt mà sóng Rayleigh coi sóng gây thiệt hại nhiều Do việc nghiên cứu truyền sóng mặt Rayleigh mô hình phân lớp coi quan trọng lĩnh vực địa chấn Phương pháp có hệ thống hiệu để tìm phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh phương pháp ma trận chuyển đề xuất Thomson (1950) [19] Haskell (1953) [7] Phương pháp biểu diễn mối liên hệ chuyển vị ứng suất hai mặt lớp ma trận gọi ma trận chuyển lớp Tích ma trận sử dụng để tìm mối liên hệ chuyển vị ứng suất mặt tự lớp mặt bán không gian sau điều kiện biên sử dụng để tìm phương trình tán sắc Phương pháp cải tiến cho hiệu ổn định số công trình, ví dụ Knopoff (1964) [9], Dunkin (1965) [5], Kennett (1983) [8] Chen (1993) [2] sử dụng rộng rãi tới ngày Đối với mô hình bán không gian phủ lớp đẳng hướng, ma trận chuyển lớp có dạng hiển số sóng theo phương thẳng đứng lớp có dạng đơn giản có giá trị số thực số ảo Bài toán trở nên khó khăn vật liệu cấu thành lớp bán không gian không đẳng hướng mà vật liệu dị hướng Khi số sóng theo phương thẳng đứng sóng phẳng truyền môi trường bất đẳng hướng trở nên phức tạp có giá trị phức Điều dẫn tới ma trận chuyển lớp nhận giá trị phức dẫn đến khó khăn việc tính toán số Hơn nữa, dạng ma trận chuyển không dễ dàng nhận trường hợp đẳng hướng (xem Crampin, 1970 [3]; Crampin Taylor, 1971 [4]) Điều dẫn đến khó khăn việc xử lý điều kiện tắt dần sóng mặt bán không gian Trong trường hợp vật liệu mô hình vật liệu trực hướng, biểu diễn dạng hiển ma trận chuyển lớp đưa Solyanik (1977) [16] dạng cải tiến đưa Rokhlin Wang (1992) [17] việc tính toán số thuận tiện Tuy nhiên, phần tử ma trận dạng hiển lúc nhận giá trị thực, gây khó khăn việc tính toán số Trong luận văn này, cách tiếp cận tốt cách tiếp cận phương pháp Thomson-Haskell sử dụng để nhận ma trận "matrizant" lớp Về mặt toán học, ma trận matrizant ma trận nghiệm hệ phương trình vi phân chuyển động hệ thống sóng P-SV truyền môi trường lớp, có ý nghĩa tương tự ma trận chuyển lớp Ma trận matrizant lớp biểu diễn dạng hiển cách sử MỤC LỤC dụng định lý Sylvester Đối với toán tìm phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh, ma trận matrizant biểu diễn lại dạng tương đương ma trận thực không thứ nguyên, không phụ thuộc vào đơn vị của tham số lớp Với cách tiếp cận này, điều kiện biên tắt dần bán không gian xử lý cách sử dụng định lý Vieta Khi đó, phương trình tán sắc nhận cách tiếp cận biểu diễn thông qua tham số không thứ nguyên, nhận giá trị thực thuận tiện việc tính toán số Bằng cách tiếp cận trên, luận văn đưa công thức tính toán tỷ số H/V sóng mặt Rayleigh mô hình phân lớp trực hướng Công thức tỷ số sử dụng phương pháp tỷ số H/V để đo đạc tần số cộng hưởng lớp bề mặt, tần số mà chuyển động sóng động đất bị khuếch đại nhiều Các công thức tỷ số sử dụng để khảo sát ảnh hưởng tính chất bất đẳng hướng vật liệu lên tần số điểm cực đại điểm cực tiểu đường cong tỷ số H/V Đây hai thông tin quan trọng sử dụng phương pháp tỷ số H/V Luận văn bao gồm ba chương với phần mở đầu kết luận Chương tìm dạng hiển matrizant lớp bán không gian Chương sử dụng dạng hiển matrizant tìm Chương để thiết lập phương trình tán sắc tỷ số H/V sóng mặt Rayleigh truyền môi trường phân lớp Một số kết minh họa số trình bày Chương Do thời gian thực luận văn không nhiều, kiến thức hạn chế nên làm luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Em mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Chương PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN Bề mặt trái đất mô hình hóa tương ứng với số lớp song song đặt bán không gian (Hình 1.1) Trục bán không gian lớp giả thiết phương Sóng phẳng lan truyền theo phương ngang mô hình với vận tốc c, tần số góc ω số sóng k Chọn hệ trục tọa độ với trục 0x1 song song với lớp có chiều hướng theo phương truyền sóng Trục 0x2 có chiều dương hướng lên có gốc tọa độ nằm mặt bán không gian, ta coi bán không gian lớp thứ (0) Nội dung chương trình bày hệ thức phương pháp tìm ma trận matrizant mô hình phân lớp trực hướng, từ tìm phương trình tán sắc sóng Rayleigh môi trường phân lớp trực hướng Chú ý rằng, nói chung mô hình bề mặt trái đất thông thường giả thiết vật liệu đẳng hướng Một số vùng giả thiết đẳng hướng ngang, có số vùng cần giả thiết cấu tạo từ vật liệu trực hướng Trong trường hợp này, để đơn giản, luận văn giả thiết lớp trực hướng có hướng trùng 1.1 Các hệ thức Xét n lớp trực hướng đặt bán không gian trực hướng (k) Với h(k) , ρ (k) , ci j (i, j = 1, 6) ta ký hiệu độ dày, mật độ, số vật liệu lớp thứ k (k = 0, n) Mô hình toán ta xét Hình 1.1, sóng phẳng giả thiết truyền mặt phẳng (x1 , x2 ) Do đó, thành phần chuyển dịch sóng phẳng môi trường xét hàm phụ thuộc vào (x1 , x2 ,t) có dạng ui = ui (x1 , x2 ,t), i = 1, 2, (1.1) ui thành phần vector chuyển dịch Phương trình trạng thái biểu diễn mối liên hệ thành phần ứng suất thành phần gradient chuyển dịch vật liệu đàn hồi trực hướng (xem Ting, 1996 [20]) có dạng σ11 = c11 u1,1 + c12 u2,2 , σ22 = c12 u1,1 + c22 u2,2 , (1.2) σ12 = c66 (u1,2 + u2,1 ) , đó, σi j ứng suất lớp, dấu "," tương ứng với đạo hàm theo biến không gian xk CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN x2 x(n) x(n-1) (n) (n-1) x(n-2) x(2) (2) (1) x2(1) x2(0) (0) x1 Hình 1.1: Mô hình n lớp vật liệu trực hướng đặt bán không gian (bán không gian lớp 0) Các trục lớp bán không gian giả thiết hướng Phương trình chuyển động bỏ qua lực khối có dạng σ11,1 + σ12,2 = ρ u¨1 , σ12,1 + σ22,2 = ρ u¨2 , (1.3) đó, dấu "." biểu thị đạo hàm theo biến thời gian t Xét sóng mặt truyền lớp với hệ số vật liệu (ρ, ci j ), thành phần chuyển dịch biểu diễn dạng hàm mũ (xem Takeuchi Saito, 1972 [18]) có dạng u1 = −iy2 (x2 ; ω, k) ei(ωt−kx1 ) , u2 = y1 (x2 ; ω, k) ei(ωt−kx1 ) , u3 = 0, (1.4) đó, ω, k,t tần số góc, số sóng thời gian tương ứng Các thành phần ứng suất biểu diễn tương tự có dạng σ22 = y3 (x2 ; ω, k)ei(ωt−kx1 ) , σ12 = −iy4 (x2 ; ω, k)ei(ωt−kx1 ) (1.5) Thay (1.4) vào (1.2) thu dy1 − kc12 y2 , dx2 dy2 y4 = c66 + ky1 dx2 (1.6) dy1 dy4 − kc11 y2 + = −ρω y2 , dx2 dx2 dy3 − ky4 + = −ρω y1 dx2 (1.7) y3 = c22 k c12 Phương trình (1.6) (1.7) viết dạng ma trận dy = Uy, dx2 (1.8) CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN y = [y1 , y2 , y3 , y4 ]T (ký hiệu “T ” chuyển vị)  c12 k  c22 c22   −k 0  c66 U=  −ρω 0 k   c c12 0 k2 c11 − 12 − ρω −k c22 c22          (1.9) Phương trình (1.8) hệ phương trình vi phân tuyến tính biến trạng thái y Để tìm nghiệm tổng quát hệ phương trình vi phân tuyến tính cần phải biết điều kiện đầu toán ma trận nghiệm tổng quát Phần mục tìm ma trận "matrizant", mặt toán học ma trận nghiệm tổng quát hệ Ma trận matrizant lớp biểu diễn định lý Sylvester yêu cầu giá trị riêng ma trận hệ số U Điều kiện đầu toán truyền sóng mặt Rayleigh nhận từ điều kiện tắt dần vô bán không gian nhận thông qua vector nghiệm riêng hệ phương trình (1.8) bán không gian Tiếp theo, ta tìm bốn giá trị riêng ma trận U phương trình (1.8) bốn vector riêng tương ứng Các giá trị riêng ma trận U nghiệm phương trình det(U − λ I) = 0, với λ = kb giá trị riêng ma trận Khai triển định thức ta thu phương trình c22 c66 b4 + (c12 + c66 )2 + c22 (X − c11 ) + c66 (X − c66 ) b2 + (1.10) + (c11 − X) (c66 − X) = 0, X = ρc2 Đây phương trình bậc hai b2 với nghiệm b21 b22 thỏa mãn định lý Vieta (c12 + c66 )2 + c22 (X − c11 ) + c66 (X − c66 ) 2 b1 + b2 = − = S, c22 c66 (1.11) (c11 − X)(c66 − X) 2 b1 · b2 = = P c22 c66 Phương trình (1.10) có nghiệm ± b21 ± b22 có dạng b21 √ S + S2 − 4P , = b22 √ S − S2 − 4P = (1.12) Khi S2 − 4P > bốn nghiệm thực ảo Ngược lại, chúng phức liên hợp theo cặp với b21 = (b22 )∗ , (1.13) ký hiệu "*" phức liên hợp Vector riêng v = [v1 , v2 , v3 , v4 ]T ma trận U tương ứng với giá trị riêng λi = kbi , i = 1, 4, có thành phần   bi (c12 + c66 )   b2i c22 − c66 + X  vi =  (1.14)  −k c12 X − b2i c22 + c12 c66  kc66 bi b2i c22 + c12 + X Xét toán sóng mặt Rayleigh truyền bán không gian phân lớp Hình 1.1 dọc theo trục x1 Đây mô hình phân lớp cấu tạo loại vật liệu khác nhau, nên phương trình CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN vi phân chuyển động mô hình có dạng dy = U(x2 )y, dx2 (1.15) với ma trận hệ số hàm x2 định nghĩa sau U (x2 ) = U(i) , (0) U (x2 ) = U , (i−1) x2 ∈ x2 (i) , x2 , i = 1, n , (1.16) (x2 ∈ [−∞, 0]) , U(i) có dạng (1.9) với tất tham số vật liệu thay lớp thứ i Các điều kiện biên toán điều kiện biên tự với ứng suất bề mặt lớp cùng, điều kiện liên tục mặt phân cách lớp điều kiện tắt dần bán không gian Điều kiện biên tự ứng suất bề mặt x2 = H có dạng y3 (H; ω, k) = y4 (H; ω, k) = (1.17) Điều kiện liên tục chuyển vị ứng suất mặt phân cách có dạng (i) (i) y(i) (x2 ; ω, k) = y(i+1) (x2 ; ω, k), (i = 0, n − 1) (i−1) (1.18) (i) y(i) (x2 ; ω, k) = y(x2 ; ω, k) x2 = [x2 , x2 ], (i = 1, n) Và điều kiện tắt dần bán không gian y (x2 ; ω, k) → x2 → −∞ (1.19) Phương trình (1.15) với điều kiện (1.17), (1.18) (1.19) xác định phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh Mục xác định ma trận nghiệm matrizant hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.15) 1.2 Phương pháp tìm ma trận matrizant Xét phương trình vi phân (1.15), nghiệm phương trình xác định phương pháp Peano-Barker (xem Frazer cộng [6], Chương VII) y (x2 ) = Ω x2 , x2 y x2 , (1.20) y (x2 ) giá trị y x2 = x2 Ω (x2 , x2 ) matrizant U định nghĩa sau x2 Ω x2 , x2 = I + x2 U (ξ1 ) dξ1 + x2 ξ1 U (ξ2 )dξ2 dξ1 + · · · U (ξ1 ) x2 (1.21) x2 I kí hiệu ma trận đơn vị có hạng U Khi U ma trận số, matrizant có dạng đơn giản x2 − x2 U2 + · · · = exp x2 − x2 U Ω x2 , x2 = I + x2 − x2 U + (1.22) Trong trường hợp này, gọi n hạng U λi (i = 1, 2, , n) giá trị riêng U, theo định lý Sylvester (xem Frazer cộng sự, 1963), ta có dạng biểu diễn ma trận matrizant lớp có độ dày h sau n λ jI − U j=i λ j − λi E (h) = exp (hU) = ∑ eλi h ∏ i=1 (1.23) CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN Tiếp theo, ta tìm dạng hiển biểu diễn matrizant ma trận E(h) từ biểu thức (1.23) Với hệ phương trình toán truyền sóng Rayleigh xét hạng ma trận hệ số n = 4, biểu thức (1.23) trở thành E (h) = b1 − b22 ekhb2 + e−khb2 ekhb2 − e−khb2 ¯ I+ U 2b2 ¯2 b21 I − U ekhb1 + e−khb1 ekhb1 − e−khb1 ¯ I+ U 2b1 ¯2 − b22 I − U (1.24) Ma trận matrizant lớp thứ (i) phương trình (1.23) có dạng   (i) (i) E  E1 (0)  E(i) (hi ) = α (i)  kc66 , (0) (i) (i) kc66 E3 E4 (1.25)    ,  Gi (i) α =   ,  (S(i) )2 − 4P(i) (i) Các ma trận E j S(i) − 4P(i) < (1.26) S(i) − 4P(i) > j = 1, ma trận cấp 2x2 có dạng (i) (i) (i) (i) E1 (1, 1) = mi + pi , E1 (1, 2) = ni e3 + qi bi e3 − di (i) (i) e2 , (i) E1 (2, 1) = −ni + qi (di − ) , E1 (2, 2) = mi + qi bi , (i) (i) ni + qi − ci e3 (i) E2 (1, 1) = e2 (i) rµ (i) , E2 (1, 2) = pi ci (i) , rµ ni + qi (bi − ci ) (i) (i) (i) E2 (2, 1) = −E2 (1, 2) , E2 (2, 2) = , (i) rµ (i) E3 (1, 1) = (i) −ni x + qi di − x (i) (1.27) (i) (i) (i) rµ , E3 (1, 2) = −pi di rµ , (i) (i) E3 (2, 1) = −E3 (1, 2) , (i) (i) (i) E3 (2, 2) = (ni + qi bi ) e1 − e2 (i) (i) (i) e3 (i) (i) (i) (i) − x(i) + e2 e3 qi di rµ , (i) E4 (1, 1) = E1 (1, 1) , E4 (1, 2) = −E1 (2, 1) , (i) (i) (i) (i) E4 (2, 1) = −E1 (1, 2) , E4 (2, 2) = E1 (2, 2) , (0) (i) rν c ρ (i) = 66 , (i) ρ (0) c (i) (i) rµ 66 (i) = −e2 (i) ci = e2 (i) e3 + x(i) , (i) e3 + , = c66 (0) c66 (i) , (i) (i) bi = e1 − x(i) − e2 e3 (i) (1.28) (i) e3 + , (i) di = x(i) − e1 − e3 , mi , ni , pi , qi tùy theo hai trường hợp xét xác định sau (1.29) Tài liệu tham khảo [1] Bard, P Y (1998), "Microtremor Measurements: A Tool For Site Effect Estimation", Manuscript for Proc of 2nd International Symposium on the Effect of Surface Geology on Seismic Motion, Yokohama, Japan, 1-3 Dec, 1998 [2] Chen X (1993), "A systematic and efficient method of computing normal modes for multilayered half-space", Geophysical Journal International, 115(2), pp 391–409 [3] Crampin S (1970), "The dispersion of surface waves in multilayered anisotropic media", Geophysical Journal International, 21(3), pp 387–402 [4] Crampin S and Taylor D B (1971), "The propagation of surface waves in anisotropic media", Geophysical Journal International, 25(1-3), pp 71–87 [5] Dunkin J W (1965), "Computation of modal solutions in layered, elastic media at high frequencies", Bulletin of the Seismological Society of America, 55(2), pp 335–358 [6] Frazer R A., Duncan W J., and Collar A R (1938), Elementary matrices and some applications to dynamics and differential equations Cambridge University Press [7] Haskell N A (1953), "The dispersion of surface waves on multilayered media", Bulletin of the Seismological Society of America, 43(1), pp 17–34 [8] Kennett B L (1983), Seismic wave propagation in stratified media, Cambridge University Press [9] Knopoff L (1964), "A matrix method for elastic wave problems", Bulletin of the Seismological Society of America, 54(1), pp 431–438 [10] Liu G R and Xi Z C (2002), Elastic waves in anisotropic laminates, CRC press [11] Malischewsky, Peter G and Scherbaum, Frank (2004), "Love’s formula and H/V-ratio (ellipticity) of Rayleigh waves", Wave motion, 40(1), pp 57–67 [12] Malischewsky, P G., Scherbaum, F., Lomnitz, C., Tuan, T T., Wuttke, F., and Shamir, G (2008), "The domain of existence of prograde Rayleigh-wave particle motion for simple models", Wave motion, 45(4), pp 556–564 [13] Nakamura, Y (1989), "A Method for Dynamic Characteristics Estimation of Subsurface using Microtremor on the Ground Surface", Quarterly Report of Railway Technical Research Institute (RTRI), 30(1), pp 25–33 [14] Nakamura, Y (2000), "Clear identification of fundamental idea of Nakamura’s technique and its applications", Proceedings of the 12th World Conference on Earthquake Engineering, Aucklan, New Zealand [15] Nakamura, Y (2008), "On the H/V spectrum", Proceedings of the 14th World Conference on Earthquake Engineering, Beijing, China 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO [16] Solyanik, F I (1977), "Transmission of plane-waves through a layered medium of anisotropic materials", Soviet Physics Acoustics-USSR, 23(6), pp 533–536 [17] Rokhlin, S I., and Wang, Y J (1992), "Equivalent boundary conditions for thin orthotropic layer between two solids: Reflection, refraction, and interface waves", The Journal of the Acoustical Society of America, 91(4), pp 1875–1887 [18] Takeuchi H and Saito M (1972), "Seismic surface waves", Methods in Computational Physics, 11, pp 217–295 [19] Thomson W T (1950), "Transmission of elastic waves through a stratified solid medium", Journal of Applied Physics, 21(2), pp 89–93 [20] Ting T C T and Horgan C O (1996), Anisotropic elasticity: Theory and applications, Vol 405 Oxford University Press New York [21] Tran Thanh Tuan (2009), The ellipticity (H/V-ratio) of Rayleigh surface waves, Dissertation in GeoPhysics, Friedrich-Schiller-University Jena, Germany [22] Tran Thanh Tuan, Frank Scherbaum and Malischewsky P G (2011), "On the relationship of peaks and troughs of the ellipticity (H/V) of Rayleigh waves and the transmission response of single layer over half-space models", Geophys J Int., 184, pp.793–800 [23] Vinh P C and Ogden R W (2004), "Formulas for the Rayleigh wave speed in orthotropic elastic solids", Archives of Mechanics, 56(3), pp 247–265 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ Các công trình liên quan đến luận văn: Trần Ngọc Trung, Lê Thị Huệ, Trần Thanh Tuấn (2015), Khảo sát ảnh hưởng tính bất đẳng hướng môi trường lên tỷ số H/V sóng Rayleigh, Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XII (accepted) Tran Thanh Tuan, Tran Ngoc Trung (2015), The dispersion of Rayleigh waves in orthotropic layered half-space using matrix method, Vietnam Journal of Mechanics (accepted) Các công trình khác: Trần Thanh Tuấn, Nguyễn Thanh Nhàn, Trần Ngọc Trung (2013), Điểm cực đại cực tiểu đường cong tỷ số H/V sóng Rayleigh mô hình hai lớp nhất, Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XI, 1283-1293 Tran Thanh Tuan, Raul Palau Clares, Truong Thi Thuy Dung, Nguyen Thi Thu, Tran Ngoc Trung (2014), Amplification of the surface layer to the body waves, International Conference on Engineering Mechanics and Automation, pp 588-594 20 [...]...Tài liệu tham khảo [1] Bard, P Y (1998), "Microtremor Measurements: A Tool For Site Effect Estimation", Manuscript for Proc of 2nd International Symposium on the Effect of Surface Geology on Seismic Motion, Yokohama, Japan, 1-3 Dec, 1998 [2] Chen X (1993), "A systematic and efficient method of computing normal modes for multilayered half-space", Geophysical Journal International, 115(2), pp 391–409... Trung, Lê Thị Huệ, Trần Thanh Tuấn (2015), Khảo sát ảnh hưởng của tính bất đẳng hướng của môi trường lên tỷ số H/V của sóng Rayleigh, Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XII (accepted) 2 Tran Thanh Tuan, Tran Ngoc Trung (2015), The dispersion of Rayleigh waves in orthotropic layered half-space using matrix method, Vietnam Journal of Mechanics (accepted) Các công trình khác: 3... R and Xi Z C (2002), Elastic waves in anisotropic laminates, CRC press [11] Malischewsky, Peter G and Scherbaum, Frank (2004), "Love’s formula and H/V-ratio (ellipticity) of Rayleigh waves", Wave motion, 40(1), pp 57–67 [12] Malischewsky, P G., Scherbaum, F., Lomnitz, C., Tuan, T T., Wuttke, F., and Shamir, G (2008), "The domain of existence of prograde Rayleigh-wave particle motion for simple models",... University Press New York [21] Tran Thanh Tuan (2009), The ellipticity (H/V-ratio) of Rayleigh surface waves, Dissertation in GeoPhysics, Friedrich-Schiller-University Jena, Germany [22] Tran Thanh Tuan, Frank Scherbaum and Malischewsky P G (2011), "On the relationship of peaks and troughs of the ellipticity (H/V) of Rayleigh waves and the transmission response of single layer over half-space models",... (1938), Elementary matrices and some applications to dynamics and differential equations Cambridge University Press [7] Haskell N A (1953), "The dispersion of surface waves on multilayered media", Bulletin of the Seismological Society of America, 43(1), pp 17–34 [8] Kennett B L (1983), Seismic wave propagation in stratified media, Cambridge University Press [9] Knopoff L (1964), "A matrix method for... cong tỷ số H/V của sóng Rayleigh trong mô hình hai lớp thuần nhất, Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XI, 1283-1293 4 Tran Thanh Tuan, Raul Palau Clares, Truong Thi Thuy Dung, Nguyen Thi Thu, Tran Ngoc Trung (2014), Amplification of the surface layer to the body waves, International Conference on Engineering Mechanics and Automation, pp 588-594 20 ... Proceedings of the 14th World Conference on Earthquake Engineering, Beijing, China 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO [16] Solyanik, F I (1977), "Transmission of plane-waves through a layered medium of anisotropic materials", Soviet Physics Acoustics-USSR, 23(6), pp 533–536 [17] Rokhlin, S I., and Wang, Y J (1992), "Equivalent boundary conditions for thin orthotropic layer between two solids: Reflection, refraction,... Shamir, G (2008), "The domain of existence of prograde Rayleigh-wave particle motion for simple models", Wave motion, 45(4), pp 556–564 [13] Nakamura, Y (1989), "A Method for Dynamic Characteristics Estimation of Subsurface using Microtremor on the Ground Surface", Quarterly Report of Railway Technical Research Institute (RTRI), 30(1), pp 25–33 [14] Nakamura, Y (2000), "Clear identification of fundamental