Từ đó đến nay, những nghiên cứu sự lan truyền sóng mặt Rayleigh trong bán không gian phân lớp nhận được rất nhiều sự quan tâm trong lĩnh vực địa chấn học, bằng cách xét mô hình bề mặt tr
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————————
Trần Ngọc Trung
PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN CHUYỂN CHO MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP TRỰC HƯỚNG
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Trang 2ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————————
Trần Ngọc Trung
PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN CHUYỂN CHO MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP TRỰC HƯỚNG
Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
Mã số: 60440107
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS Trần Thanh Tuấn
Hà Nội - 2015
Trang 3Mục lục
1.1 Các hệ thức cơ bản 4 1.2 Phương pháp tìm ma trận matrizant 7
2.1 Phương trình tán sắc 10 2.2 Tỷ số H/V 13
3.1 Phương trình tán sắc 15 3.2 Ảnh hướng của tính chất bất đẳng hướng của vật liệu lên tỷ số H/V 16
Trang 4LỜI MỞ ĐẦU
Năm 1885, Rayleigh đã phát hiện ra một loại sóng mặt lan truyền tương tự sóng mặt nước, sóng này sau đó được đặt theo tên ông Từ đó đến nay, những nghiên cứu sự lan truyền sóng mặt Rayleigh trong bán không gian phân lớp nhận được rất nhiều sự quan tâm trong lĩnh vực địa chấn học, bằng cách xét mô hình bề mặt trái đất là một mô hình có một số lớp đặt trên bán không gian Các lớp chính là các lớp địa tầng mềm và bán không gian là lớp đá bên dưới được hình thành
từ rất lâu Sóng Rayleigh là một trong những sóng được sinh ra bởi những trận động đất và do tính chất bề mặt của nó mà sóng Rayleigh được coi là sóng gây thiệt hại nhiều nhất Do đó việc nghiên cứu sự truyền sóng mặt Rayleigh trong mô hình phân lớp được coi là rất quan trọng trong lĩnh vực địa chấn
Phương pháp đầu tiên có hệ thống và hiệu quả để tìm phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh là phương pháp ma trận chuyển được đề xuất bởi Thomson (1950) [19] và Haskell (1953) [7] Phương pháp này biểu diễn mối liên hệ giữa chuyển vị và ứng suất tại hai mặt của một lớp bởi một ma trận được gọi là ma trận chuyển của lớp Tích của các ma trận này được
sử dụng để tìm mối liên hệ giữa chuyển vị và ứng suất tại mặt tự do của lớp trên cùng và mặt trên của bán không gian và sau đó các điều kiện biên được sử dụng để tìm phương trình tán sắc Phương pháp này được cải tiến cho hiệu quả và ổn định trong một số công trình, ví dụ như trong Knopoff (1964) [9], Dunkin (1965) [5], Kennett (1983) [8] và Chen (1993) [2] và nó vẫn đang được sử dụng rộng rãi tới ngày nay
Đối với mô hình bán không gian được phủ bởi các lớp thuần nhất đẳng hướng, ma trận chuyển của các lớp có dạng hiển bởi vì số sóng theo phương thẳng đứng trong các lớp có dạng đơn giản và có giá trị luôn là số thực hoặc số thuần ảo Bài toán sẽ trở nên khó khăn hơn khi vật liệu cấu thành các lớp và bán không gian không còn là đẳng hướng mà là vật liệu dị hướng Khi
đó số sóng theo phương thẳng đứng của sóng phẳng truyền trong môi trường bất đẳng hướng này
sẽ trở nên phức tạp và có giá trị phức Điều này dẫn tới ma trận chuyển của các lớp có thể sẽ nhận giá trị phức và dẫn đến khó khăn trong việc tính toán số Hơn nữa, dạng hiện của các ma trận chuyển này sẽ không còn dễ dàng nhận được như trong trường hợp đẳng hướng (xem Crampin,
1970 [3]; Crampin và Taylor, 1971 [4]) Điều này sẽ dẫn đến những khó khăn trong việc xử lý điều kiện tắt dần của sóng mặt trong bán không gian Trong trường hợp vật liệu của mô hình là vật liệu trực hướng, một biểu diễn dạng hiển của ma trận chuyển của lớp đã được đưa ra trong Solyanik (1977) [16] và dạng cải tiến của nó được đưa ra trong Rokhlin và Wang (1992) [17] để cho việc tính toán số thuận tiện hơn Tuy nhiên, các phần tử của các ma trận dạng hiển này không phải lúc nào cũng nhận các giá trị thực, và do đó có thể gây khó khăn trong việc tính toán số
Trong luận văn này, một cách tiếp cận mới tốt hơn cách tiếp cận của phương pháp Thomson-Haskell sẽ được sử dụng để nhận được ma trận "matrizant" của một lớp Về mặt toán học, ma trận matrizant chính là ma trận nghiệm cơ bản của hệ phương trình vi phân chuyển động của hệ thống sóng P-SV truyền trong môi trường của lớp, và nó có ý nghĩa tương tự như ma trận chuyển của lớp Ma trận matrizant của lớp sẽ được biểu diễn dưới dạng hiển bằng cách sử
Trang 5MỤC LỤC
dụng định lý Sylvester Đối với bài toán tìm phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh, ma trận matrizant này được biểu diễn lại dưới một dạng tương đương và nó là một ma trận thực không thứ nguyên, không phụ thuộc vào đơn vị của của các tham số của lớp Với cách tiếp cận mới này, điều kiện biên tắt dần trong bán không gian cũng sẽ được xử lý bằng cách sử dụng định lý Vieta Khi đó, phương trình tán sắc nhận được bởi cách tiếp cận mới sẽ được biểu diễn thông qua các tham số không thứ nguyên, luôn nhận giá trị thực và do đó thuận tiện hơn trong việc tính toán số
Bằng cách tiếp cận ở trên, luận văn cũng đưa ra công thức tính toán tỷ số H/V của sóng mặt Rayleigh trong mô hình phân lớp trực hướng Công thức tỷ số này được sử dụng trong phương pháp tỷ số H/V để đo đạc tần số cộng hưởng của các lớp bề mặt, là tần số mà chuyển động của sóng động đất bị khuếch đại nhiều nhất Các công thức tỷ số này sẽ được sử dụng để khảo sát ảnh hưởng của tính chất bất đẳng hướng của vật liệu lên tần số của điểm cực đại và điểm cực tiểu của đường cong tỷ số H/V Đây là hai thông tin quan trọng được sử dụng trong phương pháp tỷ
số H/V
Luận văn bao gồm ba chương cùng với phần mở đầu và kết luận Chương 1 sẽ đi tìm dạng hiển của matrizant của lớp và bán không gian Chương 2 sẽ sử dụng dạng hiển của matrizant tìm được ở Chương 1 để thiết lập phương trình tán sắc và tỷ số H/V của sóng mặt Rayleigh truyền trong môi trường phân lớp Một số kết quả minh họa số sẽ được trình bày trong Chương 3
Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Em mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc
Xin chân thành cảm ơn!
Trang 6Chương 1
PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN
Bề mặt trái đất được mô hình hóa tương ứng với một số lớp song song đặt trên một bán không gian (Hình 1.1) Trục chính của bán không gian và các lớp được giả thiết là cùng phương Sóng phẳng lan truyền theo phương ngang trong mô hình với vận tốc c, tần số góc ω và số sóng
k Chọn hệ trục tọa độ với trục 0x1song song với các lớp và có chiều hướng theo phương truyền sóng Trục 0x2 có chiều dương hướng lên trên và có gốc tọa độ nằm tại mặt ngoài cùng của bán không gian, ta coi bán không gian là lớp thứ (0)
Nội dung chính của chương này là trình bày các hệ thức cơ bản của phương pháp tìm ma trận matrizant trong mô hình phân lớp trực hướng, từ đó tìm ra được phương trình tán sắc của sóng Rayleigh đối với môi trường phân lớp trực hướng Chú ý rằng, nói chung mô hình bề mặt trái đất thông thường được giả thiết là vật liệu đẳng hướng Một số vùng thì được giả thiết là đẳng hướng ngang, chỉ có một số ít vùng cần được giả thiết là được cấu tạo từ vật liệu trực hướng Trong trường hợp này, để đơn giản, luận văn giả thiết các lớp trực hướng có các hướng chính trùng nhau
1.1 Các hệ thức cơ bản
Xét n lớp thuần nhất trực hướng đặt trên một bán không gian cũng thuần nhất trực hướng Với h(k), ρ(k), c(k)i j (i, j = 1, 6) ta ký hiệu là độ dày, mật độ, và các hằng số vật liệu của lớp thứ k (k = 0, n) Mô hình bài toán ta xét như Hình 1.1, trong đó các sóng phẳng được giả thiết là truyền trong mặt phẳng (x1, x2) Do đó, các thành phần chuyển dịch của sóng phẳng trong môi trường đang xét là các hàm phụ thuộc vào (x1, x2,t) có dạng
ui= ui(x1, x2,t), i = 1, 2, 3 (1.1) trong đó ui là các thành phần của vector chuyển dịch
Phương trình trạng thái biểu diễn mối liên hệ giữa các thành phần của ứng suất và các thành phần gradient của chuyển dịch trong vật liệu đàn hồi trực hướng (xem Ting, 1996 [20]) có dạng
σ11 = c11u1,1+ c12u2,2,
σ22 = c12u1,1+ c22u2,2,
σ12 = c66(u1,2+ u2,1) ,
(1.2) trong đó, σi j là ứng suất của lớp, dấu "," tương ứng với đạo hàm theo biến không gian xk
4
Trang 7CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN
(1) (2)
(n) (n-1)
x1
x2
x2(n)
x2(n-1)
x2(n-2)
x(2)2
x2(1)
x2(0)
Hình 1.1: Mô hình n lớp vật liệu trực hướng đặt trên bán không gian (bán không gian là lớp 0) Các trục chính của các lớp và
bán không gian được giả thiết là cùng hướng.
Phương trình chuyển động khi bỏ qua lực khối có dạng
σ11,1+ σ12,2= ρ ¨u1,
trong đó, dấu "." biểu thị đạo hàm theo biến thời gian t
Xét sóng mặt truyền trong một lớp với hệ số vật liệu là (ρ, ci j), thì các thành phần chuyển dịch được biểu diễn dưới dạng hàm mũ (xem Takeuchi và Saito, 1972 [18]) có dạng
u1= −iy2(x2; ω, k) ei(ωt−kx1 ),
u2= y1(x2; ω, k) ei(ωt−kx1 ),
u3= 0,
(1.4)
trong đó, ω, k,t là tần số góc, số sóng và thời gian tương ứng Các thành phần ứng suất cũng được biểu diễn tương tự có dạng
σ22= y3(x2; ω, k)ei(ωt−kx1 ),
σ12= −iy4(x2; ω, k)ei(ωt−kx1 ) (1.5) Thay (1.4) vào (1.2) sẽ thu được
y3= c22dy1
dx2− kc12y2,
y4= c66 dy2
dx2 + ky1
(1.6)
và
k
c12dy1
dx2− kc11y2
+dy4
dx2 = −ρω2y2,
− ky4+dy3
dx2 = −ρω2y1
(1.7)
Phương trình (1.6) và (1.7) có thể viết dưới dạng ma trận như dưới đây
dy
Trang 8CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN
trong đó y = [y1, y2, y3, y4]T (ký hiệu “T ” là chuyển vị) và
U =
c22
1
c22 0
c66
0 k2
c11−c
2 12
c22
− ρω2 −kc12
c22 0
Phương trình (1.8) là hệ phương trình vi phân tuyến tính đối với biến trạng thái y Để tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân tuyến tính này chúng ta cần phải biết điều kiện đầu của bài toán và ma trận nghiệm tổng quát của nó Phần tiếp theo của mục này sẽ đi tìm ma trận "matrizant", về mặt toán học là ma trận nghiệm tổng quát của hệ trên Ma trận matrizant của lớp sẽ được biểu diễn bởi định lý Sylvester và do đó yêu cầu các giá trị riêng của ma trận
hệ số U Điều kiện đầu của bài toán truyền sóng mặt Rayleigh sẽ được nhận từ điều kiện tắt dần tại vô cùng trong bán không gian và có thể nhận được thông qua các vector nghiệm riêng của hệ phương trình (1.8) đối với bán không gian
Tiếp theo, ta tìm bốn giá trị riêng của ma trận U trong phương trình (1.8) và bốn vector riêng tương ứng Các giá trị riêng của ma trận U là nghiệm của phương trình det(U − λ I) = 0,
với λ = kb là giá trị riêng của ma trận Khai triển các định thức ta thu được phương trình
c22c66b4+h(c12+ c66)2+ c22(X − c11) + c66(X − c66)ib2+
+ (c11− X) (c66− X) = 0,
(1.10)
trong đó X = ρc2 Đây là phương trình bậc hai của b2 với nghiệm b21 và b22 thỏa mãn định lý Vieta
b21+ b22= −(c12+ c66)
2+ c22(X − c11) + c66(X − c66)
b21· b22= (c11− X)(c66− X)
c22c66 = P.
(1.11)
Phương trình (1.10) có 4 nghiệm ±
q
b21 và ±
q
b22 có dạng
b21= S+
√
S2− 4P
2
2= S−√S2− 4P
Khi S2− 4P > 0 thì bốn nghiệm này thực hoặc thuần ảo Ngược lại, chúng là phức liên hợp theo cặp với
trong đó ký hiệu "*" là phức liên hợp
Vector riêng v = [v1, v2, v3, v4]T của ma trận U tương ứng với giá trị riêng λi= kbi, i = 1, 4,
có các thành phần là
vi=
bi(c12+ c66)
b2ic22− c66+ X
−kc12X− b2
ic22+ c12 c66
kc66bi b2ic22+ c12+ X
Xét bài toán sóng mặt Rayleigh truyền trong bán không gian phân lớp như Hình 1.1 dọc theo trục x1 Đây là mô hình phân lớp cấu tạo bởi các loại vật liệu khác nhau, nên phương trình
6
Trang 9CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN
vi phân chuyển động trong mô hình này có dạng
dy
với ma trận hệ số là hàm của x2được định nghĩa như sau
U (x2) = U(i), x2∈hx(i−1)2 , x(i)2 i, i = 1, n,
U (x2) = U(0), (x2∈ [−∞, 0]) ,
(1.16)
trong đó U(i) có dạng (1.9) với tất cả các tham số vật liệu được thay thế bởi lớp thứ i
Các điều kiện biên của bài toán này là điều kiện biên tự do với ứng suất tại bề mặt trên của lớp trên cùng, điều kiện liên tục tại mặt phân cách của các lớp và điều kiện tắt dần trong bán không gian Điều kiện biên tự do ứng suất tại bề mặt trên cùng x2= H có dạng
y3(H; ω, k) = y4(H; ω, k) = 0 (1.17) Điều kiện liên tục của chuyển vị và ứng suất tại mỗi mặt phân cách có dạng
y(i)(x(i)2 ; ω, k) = y(i+1)(x2(i); ω, k), (i = 0, n − 1) (1.18)
trong đó y(i)(x2; ω, k) = y(x2; ω, k) tại x2= [x(i−1)2 , x(i)2 ], (i = 1, n) Và điều kiện tắt dần trong bán không gian là
Phương trình (1.15) cùng với điều kiện (1.17), (1.18) và (1.19) sẽ xác định phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh Mục tiếp theo sẽ đi xác định ma trận nghiệm cơ bản matrizant của hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.15)
1.2 Phương pháp tìm ma trận matrizant
Xét phương trình vi phân (1.15), nghiệm của phương trình này có thể xác định bằng phương pháp Peano-Barker (xem Frazer và các cộng sự [6], Chương VII)
y (x2) = ΩΩΩ x2, x02 y x0
trong đó y (x02) là giá trị của y khi x2= x02 và ΩΩΩ (x2, x02) là matrizant của U được định nghĩa như sau
ΩΩ x2, x02 = I +
x2
Z
x02
U (ξ1) dξ1+
x2
Z
x02
U (ξ1)
ξ 1 Z
x20
U (ξ2)dξ2dξ1+ · · · (1.21)
trong đó I kí hiệu ma trận đơn vị có cùng hạng U
Khi U là ma trận hằng số, thì matrizant có dạng đơn giản là
ΩΩ x2, x02 = I + x2− x02 U +1
2 x2− x022
U2+ · · ·
= exp x2− x02 U
(1.22)
Trong trường hợp này, gọi n là hạng của U và λi(i = 1, 2, , n) là giá trị riêng của U, theo định
lý Sylvester (xem Frazer và cộng sự, 1963), ta có một dạng biểu diễn của ma trận matrizant của một lớp có độ dày h như sau
E (h) = exp (hU) =
n
∑ i=1
eλ i h
∏ j6=i
λjI − U
λj− λi
Trang 10CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN
Tiếp theo, ta đi tìm dạng hiển của biểu diễn matrizant của ma trận E(h) từ biểu thức (1.23) Với
hệ phương trình của bài toán truyền sóng Rayleigh đang xét thì hạng của ma trận hệ số là n = 4,
và biểu thức (1.23) trở thành
E (h) = 1
b21− b2 2
b21I − ¯U2 ekhb2+ e−khb2
ekhb2− e−khb2 2b2 U¯
− b22I − ¯U2 ekhb1+ e−khb1
ekhb1− e−khb1 2b1
¯ U
(1.24)
Ma trận matrizant của lớp thứ (i) trong phương trình (1.23) có dạng
E(i)(hi) = α(i)
E(i)1 1
kc(0)66
E(i)2
kc(0)66E(i)3 E(i)4
trong đó
α(i) =
1
Gi, nếu S(i)2− 4P(i)< 0
1 p (S(i))2− 4P(i), nếu S(i)2− 4P(i)> 0 (1.26) Các ma trận E(i)j j= 1, 4 là các ma trận cấp 2x2 có dạng
E1(i)(1, 1) = mi+ piai, E1(i)(1, 2) =hnie(i)3 + qibie(i)3 − diie(i)2 ,
E1(i)(2, 1) = −ni+ qi(di− ai) , E1(i)(2, 2) = mi+ qibi,
E2(i)(1, 1) =
h
ni+ qiai− cie(i)3 ie(i)2
r(i)µ
, E2(i)(1, 2) = pici
r(i)µ ,
E2(i)(2, 1) = −E2(i)(1, 2) , E2(i)(2, 2) = ni+ qi(bi− ci)
r(i)µ
,
E3(i)(1, 1) =h−nix(i)+ qidi− aix(i)ir(i)µ , E3(i)(1, 2) = −pidirµ(i),
E3(i)(2, 1) = −E3(i)(1, 2) ,
E3(i)(2, 2) =
(ni+ qibi)
e(i)1 − e(i)2 e(i)3
2
− x(i)
+ e(i)2 e(i)3 qidi
r(i)µ ,
E4(i)(1, 1) = E1(i)(1, 1) , E4(i)(1, 2) = −E1(i)(2, 1) ,
E4(i)(2, 1) = −E1(i)(1, 2) , E4(i)(2, 2) = E1(i)(2, 2) ,
(1.27)
trong đó
rν(i)= c
(0) 66
c(i)66
ρ(i)
ρ(0) , r(i)µ = c
(i) 66
c(0)66
và
ai = −e(i)2 e(i)3 + x(i), bi= e(i)1 − x(i)− e(i)2 e(i)3 e(i)3 + 1,
ci= e(i)2 e(i)3 + 1, di= x(i)− e(i)1 − e(i)3 ai,
(1.29)
và mi, ni, pi, qi tùy theo hai trường hợp được xét ở trên được xác định như sau
8
Trang 11Tài liệu tham khảo
[1] Bard, P Y (1998), "Microtremor Measurements: A Tool For Site Effect Estimation",
Manuscript for Proc of 2nd International Symposium on the Effect of Surface Geology
on Seismic Motion, Yokohama, Japan, 1-3 Dec, 1998
[2] Chen X (1993), "A systematic and efficient method of computing normal modes for
mul-tilayered half-space", Geophysical Journal International, 115(2), pp 391–409.
[3] Crampin S (1970), "The dispersion of surface waves in multilayered anisotropic media",
Geophysical Journal International, 21(3), pp 387–402
[4] Crampin S and Taylor D B (1971), "The propagation of surface waves in anisotropic
media", Geophysical Journal International, 25(1-3), pp 71–87.
[5] Dunkin J W (1965), "Computation of modal solutions in layered, elastic media at high
frequencies", Bulletin of the Seismological Society of America, 55(2), pp 335–358.
[6] Frazer R A., Duncan W J., and Collar A R (1938), Elementary matrices and some appli-cations to dynamics and differential equations Cambridge University Press
[7] Haskell N A (1953), "The dispersion of surface waves on multilayered media", Bulletin of the Seismological Society of America, 43(1), pp 17–34
[8] Kennett B L (1983), Seismic wave propagation in stratified media, Cambridge University
Press
[9] Knopoff L (1964), "A matrix method for elastic wave problems", Bulletin of the Seismo-logical Society of America, 54(1), pp 431–438
[10] Liu G R and Xi Z C (2002), Elastic waves in anisotropic laminates, CRC press.
[11] Malischewsky, Peter G and Scherbaum, Frank (2004), "Love’s formula and H/V-ratio
(el-lipticity) of Rayleigh waves", Wave motion, 40(1), pp 57–67.
[12] Malischewsky, P G., Scherbaum, F., Lomnitz, C., Tuan, T T., Wuttke, F., and Shamir, G (2008), "The domain of existence of prograde Rayleigh-wave particle motion for simple
models", Wave motion, 45(4), pp 556–564.
[13] Nakamura, Y (1989), "A Method for Dynamic Characteristics Estimation of Subsurface
us-ing Microtremor on the Ground Surface", Quarterly Report of Railway Technical Research Institute (RTRI), 30(1), pp 25–33
[14] Nakamura, Y (2000), "Clear identification of fundamental idea of Nakamura’s technique
and its applications", Proceedings of the 12th World Conference on Earthquake Engineer-ing, Aucklan, New Zealand
[15] Nakamura, Y (2008), "On the H/V spectrum", Proceedings of the 14th World Conference
on Earthquake Engineering, Beijing, China