Phương pháp hệ số phản xạ, khúc xạ cải tiến cho môi trường phân lớp trực hướng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————— Trương Thị Thùy Dung PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CẢI TIẾN CHO MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP TRỰC HƯỚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————– Trương Thị Thùy Dung PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CẢI TIẾN CHO MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP TRỰC HƯỚNG Chuyên ngành: Cơ học vật rắn Mã số: 60440107 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN THANH TUẤN Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Lời em muốn gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy hướng dẫn Trần Thanh Tuấn - người truyền cho em niềm đam mê khoa học hướng dẫn em tỉ mỉ, tận tình suốt trình làm luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới nhóm Seminar môn Cơ học GS TS Phạm Chí Vĩnh chủ trì, thầy anh chị trang bị cho em kiến thức tảng nguồn động lực để chúng em theo đuổi nghiên cứu khoa học Đặc biệt, công thức mục 2.1 học viên thu nhận từ giảng nhóm seminar thầy Phạm Chí Vĩnh trình bày Em xin cảm ơn toàn thể thầy cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học Quốc Gia Hà Nội truyền đạt kiến thức giúp em hoàn thành luận văn Bên cạnh đó, em cảm ơn gia đình động viên, tạo điều kiện tốt cho em suốt trình học tập thực luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Trương Thị Thùy Dung Mục lục Lời mở đầu Phương pháp ma trận hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa R/T 1.1 Dạng ma trận phương trình 1.2 Ma trận hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa 15 1.3 1.2.1 Sóng qSH 15 1.2.2 Sóng qP-SV 20 Phương trình tán sắc sóng Rayleigh 23 Phương pháp hệ số R/T toán tìm band-gaps sóng mặt 26 2.1 Công thức tính vận tốc sóng môi trường trực hướng 27 2.2 Bài toán phổ band-gaps 30 2.3 Band-gaps sóng qSH sóng qP-SV 32 2.4 Tính toán số phổ band-gaps sóng qP 34 Kết luận 37 Danh mục báo khoa học 38 MỤC LỤC Tài liệu tham khảo 38 Lời mở đầu Trong lớp toán phản xạ khúc xạ sóng mặt truyền qua môi trường phân lớp, hệ số phản xạ khúc xạ cần tìm tìm thông qua hệ số phản xạ khúc xạ sóng tới qua mặt phân cách lớp cách sử dụng điều kiện biên liên tục chuyển dịch ứng suất Cách làm tương tự phương pháp ma trận chuyển giới thiệu số sách chuyên khảo sóng Achenbach (1975) [11], Brekhovskikh (1973) [2] Cách làm thuận tiện lập trình tính toán số môi trường đẳng hướng gọi phương pháp ma trận chuyển hay "T-matrix" sử dụng nghiên cứu hệ số phản xạ khúc xạ Golub cộng (2012) [7, 8] khảo sát phổ band-gaps sóng thành phần SH , sóng hai thành phần P − SV Tuy nhiên, phương pháp có nhược điểm cố hữu phương pháp ma trận chuyển kết tính toán số không ổn định sóng tới có tần số cao phân tích kỹ báo Chen (1993) [21], phương pháp không phản ánh rõ ràng tính chất vật lý toán phản xạ khúc xạ đặc trưng sóng tới, sóng phản xạ, khúc xạ (ví dụ biên độ, góc tới, góc phản xạ, khúc xạ) chuyển qua đại lượng chuyển dịch ứng suất bề mặt để áp dụng điều kiện biên liên tục Điều làm cho hình ảnh vật lý tính phản xạ khúc xạ sóng lớp không tường minh Trong báo Chen (1993) [21] phương pháp phản xạ khúc xạ tổng quát hóa, hai nhược điểm đề cập khắc phục Phương pháp Chen sử dụng trực tiếp hệ số phản xạ khúc xạ tổng quát hóa (là hệ số phản xạ, khúc xạ mặt phân cách hai bán không gian thông qua sóng tới) cách sử dụng trực tiếp tham số biên MỤC LỤC độ sóng lớp, tương tự Kennett (1983) [12] sử dụng công thức Luco Apsel (1983) [14] để loại trừ hệ số tăng theo hàm mũ, hệ số gây ổn định tính toán số tần số cao Do đó, phương pháp khắc phục nhược điểm ổn định số miền tần số cao mà cung cấp hình ảnh rõ ràng phản xạ khúc xạ lớp Với ưu điểm này, phương pháp Chen viết thành phần mềm tính toán sóng sử dụng cách rộng rãi Trong luận văn này, phương pháp Chen nghiên cứu phát triển cho lớp vật liệu bất đẳng hướng, cụ thể vật liệu trực hướng Các phương trình Chen, ví dụ công thức hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa, công thức truy hồi để tính toán chúng, viết lại phù hợp môi trường vật liệu trực hướng Các phương trình sử dụng để thiết lập phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh truyền môi trường phân lớp, sử dụng để nghiên cứu toán phản xạ, khúc xạ sóng truyền môi trường Luận văn tập trung vào tính toán số phổ band-gaps sóng qSH (kí hiệu q quasi) sóng qP − SV , (hay gọi sóng tựa SH sóng tựa P − SV ), sóng tương tự sóng SH P − SV môi trường đẳng hướng, truyền qua môi trường phân lớp trực hướng Nội dung luận văn phần mở đầu kết luận gồm hai chương Chương thiết lập phương trình phương pháp ma trận hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa R/T thiết lập phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh truyền môi trường phân lớp trực hướng Chương sử dụng kết Chương để khảo sát toán tìm phổ band-gaps sóng mặt qSH qP − SV truyền qua môi trường phân lớp trực hướng Chương Phương pháp ma trận hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa R/T Mô hình tổng quát môi trường phân lớp nghiên cứu luận văn bao gồm N lớp song song đồng nhất, trực hướng đặt hai bán không gian (Hình vẽ 1) Các trục bán không gian lớp giả thiết phương Sóng phẳng truyền mô hình có tần số góc ω có số sóng theo phương ngang k Chọn hệ trục tọa độ cho trục Ox song song với lớp có chiều hướng theo phương truyền sóng phương hướng vật liệu Trục Oz có chiều dương hướng xuống có gốc tọa độ nằm mặt biên lớp Trong số trường hợp, công thức đơn giản hệ tọa độ (x, y, z) thay (x1 , x2 , x3 ) Các lớp có tham (j) (j) (j) (j) (j) (j) số vật liệu c(j) 11 , c13 , c33 , c55 , c44 , c66 ρ , j = 1, , N số thứ tự lớp Bán không gian bên coi lớp thứ (0) bán không gian bên coi lớp thứ (N + 1) Chương trình bày hệ thức phương pháp hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa mô hình phân lớp xét Cụ thể hệ số phản xạ khúc xạ tổng quát hóa nhận mặt phân cách hai lớp thứ (j) thứ (j + 1) Các công thức hệ số sử dụng để khảo sát toán truyền sóng mặt Rayleigh toán phản xạ, khúc xạ trình bày chương lại Các nội dung chương thực tương tự báo Chen (1993) [21] phát triển cho vật liệu trực hướng, thay vật liệu đẳng hướng, với biến đổi chi tiết CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ TỔNG QUÁT HÓA R/T 1.1 Dạng ma trận phương trình Xét môi trường đàn hồi trực hướng đặc trưng số vật liệu c11 , c13 , c33 , c55 , c44 , c66 mật độ khối môi trường ρ Giả thiết sóng phẳng truyền môi trường nằm mặt phẳng (0, x1 , x3 ) Do Hình 1.1: Mô hình hệ tọa độ môi trường trực hướng phân lớp Các lớp bán không gian có hướng vật liệu trùng thành phần chuyển dịch sóng phẳng môi trường xét hàm phụ thuộc vào (x, z, t) hay (x1 , x3 , t) có dạng (1.1) ui = ui (x1 , x3 , t) đó, i = 1, 2, 3, ui thành phần vector chuyển dịch Đối với sóng phẳng qP − SV ta có uj = uj (x1 , x3 , t) u2 (x1 , x3 , t) = (1.2) đó, j = 1, Phương trình trạng thái biểu diễn mối liên hệ thành phần ứng suất thành phần gradient chuyển dịch (ui,j = ∂ui ) môi ∂xj CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ R/T TRONG BÀI TOÁN TÌM BAND-GAPS CỦA SÓNG MẶT pháp có ưu điểm nhược điểm cấu trúc (Golub cộng sự, 2012 [7, 8]) Tuy nhiên, mô hình lớp hữu hạn có cấu trúc tuần hoàn, phương pháp ma trận chuyển dường dùng nhiều Golub cộng (2012, 2014 [5, 7, 8]) sử dụng phương pháp để khảo sát band gaps sóng SH sóng P-SV cho lớp hữu hạn FGM (Functionally Graded Materials) đẳng hướng Như phân tích Chương 1, phương pháp hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa khắc phục nhược điểm ổn định phương pháp ma trận chuyển miền tần số cao mà cho hình ảnh vật lý rõ ràng tượng phản xạ khúc xạ Vì vậy, chương dùng phương pháp R/T để khảo sát band-gaps sóng qSH qP − SV lớp hữu hạn có cấu trúc tuần hoàn biến đổi theo hàm sin Hơn vật liệu lớp mở rộng cho trường hợp trực hướng 2.1 Công thức tính vận tốc sóng môi trường trực hướng Để giải toán phản xạ, khúc xạ, cần biết vận tốc truyền sóng loại sóng khối môi trường trực hướng Trong môi trường đẳng hướng nhất, đặc trưng hệ số Lame λ µ, tồn hệ thống sóng P , SV SH , vận tốc sóng P λ + 2µ µ α= vận tốc sóng SV SH β = Chúng ta thấy vận ρ ρ tốc sóng môi trường đẳng hướng theo phương Tuy nhiên, môi trường bất đẳng hướng, điều không Mục trình bày công thức vận tốc sóng sóng qP , qSV qSH truyền theo phương Để tìm công thức tính vận tốc sóng sóng qSH truyền theo phương hợp với trục 0z góc θ, kí hiệu cSH , ta thay biểu diễn chuyển dịch sóng qSH có dạng u2 = W ek(p1 x1 +p3 x3 −cqSH t) vào phương trình chuyển động (1.19) thu c66 p21 + c44 p23 = ρc2qSH , đó, ω tần số góc cho trước, p1 = sin θ, p3 = cos θ, k = ω/cqSH 27 (2.1) CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ R/T TRONG BÀI TOÁN TÌM BAND-GAPS CỦA SÓNG MẶT Từ đó, suy cqSH = c66 p21 + c44 p23 vận tốc sóng qSH môi trường Vận ρ tốc truyền sóng cqSH có giá trị phụ thuộc vào phương truyền sóng, khác với trường hợp môi trường đẳng hướng Đối với sóng qP − SV , nghiệm chuyển dịch sóng phẳng có dạng      u1   d1  ik(x1 p1 +x3 p3 −ct) ,   = A e u3 (2.2) d3 đó, d = (d1 , 0, d3 ) vector đơn vị chuyển dịch, p = (p1 , 0, p3 ) vector đơn vị truyền sóng Lấy đạo hàm thành phần chuyển dịch u1 , u3 theo x1 x3 ta thu u1,1 = Ad1 ikp1 eik(x1 p1 +x3 p3 −ct) , u3,3 = Ad3 ikp3 eik(x1 p1 +x3 p3 −ct) , u1,3 = Ad1 ikp3 (2.3) eik(x1 p1 +x3 p3 −ct) , u3,1 = Ad3 ikp1 eik(x1 p1 +x3 p3 −ct) Và tương tự thành phần ứng suất ta có σ11,1 = c11 u1,11 + c13 u3,31 = c11 (−k p21 )Ad1 + c13 (−k p1 p3 )Ad3 , σ13,3 = c55 (u1,33 + u3,13 ) = c55 [(−k p23 )Ad1 + (−k p1 p3 )Ad3 ], σ13,1 = c55 (u1,31 + u3,11 ) = c55 [(−k p1 p3 )Ad1 + (−k p21 )Ad3 ], (2.4) σ33,3 = c13 u1,13 + c33 u3,33 = c13 (−k p1 p3 )Ad1 + c13 (−k p23 )Ad3 , u¨1 = (−k c2 )Ad1 , u¨3 = (−k c2 )Ad3 Thay (2.4) vào phương trình chuyển động ta (c11 p21 + c55 p23 − ρc2 )d1 + (c13 + c55 )p1 p3 d3 = (c13 + c55 )p1 p3 d1 + (c55 p21 + c33 p23 − ρc2 )d (2.5) =0 Hệ phương trình tương đương với (U − ρc2 )d1 + d3 = V d1 + (Z − ρc2 )d 28 =0 (2.6) CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ R/T TRONG BÀI TOÁN TÌM BAND-GAPS CỦA SÓNG MẶT U = c11 p21 + c55 p23 , V = (c13 + c55 )p1 p3 , (2.7) Z = c55 p21 + c33 p23 Để hệ hai phương trình tuyến tính (2.6) d1 d2 có nghiệm không tầm thường định thức hệ phải 0, ta có (U − ρc2 )(Z − ρc2 ) − V = 0, (2.8) (ρc2 )2 − (U + Z)ρc2 + (U Z − V ) = (2.9) hay Đây phương trình bậc hai ρc2 có hai nghiệm √ c2qP = c2qSV (U +Z)+ = (U −Z)2 +4V 2ρ √ (U +Z)− (U −Z)2 +4V 2ρ (2.10) Hai công thức cho ta công thức tính vận tốc sóng qP qSV tương ứng Lý chọn nghiệm cho sóng qP qSV thông thường coi sóng qP truyền nhanh sóng qSV Trong trường hợp đặc biệt, giả sử sóng qP − SV truyền theo hướng vật liệu, ví dụ theo phương 0x Khi ta có U = c11 , V = 0, Z = c55 Khi đó, phương trình (2.9) trở thành (ρc2 )2 − (c11 + c55 )ρc2 + c11 c55 = (2.11) Phương trình (2.11) có định thức ∆ = (c11 + c55 )2 − 4c11 c55 = (c11 − c55 )2 Từ suy nghiệm phương trình, (ρc2 )2 = c11 (ρc2 )2 = c55 Do c2qP = c11 c vận tốc sóng dọc môi trường c2qSV = 55 vận tốc sóng ρ ρ ngang môi trường Trong trường hợp đặc biệt vật liệu đẳng hướng ta có c11 = λ + 2µ c55 = µ, nhận lại công thức vận tốc truyền sóng sóng P SV 29 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ R/T TRONG BÀI TOÁN TÌM BAND-GAPS CỦA SÓNG MẶT 2.2 Bài toán phổ band-gaps Xét lớp vật liệu trực hướng, hữu hạn có cấu trúc tuần hoàn theo phương 0z đặt hai bán không gian trực hướng (Hình 2.1) Hai bán không gian kí hiệu môi trường (1) (3) tương ứng Và lớp tuần hoàn kí hiệu môi trường (2) Các trục vật liệu hai bán không gian lớp giả thiết có phương Xét toán truyền sóng sóng tới qSH (hoặc qP − SV ) nằm mặt phẳng đối xứng vật liệu từ bán không gian qua lớp vật liệu truyền vào bán không gian bên Sóng tới có tần số góc ω Tại mặt phân cách bán không gian lớp vật liệu, sóng tới tách làm hai phần Một phần phản xạ lại vào bán không gian trên, phần khúc xạ vào lớp vật liệu Thành phần khúc xạ truyền tới mặt phân cách với bán không gian khúc xạ qua mặt phân cách Bài toán cần xét tìm biên độ sóng khúc xạ bán không gian phụ thuộc vào biên độ sóng tới Hình 2.1: Mô hình lớp vật liệu phân lớp trực hướng nằm hai bán không gian trực hướng Sóng tới qSH xuống từ bán không gian sinh hệ sóng phản xạ khúc xạ Giả sử sóng tới từ bán không gian sóng qSH tạo góc θ với trục z (hay trục x3 ) có dạng (1) uT qSH = TqSH eik1 (x1 p1 30 (1) +x3 p3 ) (2.12) CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ R/T TRONG BÀI TOÁN TÌM BAND-GAPS CỦA SÓNG MẶT Hình 2.2: Mô hình lớp vật liệu phân lớp trực hướng nằm hai bán không gian trực hướng Sóng tới qP xuống từ bán không gian sinh hệ sóng phản xạ khúc xạ k1 = ω (1) cqSH (1) (1) , (p(1) , p3 ) vector đơn vị hướng truyền sóng, cqSH vận tốc truyền sóng theo phương cho Vì sóng tới qSH tới bề mặt lớp vật liệu sinh sóng phản xạ qSH sóng khúc xạ qSH nên sóng phản xạ khúc xạ có dạng sau (xem Hình vẽ 2.1) (1) uP qSH = PqSH eik1 (x1 q1 (3) uKqSH = KqSH eik3 (x1 p1 (1) +x3 q3 ) (2.13) , (3) +x3 p3 ) , (2.14) PqSH , KqSH biên độ sóng phản xạ khúc xạ sóng qSH , k3 = ω , c(3) SH (3) cSH (1) (1) q1 , q3 số sóng vận tốc sóng khúc xạ bán không gian (1) vector đơn vị truyền sóng sóng phản xạ p(1) , p3 vector đơn vị truyền sóng sóng khúc xạ bán không gian Bài toán đặt tìm tỉ số biên độ sóng khúc xạ sóng tới KqSH /TqSH Trong trường hợp sóng tới sóng qP có dạng uT qP = TqP eik1 (x1 p1 (1) +x3 p3 (1) ) , (2.15) đó, p1 = sin θ1 , p3 = cos θ1 , θ1 góc tới, k1 = ω/c(1) P số sóng bán 31 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ R/T TRONG BÀI TOÁN TÌM BAND-GAPS CỦA SÓNG MẶT không gian (1), c(1) P vận tốc sóng qP bán không gian (1) theo hướng truyền sóng Chỉ số “ T ” công thức chuyển dịch biểu thị sóng tới Sóng phản xạ sóng khúc xạ sóng qP − SV giả sử có biên độ PqP , PqSV , KqP , KqSV có góc phản xạ, khúc xạ biểu diễn Hình vẽ 2.2 Các chữ “ P ” “ K ” biểu thị cho sóng phản xạ sóng khúc xạ Để đơn giản, ta bỏ qua nhân tử e−iωt công thức chuyển dịch Mục đích toán tìm giá trị biên độ sóng khúc xạ |KqP | |KqSV | phụ thuộc vào biên độ sóng tới TqP Phổ band-gaps sóng tới phổ tần số biên độ sóng khúc xạ bị triệt tiêu 2.3 Band-gaps sóng qSH sóng qP-SV Do toán truyền sóng môi trường không khó giải phương pháp giải tích nên ta giải toán cách xấp xỉ lớp không thành chuỗi N lớp mỏng Khi đó, ta coi bán không gian lớp thứ (0), bán không gian lớp thứ (N + 1) N lớp xấp xỉ đánh số từ N (xem Hình 2.3) Hình 2.3: Chia lớp vật liệu không thành N lớp Để tính hệ số khúc xạ qua lớp vật liệu ta sử dụng công thức (1.50) 32 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ R/T TRONG BÀI TOÁN TÌM BAND-GAPS CỦA SÓNG MẶT mặt phân cách Giả sử sóng tới sóng qSH , công thức (1.50)1 mặt phân cách cho ta biên độ sóng khúc xạ vào lớp thứ (0) (0) (1) Cd = Tˆd Cd (2.16) Cd(0) = TqSH Sóng khúc xạ xuống mặt phân cách thứ hai tiếp tục sinh sóng khúc xạ vào lớp thứ ba có biên độ (1) (0) (0) (1) (1) (2) Cd = Tˆd Cd = Tˆd Tˆd Cd (2.17) Quá trình tiếp tục lặp lại mặt phân cách thứ N ta có (N +1) Cd (N ) = Tˆd (N ) Cd (N ) = Tˆd (0) (0) (N −1) ˆ (N −2) Tˆd Cd Tˆd Td (2.18) Vì vậy, để tính biên độ sóng khúc xạ KqSH = Cd(N +1) cần tính tích Tˆd(N ) Tˆd(N −1) Tˆd(N −2) Tˆd(0) Giá trị tính từ công thức truy (N ) hồi (1.53) giá trị đầu Rˆ du Tˆd(N ) công thức truy hồi (1.53) tính từ điều kiện sau Tại mặt phân cách lớp thứ N bán không gian, sóng từ bán không gian lên nên công thức hệ số phản xạ khúc xạ (1.42) trở thành (N +1) Cd (N ) Cu (N ) (N ) = Td Cd (N ) (N ) = Rdu Cd , (2.19) So sánh công thức với công thức định nghĩa hệ số R/T tổng quát hóa (1.50) ta có ˆ (N ) = R(N ) , Tˆ(N ) = T (N ) R du du d d (2.20) Tương tự sóng tới qP , công thức (1.62)1 mặt phân cách cho ta biên độ sóng khúc xạ vào lớp thứ (1) (0) (0) ˆ C Cd = T d d (2.21) C(0) d = TqP Sóng khúc xạ xuống mặt phân cách thứ hai tiếp tục sinh sóng khúc xạ vào lớp thứ ba có biên độ (2) ˆ (1) C(1) = T ˆ (1) T ˆ (0) C(0) Cd = T d d d d d 33 (2.22) CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ R/T TRONG BÀI TOÁN TÌM BAND-GAPS CỦA SÓNG MẶT Quá trình tiếp tục lặp lại mặt phân cách thứ N ta có (N +1) Cd ˆ (0) C(0) ˆ (N −2) T ˆ (N −1) T ˆ (N ) T ˆ (N ) C(N ) = T =T d d d d d d d (2.23) +1) cần tính tích Vì vậy, để tính biên độ sóng khúc xạ KqP = C(N d ˆ (N −2) T ˆ (0) Giá trị tính từ công thức truy hồi (1.63) ˆ (N −1) T ˆ (N ) T T d d d d bắt đầu với giá trị phương trình (1.67) 2.4 Tính toán số phổ band-gaps sóng qP Do công thức tính toán hệ số khúc xạ sóng qSH qP − SV có dạng giống nên mục minh họa ví dụ tính toán số phổ band-gaps cho sóng tới qP Mô hình dùng cho tính toán số lớp nằm hai bán không gian Bán không gian vật liệu Graphite/epoxy bán không gian vật liệu Glass/epoxy với tính chất vật liệu cho Bảng (xem Liu Xi, 2002, Chương [9]) Lớp giả sử có tính chất vật liệu biến thiên liên tục theo hàm sin từ bán không gian xuống bán không gian Số chu kỳ biến đổi lớp giả thiết N Đây mô hình giả thiết, nhiên mô hình tạo cách cho hai bán không gian có biên hình lược phân bố dày bị ép đan xen vào Do áp lực lực ép, biên hình lược bị nén biến đổi theo hàm sin với N chu kỳ Khi miền biên hai bán không gian xấp xỉ lớp có độ dày độ cao biên có tính chất biến đổi theo hàm sin cấu trúc hai lớp bán không gian có biên phân chia dạng nghiên cứu Phạm Chí Vĩnh (2010) [18] Như tính chất lớp tính theo công thức P (2) (x2 ) = P (1) + P (3) − P (1) sin (πx2 /h) , (2.24) h độ dày chu kỳ, P đại diện cho số vật liệu lớp Chú ý để đảm bảo tính liên tục tính chất vật liệu, phần lớp gồm nửa chu kỳ lớp vật liệu Để áp dụng phương pháp trình bày phần trên, chia chu kỳ biến đổi lớp thành M = 20 lớp trực hướng Số lớp đủ lớn để lớp 34 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ R/T TRONG BÀI TOÁN TÌM BAND-GAPS CỦA SÓNG MẶT không xấp xỉ lớp mỏng Số chu kỳ chọn cho tính toán số mục N = 50 Các số vật liệu cij tính toán qua thông số vật liệu Bảng (Ví dụ xem Ting, 1996 [17]) Trong trường hợp ta có số vật liệu bán không gian c(1) 11 = 30.04, (1) (1) (1) (3) c13 = 0.18, c33 = 0.75, c66 = 0.37 bán không gian c11 = 143.21, (3) (3) (3) c13 = 3.11, c33 = 9.32, c66 = 4.79 Hình 2.4 biểu thị đường cong tỷ số biên độ sóng khúc xạ bên bán không gian biên độ sóng tới qP bán không gian có góc nghiêng 30o miền tần số biến thiên từ Hz đến Hz Chú ý môi trường vật liệu bất đẳng hướng, vận tốc sóng qP thay đổi theo góc tới tính công thức (2.10) công thức Chattopadhyay Rajneesh (2006) [4] Trong miền tần số quan sát có phổ band gaps có độ rộng từ khoảng Hz đến 2.35 Hz Chú ý rằng, mặt lý thuyết, lớp hữu hạn triệt tiêu hoàn toàn lượng sóng khúc xạ Tuy nhiên, lượng sóng khúc xạ nhỏ thông thường tính toán, phổ band gaps tính tỷ số biên độ sóng khúc xạ sóng tới nhỏ 10−3 (xem Golub cộng sự, 2014 [5]) Hình 2.4: Tỷ số biên độ sóng khúc xạ qP − SV với biên độ sóng tới qP 35 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ R/T TRONG BÀI TOÁN TÌM BAND-GAPS CỦA SÓNG MẶT Kí hiệu E1 (GPa) E2 (GPa) G12 (GPa) ν12 ρ(g/cm3 ) Graphite/epoxy 30 0.75 0.375 0.25 1.9 Glass/epoxy 142.17 9.255 4.795 0.334 1.9 Bảng 1: Thông số vật liệu Graphite/ epoxy Glass/ epoxy 36 Kết luận Luận văn thiết lập phương trình phương pháp phản xạ khúc xạ tổng quát hóa cho mô hình phân lớp trực hướng nhận công thức tính toán hệ số khúc xạ sóng truyền qua mô hình phân lớp Các hệ thức nhận kết mở rộng cho môi trường đẳng hướng đưa Chen năm 1993 Với kết nhận này, luận văn tính toán số phổ band gaps mô hình lớp trực hướng có cấu trúc tuần hoàn biến đổi liên tục theo hình sin nằm hai bán không gian trực hướng Đây mô hình nguyên tắc tạo cách cho hai bán không gian trực hướng với biên có độ nhám cao hình lược bị ép xen kẽ vào Những hướng nghiên cứu tiếp theo: mở rộng kết nghiên cứu luận văn môi trường có tính bất đẳng hướng có cản nhớt 37 Danh mục công trình khoa học công bố Các công trình liên quan đến luận văn Trần Thanh Tuấn, Trương Thị Thùy Dung (2013) Sự phản xạ khúc xạ sóng SH môi trường phân lớp không Tuyển tập hội nghị Cơ học vật rắn biến dạng toàn quốc lần thứ XI, HCM 2013, pp 1265-1274 Truong Thi Thuy Dung, Nguyen Thi Mai, Tran Thanh Tuan (2014) Dispersion equation of Rayleigh surface waves in stratified layer by ray and R/T theories International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA-3) Hanoi, October 15-16, 2014, pp 602 - 608 Trương Thị Thùy Dung, Trần Thanh Tuấn (2015) Phương pháp hệ số phản xạ, khúc xạ (R/T ) tổng quát hóa cho môi trường phân lớp trực hướng ứng dụng toán tìm band-gaps sóng qP − SV Tuyển tập hội nghị Cơ học vật rắn biến dạng toàn quốc lần thứ XII, Đà Nẵng 2015 (Accepted) Các công trình khác Tran Thanh Tuan, Raul Palau Clares, Truong Thi Thuy Dung, Nguyen Thi Thu, Tran Ngoc Trung (2014) Amplification of the surface layer to the body waves International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA-3) Hanoi, October 15-16, 2014, pp 588 - 594 Nguyễn Thị Lưu, Trương Thị Thùy Dung, Lê Thị Huệ, Trần Thanh Tuấn (2015) Công thức xác xấp xỉ phương trình tán sắc tỷ số H/V sóng Rayleigh mô hình lớp trực hướng đặt bán không gian trực hướng Tuyển tập hội nghị Cơ học vật rắn biến dạng toàn quốc lần thứ XII, Đà Nẵng 2015.(Accepted) 38 Tài liệu tham khảo [1] Aki, K and Richards, P G (1980), Quantitative Seismology: Theory and Methods, W H Freeman, San Francisco [2] Brekhovskikh, L M Waves in stratified media Izd Akad Nauk SSSR, Mos (1973) [3] Brillouin, L (1946) "Wave Propagation in Periodic Structures: Electric Filters and Crystal Lattices, ser" International Series in Pure and Applied Physics [4] Chattopadhyay and Rajneesh (2006) "Reflection and refraction of waves at the interface of an isotropic medium over a highly anisotropic medium", Acta Geophysica, 54 (3), pp 239-249 [5] Fomenko, S I., Golub, M V., Zhang, C., Bui, T Q., and Wang, Y S (2014) "In-plane elastic wave propagation and band-gaps in layered functionally graded phononic crystals" International Journal of Solids and Structures, 51 (13), 2491-2503 [6] Goffaux, C., Vigneron, J.P (2001) "Theoretical study of a tunable phononic band gap system" Physical Review B 64, 075118 [7] Golub, M.V., Fomenko, S.I., Bui, T.Q., Zhang, C., Wang, Y.S (2012) "Trans-mission and band gaps of elastic SH waves in functionally graded periodic laminates" International Journal of Solids and Structures 49, 344–354 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO [8] Golub, M.V., Zhang, C., Wang, Y.S (2012) "SH-wave propagation and scattering in periodically layered composites with a damaged layer" Journal of Sound and Vibration 331, 1829–1843 [9] G R Liu and Z C Xi (2002) Elastic waves in anisotropic laminates CRC press [10] Haskell, N A., (1953) "The dispersion of surface waves on multilayered media", Bull seism Soc Am., 43, 17-34 [11] J D Achenbach (1975) Wave Propagation in Elastic Solids, North-Holland publishing company Amsterdam, New York, Oxford [12] Kennett, B L N (1983), Seismic Wave Propagation in Stratified Media, Cambridge University Press, New York [13] Kushwaha, M.S (1999) "Band gap engineering in phononic crystals" Recent Research Developments in Applied Physics 2, 743–855 [14] Luco, J E and Apscl, R J., (1983) "On the Green’s function for a layered half-space, Part I", Bull seism SOC Am., 73, 909-929 [15] Maldovan, M., Thomas, E.L (2009) Periodic Materials and Interference Lithography for Photonics, Phononics and Mechanics Wiley-VCH Verlag GmbH and Co KGaA, Weinheim, Germany [16] Thomson, W T., (1950) "Transmission of elastic waves through a stratified solid medium", J uppl Phys., 21, 89-93 [17] Ting.T.C.T (1996) Anisotropic Elasticity: Theory and Applications, Oxford Unversity Press NewYork [18] Vinh, P C., Tung, D X (2010) "Homogenized equations of the linear elasticity in two-dimensional domains with very rough interfaces" Mech Res Comm 37, pp 285-288 [19] Wang, Y.Z., Li, F.M., Kishimoto, K., Wang, Y.S., Huang, W.H (2009) "Elastic wave band gaps in magnetoelectroelastic phononic crystals" Wave Motion 46, pp 47–56 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO [20] Wu, M.L., Wu, L.Y., Chen, L.W (2009) "Elastic wave band gaps of onedimensional phononic crystals with functionally graded materials" Smart Materials and Structures 18, 115013 [21] Xiaofei Chen (1993), "A systematic and efficient method of computing normal modes for multilayered half-space", Geophys J Int 115, pp 391-409 41 [...]... được dùng để khảo sát bài toán hệ số phản xạ, khúc xạ và bài toán truyền sóng được trình bày ở phần sau 14 CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ TỔNG QUÁT HÓA R/T 1.2 Ma trận hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa Mục đích của mục này là đi tìm các hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa tại một mặt biên phân chia giữa hai môi trường có tính chất khác nhau Hai môi trường giả sử được kí hiệu bởi... của phương pháp hệ số phản xạ, khúc xạ (R/T ) tổng quát hóa được sử dụng cho môi trường phân lớp trực hướng để tìm công thức xác định hệ số khúc xạ của sóng qSH và sóng qP − SV khi truyền qua môi trường này Công thức nhận được sẽ được sử dụng để tính toán phổ band-gaps của sóng qSH và sóng qP − SV truyền qua môi trường phân lớp trực hướng có cấu trúc tuần hoàn biến đổi theo hàm sin Cấu trúc phân lớp. .. biến đổi theo hàm sin Hơn nữa vật liệu của lớp sẽ được mở rộng cho trường hợp trực hướng 2.1 Công thức tính vận tốc sóng trong môi trường trực hướng Để giải quyết bài toán phản xạ, khúc xạ, chúng ta cần biết vận tốc truyền sóng của các loại sóng khối trong môi trường trực hướng Trong môi trường đẳng hướng thuần nhất, đặc trưng bởi các hệ số Lame λ và µ, tồn tại hệ thống 3 sóng P , SV và SH , trong đó... vector hệ số được tách thành hai vector con tương ứng với sóng hướng lên trên và hướng xuống dưới  (j) Cd (z) =   (j) Cpd (j) Csd   (j)  , Cu (z) =  21 (j) Cpu  (j) Csu   , CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ TỔNG QUÁT HÓA R/T và cũng chú ý rằng các hệ số này đã hấp thụ các hệ số thay đổi tương ứng trong ma trận Λ(j) (z) Các ma trận hệ số phản xạ và khúc xạ R/T đối với mặt phân. .. viết tắt là hệ số R/T ) mà nó mô tả ảnh hưởng của sự phản xạ và khúc xạ trên một mặt phân cách giữa hai môi trường mà không quan tâm đến ảnh hưởng của sự phản xạ và khúc xạ do các mặt phân cách khác gây ra (Luco và Apesel, 1983 15 CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ TỔNG QUÁT HÓA R/T [14]) Trong trường hợp tổng quát, tại mặt phân cách giữa bán không gian trên (j) và bán không gian dưới... ma trận hệ số R/T tổng quát hóa đối với sóng qP − SV , R du d được định nghĩa tương tự như đối với trường hợp sóng qSH có dạng (j+1) Cd ˆ (j) C(j) , =T d d (j) ˆ (j) C(j) , Cu = R du d 22 (1.62) z (j)   CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ TỔNG QUÁT HÓA R/T Thay phương trình (1.62) vào phương trình (1.60) sẽ cho ta công thức truy hồi xác định các ma trận hệ số phản xạ, khúc xạ tổng... Các số hạng Λ(j) d (z) và Λu (z) biểu diễn các sóng đi xuống và sóng đi lên trong môi trường (j), và Cd(j) (z) và Cu(j) (z) là các hệ số biểu diễn biên độ tương ứng của các sóng đi xuống và sóng đi lên này Để giới thiệu khái niệm hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa, trước hết ta đi định nghĩa hệ số phản xạ và khúc xạ theo nghĩa thông thường (được viết tắt là hệ số R/T ) mà nó mô tả ảnh hưởng của sự phản. .. Materials) đẳng hướng Như đã được phân tích trong Chương 1, phương pháp hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa không những khắc phục được nhược điểm mất ổn định của phương pháp ma trận chuyển trong miền tần số cao mà còn cho một hình ảnh vật lý rõ ràng về hiện tượng phản xạ và khúc xạ Vì vậy, chương này sẽ dùng phương pháp R/T để đi khảo sát band-gaps của sóng qSH và qP − SV đối với lớp hữu hạn có cấu trúc tuần... diễn các hệ số phản xạ, khúc xạ mà không ảnh hưởng đến công thức truy hồi (1.53) Công thức truy hồi này sẽ được sử dụng trong bài toán phản xạ và khúc xạ của sóng tới đi từ bán không gian trên truyền qua các lớp và khúc xạ tại bán không gian dưới 1.2.2 Sóng qP-SV Đối với sóng qP − SV , hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát của sóng cũng được tìm tương tự như trường hợp sóng qSH Khi đó, phương trình (1.26)... +1) (z) → 0, (1.65) khi z → +∞ Điều kiện tắt dần tại vô cùng sẽ cho chúng ta thông tin về giá trị đầu của các công thức truy hồi (1.63) Tại mặt phân cách của lớp thứ N và bán không gian (N + 1), do điều kiện tắt dần tại vô cùng nên Cu(N +1) = 0, khi đó công thức hệ số phản xạ, khúc xạ 23 CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ TỔNG QUÁT HÓA R/T (1.60) trở thành (N +1) Cd (N ) Cu (N ) (N