Dáng điệu nghiệm của các phương trình vi phân hàm bị nhiễu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÙI TRỌNG QUY DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BỊ NHIỄU LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 HÀ NỘI - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÙI TRỌNG QUY DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BỊ NHIỄU LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS Đặng Đình Châu HÀ NỘI - 2015 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn trực tiếp bảo tận tình thầy PGS.TS Đặng Đình Châu Trước tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy, người tận tình bảo, giúp đỡ tạo điều kiện nhiều mặt để tơi hồn thành luận văn Nhân dịp này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới tồn thể thầy giáo, giáo cơng tác khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội, người giảng dạy cung cấp kiến thức khoa học quý báu suốt năm học vừa qua để tơi có tảng kiến thức thực luận văn Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình bạn bè bên cạnh, động viên, nhiệt tình giúp đỡ chia sẻ khó khăn quãng thời gian làm luận văn suốt năm học tập trường Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2015 Học viên Bùi Trọng Quy Lời nói đầu Phương trình vi phân hàm lần A.D Mushkic (nhà toán học Nga) nghiên cứu từ năm 1950, phát triển cách hồn thiện Phương trình vi phân hàm xem phương trình vi phân không gian Banach với không gian pha không gian hàm liên tục miền J trục thực R Các kết lý thuyết định tính phương trình vi phân hàm có nhiều ứng dụng thực tiễn (xem tài liệu [3], [7], [9], [12]) Nội dung luận văn chủ yếu tập trung nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân có chậm Phương pháp sử dụng chủ yếu phương pháp thông dụng lý thuyết định tính phương trình vi phân tuyến tính Trong phần cuối có áp dụng thêm phương pháp nửa nhóm phương pháp họ tốn tử tiến hóa không gian Banach Bố cục luận văn bao gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phương trình vi phân tuyến tính có chậm Chương 3: Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi hạn chế thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2015 Học viên: Bùi Trọng Quy Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm nửa nhóm li Banach tốn tử sinh 1.2 Ứng dụng phương pháp tốn tử Lap phân có chậm 1.3 Khái niệm họ tốn tử tiến hóa liên tục 1.4 Tính chất nghiệm phương trình v không gian Banach 1.4.1 1.4.2 1.4.3 Phương trình vi phân tuyến tính có chậm 2.1 Khái niệm phương trình vi phân hàm 2.1.1 2.1.2 2.2 Phương trình vi phân tuyến tính có chậm 2.3 Phương pháp nửa nhóm cho phương trì Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu MỤC LỤC 3.1 Họ tốn tử tiến hóa phi tuyến U(t, s) s phương trình tích phân Volterra có c 3.2 Các tính chất họ tốn tử tiến hóa U(t 3.3 Sự tương đương tiệm cận phương t Kết luận Tài liệu tham khảo Tài liệu tham khảo Danh mục kí hiệu chữ viết tắt X - Không gian Banach L(X) - Không gian Banach tất tốn tử tuyến tính bị chặn X C(w) - Không gian hàm liên tục w C(X, Y) - Không gian hàm liên tục từ X đến Y D(A) - Miền xác định A k C (J) - Không gian hàm khả vi liên tục cấp k J (T(t))t - Nửa nhóm tham số tốn tử tuyến tính R(l, A) - Giải A r(A) - Tập giải A U(t, s) - Họ hai tham số tốn tử tuyến tính Mn(R) - Không gian ma trận (thực) vuông cấp n: A = (aij)n.n l2 - Không gian dãy số (xn) xác định bởi: ¥ ¥ l2 = fx l2, x = (xn) n=1 : å jxnj < +¥g với chuẩn jjxjj = s Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kết sử dụng chương sau Các kết chương khơng có chứng minh trích dẫn tài liệu [2],[4],[8], [10] 1.1 Một số khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh khơng gian Banach tốn tử sinh Định nghĩa 1.1 Họ tốn tử tuyến tính bị chặn (T(t))t không gian Banach X gọi nửa nhóm liên tục mạnh thỏa mãn: T(t + s) = T(t)T(s) với t, s T(0) = liên tục mạnh Tức ánh xạ quỹ đạo xx : t 7!xx(t) = T(t)x liên tục từ R+vào X với x X Các tính chất thỏa mãn R thay R+ ta gọi (T(t))t2R nhóm liên tục mạnh X Mệnh đề 1.1 Cho nửa nhóm(T(t))t khơng gian Banach X, khẳng định sau tương đương: (a) (T(t))t liên tục mạnh (b) lim T(t)x = x với x X t!0 (c) Tồn d > 0, M > tập trù mật D X cho: kT(t)k M với t [0, d] lim T(t)x = x với x D t!0 Chương Kiến thức chuẩn bị Mệnh đề 1.2 Cho nửa nhóm liên tục mạnh(T(t))t 0, tồn số w R M cho kT(t)k Me wt với t Định nghĩa 1.2 Cho nửa nhóm liên tục mạnh(T(t))t 0, gọi w0(T) = in f fw R : 9Mw 1, kT(t)k Mwe wt 8t 0g cận tăng trưởng kiểu tăng trưởng nửa nhóm Trong định nghĩa (1.2), nửa nhóm gọi bị chặn w = 0, nửa nhóm co lấy w = M = 1, nửa nhóm đẳng cự kT(t)xk = kxk với t x X Định nghĩa 1.3 Toán tử sinh A : D(A) X ! X nửa nhóm liên tục mạnh (T(t))t khơng gian Banach X tốn tử lim (T(h)x Ax := xx(0) = h!0 h x) xác định với x miền D(A) := fx X : xx khả vig Mệnh đề 1.3 Với toán tử sinh A : D(A) X ! X nửa nhóm (T(t))t ta có tính chất sau đây: (a) Nếu l C cho R(l)x = R +¥ ls e T(s)xds tồn với x X l r(A) R(l, A) = R(l) (b) Nếu Rel > w l r(A) giải thức R(l, A) xác định phần (a) (c) M kR(l, A)k Rel w 8l : Rel > w Khi R(l, A)x = R +¥ ls e T(s)xds gọi biểu diễn tích phân giải thức Định lý 1.1 (Xem tài liệu [10])( Định lý Hille- Yosida toán tử sinh) Đối với tốn tử (A, D(A)) khơng gian Banach X tính chất sau tương đương: (a) (A,D(A)) sinh nửa nhóm co liên tục mạnh (b) (A,D(A)) đóng, xác định trù mật với l > ta có l r(A) klR(l, A)k Chương Kiến thức chuẩn bị (c) (A,D(A)) đóng, xác định trù mật với l C với Rel > ta có l r(A) kR(l, A)k Rel 1.2 Ứng dụng phương pháp tốn tử Laplace phương trình vi phân có chậm ( Xem tài liệu [2]) Định nghĩa 1.4 Hàm giá trị phức f (t) = u(t) + iv(t) biến thực t gọi hàm gốc thỏa mãn điều kiện sau: 1) f (t) 0, với t < 2) f (t) liên tục (hoặc liên tục khúc), có đạo hàm liên tục đến cấp n (hoặc đạo hàm liên tục khúc đến cấp n) 3) Khi t ! +¥, hàm f (t) có bậc tăng bị chặn, tức tồn số M > a > cho với t > j f (t)j Me at Tức hàm j f (t)j tăng không nhanh hàm mũ Định nghĩa 1.5 Giả sử f (t) hàm gốc Khi hàm biến phức F(p) xác định cơng thức: Z¥ F(p) = f (t)e pt dt gọi ảnh f (t) qua phép biến đổi Laplace Phép biến đổi L : f (t) ! F(p) gọi phép biến đổi Laplace Ta kí hiệu: F(p) = L[ f (t)] Giả sử f (t) hàm gốc Z +¥ F(p) = f (t)e pt dt Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu bị chặn, tồn số dương D cho: jjFjj < 1, 8t0 D > Chứng minh Đặt: U(t) = PT(t), V(t) = (I P)T(t), Ta có: T(t) = U(t) + V(t) Với a < cần tìm D > cho: Z +¥ a jjB(s)jjds t0 m.K , 8t > D > 0 số K xác định Định lý 3.2 Từ bất đẳng thức Định lý 3.2 ta có: Z ¥ jjFjj jjV(t0 s)jj.jjB(s)jj.jjN(s + q, t0)jjds t0 Z ¥ m.KjjB(s)jjds a < 1, 8t0 D > t0 Định lý 3.3 Giả sử (T(t))t thỏa mãn tất điều kiện bổ đề (3.4) Hơn nữa, toán tử P giao hoán với T(t) cho với t Khi đó, phương trình (3.9) (3.10) tương đương tiệm cận Chứng minh Theo Định lí 3.2, j(.) C([ h, 0], X), phương trình (3.10) có nghiệm thỏa mãn: y(t) = T(t)j(0) + T(t Z t s)B(s)y(s + q)ds, t y(t) = j(t), h t Đặt y(t0) = y0, t0 > Khi đó, nghiệm y(t) (3.10) thể viết theo dạng: Z t y(t) = T(t t0)y0 + T(t s)B(s)y(s + q)ds t0 Hơn theo Bổ đề 3.4 ta có: T(t) = U(t) + V(t) 33 (3.14) Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu V(t s) = T(t t0)V(t0 s) Đặt Qx = (I + F)x, x X Khi đó, tốn tử Q : X ! X khả nghịch Giả định y(t) + nghiệm (3.10) Với t0 R y(t0) X, ta có: Z +¥ x(t0) = Qy(t0) = y(t0) + Từ đó: Z +¥ = T(t t0)y(t0) + t0 V(t s)B(s)y(s + q)ds Do đó: Z t jjy(t) x(t)jj = jj t0 U(t s)B(s)y(s + q)ds Vì vậy: Zt jjy(t)x(t)jj M.Kjjy0jj Z¥ e w(t s) jjB(s)jjds + m.Kjjy0jj jjB(s)jjds t0 Zt M1 e w(t s) Z¥ jjB(s)jjds, jjB(s)jjds + M2 t0 t t s t với M1 = M.Kjjy0jj, M2 = mKjjy0jj Với số dương # > 0, tồn số t đủ lớn t, t > 2t0 cho bất đẳng thức sau đúng: Z Do đó: jj y(t) x(t) Điều nghĩa là: ! 34 Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu Một cách tương tự tồn tính nghiệm (3.9) (3.10), ta nhận kết cho x(t) = T(t t0)x(t0) y(t) = N(t, t0)y(t0), y(t0) = Q x(t0) Định lí chứng minh Hệ 3.1 Nếu jjT(t)jj M với t R phương trình (3.9) (3.10) tương đương tiệm cận n Ví dụ 3.1 Trong khơng gian R , xét phương trình vi phân: với h t 0, h q 0, A(t) = (aij)n.n tức A Mn(R), + (tức B(.) Mn(R)) hàm liên tục theo t R thỏa mãn B(t) = (bij(t))n.n điều kiện: Z +¥ jjB(t)jjdt < +¥ At Kí hiệu T(t) = e , t nửa nhóm ma trận mũ sinh A Mn(R), = lj(A) giá trị riêng A Dựa vào lý thuyết dạng ma trận Joocdan suy mệnh đề sau đây: l j At + Mệnh đề 3.1 Nửa nhóm ma trận T(t) = e , t bị chặn R tất phần thực giá trị riêng ma trận A thỏa mãn điều kiện sau: i) Relj với j = 1, 2, , n ii) Tất lj mà Relj = nghiệm đơn phương trình đặc trưng jA lEj = Tiếp theo với phương trình (3.15) xét phương trình tích phân Volterra dạng: Z t x(t) = T(t)x + với điều kiện ban đầu x(t) = j(t), Từ Mệnh đề 3.1 Định lý 3.2 ta suy kết sau đây: Mệnh đề 3.2 Nếu tất giá trị riêng lj = lj(A) ma trận A thỏa mãn điều kiện i) ii) Mệnh đề 3.1 tất nghiệm phương trình (3.17) giới nội 35 Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu Chứng minh Xét phương trình (3.17) Z t x(t) = T(t)x +T(t t)B(t)x(t + q)dt, t với điều kiện ban đầu x(t) = j(t), h t 0 Do j(t) liên tục nên supt2[ h,0]jjx(t)jj = supt2[ h,0]jjj(t)jj < +¥ Với t ta có Z t jjx(t)jj = jjT(t)jj.jjxjj + jjT(t t)jj.jjB(t)jj.jjx(t + q)jjdt Từ giả thiết giá trị riêng lj ma trận A thỏa mãn điều kiện i) ii) Mệnh đề 3.1 nên theo mệnh đề 3.1 ta có jjT(t)jj M1, 8t với M1 số dương Do ta có Z t jjx(t)jj = M1jjxjj + M1 Chú ý jjx(t)jj supq2[ nên jjx(t)jj supq2[ h,0]jjx(t + q)jj M1jjxjj + M1 Áp dụng Bổ đề Gronwal-Belman ta có M1 jjx(t)jj supq2[ h,0]jjx(t + q)jj M1jjxjje Sử dụng giả thiết (3.16) ta suy jjx(t)jj M1.jjxjj.M M = eM1 R Mệnh đề chứng minh 36 t jjB(t)jjdt Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu Ví dụ 3.2 Trong khơng gian l2, xét phương trình vi phân tuyến tính: dx = Ax dt phương trình phi tuyến: dy = Ay(t) + B(t)y(t + q) dt với h q 0, t t0 0, x(t), y(t) l2 Trong sở trực chuẩn, ta định nghĩa A = diag(A1, A2, , An, ) với An := + giả sử B(.) : R ! L(l2) thỏa mãn điều kiện: Z +¥ jjB(t)jjdt < +¥ Khi đó, tốn tử Cauchy T(t) (3.18) có dạng: T(t) = diag(A1, A2, , An, ) với: Tn = Chú ý : T(t) = diag(U1(t), U2(t), , Un(t), ) + diag(V1(t), V2(t), , Vn(t), ), Ở đây: e Un = 0 37 t 0 ! 0 0 Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu Vn = + t Từ đó, ta suy jjU(t)jj e t R jjV(t)jj m < +¥ t R Cho nên T(t) thỏa mãn điều kiện Định lý 3.3 Điều kéo theo (3.18) (3.19) tương đương tiệm cận Ví dụ 3.3 Mơ hình quần thể tăng trưởng logistic đơn lồi Chúng ta xét mơ hình tăng trưởng cá thể đơn loài quần thể sinh học, mơ hình mơ tả phương trình vi phân có chậm: với điều kiện ban đầu x(t) = j(t), h t 0, r R, j C([ p : R ! R hàm liên tục bị chặn tức jp(x)j M0 < +¥ 8x R Xét phương trình tích phân dạng Volterra tương ứng x(t) = rT(t)j(0) với điều kiện ban đầu x(t) = j(t), Phương trình dạng Volterra (3.21) mô tả tăng trưởng quần thể đơn loài(xem tài liệu [12],[6]), x(t) mật độ quần thể thời điểm t Áp dụng Bổ đề 3.1 ta suy phương trình dạng Volterra (3.21) có nghiệm Nếu r < ta chứng minh jx(t)j < +¥ 8t t0 Thật rõ ràng jx(t)j = jj(t)j M < +¥ với t [ Z t x(t) = rT(t)j(0) Do jp(x)j r T(t h, 0] Với t t)x(t)p[x(t + t)]dt M0 nên ta có rt jx(t)j r[e j(0) + Z t r(t t) e x(t)M0dt] 38 ta xét Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu nên jx(t)je Zt rt r[j(0)] + M0 e rt x(t)dt] Áp dụng Bổ đề Gronwal-Belman ta có jx(t)je rt r[j(0)]e M R t dt] 0 hay jx(t)j r[j(0)]e (r+M )t (r+M )t Nếu M0 r e nên jx(t)j M2 < +¥ ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Nếu r + M0 < ta có lim jx(t)j = t!¥ Nếu tồn x = x0 R cho p(x) = ta cịn có nghiệm x(t) = x Khi ta xét tính ổn định nghiệm x(t) = x0 giới hạn lim jx(t)j t!¥ Ví dụ 3.4 Mơ hình thú - mồi Lotka-Volterra đơn giản Trong giới tự nhiên, tương tác loài khác làm biến đổi số lượng quần thể loài Khi nghiên cứu tương tác hai loài quần thể người ta thường dựa vào cách phân loại Kot (2001), xem tài liệu [6] Theo Kot, tỉ lệ tăng trưởng loài giảm mà lồi tăng gọi mơ hình thú - mồi Để nghiên cứu mơ hình thú - mồi xét hệ phương trình vi phân có chậm: y x(t) = x(t)[a by(t)] thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t) = j1(t) y(t) = j2(t) t (3.22) q] h t với p : R ! R hàm liên tục thỏa mãn điều kiện jp[x]j M < +¥ 8x R a, b, q số dương cho trước Trong mơ hình này, x(t) mật độ lồi mồi thời điểm t, y(t) mật độ loài thú thời điểm t Trước hết xét hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng với phương trình (3.22) x(t) = ax(t) y(t) = qy(t) 39 (3.23) Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu với x(0) = x0 y(0) = y0 Hệ (3.23) có nghiệm Chọn T(t) = ma trận Bây ta trở với phương trình (3.22), với phương trình ta xét phương trình dạng Volterra: Z t u(t) = T(t s)u0 + với u(t) = u0(t), h t 0, u0 bxy F(x, y) = yp(x) Khơng tính tổng qt ta giả thiết jy(t)j K < +¥ 8t (xem tài liệu [12]) + Từ giả thiết jp(x)j M0 8x R ta suy hàm F = F(x, y) thỏa mãn điều kiện Lipschitz Áp dụng Bổ đề 3.1 ta suy phương trình (3.24) có nghiệm Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình (3.22), trước hết ta ý hệ ln có nghiệm tầm thường x(t) = y(t) = Do nửa nhóm T(t) = eat 0 e qt với t khơng ổn định nên ta suy nghiệm tầm thường hệ (3.22) không ổn định 40 Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu Nếu phương trình p(x) q = có nghiệm x = x hệ (3.22) cịn có thêm điểm cân thứ hai x(t) = x0 a y(t) = b Việc nghiên cứu tính ổn định điểm cân ta thực cách đổi biến để đưa hệ hệ rút gọn tiếp tục sử dụng phương pháp hàm Lyapunov ( xem tài liệu [7]) 41 Kết luận Luận văn chủ yếu tập trung nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân tuyến tính có chậm phương trình vi phân tuyến tính với nhiễu có chậm Nội dung luận văn bao gồm: Trình bày cách hệ thống lý thuyết phương trình tiến hóa khơng gian Banach phương trình Volterra phi tuyến có chậm Nêu số tính chất phương trình vi phân có chậm ứng dụng Trình bày số ví dụ mơ hình ứng dụng phương trình vi phân có chậm Đóng góp luận văn trình bày cách chi tiết chứng minh số định lý phương trình vi phân có chậm, xây dựng số ví dụ minh họa Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2015 Học viên Bùi Trọng Quy Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn-Phạm Phu Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB ĐHQG Hà Nội (2000) [2] Nguyễn Thủy Thanh, Hàm biến phức với phép biến đổi Laplace, MS 20 KHTN, (2000) [3] C Travis and G Webb, Asymptotic stability for abstract nonlinear functional differ-ential equations, Proc Amer Math Soc., in press [4] D D Chau, On The Asymptotic Equivalence of Linear Delay Equations in Banach Space, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 31, Number 1, (2006), 31-38 [5] D D Chau and N B Cuong, On the asymptotic behavior of delay differen- tial equations and its relationship with C0 semigroup, VNU Journ of Science, Mathematics- Physic 23 (2007) 63-69 [6] J D.Murray Mathematical Biology: I.An Introduction Third Edition, Springer, (2002) [7] J K Hale and S M Verduyn Lunel, Introduction of Functional Differential Equa-tions, New York, (1991) [8] Ju L.Daleckii and M.G.Krein, Stability of Solutions of Differential Equations in Ba- nach Space, American Mathematical Society Providence, Rhode Island (1974) [9] J Wu, Introduction to Neural Dynamics and Signal Transmission Delay, Walter de Gruyter New York, (2001) [10] K J Engel and R Nagel, One- parametter Semigroup for Linear Evolution Equations, Springer- Verlag , (2000) 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO [11] K J Engel and R Nagel, A Short Course on Operator Semigroup, Springer , (2006) [12] Y Kuang, Delay differential equations, Boston San Diego New York, (1992) [13] D.Guo, V Lakshmikantham and X Liu, Nolinear Integral Equations in Abstract Spaces, Springer [14] A.D Mushkic, Phương trình vi phân tuyến tính có chậm, Matcova, (1972), (bản tiếng Nga) 44 ... chậm 2.1.2 Phương pháp giải phương trình vi phân hàm Ta tìm nghiệm phương trình vi phân hàm (2.1) hai phương pháp phương pháp bước phương pháp toán tử Laplace (a) Phương pháp bước Theo phương pháp... 2.1.1 2.1.2 2.2 Phương trình vi phân tuyến tính có chậm 2.3 Phương pháp nửa nhóm cho phương trì Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm bị nhiễu MỤC LỤC 3.1 Họ tốn tử tiến... triển cách hồn thiện Phương trình vi phân hàm xem phương trình vi phân khơng gian Banach với khơng gian pha không gian hàm liên tục miền J trục thực R Các kết lý thuyết định tính phương trình vi phân