Công thức tổng quát và giới hạn dãy số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯƠNG VĂN BẰNG CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI- 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯƠNG VĂN BẰNG CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: TS Phạm Văn Quốc HÀ NỘI- 2015 Mục lục Mở đầu Kiến thức sở 1.1 Phương pháp quy nạp toán h 1.2 Dãy số 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 Cấp số cộng – Cấp số nhân 1.3.1 1.3.2 1.4 Giới hạn dãy số 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.5Định lý Lagrange Một số phương pháp tìm CTTQ dãy số 2.1 Phương pháp sử dụng CSC2.2 Phương pháp sử dụng phép Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 3.1 Tính giới hạn thơng qua CT 3.2 Tính giới hạn sử dụng tính đ 3.3 Tính giới hạn phương 3.4 Tính giới hạn dãy số thô 3.5 Bài tập tương tự Kết luận Tài liệu tham khảo Mở đầu Dãy số đóng vai trị quan trọng toán học nhiều lĩnh vực đời sống Trong kì thi HSG tỉnh thành phố, quốc gia, IMO (Olympic tốn học quốc tế), hay kì thi giải tốn nhiều tạp chí tốn học, toán dãy số xuất nhiều đánh giá mức độ khó Trong cơng tác giảng dạy, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi , chuyên đề dãy số chuyên đề hay, nhiều thầy cô nghiên cứu triển khai giảng dạy Trong nội dung luận văn , tác giả tập trung nghiên cứu hai vấn đề liên quan đến dãy số, là: + Cơng thức tổng quát dãy số + Giới hạn dãy số Trong nội dung , thông qua tập từ hình thành phương pháp tìm cơng thức tổng quát, tính giới hạn số dạng dãy số bản, từ ứng dụng để giải số tốn Do q trình nghiên cứu, biên tập nhiều hạn chế nên nội dung cách trình bày luận văn chắn cịn nhiều thiếu xót, mong thầy bạn đọc xem xét, có ý kiến đóng góp để luận văn hồn thiện Mọi ý kiên đóng góp, phản hồi xin gửi địa hòm thư: vanbang6580 @ymail.com Nội dung khóa luận bao gồm: ⋄ Chương 1: Kiến thức sở ⋄ Chương 2: Một số phương pháp xác định CTTQ dãy số ⋄ Chương 3: Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới T.S Phạm Văn Quốc người trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo em suốt q trình thực khóa luận Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt q trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2015 Học viên Trương Văn Bằng Chương Kiến thức sở 1.1 Phương pháp quy nạp toán học Trong chương trình phổ thơng, để chứng minh mệnh đề P(n) với số nguyên n ≥ n0, với n0 số nguyên cho trước ta thực hai bước sau: Bước Kiểm tra P (n0) Bước Giả thiết mệnh đề p(k) với số nguyên n = k > n0(Gọi giả thiết quy nạp), chứng minh mệnh đề với n = k+1 1.2 1.2.1 Dãy số Định nghĩa ∗ Định nghĩa 1.1 Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương N gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Người ta thường viết dãy số dạng khai triển u1, u2, u3, un, Trong un = u(n) viết tắt (un), gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số Định nghĩa 1.2 Mỗi hàm số u xác định tập hợp M = {1; 2; ; m} với m ∗ ∈ N gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1, u2, u3, um u1 số hạng đầu, um số hạng cuối 1.2.2 Các cách cho dãy số a) Dãy số cho công thức số hạng tổng quát n 3n Ví dụ 1.1 Cho dãy số (un) với un = (−1) n b)Dãy số cho phương pháp truy hồi, tức - Cho số hạng đầu vài số hạng đầu Cho hệ thức biểu diễn số hạng theo số hạng đứng trước vài số hạng đướng trước (gọi hệ thức truy hồi) Ví dụ 1.2 Dãy Fibonacci dãy số (un) xác định sau: { u1 = u2 = un = un−1 + un−2; n = 3, 4, 5, 1.2.3 Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn Định nghĩa 1.3 Dãy số tăng, dãy số giảm Dãy số (un) gọi dãy số tăng ta có un+1 n ∗ ∈N Dãy số (un) gọi dãy số giảm ta có un+1 n ∗ ∈N > un với < un với Định nghĩa 1.4 Dãy số bị chặn Dãy số (un) gọi bị chặn tồn số M cho ∗ un < M, ∀n ∈ N Dãy số (un) gọi bị chặn tồn số m cho u n > m, ∗ ∀n ∈ N Dãy số (un) gọi bị chặn vừa bị chặn trên, vừa bị chặn ∗ dưới, tức tồn số m,M cho m < un < M, ∀n ∈ N (SGK lớp 11- Nhà xuất GD -2007) 1.3 1.3.1 Cấp số cộng – Cấp số nhân Cấp số cộng Định nghĩa 1.5 Cấp số cộng dãy số hữu hạn hay vơ hạn , kể từ số hạng thứ hai , số hạng số hạng đứng trước cộng với số không đổi d Số d gọi cơng sai cấp số cộng Định lí 1.1 Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng qt un xác định công thức un = u1 + (n − 1)d với n > Định lí 1.2 Cho cấp số cộng (un) Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + + un Khi ta có: n(u + u ) Sn = n 1.3.2 Cấp số nhân Định nghĩa 1.6 Cấp số nhân dãy số hữu hạn hay vô hạn, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước với số khơng đổi q Số q gọi cơng bội cấp số nhân Định lí 1.3 Nếu cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng quát un xác định công thức un = u1.q n−1 với n > Định lí 1.4 Cho cấp số nhân (un) với công bội q ≠ Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + + un Khi ta có: Sn = u (1 − qn) 1−q 1.4 1.4.1 Giới hạn dãy số Định nghĩa Định nghĩa 1.7 Ta nói dãy số (un) có giới hạn số L n → +∞ với số dương ε cho trước (nhỏ tùy ý), tồn số tự nhiên n o cho với n > no |un − L| < ε Ta viết lim un = L n→∞ hay viết tắt lim un = L Định nghĩa 1.8 Ta nói dãy số (un) tiến tới vô cực n → +∞ với số dương M cho trước (lớn tùy ý), tồn số tự nhiên no cho với n > no |un| > M Ta viết lim un = ∞ n→∞ hay viết tắt un → ∞ Nếu với n > no , un > M lim un = +∞ n→∞ Nếu với n > no , un < −M lim un = −∞ n→∞ Suy un+1 − un > 0, ∀n = 1, 2, 3, hay (un) dãy tăng Giải sử (un) bị chặn trên, (un) có giới hạn ℓ ,ℓ ≥ Chuyển cơng thức un+1 = , mâu thuẫn Từ suy (un) khơng bị chặn b) Ta có u ⇔ un+1 − = ( Do un u n+1 ≥ −2 = u Suy Suy n n ∑ v = n k=1 ( Do lim un = +∞ nên lim = lim − Bài tập 3.31 Cho dãy số (un) xác định công thức Tìm lim Lời giải 3, n = 1, 2, 3, ( Dễ dàng chứng minh un ≥ 4, ∀n Ta có ⇔ ⇔ u n = 1 u u n+1 − n u n+1 54 n Khi ta có k=1 Mặt khác un+1 = un + 3un > un, ∀n nên (un) dãy tăng Nếu (un) bị chặn tồn lim un = ℓ, ℓ > 2 Cho công thức un+1 = 3un + un qua giới hạn ta có ℓ = ℓ + 3ℓ ⇒ ℓ = 0, mâu thuẫn với ℓ > Vậy (un) không bị chặn, lim Bài tập 3.32 Cho dãy số (un) xác định { √ √ u1 = u n ∑ k k Đặt = =1 u Lời giải u n+1 ⇔ u ⇔ un+1 − n+1 √ √ ⇒ u n+1 − ⇒ u n+1 (n ⇒ − n ) u = Do u1 − = đẳng Từ √ u1 un > √ k=1 √ = 3+ 3; n = 1, 2, 3, 55 thức√ Từ đẳng thức suy un < un+1 hay dãy (un) tăng thực sự, suy un > 1, 2, 3, Giải sử (un) bị chặn trên, (un) có giới hạn ℓ ,ℓ ≥ Chuyển qua giới hạn công thức ta ℓ+ không bị Vậy lim = lim ( − Bài tập 3.33 Cho dãy số (un) xác định công thức Chứng minh dãy số (yn) , yn = Lời giải u Dễ thấy un > 0, ∀n Ta có un+1 − un = √ (un) dãy tăng Giả sử (un) bị chặn tồn giới hạn lim un = ℓ, ℓ Cho công thức un+1 = phương trình vơ nghiệm với ℓ ≥ Vây (un) không bị chặn Từ công thức truy hồi un+1 = 56 ∑1 n k=1 uk Như yn = Suy lim yn = Bài tập 3.34 Cho dãy số (un) xác định công thức { u1 = n un+1 = + u1u2 un; n = 1, 2, 3, ∑ Đặt S = Tìm limS n n u Từ công thức truy hồi un+1 = + u1u2 un suy un+1 − = un(u1u2 un−1 + − 1) = un (un − 1) Theo xác định dãy số, dễ thấy un > 1; ∀n ≥ Do ta có un+1 − Vì = n ∑ S = n un k=1 Do u1 = 1; u2 = + u1 = 2, nên Sn = − = + u1u2 un ≥ + u1; ∀n ≥ nên un+1 − = u1u2 un ≥ u1(1 + u1)n−1 suy lim (un+1 − 1) = +∞ Vậy lim Sn = 57 3.5 Bài tập tương tự Bài tập 3.35 Cho dãy số { u1 = −5 u n+1 (un) xác định công thức = u + 6, ∀n ≥ n Bài tập 3.36 Cho dãy số { u1 = un+1 = 4un − 1, ∀n ≥ Tính lim un (un) xác định cơng thức u n Tính lim 2 n Bài tập 3.37 Cho dãy số (un) xác định cơng thức Tính lim (Trích đề thi HSG Quảng Ngãi 2001-2002) Bài tập 3.38 Cho dãy số (un) xác định công thức √ n un = √ √ 2− 2+ √ + + 2(n dấu căn) Tính lim un Bài tập 3.39 Cho dãy số (u ) xác định công thức n u1 = √ u n+1 = u + a) b) n 2n , ∀n ≥ 1 Chứng minh un+1 − un < 2n+1 , ∀n ≥ Tính lim un (Trích đề thi HSG Hà Tĩnh 2009-2010) Bài tập 3.40 Cho dãy số (un) xác định công thức u1 = u n+1 = un + a) Chứng minh (Trích đề thi HSG Quảng Ngãi 2006-2007) 58 Bài tập 3.41 Cho dãy số (un) xác định cơng thức Tính lim un Bài tập 3.42 Cho dãy số (un) xác định cơng thức k ∑ n Tính lim =1 (Trích đề thi HSG Quảng Ngãi 2004-2005) Bài tập 3.43 Cho dãy số (un) xác định công thức { u1 = un+1 = 2u n n − un + 2, ∀n ≥ ∑ Tính lim k=1 uk (Trích đề thi chọn HSG Quốc gia Quảng Bình 2009-2010) Bài tập 3.44 Cho dãy số (un) xác định công thức u1 = u n+1 n Chứng minh dãy số yn = ∑ k=1 u có giới hạn Tìm giới hạn k (Trích đề thi VMO 2009) Bài tập 3.45 Cho dãy số (u n k ∑ = Tính lim =1 (Trích Tạp chí THTT tháng 10/2010) 59 Bài tập 3.46 Cho dãy số (un) xác định cơng thức n Tính lim k∑ =1 Bài tập 3.47 Cho dãy số (un) xác định cơng thức n ∑ k Tính lim =1 Bài tập 3.48 Cho dãy số (un) xác định cơng thức { un+1 = n k∑ Tính lim =1 (Trích Tạp chí THTT tháng 10/2010) Bài tập 3.49 Cho dãy số (un) xác định công thức { u1 = ( ∑ Tính lim n un+1 = u n ) − 7un + 25 , ∀n ≥ k=1 uk − (Trích Tạp chí THTT tháng 10/2010) 60 Kết luận Khóa luận đạt kết quan trọng sau: số Nghiên cứu số phương pháp xác định công thức dãy - Nghiên cứu số phương pháp xác định giới hạn dãy số - Vận dụng vào chuyên đề ôn luyện học sinh giỏi 61 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Điển- Nguyễn Minh Tuấn , LATEX tra cưú soạn thảo, NXB ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 2009 [2] Lê Đình Định, Bài tập phương trình sai phân, NXB Giáo dục 2011 [3] Phạm Thành Luân, 1001 toán dãy số, NXB Đà Nẵng 2001 [4] Sách giáo khoa đại số giải tích 11, NXB Giáo dục 2007 [5] Tủ sách tạp chí THTT, Các tốn thi Olympic Tốn THPT, NXB Giáo dục 2007 [6] Tuyển tập 30 năm tạp chi THTT, XNB Giáo dục 1996 [7] Các diễn đàn Toán học http://mathcope, http://mathlink.ro [8] Đề thi chọn đội tuyển trường, đề thi HSG tỉnh, thành phố năm học 2011-2012 62 ... m ∗ ∈ N gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1, u2, u3, um u1 số hạng đầu, um số hạng cuối 1.2.2 Các cách cho dãy số a) Dãy số cho công thức số hạng tổng quát n 3n Ví dụ 1.1 Cho dãy số (un) với... 1.5 Cấp số cộng dãy số hữu hạn hay vơ hạn , kể từ số hạng thứ hai , số hạng số hạng đứng trước cộng với số khơng đổi d Số d gọi công sai cấp số cộng Định lí 1.1 Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu... 1.6 Cấp số nhân dãy số hữu hạn hay vơ hạn, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước với số không đổi q Số q gọi công bội cấp số nhân Định lí 1.3 Nếu cấp số nhân (un) có số hạng đầu