Công thức tổng quát và giới hạn dãy số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯƠNG VĂN BẰNG CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI- 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯƠNG VĂN BẰNG CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: TS Phạm Văn Quốc HÀ NỘI- 2015 Mục lục Mở đầu Kiến thức sở 1.1 Phương pháp quy nạp toán học 1.2 Dãy số 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Các cách cho dãy số 1.2.3 Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn 1.3 Cấp số cộng – Cấp số nhân 1.3.1 Cấp số cộng 1.3.2 Cấp số nhân 1.4 Giới hạn dãy số 1.5 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Định lý 1.4.3 Một số giới hạn Định lý Lagrange Một số phương pháp tìm CTTQ dãy số 2.1 Phương pháp sử dụng CSC-CSN 9 2.2 Phương pháp sử dụng phép lượng giác 23 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 31 3.1 Tính giới hạn thông qua CTTQ 31 3.2 Tính giới hạn sử dụng tính đơn điệu bị chặn dãy số 38 3.3 Tính giới hạn phương pháp sử dụng “nguyên lý kẹp” 46 3.4 Tính giới hạn dãy số thông qua giới hạn vô cực 50 3.5 Bài tập tương tự 58 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 Mở đầu Dãy số đóng vai trò quan trọng toán học nhiều lĩnh vực đời sống Trong kì thi HSG tỉnh thành phố, quốc gia, IMO (Olympic toán học quốc tế), hay kì thi giải toán nhiều tạp chí toán học, toán dãy số xuất nhiều đánh giá mức độ khó Trong công tác giảng dạy, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi , chuyên đề dãy số chuyên đề hay, nhiều thầy cô nghiên cứu triển khai giảng dạy Trong nội dung luận văn , tác giả tập trung nghiên cứu hai vấn đề liên quan đến dãy số, là: + Công thức tổng quát dãy số + Giới hạn dãy số Trong nội dung , thông qua tập từ hình thành phương pháp tìm công thức tổng quát, tính giới hạn số dạng dãy số bản, từ ứng dụng để giải số toán Do trình nghiên cứu, biên tập nhiều hạn chế nên nội dung cách trình bày luận văn chắn nhiều thiếu xót, mong thầy cô bạn đọc xem xét, có ý kiến đóng góp để luận văn hoàn thiện Mọi ý kiên đóng góp, phản hồi xin gửi địa hòm thư: vanbang6580 @ymail.com Nội dung khóa luận bao gồm: ⋄ Chương 1: Kiến thức sở ⋄ Chương 2: Một số phương pháp xác định CTTQ dãy số ⋄ Chương 3: Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Phạm Văn Quốc người trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo em suốt trình thực khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2015 Học viên Trương Văn Bằng Chương Kiến thức sở 1.1 Phương pháp quy nạp toán học Trong chương trình phổ thông, để chứng minh mệnh đề P(n) với số nguyên n ≥ n0 , với n0 số nguyên cho trước ta thực hai bước sau: Bước Kiểm tra P (n0 ) Bước Giả thiết mệnh đề p(k) với số nguyên n = k n0 (Gọi giả thiết quy nạp), chứng minh mệnh đề với n = k+1 1.2 1.2.1 Dãy số Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương N∗ gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Người ta thường viết dãy số dạng khai triển u1 , u2 , u3 , un , Trong un = u(n) viết tắt (un ), gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số Định nghĩa 1.2 Mỗi hàm số u xác định tập hợp M = {1; 2; ; m} với m ∈ N∗ gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1 , u2 , u3 , um u1 số hạng đầu, um số hạng cuối 1.2.2 Các cách cho dãy số a) Dãy số cho công thức số hạng tổng quát Ví dụ 1.1 Cho dãy số (un ) với un = (−1)n 3n n b) Dãy số cho phương pháp truy hồi, tức - Cho số hạng đầu vài số hạng đầu - Cho hệ thức biểu diễn số hạng theo số hạng đứng trước vài số hạng đướng trước (gọi hệ thức truy hồi) Ví dụ 1.2 Dãy Fibonacci dãy số (un ) xác định sau: { u1 = u2 = un = un−1 + un−2 ; n = 3, 4, 5, 1.2.3 Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn Định nghĩa 1.3 Dãy số tăng, dãy số giảm Dãy số (un ) gọi dãy số tăng ta có un+1 > un với ∗ n∈N Dãy số (un ) gọi dãy số giảm ta có un+1 < un với ∗ n∈N Định nghĩa 1.4 Dãy số bị chặn Dãy số (un ) gọi bị chặn tồn số M cho un < M, ∀n ∈ N∗ Dãy số (un ) gọi bị chặn tồn số m cho un > m, ∀n ∈ N∗ Dãy số (un ) gọi bị chặn vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, tức tồn số m,M cho m < un < M, ∀n ∈ N∗ (SGK lớp 11- Nhà xuất GD -2007) 1.3 1.3.1 Cấp số cộng – Cấp số nhân Cấp số cộng Định nghĩa 1.5 Cấp số cộng dãy số hữu hạn hay vô hạn , kể từ số hạng thứ hai , số hạng số hạng đứng trước cộng với số không đổi d Số d gọi công sai cấp số cộng Định lí 1.1 Nếu cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 công sai d số hạng tổng quát un xác định công thức un = u1 + (n − 1)d với n Định lí 1.2 Cho cấp số cộng (un ) Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + + un Khi ta có: n(u1 + un ) Sn = 1.3.2 Cấp số nhân Định nghĩa 1.6 Cấp số nhân dãy số hữu hạn hay vô hạn, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước với số không đổi q Số q gọi công bội cấp số nhân Định lí 1.3 Nếu cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1 công bội q số hạng tổng quát un xác định công thức un = u1 q n−1 với n Định lí 1.4 Cho cấp số nhân (un ) với công bội q ̸= Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + + un Khi ta có: u1 (1 − q n ) Sn = 1−q 1.4 1.4.1 Giới hạn dãy số Định nghĩa Định nghĩa 1.7 Ta nói dãy số (un ) có giới hạn số L n → +∞ với số dương ε cho trước (nhỏ tùy ý), tồn số tự nhiên no cho với n > no |un − L| < ε Ta viết lim un = L n→∞ hay viết tắt lim un = L Định nghĩa 1.8 Ta nói dãy số (un ) tiến tới vô cực n → +∞ với số dương M cho trước (lớn tùy ý), tồn số tự nhiên no cho với n > no |un | > M Ta viết lim un = ∞ n→∞ hay viết tắt un → ∞ Nếu với n > no , un > M lim un = +∞ n→∞ Nếu với n > no , un < −M lim un = −∞ n→∞ 1.4.2 Định lí Định lí 1.5 Nếu dãy số có giới hạn bị chặn (Như dãy số không bị chặn giới hạn) Định lí 1.6 Nếu dãy số tăng bị chặn (hoặc giảm bị chặn dưới) dãy số có giới hạn Định lí 1.7 Cho ba dãy số (un ) , (vn ) , (wn ) Nếu ∀n ∈ N∗ ta có un wn lim = lim wn = L lim un = L Định lí 1.8 Nếu hai dãy số (un ) , (vn ) có giới hạn ta có lim (un ± ) = lim un ± lim lim (un ) = lim un lim ( ) un lim un lim = ( lim ̸= 0) lim √ √ lim un = lim un (un 0∀n ∈ N∗ ) Định lí 1.9 Nếu lim un = 0(un ̸= 0∀n ∈ N∗ ) lim Nếu lim un = ∞ lim 1.4.3 = ∞ un = un Một số giới hạn Nếu un = C ta có lim C = C lim nk = +∞ k > 0, lim nk = k < lim q n = |q| < Đối với cấp số nhân có công bội q, |q| < ta có S = u1 + u2 + u3 + + un + = u1 1−q gọi tổng cấp số nhân lùi vô hạn 1.5 Định lí Lagrange Giả sử f(x) hàm số liên tục đoạn [a;b] có đạo hàm khoảng (a;b) Khi tồn điểm c ∈ (a; b) cho f (b) − f (a) = f ′ (c).(b − a) ( ) a xn = xn−1 + , n ≥ 2, a > 0, x1 > xn−1 Chứng minh dãy số cho có giới hạn tìm giới hạn (Trích đề thi Thi HSG Bình Dương, năm 2012) Lời giải Dự đoán giới hạn Giả sử (x ( n ) có giới hạn ) hữu hạn ℓ √ a xn−1 + Chuyển công thức xn = qua giới hạn ta ℓ = a xn−1 Ta có: ( ) a xn = xn−1 + 2( xn−1 ) √ √ √ a ⇔ xn − a = xn−1 − a + − a x n−1 √ ) ( √ a = (xn−1 − a) − xn−1 √ (xn−1 − a) = xn−1 Dễ dàng chứng minh xn > 0, ∀n = 1, 2, 3, xn = ( ) √ a xn−1 + ≥ a, theo BĐT AM-GM xn−1 Do √ √ √ 1 (xn−1 − a) ≤ xn−1 − a xn − a = xn−1 √ , |xn−1 − a| < xn−1 Suy √ √ √ 1 xn − a ≤ xn−1 − a ≤ ≤ n−1 x1 − a 2 √ Cho n tiến tới +∞ , theo nguyên lí kẹp ta có lim (x − a) = hay n √ lim xn = a Bài tập 3.24 Cho dãy số (xn ) xác định { x1 = a ) 2013 ( ln xn + 20112 − 20112 ; n = 1, 2, 3, xn+1 = Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn (Trích đề thi HSG Cần Thơ vòng 2, năm 2012) 48 Lời giải Xét hàm số tương ứng ) 2011 ( ln x + 20112 − 20112 , x ∈ R { x1 = a Dãy số cho viết lại xn+1 = f (xn ); n = 1, 2, 3, 2.2011x 2011 2x = ≤ Ta có f ′ (x) = , x + 20112 x2 + 20112 (Theo BĐT AM-GM) f (x) = Xét hàm số g(x) = f (x) − x liên tục R Có g ′ (x) = f ′ (x) − < nên phương trình g(x) = có không nghiệm 2011 Lại có g(0) = f (0) = ln 20112 − 20112 < ( ) 2011 g(−20112 ) = ln 20114 + 20112 > nên phương trình g(x) = có nghiệm Gọi a nghiệm phương trình g(x) = ⇒ f (a) = a Áp dụng Định lí Lagrange cho x,y thuộc R, hàm f (x) liên tục R nên tồn z ∈ (x, y) cho f (x) − f (y) = f ′ (z)(x − y) , mà f ′ (z) ≤ , ∀z nên suy |f (x) − f (y)| ≤ |(x − y)| với x,y thuộc R ( )n 1 Ta có |xn+1 − a| = |f (xn ) − f (a)| ≤ |xn − a| ≤ ≤ |x1 − a| 3 ] [( )n |x1 − a| = 0, theo nguyên lí kẹp, ta có lim |xn − a| = lim Vậy dãy số cho có giới hạn hữu hạn Đpcm Bài tập 3.25 Cho số thực a thỏa mãn < a < Dãy số (xn ) xác định xn = a, xn+1 = axn , n = 1, 2, 3, Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn (Trích đề thi HSG Vĩnh Phúc vòng 1, năm 2012) Lời giải Dễ thấy < xn < 1, ∀n Xét hàm số f (x) = ax , x ∈ (0, 1) hàm liên tục nghịch biến khoảng (0; 1) Dãy số cho viết lại x1 = a, xn+1 = f (xn ), n=1,2,3, Ta có f ′ (x) = ax ln a 49 ( ) 1 ⇒ |f ′ (x)| = |ax ln a| ≤ |a ln a| = a ln = a ln + − a a Áp dụng bất đẳng thức ln(t + 1) ≤ t, ∀t ≥ 0, ta |f ′ (x)| ≤ a − = − a < a Áp dụng Định lí Lagrange cho hàm số f (x) [a; b] , < a < b, ta thấy tồn c ∈ (a; b)sao cho |f (x) − f (y)| = f ′ (c) |x − y| < (1 − a) |x − y| (∗) Xét hàm số g(x) = ax − x, ≤ x ≤ 1, g ′ (x) = ax ln a − < 0, ∀x ∈ [0; 1] Lại có g(0) = > 0, g(1) = a − < g(x) liên tục nên phương trình ax − x = có nghiệm x = x0 ∈ (0; 1) Suy f (x0 ) = x0 Từ ta có |f (xn ) − f (x0 )| < (1 − a) |xn − x0 | ⇒ |xn+1 − x0 | < (1 − a) |xn − x0 | < (1 − a)2 |xn−1 − x0 | < < (1 − a)n |x1 − x0 | Theo nguyên lí kẹp ta có dãy (xn ) có giới hạn hữu hạn x0 nghiệm phương trình ax = x 3.4 Tính giới hạn dãy số thông qua giới hạn vô cực Bài tập 3.26 Cho dãy số (un ) thỏa mãn điều kiện:   u1 = u2 2013  un+1 = n + un ; n = 1, 2, 2014 2014 a) Chứng minh (un ) dãy số tăng un Tính lim (v1 + v2 + + ) b) Với n ∈ N đặt = un+1 − (Trích đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội 2014) Lời giải a) Trước hết ta chứng minh un ≥ với n ≥ quy nạp Thật Với n = 1, ta có u1 = ⇒ mệnh đề dúng với n = Giả sử mệnh đề với n = k , tức uk ≥ Ta phải chứng minh mệnh đề với n = k + 1, tức phải chứng minh uk+1 ≥ Thật 50 u2k 2013 2013 2015 uk+1 = + uk ≥ + = >2 2014 2014 2014 2014 1007 un (un − 1) Xét un+1 − un = > với n ≥ un ≥ với n ≥ 2014 Vậy (un ) dãy số tăng un (un − 1) b) Ta có un+1 − un = > ⇒ un (un − 1) = 2014 (un+1 − un ) 2014 ( ) uk 1 ⇒ = 2014 − Từ uk+1 − uk−1 ( uk+1 − ) 1 2014 v1 + v2 + + = 2014 − = 2014 − ∀n ≥ u1 un+1 − un+1 − Giả sử (un ) bị chặn trên, tồn giới hạn hữu hạn lim un = ℓ, ℓ ≥ u2n 2013 Cho qua giới hạn công thức un+1 = + un ta có ℓ2 − ℓ = ⇔ 2014 2014 [ ℓ=0 , mâu thuẫn với ℓ ≥ Vậy lim un = +∞ ℓ=1 Khi lim (v1 + v2 + + )=2014 Bài tập 3.27 Cho dãy số (un ) xác định công thức: √ { u1 = 30 √ un+1 = 30u2n + 3un + 2011; n = 1, 2, 3, Tìm lim un+1 un (Trích đề thi HSG tỉnh Quảng Bình 2010-2011) Lời giải Dễ thấy un > 0; ∀n Theo công thức truy hồi ta có √ √ un+1 = 30un + 3un + 2011 ≥ u2n = un , ∀n ≥ nên dãy số (un ) tăng Giả sử (un ) bị chặn trên, (un ) có giới hạn hữu hạn, đặt lim un = a(a > 0) Cho qua giới hạn công thức √ un+1 = 30u2n + 3un + 2011 ta có a= √ 30a2 + 3a + 2011 ⇔ a2 = 30a2 + 3a + 2011 ⇔ 29a2 + 3a + 2011 51 Phương trình vô nghiệm nên dẫn đến mâu thuẫn Vậy dãy (un ) không bị chặn hay lim un = √+∞ √ un+1 30u2n + 3un + 2011 2011 Mặt khác ta có = = 30 + + un un un un √ un+1 2011 √ Vậy lim = lim 30 + + = 30 un un un Bài tập 3.28 Cho dãy số (un ) xác định công thức:   u1 = u2  un+1 = n + un ; n = 1, 2, 3, 2015 ( ) u1 u2 u3 un Tìm giới hạn sau: lim + + + + u2 u3 u4 un+1 Lời giải u2n Từ hệ thức truy hồi ta có un+1 − un = ; n = 1, 2, 3, 2015 ( ) 1 un = 2015 − ; n = 1, 2, 3, hay un+1 un un+1 ( ) ( ) n n ∑ ∑ uk 1 Suy = 2015 − = 2015 − u u u un+1 k+1 k k+1 k=1 k=1 Theo công thức xác định dãy (un ) ta có: = u1 < u2 < u3 < < un < un+1 < Vậy (un ) dãy đơn điệu tăng Nếu (un ) bị chặn trên, tồn giới hạn hữu hạn α = lim un , α ≥ Cho qua giới hạn công thức un+1 u2n + un , ta có phương trình = 2015 α2 α= + α ⇒ α = 2015 Mâu thuẫn với điều(kiện α ≥ Vậy (un ) không ) bị chặn trên, u1 u2 u3 un = Vậy lim + + + + = 2015 lim un u2 u3 u4 un+1 Bài tập 3.29 Cho dãy số (un ) xác định sau { u1 = 1; un+1 = + u2011 n , n = 1, 2, 3, un 52 ( 2011 2011 ) u2011 u u Tính lim + + + n u2 u3 un+1 (Trích đề thi HSG Quảng Bình, năm 2012) Lời giải Từ công thức xác định dãy số, ta có u2011 u2011 1 n = + ⇒ n = − , n=1;2;3; un un+1 un+1 un+1 un un+1 Do ( ) n u2011 n ∑ ∑ u2011 u2011 u2011 1 1 n k + + + = = − = − u2 u3 un+1 k=1 uk+1 k=1 uk uk+1 u1 un+1 Dễ dàng chứng minh un > 0, ∀n = 1, 2, 3, Từ giả thiết ta có un+1 = un + u2012 > un , dãy số (un ) dãy đơn n điệu tăng un ≥ 1, ∀n = 1, 2, 3, Giả sử dãy (un ) bị chặn có giới hạn ℓ , ℓ ≥ Chuyển công thức un+1 = un + u2012 qua giới hạn ta ℓ = ℓ + ℓ2012 n ⇒ ℓ = 0, mâu thuẫn với ℓ ≥ Vậy dãy (un ) không bị chặn, lim un =)+∞ ( ( 2011 ) u1 u2011 u2011 1 n Từ ta có lim + + + = lim − = u2 u3 un+1 u1 un+1 Bài tập 3.30 Cho dãy số (un ) xác định { u1 = ) 1( un + un + , n = 1, 2, 3, un+1 = a) Chứng minh (un ) dãy tăng không bị chặn n ∑ b) Đặt = , n = 1, 2, 3, Tính lim k=1 uk + (Trích đề thi HSG Vĩnh Long, năm 2012) Lời giải a) Dễ dàng chứng minh un > 0, ∀n = 1, 2, 3, ) 1( Ta có un+1 −un = un − 4un + = (un − 2)2 ≥ nên dãy (un ) không 5 giảm Mặt khác u1 = > ⇒ un ≥ > 2, ∀n = 1, 2, 3, 53 Suy un+1 − un > 0, ∀n = 1, 2, 3, hay (un ) dãy tăng Giải sử (un ) bị chặn trên, (un ) có giới hạn ℓ ,ℓ ≥ ) 1( Chuyển công thức un+1 = un + un + qua giới hạn ta ) 1( ℓ= ℓ +ℓ+4 ⇔ℓ=2 , mâu thuẫn Từ suy (un ) không bị chặn ) 1( b) Ta có un+1 = un + un + ) 1( ⇔ un+1 − = un + un − = (nn + 3) (un − 2) 5 Do un ≥ 3, ∀n = 1, 2, 3, nên ta có 1 = = − un+1 − (nn + 3) (un − 2) un − un + 1 Suy = − ; ∀n = 1, 2, 3, un + un − un+1 − Suy ) n n ( ∑ ∑ 1 = − = uk + uk − uk+1 − k=1 k=1 1 − =1− u1 − un+1 − un+1 − ( ) Do lim un = +∞ nên lim = lim − = un+1 − = Bài tập 3.31 Cho dãy số (un ) xác định công thức { u1 = un+1 = 3u2n + un , n = 1, 2, 3, ( ) u1 u2 un Tìm lim + + + u2 u3 un+1 Lời giải Dễ dàng chứng minh un ≥ , ∀n Ta có un+1 = 3u2n + un un ⇔ = + un u(n+1 un+1 ) un 1 ⇔ = − un+1 un un+1 54 ( ) ( ) n n ∑ uk 1∑ 1 1 Khi ta có = − = − k=1 uk uk+1 u1 un+1 k=1 uk+1 Mặt khác un+1 = un + 3u2n > un , ∀n nên (un ) dãy tăng Nếu (un ) bị chặn tồn lim un = ℓ, ℓ > Cho công thức un+1 = 3u2n + un qua giới hạn ta có ℓ = ℓ + 3ℓ2 ⇒ ℓ = 0, mâu thuẫn với ℓ > n ∑ uk Vậy (un ) không bị chặn, lim = ⇒ lim = = un 3u1 k=1 uk+1 Bài tập 3.32 Cho dãy số (un ) xác định √ √ { u1 = 2(+ ) √ √ ) ( √ √ √ − un + − un + 3 − un+1 = Đặt = n ∑ √ , n = 1, 2, 3, Tìm lim u + k=1 k Lời giải (√ ) √ ) ( √ √ √ un+1 = − un + − un + 3 − (√ ) √ ) ( (√ √ ) ⇔ un+1 = − un − − un + ( ) ( ( √ √ √ ) √ ) √ √ ⇔ un+1 − = − un − − un − (√ √ )( √ )( √ ) = − un + un − 1 ) ( √ = (√ ⇒ √ √ )( √ ) un+1 − 3 − un + un − 1 √ = ( ⇒ √ )−( √ ) un+1 − un − un + 1 √ −( ⇒ ( √ ) = √ ) u − n un + un+1 − ( ) n n ∑ ∑ 1 √ = √ − √ Do = k=1 uk − uk+1 − k=1 uk + 1 √ − √ = u1 − un+1 − (√ √ √ )( √ )( √ ) Từ đẳng thức un+1 − = − un + un − √ √ √ u1 =√ + > , quy nạp, dễ dàng chứng minh un > 3; n = 1, 2, 3, 55 Từ đẳng thức ( 1 √ −( √ )= √ ) u − n un + un+1 − ⇒ 1 √ >( √ ) un − un+1 − √ √ suy un < un+1 hay dãy (un ) tăng thực sự, suy un > + 2; ∀n = 1, 2, 3, √ √ Giải sử (un ) bị chặn trên, (un ) có giới hạn ℓ ,ℓ ≥ + 1 √ −( Chuyển qua giới hạn công thức ( √ ) = √ ) u − n un + un+1 − 1 √ − √ = , vô lí Từ suy (un ) ta ( √ ) = ℓ− ℓ− ℓ+ không bị chặn ) ( 1 √ − √ =√ Vậy lim = lim u1 − un+1 − Bài tập 3.33 Cho dãy số (un ) xác định công thức    u1 = √   un+1 = un + 4un + un , n = 1, 2, 3, n ∑ Chứng minh dãy số (yn ) , yn = có giới hạn Tìm giới hạn k=1 uk Lời giải √ Dễ thấy un > 0, ∀n Ta có un+1 − un = u2n + 4un − un > 0, ∀n, nên (un ) dãy tăng Giả sử (un ) bị chặn tồn giới hạn lim un = ℓ, ℓ ≥ √ √ un + 4un + un ℓ2 + 4ℓ + ℓ Cho công thức un+1 = qua giới hạn ta có ℓ = , 2 phương trình vô nghiệm với√ℓ ≥ Vây (un ) không bị chặn u2n + 4un + un Từ công thức truy hồi un+1 = ta có u2n+1 − un+1 un = un 1 ⇔ − = , n = 1, 2, 3, un un+1 un+1 56 ( ) n n ∑ ∑ 1 1 1 Như yn = = + − = + − u21 k=2 uk−1 uk u21 u1 un k=1 uk 1 Suy lim yn = + = u1 u1 Bài tập 3.34 Cho dãy số (un ) xác định công thức { u1 = un+1 = + u1 u2 un ; n = 1, 2, 3, n ∑ Đặt Sn = Tìm limSn k=1 un Lời giải Từ công thức truy hồi un+1 = + u1 u2 un suy un+1 − = un (u1 u2 un−1 + − 1) = un (un − 1) Theo xác định dãy số, dễ thấy un > 1; ∀n ≥ Do ta có 1 1 1 ⇒ = = − − ; ∀n ≥ un+1 − un − un un un − un+1 − Vì ) n n n ( ∑ ∑ ∑ 1 1 1 Sn = = + = + − un u1 un u1 un − un+1 − k=1 k=2 k=1 = Do u1 = 1; u2 = + u1 = 2, nên Sn = − 1 + − u1 u2 − un+1 − 1 un+1 − Vì un+1 = + u1 u2 un ≥ + u1 ; ∀n ≥ nên un+1 − = u1 u2 un ≥ u1 (1 + u1 )n−1 = 2n−1 ; ∀n ≥ suy lim (un+1 − 1) = +∞ Vậy lim Sn = 57 3.5 Bài tập tương tự Bài tập 3.35 Cho dãy số (un ) xác định công thức { u1 = −5 Tính lim un un+1 = un + 6, ∀n ≥ Bài { tập 3.36 Cho dãy số (un ) xác định công thức un u1 = Tính lim 2n un+1 = 4un − 1, ∀n ≥ Bài tập 3.37 Cho dãy số (un ) xác định công thức √ √ √ √ un = + + + + 2(n dấu căn) Tính lim u1 u2 un 2n (Trích đề thi HSG Quảng Ngãi 2001-2002) Bài tập 3.38 Cho dãy số (un ) xác định công thức √ √ √ √ n un = 2 − + + + 2(n dấu căn) Tính lim un Bài  tập 3.39 Cho dãy số (un ) xác định công thức  u1 = √  un+1 = un + , ∀n ≥ 2n a) Chứng minh un+1 − un < n+1 , ∀n ≥ b) Tính lim un (Trích đề thi HSG Hà Tĩnh 2009-2010) Bài  tập 3.40 Cho dãy số (un ) xác định công thức   u1 =   un+1 = un + u2n , ∀n ≥ n a) Chứng minh − < un < 1, ∀n ≥ b) Tính lim un n (Trích đề thi HSG Quảng Ngãi 2006-2007) 58 Bài tập 3.41 Cho dãy số (un ) xác định công thức   u1 > ( ) a 2un + , ∀n ≥ 1, a >  un+1 = un Tính lim un Bài tập 3.42 Cho dãy số (un ) xác định công thức { u1 = un+1 = u2n − un + 1, ∀n ≥ Tính lim n ∑ k=1 uk (Trích đề thi HSG Quảng Ngãi 2004-2005) Bài tập 3.43 Cho dãy số (un ) xác định công thức { u1 = un+1 = u2n − un + 2, ∀n ≥ n ∑ Tính lim k=1 uk (Trích đề thi chọn HSG Quốc gia Quảng Bình 2009-2010) Bài tập 3.44 Cho dãy số (un ) xác định công thức    u1 = √   un+1 = un + 4un + un , ∀n ≥ n ∑ Chứng minh dãy số yn = có giới hạn Tìm giới hạn k=1 uk (Trích đề thi VMO 2009) { u1 = a > Bài tập 3.45 Cho dãy số (un ) xác định công thức un+1 = u2n , ∀n ≥ n ∑ uk Tính lim k=1 uk+1 − (Trích Tạp chí THTT tháng 10/2010) 59 Bài tập 3.46   u1 = a > u2 + un − Cho dãy số (un ) xác định công thức  un+1 = n , ∀n ≥ un n ∑ Tính lim − u k=1 k (Trích Tạp chí THTT tháng 10/2010) Bài tập 3.47 Cho dãy số (un ) xác định công thức { u1 = 2009 (√ )2 un+1 = un un + , ∀n ≥ Tính lim n ∑ √ uk + k=1 (Trích Tạp chí THTT tháng 10/2010) Bài tập 3.48 { Cho dãy số (un ) xác định công thức Tính lim n ∑ k=1 uk + u1 = un+1 = )2 1( un + , ∀n ≥ (Trích Tạp chí THTT tháng 10/2010) Bài tập 3.49 Cho dãy số (un ) xác định công thức { u1 = ) 1( un − 7un + 25 , ∀n ≥ un+1 = n ∑ Tính lim k=1 uk − (Trích Tạp chí THTT tháng 10/2010) 60 Kết luận Khóa luận đạt kết quan trọng sau: - Nghiên cứu số phương pháp xác định công thức dãy số - Nghiên cứu số phương pháp xác định giới hạn dãy số - Vận dụng vào chuyên đề ôn luyện học sinh giỏi 61 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Điển- Nguyễn Minh Tuấn , LATEX tra cưú soạn thảo, NXB ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 2009 [2] Lê Đình Định, Bài tập phương trình sai phân, NXB Giáo dục 2011 [3] Phạm Thành Luân, 1001 toán dãy số, NXB Đà Nẵng 2001 [4] Sách giáo khoa đại số giải tích 11, NXB Giáo dục 2007 [5] Tủ sách tạp chí THTT, Các toán thi Olympic Toán THPT, NXB Giáo dục 2007 [6] Tuyển tập 30 năm tạp chi THTT, XNB Giáo dục 1996 [7] Các diễn đàn Toán học http://mathcope, http://mathlink.ro [8] Đề thi chọn đội tuyển trường, đề thi HSG tỉnh, thành phố năm học 2011-2012 62 [...]... N∗ √ √ Dãy số được viết lại u1 = 2; un+1 = 2 + un , n = 1, 2, 3, Ta thấy : ( √ √ π π) 2 u1 = 2 = 2 cos ⇒ u2 = 2 + u1 ⇔ u2 = 2 1 + cos = 4cos2 π8 4 4 π Suy ra u2 = cos 8 π Bằng quy nạp ta chứng minh được un = cos n+1 2 30 Chương 3 Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số 3.1 Tính giới hạn thông qua CTTQ + Tìm CTTQ của dãy số đã cho + Vận dụng các định lí về giới hạn, tính giới hạn của dãy số tìm... − 1 3n−1 1 Vậy lim(xn ) = lim = lim = 1 5 5 + 3n−1 +1 3n−1 Đặt Bài tập 3.3 Cho a > 0 và dãy số (un ) xác định bởi công thức   u1 > 0 aun  un+1 = √a2 + u2 , n = 1, 2, 3, n Tìm công thức tổng quát của dãy số đã cho Tìm giới hạn của dãy số (un ) Lời giải 32 Dễ dàng chứng minh được un > 0, ∀n = 1, 2, 3, Từ công thức truy hồi ta có: 1 1 1 1 n 1 1 n−1 = + = + ⇒ = + u2n+1 u2n a2 u21 a2 u2n u21 a2 Suy... ta được các hệ số của g(n) Nếu a ̸= 1, thì g(n + 1) − g(n) là đa thức có bậc bằng bậc của g(n) Ta chọn g(n) có bậc k, Trong hệ thức f (n) = g(n + 1) − ag(n) cho n nhận k giá trị khác nhau ta được hệ k+1 ẩn, giải hệ ta được các hệ số của g(n) 9 Bài tập 2.1 Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức { u1 = 2 un+1 = 2un + 3n + 1, n = 1, 2, 3, Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số trên Lời giải... Tìm công thức tổng quát của dãy số (un ) cho bởi công thức  1    u1 = 2 √ √ 2 − 2 1 − u2n    un+1 = , n = 1, 2, 3, 2 Lời giải Từ công thức truy hồi gợi cho ta công thức cos2 α = 1 − sin2 α 1 π Ta có u1 = = sin √2 √ 6 √ ( π) 2π 2 − 2 1 − sin 2 1 − cos 6 π 6 = = sin ⇒ u2 = 2 2 2.6 Bằng phép chứng minh quy nạp ta chứng minh được un = sin π 2n−1 6 Bài tập 2.26 Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức. .. Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức { 1 u1 = 2 un+1 = 2u2n − 1, n = 1, 2, 3, Xác định CTTQ của dãy số (un ) Lời giải Từ công thức truy hồi của dãy số, ta liên tưởng đến công thức nhân đôi của hàm số côsin Ta có π 2π 1 π u1 = = cos ⇒ u2 = 2cos2 − 1 = cos 2 3 3 3 4π 2π ⇒ u3 = 2cos2 − 1 = cos 3 3 2n−1 π , ∀n ≥ 1 Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được un = cos 3 23 Bài tập 2.20 Cho dãy số (un... 1)αn + u1 αn−1 Bài tập 2.3 Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức { u1 = 1 un = 3un−1 + 2n , n = 2, 3, 4, Tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số (un ) Lời giải Ta phân tích 2n = a.2n − 3a.2n−1 Cho n = 2 ta được a = −2 n Suy ra 2n = −2.2 + 3.2.2n−1) nên ta có ( un + 2.2n = 3 un−1 + 2.2n−1 Đặt vn = un + 2.2n , ∀n, suy ra vn là cấp số nhân có công bội bằng 3 và v1 = u1 + 2.2 = 5, do đó vn =... Bài tập 2.22 Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức  4   u1 = 5 u4n   un+1 = , n = 1, 2, 3, u4n − 8u2n + 8 Tìm công thức tổng quát của dãy (un ) (Trích đề thi HSG TP HCM vòng 2 - 2012) Lời giải 1 = vn , n = 1, 2, 3, un Từ công thức xác định dãy số (un ) ta có 1 u4 − 8u2n + 8 8 8 = n = 1 − + un+1 u4n u2n u4n Dễ thấy un ̸= 0, ∀n.Đặt 25 hay vn+1 = 8vn4 − 8vn2 + 1, n = 1, 2, 3, và v1 = 5 4 Dễ dàng... = 2 − 3 3 8 3 4 tan Nhận xét: Để tìm công thức tổng quát của dãy số cho bởi công thức   u1 = a un + b , n = 1, 2, 3,  un+1 = 1 − bun (2.30) Ta đặt a = tan α, b = tan β , khi đó ta chứng minh được un = tan (α + (n − 1) β) (2.31) Bài tập 2.27 Cho của dãy số (un ) xác định bởi công thức  √  u1 = 3 un √ , n = 1, 2, 3,  un+1 = 1 + 1 + u2n Xác định CTTQ của dãy số đã cho Lời giải π π tan sin √ π 3... 2n−1 = lim 1 2 −1 1 − 2n−1 2 x1 = 3xn 1 Bài tập 3.2 Cho dãy số thực (xn ) thỏa mãn x1 = , xn+1 = với 6 2xn + 1 mọi n nguyên dương Tìm số hạng tổng quát của dãy số trên, suy ra giới hạn của dãy số đó (Trích đề thi HSG Hà Nam vòng 2 - 2012) Lời giải Do mọi số hạng của dãy (xn ) đều dương nên ta có ( ) 1 2 1 1 1 1 = + ⇔ −1= −1 xn+1 3 3xn xn+1 3 xn 1 − 1 = yn , với n = 1,2,3, xn 1 1 1 5 Ta có y1 = 5 ,... 4)) Đặt vn = un + 3n + 4, ∀n, ta có v1 = u1 + 3.1 + 4 = 9, vn+1 = 2vn , ∀n Do đó vn là một cấp số nhân có công bội bằng 2, v1 = 9 Suy ra vn = 9.2n−1 , ∀n Vậy un = 9.2n−1 − 3n − 4, ∀n Bài tập 2.2 Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức { u1 = 2 un+1 = un + 2n + 1 Tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy (un ) Lời giải ( ) ( ) Ta phân tích 2n + 1 = a(n + 1) + b(n + 1) − an2 + bn { { 3a + b = 3 ... với m ∈ N∗ gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1 , u2 , u3 , um u1 số hạng đầu, um số hạng cuối 1.2.2 Các cách cho dãy số a) Dãy số cho công thức số hạng tổng quát Ví dụ 1.1 Cho dãy số (un ) với... 1.5 Cấp số cộng dãy số hữu hạn hay vô hạn , kể từ số hạng thứ hai , số hạng số hạng đứng trước cộng với số không đổi d Số d gọi công sai cấp số cộng Định lí 1.1 Nếu cấp số cộng (un ) có số hạng... 1.6 Cấp số nhân dãy số hữu hạn hay vô hạn, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước với số không đổi q Số q gọi công bội cấp số nhân Định lí 1.3 Nếu cấp số nhân (un ) có số hạng đầu